第三讲 趣味算式(一) 趣味算式是指与数字及其运算有关的趣味数学问题。这类问题的题目类型多样,解题方法灵活,有利于提高逻辑思维能力和推理能力,也有利于提高计算能力。解题时主要运用有关整数运算方面的知识,所以也有利于巩固整数运算的有关性质和法则。 解答趣味算式题,首先要熟悉以下的一些基本知识 1.和、差、积、商的位数 (1)两个n位数的和,最多是n+1位数,最少是n位数(n是自然数)。如999+999=1998,100+100=200。 一个m位数与一个n位数的和(m>n,m、n是自然数),最多是m+1位数,最少是m位数,如999+99=1098,1000+100=1100。 (2)两个n位数的差(n是自然数),最多是n位数,如99-10=89。 一个m位数与一个n位数的差(m>n,m、n是自然数),最多是m位数,最少是一位数,如999-10=989,1000-999=1。 (3)两个n位数的积,最多是2n位数(n是自然数),最少数2n-l位数,如99×99=9801,10×10=100。 一个m位数与一个n位数的积,最多是m+n位数,最少是m+n-1位数(m、n是自然数),如999×99=98901,100×10=1000。 (4)两个n位数的商,当商是自然数时,它是一位数(n是自然数)。 一个m位数除以一个n位数,当商是自然数时,它最多是m=n+1位数,最少是m-n位数(m>n,m、n是自然数),如9999÷11=909,1001÷91=11。 2.乘数与积的个位数字 如果已知两个数相乘积的个位数字,那么两个乘数的个位数字的可能情况见下表: 如果n个数的个位数字都相同,那么它们的积的个位数字的可能情况见下表: 3.奇偶性 我们知道2,4,6,8,10,12,…这些数是偶数,1,3,5,7,9,11,…这些数是奇数,奇、偶数在运算中有以下一些基本性质: (1)n个偶数的和、差、积还是偶数,如8+16=24,38-20=18,16×4=64。 (2)两个奇数的和与差都是偶数,如7+9=16,13-7=6。 (3)两个奇数的积还是奇数,如7×5=35。 (4)一个奇数与一个偶数的和与差都是奇数,如3+4=7,12-7=5。 (5)一个奇数与一个偶数的积是偶数,如14×3=42。 下面分类介绍趣味算式问题,这一讲先讲“添运算符号”问题。 按题目给定的条件和要求,添运算符号或括号,是数字趣题中较简单的一类问题。解这类问题,没有一定的法则,需进行试添,试添可以从前往后顺推,也可以从后往前倒推,使问题逐步由繁到简,最终得到解决。 例1 王老师批改作业时发现,李强同学的一个计算题的结果正确,但丢掉了括号,于是出现了如下错误等式: 9×8+12÷6-2=45 请你替李强同学添上括号,使等式成立。 分析与解:因为没有括号的算式,要求先乘除后加减,所以添括号应在含有加、减运算符号的各数中考虑,比如对6-2添括号,计算得4,又因为6前面是除号,所以6前面的算式如果能得180,就可以求得本题的一个解,而9×(8+12)正好等于180,于是得到本题的一个解: 9×(8+12)÷(6-2)=45 又因为(8+12)÷(6-2)=5,于是又得本题的一个解: 9×[(8+12)÷(6-2)]=45 例2 在下面等式中的□内填上适当的运算符号,也可以添上适当的括号,使等式成立。 9□8□7□6□5□4□3□2□1=60 分析与解:因为题目给出的数字较多,所以要分段试填运算符号。如将等式左边分成前四个数字和后五个数字这样两段,如果5□4□3□2□1中的□都填加号,则得15,那么9□8□7□6□中的□填运算符号后,只要它与15进行运算后得60,就能得到题目的一个解。 因为9+8-7-6=4,所以本题的一个解是 (9+8-7-6)×(5+4+3+2+l)=60 又如对前五个数进行试填,因为(9-8+7-6)×5=10,而后四个数4+3-2+1=6,这样又可以得到题目的一个解: (9-8+7-6)×5×(4+3-2+1)=60 本题还有其他解,请同学们自己找找。 例3 在下列数字间,添上运算符号和括号,使等式成立。 4 4 4 4=1 ① 4 4 4 4=2 ② 4 4 4 4=3 ③ 4 4 4 4=4 ④ 4 4 4 4=5 ⑤ (天津市“我爱数学”竞赛试题) 分析与解:可以从后往前进行倒推,如①中的最后一个4前面先添一个“-”号或“÷”号,即 4 4 4-4=1 于是问题转化为对4 4 4=5进行试添运算符号,显然4÷4+ 4= 5,于是得到①的一个解: 4÷4+4-4=1 若在最后一个4前添“÷”号,即 4 4 4÷4=1 问题又转化为对444=4进行试添运算符号,显然4+4-4=4,于是又得到①的一个解: (4+4-4)÷4=1 如果把四个4分成前后各两个数来考虑,则又可得下面的解: (4+4)÷(4+4)=1 (4×4)÷(4×4)=1 (4÷4)÷(4÷4)=1 ②、③、④、⑤也有多种添法,请同学们自己动手试填。 例4 把+、-、×、÷四个运算符号,分别填入下面等式的○内,使等式成立。 (5○13○7)○(17○9)=12 分析与解:按运算顺序,等式中两个括号内的数要先进行计算,最后进行两个括号之间的运算。所以解本题,应先确定两个括号之间的符号。在试填过程中发现,如果括号之间填“+”号,其它三个○内填“-”、“×”、“÷”,则不论怎么填都不能使等式成立;如果在两个括号之间用“-”或“×”,也不能使等式成立。 当两个括号之间用“÷”时,因为要求前面括号内计算结果是后面括号内计算结果的12倍,所以后面括号内的○应填“-”号,即17-9=8;因为5+13×7=96,于是本题的解是 (5+13×7)÷(17-9)=12 例5 在下面的十五个3之间添上+、-、×、÷号,使下面的算式成立。 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3=1993 分析与解:因为本题数字多,也不限制必须每两个数字间都要添运算符号,所以可将给的数字,先凑出一个接近1993的数,如3333÷3+333×3=2110就是一个接近1993的数,而且已经用了九个3,剩下六个3,因为2110-1993=117,所以只要用剩的六个3凑出一个117的数就可以了。因为33×3=99,(3+3)×3=18,99+18=117,所以得到本题的一个解 3333÷3+333×3-33×3-(3+3)×3=1993 本题也可以用另外的方法凑出接近1993的数,如333×3+333×3=1998,因为1998-1993=5,所以只要用剩下的七个3凑出一个5即可,实际上3÷3+3÷3+3+3-3=5,所以又得到本题的一个解 333×3+333×3+3÷3+3÷3+3+3-3=1993 例6 在算式1+2×3+4×5+6×7+8×9=303的合适位置添上括号( ),使等式成立。 分析与解:这种题目只能用试验方法,找到题目的解。因为添括号是为了改变运算顺序,所以要把先乘后加,用括号改为先加后乘,另外要考虑括号内应包含哪些数,也就是括号应添在哪个位置。下面进行试算。 括号放在(1+2×3+4×5+6×7+8)×9=303处,显然不行,因为左边运算结果比303大,另外括号内不论得什么数,也不可能是303除以9的商。 括号放在(1+2×3+4×5+6×7)+8×9=303处,显然等于没有添括号。 括号放在(1+2×3+4×5+6)×7+8×9=303处试算的结果,等式正好成立,所以本题的解是 (1+2×3+4×5+6)×7+8×9=303 |
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