时空的历史--丘成桐在中国科学院数学与系统科学研究院的演讲

2006-12-17  广南子
时 空 的 历 史

丘成桐(美国哈佛大学)

(在中国科学院数学与系统科学研究院的演讲2005年11月12日)

远古时代

在古代的社会,人类已经懂得丈量土地,观察星体的运行,和感叹时间的消逝,因此产生了时空的概念。

中国哲学家

易经:“太极生两仪,两仪生四象。”

庄子:“天地虽大,其化均也。”

孔子:“逝者如斯夫,不舍昼夜。”

屈原:“日月安属,列星安陈?”

李白:“夫天地者,万物之逆旅,光阴者,百代之过客。”

可见古人不断地在探讨时空。我现在从几何学的观点来看时空的历史。

希腊哲学家

柏拉图和古希腊诸贤视几何为大自然的一部份,几何成为描述大自然的主要工具。但是他们认为空间是静止不动,平坦而无起伏的。这种见解持续了二十多个世纪,大致与几何认知上的局限性有关。

希腊哲学家崇尚推理,希望从数学的美中找到自然界的真理,所以他们对时空的了解比任何古文化都来得先进。

Elie Cartan(1869-1951,伟大的几何学家)

“对比其它科学而言,数学的发展更依赖于一层复一层的抽象。为了避免犯错,数学家必须抓住问题和对象的精义,并把它们筛选出来。”

“正确的推理无疑非常要紧,但更关键的是找到骨节眼上的问题。必须具有正确的直觉,才能够选对最根本的问题。解决这些问题,对科学的整体发展,具有举足轻重的作用。”

几何学

基本的问题来自大自然,并由问题本身的和谐典丽所启迪。

希腊几何学家最先利用公理化来处理数学。

只有引入一系列公理,我们才能对大自然的规律有清晰的了解,并为其奥妙而赞叹。

欧几里得几何学

欧几里得(公元前330年-前275年)系统地研究了有关直线、平面、圆和球的几何性质。

最基本的定理:

1. 毕达哥拉斯定理(勾股定理);

2. 任一三角形的内角和皆为180?。

欧氏几何对后世的影响

后人称颂毕达哥拉斯定理,说它是平面几何中最重要的定理。迄今为止,在大部分有意义的几何空间中,都要求这条定理在无穷小的情形下成立。

三角形内角和为180?,本质上是说平面是平坦不具有曲率的。Legendre首先指出它等价于下面所给出的命题。

欧氏第五公理

一直线与其它二直线相交后,假设其同侧二内角和少于二直角,则沿此侧面延长此二直线,它们必会在某处相交。

第五公理证明的失败

下面是一些尝试用欧氏其它公理去证明第五公理的人:

Ptolemy (90-168),Prolos (410-485),Nasir al din al Tusi (1201-1274),Levi ben Gerson (1288-1344),Cataldi (1548-1626),Giovanni Alfonso Borelli (1608-1679),Giordano Vitale (1633-1711),John Wallis (1616-1703),Gerolamo Saccheri (1667-1733),Johann Heinrich Lambert (1728-1777),Adrien Marie Legendre (1752-1833)。

双曲几何

最后,高斯、Bolyai和罗巴切夫斯基不约而同地发明了双曲几何-曲率为负常数的空间。相传高斯曾测量在Harz山脉中由Inselberg、Brocken和Hoher三地形成的三角形,看看其内角和是否等于180?。

Klein模型和非欧几何的产生

F. Klein创造了一种解析的方法,通过赋予在单位圆盘上任意两点的某种距离,给出双曲几何的一个模型,后人称之为Klein模型。至此,人们终于证明了欧氏第五公理不可以由其它公理推导出来。

双曲几何给出第一个抽象而与欧氏不一样的空间,影响到黎曼的工作。

陈氏类

高斯发现三角形内角和减去180?后与曲率和三角形面积的乘积相等,高斯把这个性质推广成为一条有关曲率的积分公式。高斯-Bonnet公式在现代 几何和拓扑学中非常重要。我的老师陈省身先生将它推广到高维空间,而最后发展成陈氏类,这个发展为近代时空创造了宏观的看法。

