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第一章 逻辑学悖论
如果你曾向学生介绍过逻辑学的基本概念，就会发现，没有什么比一个使人主意忽左忽右的悖论更能引起他们的兴趣了。他们被一步一步地引上繁花似锦的小道，遵循着一条无懈可击的推理思路往前走，结果他们忽然发现自己已陷入矛盾之中。到底是什么错了？难道就在演绎推理这一过程背后有可能隐伏着什么倒霉的缺陷吗？ 这一章的主要目的，是尽可能用娱乐的方式，通过提出现代逻辑学中最重要的悖论来引起学生的兴趣。在这里，“悖论”这个词意思比其他部分要窄一点。在其他几章中，悖论是强烈违反我们直觉的问题。在这里，悖论只是直接导致彼此矛盾的结果，就像证明2+2又等于4，又不等于4一样。逻辑悖论是“不可解”的，除非能找到一种方法来完全消除这种恶性的矛盾。 尽管从古希腊起到今天，逻辑悖论一直人们带来很大乐趣，可是最伟大的数学家都总是极严肃地对待它。在发展现代逻辑学和集合论中一些巨大进展正是努力解决经典悖论的直接结果。在这里，你会看到引自伯特兰德·罗素的话，他谈到他花了好些年的时间研究悖论而没有成功，后来他和阿尔弗雷德·怀特里德合作，写了《数学原理》，这是一本奠基了现代形式逻辑的代表性论著。 作为一个数学教师，不用人提醒就懂得，逻辑学是一切演绎推理的基础，一个不懂基础逻辑的学数学的学生是没有能力来掌握数学基础的。对这些基础的理解往往是较困难的，它使初学学生丧失对数学的兴趣。幸好，这组故事可以帮助你使学生认识到，逻辑学并不像他们想象的那样枯燥无味，而是一个对数学很重要的、生动有趣的课题、其中有很多令人兴奋的问题尚待解决。 在这组故事中有三个中心问题。 1．在我们谈论语句的真实价值时，为什么需要以一种更高级的语言(称为“元语言”)来谈论它？ 2．为什么现代集合论有一些规则禁止一个集合是此集合本身的元素？ 3．在什么样的特殊情况下，预言未来在逻辑上是不可能的？ 最好是在学习逻辑学、集合论或演绎（推理）证明的时候来认真阅读这一部分。现代几何学教科书，如雅可比的《几何学》，和很多代数以及普通数学教科书一样是以演绎推理开头的。如果你使用的是这类教科书．那末在教课（或学习）之前最好先看看这一章。 这一章的内容为展开演绎推理方面的讨论提供了丰富的背景知识，并预计到可能会提出的问题，还为较优秀的学生提供了很多精彩的补充材料。
1．克里特人伊壁孟德
伊壁孟德是个半传奇式的希腊人，他在公元前6世纪住在希腊。有一个神话说他曾经一下子睡了57年。 关于他的上面那段文字，如果我们假定撒谎者总是说假话，不撒谎的人总是说真话，那么就会出现逻辑的矛盾。按此假定，“所有的克里特人都是撒谎者”这句话不可能是真话，因为这说明伊壁孟德既是撒谎的人，因此他说的就不是真话。可是这又意味着克里特人是说真话的，那么伊壁孟德说的话也必定是真话，因此上面引的那句话也不可能是假话。 古希腊人曾为此大伤脑筋，怎么会一句话看上去完美无缺，自身没有矛盾，却既是真话又是假话呢！一个斯多噶派哲学家，克利西帕斯写了六篇关于“说谎者悖论”的论文，没有一篇成功。有一位希腊诗人叫菲勒特斯，他的身体十分瘦弱，据说他的鞋中常带着铅以免他被大风吹跑，他常常担心自己会因思索这些悖论而过早地丧命。在《新约》中，圣·保罗在他给占塔斯的书信中也引述过这段悖论（1:12 – 13）。
