试卷说明:AT 表示矩阵A的转置矩阵,A*表示矩阵A的伴随矩阵,E是单位矩阵,|A|表示方阵A的行列式。
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设A是3阶方阵,且|A|=-1,则|2A|=( ) A.-8 B.-2 C.2 D.8 2.设矩阵A= ,则A-1=( ) A. B. C. D. 3.设A是n阶方阵,|A|=0,则下列结论中错误的是( ) A.秩(A) B.A有两行元素成比例 C.A的n个列向量线性相关 D.A有一个行向量是其余n-1个行向量的线性组合 4.若向量组α1,α2,…,αs的秩为r(r A.多于r个向量的部分组必线性相关 B.多于r个向量的部分组必线性无关 C.少于r个向量的部分组必线性相关 D.少于r个向量的部分组必线性无关 5.若α1,α2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解,则Ax=b必有一个解是( ) A.α1+α2 B.α1-α2 C.α1-2α2 D.2α1-α2 6.若齐次线性方程组 的基础解系含有两个解向量,则t=( ) A.2 B.4 C.6 D.8 7.设A,B均为n阶矩阵,且秩(A)=秩(B),则必有( ) A.A与B相似 B.A与B等价 C.A与B合同 D.|A|=|B| 8.设3阶矩阵A的三个特征值是1,0,-2,相应的特征向量依次为 , , , 令P= ,则P-1AP=( ) A. B. C. D. 9.设λ0是可逆矩阵A的一个特征值,则2A-1必有一个特征值是( ) A. λ0 B. C.2λ0 D. 10.二次型f(x1,x2,x3,x4)= 的秩为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.设D= ,Aij表示D中(i,j)元素(i,j=1,2,3,4)的代数余子式,则 A21+A22+A23+A24=______________________. 12. =______________________. 13.若A,B均为3阶矩阵,且|A|=2,B=-3E,则|AB|=_____________________. 14.若向量组α1=(1,0,0),α2=(2,t,4),α3=(0,0,6)线性相关,则t=_____________. 15.设矩阵A= ,其中aibi≠0(i=1,2,3).则秩(A)=_______________. 16.设A是n阶矩阵,秩(A) 17.设A为n阶矩阵,若齐次线性方程组Ax=0只有零解,则非齐次线性方程组Ax=b的解的个数为_____________________. 18.已知n阶方阵A与B相似,且B2=E.则A2+B2=_____________________. 19.设A为n阶矩阵,若行列式|5E-A|=0,则A必有一特征值为__________________. 20.二次型 的规范形是_____________________. 三、计算题(本大题共6小题,每小题8分,共48分) 21.计算行列式 的值. 22.设A= ,B= ,矩阵X满足方程AX=BT,求X. 23.求下列向量组的秩和一个最大线性无关组. α1= ,α2= ,α3= ,α4= ,α5= , 24.确定λ,μ的值,使线性方程组 有解. 25.已知向量α1=(-1,1,1)T,α2=(1,0,1)T,求一单位向量α3,使α3与α1,α2都正交. 26.用正交变换化二次型 为标准形,并写出所用的正交变换. 四、证明题(本大题共2小题,每小题6分,共12分) 27.设A是n阶方阵,|A|≠0,证明|A*|=|A|n-1. 28.已知n阶方阵A的各行元素之和均为a,证明向量x=(1,1,…,1)T为A的一个特征向量,并求相应的特征值. |
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