在近代的弦学中,时空的质子数目与陈氏类有关。
 
微积分之始

如果几何的对象仅仅是平面和球面,那便太局限了。当人们了解到如何利用无穷近似的方法去构造弯曲的几何对象时,情况便大大不同了。阿基米德(公元前 287-前212)首先用这种方法来计算界于抛物线和直线之间的区域的面积。这种做法为多个世纪后,牛顿和莱布尼兹发明微积分埋下种子。

事实上,阿基米德几乎已经创立了微积分,但是当时的物理和天文背景尚未成熟,所以没有迫切的需要去建立这项巨大的工作。

圆锥截面理论

Apollonius提出圆锥截面的理论,Hipparchus和托勒密利用了这套理论来发展行星运动的本轮模型。虽然这个模型并不正确,但圆锥曲 面的理论却对后世开普勒著名的行星运动定律具有深远的影响。我们必须注意到,是Hipparchus首先利用几何学及三角学,把天文学从一大堆杂乱无章的 数据资料,转化成一门精确的观测科学,而托勒密则创建了太阳系的地心说。

开普勒定律

开普勒和伽利略均对行星运动的资料深深着迷。利用Brahe多年来收集的大量精确资料,并通过巨细无遗的数据分析,开普勒终于算出行星的轨道是椭圆的。

Brahe的观测是以地球为参考点的一大堆数字。开普勒为了要将它们改换成为以太阳为参考中心的运动轨迹,长年累月地用到算术及三角。

解析几何

要等到费马(1629)和笛卡儿(1637)引入坐标系统后,人们才能用代数的方式来表示运动轨迹。

笛卡儿(1596-1650):“我已铁定了心,扬弃抽象的几何学,它探讨的问题,除了能够锻炼头脑外,就没有什么用处。代而之我要研究那些以解释大自然现象为目标的几何。”

由此可见,笛卡儿的解析几何研究受到物理学的影响。

解析几何的应用

在笛卡儿的坐标系统中,直线是由线性函数定义的,而圆锥截面则由二次函数决定。利用这种代数的方式,开普勒的行星运动定律就变得一清二楚了。

坐标系统

开普勒第二定律

笛卡儿发明了解析几何,可说是几何学上的一大突破。他引进坐标系统来描述几何图形,几何和代数因此结合起来了。坐标系统让我们绕过欧氏公理来研究几何图形,它也领导我们进入了高维空间。

微积分

莱布尼兹(1646-1716)和牛顿(1642-1727)各自独立地发明了微积分。

莱布尼兹:“上帝算,天地生。”

莱布尼兹

莱布尼兹的工作既是代数的也是分析的。他利用图像的办法,并引入优越的符号,他为微积分创造了一个完整的数学架构。

莱布尼兹于1677发表了他的结果,比牛顿发明微积分晚了整整十年。但牛顿的工作,只在少数数学家及科学家中流传。两者不同的做法最后导致优先权的大争辩。

牛顿

利用解析几何和微积分,牛顿及其他天文学家对天体的运动进行了巨细无遗的计算。天体的运动是透过欧氏空间的整体坐标系统来描述的,在那里空间是静止的,而时间则独立于空间之外。

太阳系

牛顿力学

物理的真实性属于经验的范畴。科学的目的是寻找这种真实性背后的规律及合理性。

牛顿把大量的物理现象用同一个理论框架统一起来。牛顿定律是有关运动的。但运动在哪里进行呢?那便是空间。

绝对空间

牛顿宣称他的时空是绝对的、静止的。它为宇宙提供一个刚性的、永恒不变的舞台。

牛顿:“对内对外而言,绝对空间都是相似及不动的。”

