四、二进制的简单应用

四、二进制的简单应用

　　二进制在计算机中有广泛的应用。这里略举几例，说明二进制的应用。

例11 现有1克，2克，4克，8克，16克的砝码和各一枚，问在天秤上能称多少种不同重量的物体？

解 用枚举法可以讨论此题。

　　1，2，1＋2＝3，4，1＋4＝5，2＋4＝6，1＋2＋4＝7，……，1＋2＋4＋……＋16＝31。可以称1～31克共31种不同重量的物体（只能是整克数）。

　　用二进制研究此问题，更简便。砝码的克数正好是二进制的各数位的单位：1，2，2²，2³，2⁴。用它们表示的最大数是11111（2）＝2⁴＋2³＋2²＋2＋1＝31而11111（2）＝100000（2）－1＝2⁵－1＝31。不大于31的所有自然数都可以表示。

　　思考 用1克，2克，4克，8克，16克，32克，64克在天秤上可称哪些重物？

例12 说明2³⁰⁰－1能被7整除。

　　7＝8－1＝23－1＝1000（2）－1＝111（2）；

　　300÷3＝100

　　

　　所以2³⁰⁰－1能被7整除。

　　此题也可以用下面方法证明：2≡2（mod7）

　　2²≡4（mod7）

　　2³≡1（mod7）

　　2³⁰⁰＝（2³）¹⁰⁰≡1¹⁰⁰≡1（mod7）

　　2³⁰⁰－1≡0（mod7）。