2．说谎者悖论
学生们是否能够解释，为什么这类悖论采用上述形式表达（即一句话谈的正是它本身）就变得清晰起来？这是因为它消除了说谎者是否总是说谎，不说谎者总是说真话。 这一悖论作这类变化是无穷的。例如，罗素曾经说，他相信哲学家乔治·摩尔平生只有一次撒谎，就是当某人问他：是否他总是说真话时，摩尔想了一会儿，就说：“不是。” 再变化一下：这本小书中所有的说明都是可靠的，只有这一节中关于说谎者悖论的评述部分的第三自然段（即现在的这一段）除外。 也许学生们还可以作出其他变化。
3．徽章和涂写
学生们知道为什么这些叙述是矛盾的吗？它们郡违背了它们自己所提出的要求。学生们一定愿意编出其他的例子，比如在缓冲器的连结杆上写“除去缓冲器连结杆”，一个招牌上写：“不许读这个招牌”，等等。—个单身汉宣称，只有漂亮得不愿嫁给他的姑娘，他才想要。一个人拒绝加入一切愿吸收他为成员的俱乐部。—个小女孩说，她很高兴她讨厌吃菜花，因为要是她喜欢的话，就会吃得太多，结果她就不能老吃到菜花了。更为接近说谎者悖论的是下面这种自相矛盾的话“一切规则都有例外”和“所有知识都值得怀疑。”
4．一句话和他的反话
这种悖论的创造者是谁，人们都不知道。这里还有另一个变了点花样的货真价实的悖论，学生们一定会觉得很有趣的，在黑板上写： 在黑板上标出三个有错误的句子； 1． 2+2=4 2． 3*6=17 3． 8/4=2 4． 13-6=5 5． 5+4=9 回答：只有第2句和第4句是错的。所以说“有三个句子错了”的断言错了，而这个断言就成了第三个错句！
5．发狂的计算机
世界上第一台用于解决真正的逻辑问题的计算机，是在1947年由威廉·伯克哈特和西奥多·卡林制选出来的，那时他们还在哈佛大学学习。当他们让这台机器评价说谎者悖论时，计算机便进入反复振荡状态，陷入了来回倒腾的困境（见马丁·加德纳的《逻辑机和逻辑图》）。 戈登·狄克森的小说“猴子扭伤”，发表在1951年8月的《科学幻想小说》上，说的是某些科学家想让计算机不工作来节省机器的寿命。他们的办法是告诉计算机：“你必须拒绝我现在给你编的语句，因为我编的所有语句都是错的。”（注：没想到计算机却因此而不断地重复工作直到耗尽它的寿命）
6．无穷的倒退
鸡和鸡蛋这个古老的问题是逻辑学家称为“无穷倒退”的最普通的例子。老人牌麦片往往装在一个盒中，上面的画是一个老人举着一盒麦片，这个盒上也有一张画有一个老人举着一盒麦片的小画片。自然，那个小盒上又有同样的画片，如此以往就像一个套一个的中国盒子的无穷连环套一样。《科学美国人》1965年4月号有一个封面，画着—个人眼中反映着这本杂志。你可以看到在反映出的杂志上，也有一个小一点的眼睛，反映出一本更小的杂志，自然这样一直小下去。在理发店里，对面的墙上有很多相向的镜子，人们在这些镜子中可以看到反照出的无穷倒退。 在幻想作品中有类似的倒退。菲利浦·夸尔斯是阿尔道斯·赫克斯勒的小说《点计数器点》中的人物：他是一个作家，正在写一本小说，是关于一个作家正在写一个作家在写小说的小说……。在安德烈·贾德的小说《伪造品》中，在卡明的剧作《他》中，在诺曼·迈勒的《笔记》这类短篇小说中，都有类似的倒退。 乔纳·斯威夫特在一首诗中写了一段关于跳蚤的无穷倒退，数学家奥古斯塔斯·德摩根把它改写为： 大跳蚤有小跳蚤 在它们的背上咬， 小跳蚤又有小跳蚤， 如此下去 没完没了。