牛顿利用一个旋转水桶的实验,来说明绝对空间的存在性,而惯性坐标便是在绝对空间中静止的坐标。

微积分的丰收时期

莱布尼兹对牛顿绝对空间的概念提出异议。

微积分和牛顿力学的伟大胜利,使物理学家及数学家忙于利用微积分这个新的工具去发展新的学问,直到十九世纪才对时空有基本性的改变。在这时期中,对几何学有重大贡献的是欧拉(1707-1783),他是绝对空间概念的忠实信徒。

高斯与黎曼几何

古典的几何学者在讨论三维空间中的曲面时,他们留意到曲面上每一点的曲率,都有两个不同的选择。比如在一个圆柱面上,一个方向是沿其横切的圆,另一个则是沿垂直线。

高斯在1827年发现这两个曲率的乘积具有惊人的属性。当我们令曲面在空间变型,只要它没有拉长缩短,这个积是不变的!后世称这个积为高斯曲率。

内蕴几何

高斯把这条定理写入《曲面通论》一书中。他指出必须把曲面的内在性质,即身处曲面内扁小甲虫所经验的属性,与其外在的,即依赖于曲面如何置于空间的性质区分开来,而只有内在性质,才值得“几何学家焚膏继晷,兀兀穷年地上下求索”。后世称研究这些性质的学问为内蕴几何。

高斯曲率决定曲面的内蕴几何

从球面剪取一片曲面,其高斯曲率为正常数。反过来说,局部而言,任何具正常曲率的曲面都可以等距地映射成球面的一部分。

类似地,从双曲曲面剪取的一片,其高斯曲率恒等于―1,而反过来说曲率等于―1的曲面与双面曲面局部相等。双曲曲面曾在讨论欧氏第五公理时论及。

高斯对几何的深思

高斯显然因他的定理兴奋不已。但他并没有认为人们对空间已认识透彻。

高斯:“我愈来愈相信,人类的理性并不能证明或理解几何的必要性。也许后世能对空间的本质有新的洞见,但目前这却是不可能的事。”

物理学的影响

高斯:“当下我们不能把几何与本质是先验的算术相提并论,只适宜将它与力学并列。”

抽象空间(现代几何学的诞生)

高斯研究的是二维曲面内的几何,高维流形的内蕴几何是由黎曼提出的。他在他的教授就职演说《建构几何学的假设》中,利用尺度的无限小形式,引入了抽 象空间,在那里高斯曲率有了明确的涵义。这是一个重要的时刻,人们终于摆脱了平坦的欧氏(线性)空间,而成功创造一个自我生存的“内蕴”空间了。

黎曼在1852年的就职演说

在无穷小区域内几何诸假设是否真确,与空间尺度关系的本质有关 …。

要回答这个问题,就必须从这些现象的有关概念入手。这些源于经验的概念,是先由牛顿所奠基,并且透过它们所不能解释的事实而改动,渐臻完备 …。

如此这般,我们便离开了几何,进入另一门科学,即物理的领域了。

黎曼几何

黎曼的新发现从根本上改变了数学家对几何的看法。从此以后,几何学家研究的空间不再依赖于欧氏空间,我们独立地讨论抽象空间的几何了。他的后继者 Christoffel、Ricci、Levi-Civita和Beltrami开拓了流形上的微积分和张量分析等研究。不过对绝大多数人而言,这些高维 抽象空间要不是枯燥无味,就是跟大自然风马牛不相及。

狭义相对论的背景

第一个对牛顿绝对空间提出具建设性质疑的是奥地利学者马赫。他认为惯性坐标受到地球和其它天体的影响。这项假设被称为马赫原理。

一个极为重要的事实却是麦克斯韦发现光乃是电磁波,其速度与惯性坐标无关,恒为常数。不久又发现了麦氏电磁方程容纳洛伦兹变换为对称群。

时空一体

爱因斯坦于1905年提出狭义相对论。其中一个重要的环节乃是:空间和时间藉着洛伦兹变换融合起来了。

Minkowski(1908):“从今以后,单独的空间和单独的时间都将逐渐消失在阴影之中,唯有两者的融合才能保持独立的存在。”