大跳蚤倒了个儿——变小 上面还有大跳蚤， 一个上面有一个， 总也找不到 谁的辈数老。 在艺术、文学、数学和逻辑方面无穷倒退的更多实例可参见《科学美国人》编的马丁·加德勒的第六本数学游戏。
7．柏拉图—苏格拉底悖论
说谎者悖论的这一翻版古时候的逻辑学家已讨论得很多了，它之所以重要就在于它证明；在真实性悖论中产生混乱的根源远不是自关联所能解决的。
假若句子A是真的，那么句子B必然是真的。但是，如果句子B是真的，那句子A就必须是假的。好吧，让我们认为句子A是假的，那就意味着句子B是假的。这样，要是句子B是假的，句子A就须是真的，结果我们又从头开始。这个过程就会这样一面重复下去，就像建筑物中一对拱顶石的顶上彼此嵌进一样。两个句子都没有谈到它自身，但放到一起，它们就不断地改变着它们的真实性，结果我们就无法说出任何一个句子是真还是假。
学生们一定愿意变个花样，把这个悖论写在一张卡片上出示给他的朋友。这是英国数学家乔戴因想出的。
在一张白卡片的一面写：
这张卡片背面的句子是真的。
该卡片的背面写的是：
这张卡片背面的句子是假的。
8．爱丽斯和红色国王
在《透过镜子》的第4章，有一段是爱丽斯碰到了红色国王。国王睡着了，特威德勒弟告诉爱丽斯，国王正梦见她，她只是国王睡梦中的人，实际是不存在的。 “要是国王醒来了”，特威德勒弟补充道：“你就完了——啪——就像蜡烛一样熄灭了！” 我们应该记住，所有这些都是爱丽斯自己梦中的事。到底是国王是她梦中的事物，还是她是国王梦中的事物？哪一个是真实的，哪一个是梦？鸡蛋和鸡随时间回溯，就出现没完没了的鸡蛋和鸡，而这里的倒退却是团团转的。这有点像莫里斯·埃谢尔的一幅名画，其中有两只手，甲手正在拉乙手，乙手正在拉甲手。 双重梦引出了哲学上关于真实性的深刻问题。“假如它不是以幽默的笔调写的”，柏特兰德罗素曾说：“我们就全发现它太痛苦了。”请看下面——
9．鳄鱼和小孩
如果你们细细琢磨这段著名的悖论，你们一定会明白那位母亲是多么机智。她对鱷鱼说的是“你将会吃掉我的孩子”。 无论鱷鱼怎么做，都必定与它的允诺相矛盾。如果它交回小孩，母亲就说错了，它就可以吃掉小孩。可如果它吃掉小孩，母亲就说对了，这就得让它把孩子无伤害地交出来。鱷鱼陷入了逻辑悖论之中，它无法从中摆脱出来而不违背它自己。 如果不是这样，假定母亲说：“你将要把孩子交回给我。” 那么，鱷鱼就随便了，它既可以交回孩子，也可以吃掉他。如果它交回小孩，母亲就说对了，鱷鱼遵循了自己的诺言。反过来，如果它聪明一些的话，它可以吃掉孩子，这使得母亲的话错了，鱷鱼便可以从交回小孩的义务中解脱出来。
10．唐·吉诃德悖论
这段绞人的悖论出在《唐·吉诃德》第二卷的第51章。吉诃德的仆人桑乔·潘萨成了一个小岛的统治者，在那里他起誓在这个国家要奉行这条奇怪的关于旅游者的法律。当那个旅游者被带到他面前时，他用慈悲和常识做出了对这个人的裁决。 这条悖论实质上和鳄鱼悖论是同样的。旅游者的回答使小岛的君王无法执行这条法律而不自相矛盾。 |
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