广义相对论:爱因斯坦的时空

狭义相对论认为,任何信息的传递不能超过光速,这与牛顿力学“两个物体之间的引力作用在瞬间传递,即以无穷大的速度传递”的观点相矛盾。

爱因斯坦写信给Sommerfeld:“我现在正全身心地投入到引力问题的研究 …,有一点是肯定的,我这一生从未如此烦恼过。”

引力场、加速度和几何学

引力是力场的一种,它使物体加速。由于狭义相对论的要求,在与速度平行的方向,速度加快使长度加长,在与速度垂直的方向,长度不变。测量长度的尺规会在不同的方向和点改变正是黎曼几何的特点。

等价原理

在1907年,爱因斯坦首次提出引力的等价原理。

爱因斯坦花了十年的功夫,才把狭义相对论和牛顿的引力理论结合起来。之所以花了这么多时间,理由之一是他对数学上的抽象空间不大了解。只有当他的友人Grossmann指出后,他才明白黎曼张量满足等价原理,黎曼曲率的大小可以让度量拉长或收缩,这正符合他的需要。

能量守恒定律和Bianchi等式

物理学中的等价原理要求引力的定律与坐标的选取无关,黎曼的曲率正具有这种特性。曲率张量的某种组合称为Ricci张量(由Ricci引入),爱因 斯坦发现正是这个量适合古典的质量守恒定律。(Bianchi首先发现由Ricci张量导出的量满足守恒律,爱因斯坦方程要用到这个事实。)

总而言之,黎曼的抽象空间,确是可以用于描述引力。Ricci张量描述物质分布而黎曼曲率本身描述引力场。

广义相对论的诞生

水星近日点的进动

引力场可以用具有十个分量的黎曼时空尺度来表示。爱因斯坦在1915年向普鲁士科学学会提出的一系列文章中,给出了水星近日点进动的理论解释,并预言引力场使光线发生偏移。这些结果最后总结于1916年《物理年报》上的“广义相对论基础”一文中。

广义相对论的实验证明

1919年,Eddington在英国皇家学会宣称爱氏提出的光线偏移被证实。

《伦敦泰晤士报》头条新闻:科学上的革命--新的宇宙理论--牛顿的观念被推翻。

几何和引力场之不可分

时空的概念以黎曼几何为框架表现出来,可谓天衣无缝。几何与引力浑然一体,如胶似漆。引力驱动整个宇宙,瞬息万变,时空不再是一潭静寂的死水了。

当天体变动时,时空的几何和拓扑以光的速度变化,这也解决了牛顿引力学和狭义相对论的矛盾。

对称在物理和几何学的重要性

除了受到哲学家马赫对相对时空看法的影响外,爱氏还看出对称观念的重要性。

麦克斯韦方程具有洛伦兹对称性,给了爱因斯坦创造狭义相对论的灵感。爱氏可说是第一个看到对称群在物理学有举足轻重地位的物理学家。狭义相对论使人们对洛伦兹群另眼相看。运动方程离不开对称群,比如说,各种守恒律便来自于物理系统容纳各种连续群为其对称群。

等价原理要求物理定律与坐标的选取无关,因此它需要一个更大的对称群。为了要容纳这样的对称性,导致爱氏提出他的广义相对论。

整体对称和局部对称

与物理学相比较,黎曼在创立他的几何时,就已经要求有意义的几何性质必须与坐标选取无关了。

其实数学家(S. Lie, F. Klein)早就晓得对称性对几何学基本结构的重要性。1887年,Klein在有名的Erlangen纲领中便指出,不同的对称群会引出不同的几何。没 多久,Cartan便将Klein的观点与黎曼几何结合,创造了在纤维丛上的联络理论,它把Klein的整体对称理论和黎曼几何融为一体。

这种规范对称性在几何和物理中同样重要。在过去一个世纪,人们对时空的结构,都是通过这种局部对称性来研究的。

量子力学

二十世纪初量子力学的伟大发现,促进了我们对高能物理中基本粒子的了解,也因此对时空的结构有了更深入的认识。为了理解这些自然界力量的基本建构单 位,我们要利用旋子及规范场论。这些概念早已由Cartan从群表示理论和几何的研究中发现。事实上,规范场论源于纤维丛(扭曲空间)的研究,那时物理学 家还未对它产生兴趣呢。

Dirac方程用洛伦兹群为对称,Hermann Weyl则研究电磁场中的可交换规范场。到1954年,杨振宁和Mills发展了非交换的规范场,所有粒子都由对称群来控制了。

量子场论对几何的影响

量子场论的种种成就也改变了我们对时空几何的认识。举例来说,Dirac的旋子,Seiberg -Witten的理论都是量子物理的一部分,它们是研究几何的重要工具,到如今我们仍然惊异于它们对几何结构的威力。

但是,当空间半径小于普朗克尺度时,量子力学和光滑的时空不能兼容,我们茫然毫无头绪。空间是如何构成的,还是不甚了了。把引力场量子化是艰巨的任务,物理学家为此建立了不少模型。爱因斯坦生前梦想把自然界所有力量统一起来,现在我们正在沿着这个方向迈进。

弦学的源起

物理学家Veneziano发现,欧拉在二百多年前发现的某些函数,可以用来描述很多强核力产生的现象。不久之后,Nambu,Nielson和 Susskind建议,假如基本粒子是弦而非点时,我们的确可以从强粒子理论找到欧拉函数。可是强力的理论以后并不循这个方向发展,所谓标准模型已经足够 描述强粒子了。

弦学的第一次革命

在好长一段日子里,弦学几乎销声匿迹,只有Scherk和Schwarz勇敢地提出弦学应该包括强粒子和引力子在内。但是真正引起理论物理学家注意 的是,Green和Schwarz在1984年发现,当弦与引力场相互作用,在包含超对称的量子化过程中,规范群只能在两个李群中发生,时空的维数必须为 十,而在这时,弦学的量子场论在扰动的架构下头几项是收敛的。

弦学中时空的奇异点

值得兴奋的是:由弦学所产生的时空量子化理论,甚至可以“医治”时空的某些奇异点(这些奇异点的产生是无可奈何的事实,我们在解爱氏方程时发现它存 在的必然性。但是,一般的物理定律在这些点不再有意义。)举例来说,黑洞是一种奇异点,但是Greene-Strominger -Morrison所提供的黑洞模型中,证明甚至当时空出现这种奇性点时,弦理论还是有意义的。

高维时空

我们观察到的现实世界是四维的。故此,我们需要有一个机制,把十维减少到四维。这类机制滥觞于Kaluza-Klein的理论,当广义相对论刚刚面世时便提出了。当时考虑的,是把四维时空用圆环加厚成为五维空间。

Kaluza-Klein模型

一个好例子是把直线加厚成为圆柱面。当柱的横切面变得很小时,柱面便变回直线。

Kaluza-Klein考虑在一个加厚后成为五维时空的真空状态的爱因斯坦方程。他们指出,这个五维真空的爱氏方程等价于某些四维时空(带一个数 量场)上的引力和麦氏方程。利用这个办法,引力场和电磁力便由纯引力场统一起来了。爱因斯坦相当喜欢这个模型,但这个附加的数量场始终没有完好的解释,只 得作罢。

时空的超对称结构

在弦理论中,时空是十维的。仿效Kaluza-Klein的做法,我们把时空加厚,添进内在的六个维数。为了与现实世界相容,这些附加的六维空间必须十分细小(新近出现的膜理论可以容许这个内蕴空间不用太小)。

弦理论学者相信当能量极高时,玻色子与费米子具有某种一一对应的关系,这便是所谓“超对称”。

时空中要容许这种超对称,这个内在的六维空间必须满足某些严苛的条件。

弦论中的(Kaluza-Klein)模型

根据Candelas、Horowitz、Strominger和Witten的提议,这个空间可以由有复结构的真空方程来构造。在1984年,他 们发现这类空间就是我在1976年构造的流形。今天,这类空间被称为卡拉比-丘空间。由于弦学家的需求,这廿年来对卡-丘空间的研究有长足的进展,人们从 而获得了不少有关弦理论及数学的有趣结果。

卡拉比-丘空间

卡拉比-丘空间有不少的模型。从数学上来说,我们对它们的认知颇深。有朝一日,我们希望能透过这些空间,来算出某些物理的基本常数(如质量和电 荷)。利用这些空间的连续演化,我们希望能构造出新的宇宙模型或黑洞。这类动力学所提供的古典和量子力学信息,是当前热门的研究课题。

T-对偶

卡拉比-丘空间乃是弦理论中真空状态的基石,但它不见得是时空微观结构的终极形式。卡拉比-丘空间中的T-对偶是一种重要的对称性,它显示时空的微 观结构是极度复杂的。这种对偶指出,有关半径为R的圆周上的量子场论与在半径为1/R的圆周上的量子场论是相同的。这就是说极小的空间和极大的空间同构。

这个对称引起镜对称的观念,在代数几何学上有极重要的贡献,事实上,弦学中有很多不同种类的对偶,它们是弦学中最重要的工具。

弦学的第二次革命

从1984到1995年间,弦学家发现了五种不同的弦学模型,而它们通过对偶有一定的联系。到1995年,Witten建议一个全新的理论叫做M- 理论,它要求时空为11维,同时可以包括所有已知的弦学模型在内。接着,Polchinski提出了膜的理论,弦学逐渐进入更深一层,而几何性质更为美 妙。

在量子深渊中的时空

我们对时空的看法还在不断的演化之中。我们看到矩阵模式的创造,也看到Vafa量子时空泡沫的观念。也许在量子深渊中,时空的观念不再是我们现在想象的形式。无论如何,几何与物理的结合,浑然天成,实在能激动人心。

Schwarz:“弦学的数学结构是如此的美妙,又有这么多神奇的性质,它必定会导出某种深刻的东西。”

时空的奇异点

物理学家和几何学家都想了解由爱氏方程出现的时空奇异点问题,大爆炸和黑洞都是奇异点。奇异点可以定义为:在无论用多大的尺度去放大这些点的邻近领域,它与欧氏空间都不一样。

物理学家企图从量子化的观点来处理奇异点。几何学家则从方程入手,希望了解量子化前的时空。现在来谈谈这几年来几何学最重要的进展。

三维空间的结构

从几何的观点来了解时空,我们可以说它的进展一日千里,我们对三维和四维空间的了解已经今非昔比。在三维空间的工作尤其划时代的,是我的朋友 Hamilton先生在廿五年前提出的方程式,它提供一个变动几何结构的机制。在这个机制下,我们也看到空间拓扑的变化,从而给出三维空间的全部结构,我 们也逐渐了解奇异点在三维空间的结构。

四维空间和几何学

最近,Perelman可能将Hamilton的工作全部完成,我的朋友、学生和我在整个发展过程中有相当的贡献,可谓与有荣焉。四维空间的结构比 三维空间复杂得多,Donaldson的工作只释出其中一部份的信息。几何学中新的想法生生不息,这是一个值得几何学家兴奋的时代。

结语

庄子:“天地与我并生,万物与我为一。”

庞加莱(1854-1912):“创思虽是漫漫长夜中的灵光一闪,但,这便是一切。”

时 空 统 一 颂

时乎时乎 逝何如此 物乎物乎 繁何如斯

弱水三千 岂非同源 时空一体 心物互存

时兮时兮 时不再欤 天兮天兮 天何多容

亘古恒迁 黑洞冥冥 时空一体 其无尽耶

大哉大哉 宇宙之谜 美哉美哉 真理之源

时空量化 智者无何 管测大块 学也洋洋

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