一题多解 工程应用题

例1    一项工程，甲队单独做完要12天，乙队单独做完要10天，两队合做多少天就可以完成？

　　【分析1】把这项工程看作整体“1”，甲每天完成工程的，乙队每天完成工程的，甲乙合做每天完成工程的，工程“1”里包含几个，就是两队合做完成这个工程的天数.

　　【解法1】两队合做1天完成的工程？

　　+=

　　两队合做多少天完成这项工程？

　　1÷=（天）

　　综合算式： 1÷（+）

　　=1÷=（天）.

　　【分析2】用最小公倍解法.因为12和10的最小公倍数是60，所以可假设这项工程为60.那么甲队工作效率为60÷12=5，乙队工作效率为60÷10=6，甲乙合做效率为5+6=11.用总工作量60除以甲乙效率和11，即得两队合做完成这个工程的天数.

　　【解法2】假设这项工程总工作量为60.

　　 60÷（60÷12+60÷10）

　　=60÷（5+6）=60÷11=（天）.

　　【分析3】由题意可知，甲队每天的工作量，乙队天就可完成，即天.两队合做1天的工作量由乙队独做需要1+天，即天.所以乙队10天完成的这项工程，两队合做要用10÷=（天）完成.

　　【解法3】 10÷（1+10÷12）

　　=10÷（1+）=10÷=（天）.

　　【分析4】甲队12天的工作量，乙队10天即可完成，所以乙队1天的工作量，甲队要用天完时，即天。那么甲乙两队合做1天的工作量，甲队要用1+=（天）.所以乙队10天完成的这项工程，两队合做要用12÷=（天）.

　　【解法4】 12÷（1+12÷10）

　　=12÷（1+）

　　=12÷=（天）.

　　答：两队合做天就可以完成.

　　【评注】解法1是工程应用题的一般解法，易于理解.是较好的解法。解法2是利用求公倍数法解工程应用题，这种解法其实是假设解法，读者可根据实际情况选择恰当的数假设为总工程量.

　　例2   一列货车与一列客车同时从甲、乙两站相对开出，经过9小时相遇，相遇后两车都继续以原速前进。已知货车又行了6小时到达乙站，问客车行完全程需要几小时？

　　【分析1】把甲乙两站全程看作标准“1”.两车同行1小时行完全程的，货车1小时可行全程的，即.那么客车1小时可行全程的-=.全程“1”里包含着多少个，就是客车行全程需要多少小时.

　　【解法1】 1÷（-）

　　=1÷=（小时）.

　　【分析2】货车行全程需9+6=15（小时），9和15的最小公倍数是45，所以两站全程可假设为45，那么两车同时行1小时可行45÷9=5，货车1小时可行45÷15=3，所以客车每小时可行5-3=2.甲乙两站全程45内包含多少个2，就是客车行全程需要多少小时.

　　【解法2】假设甲乙两站全程为45.

　　 45÷[45÷9-45÷（9+6）]

　　=45÷[45÷9-45÷15]

　　=45÷[5-3]=（小时）.

　　【分析3】两车9小时行完的路程，货车要用9+6=15（小时）行完.而客车9小时行完的路程，货车只需6小时行完.那么货车1小时行完的路程，客车需要9÷6=1.5（小时）.所以货车15小时的行程，客车需要1.5×15=22.5（小时）.

　　【解法3】 9÷6×（9+6）

　　=9÷6×15=1.5×15=22.5（小时）.

　　【分析4】两车同时行全程需9小时，货车行全程需要9+6=15（小时），那么客车行9小时恰好行完全程的×6=，所以客车每小时行全程的÷9=.由此可求客车行全程的时间.

　　【解法4】 1÷（×6÷9）

　　=1÷（÷9）

　　=1÷=（小时）.

　　【分析5】把客车行完全程需要的时间看作“1”.货车行全程需9+6=15（小时），而货车6小时的行程和客车9小时的行程恰好相同，由此可求出客车9小时行全程的×6=，即9小时的对应分率，由此可求客车行全程的时间.

　　【解法5】 9÷（×6）

　　=9÷（×6）=9÷=（小时）.

　　答：客车行完全程需要小时.

　　【评注】比较以上五种解法，解法1是工程应用题的一般解法，思路简明清晰，易于理解和掌握；解法5是运用分数除法应用题的解法，更有益于理解工程应用题，且运算简便，这两种解法是本题的较好解法.

　　例3    一件工作，甲乙合做8天可以完成，甲独做12天可以完成.现在甲乙合做若干天后，余下的由乙继续做3天才完成.乙一共做了多少天？

　　【分析1】乙每天完成这件工作的，那么乙3天完成了这件工作的，再求出甲乙合做的工作量1-=，里包含多少个，就是甲乙合做了几天，即乙先做了几天.再加上余下3天即得乙共做多少天.

　　【解法1】 [1-（）×3]÷+3

　　=[1-×3]÷+3

　　=[1-]÷+3

　　=÷+3=10（天）。

　　【分析2】根据“甲乙合做的工作量与乙独做完成工作量的和等于总工作量”这一等量关系列方程，先求乙先做了几天，再加上3天即得乙共做了多少天.

　　【解法2】设甲乙合做了x天.

　　　

　　　　 +=1

　　　　 　 =1-

　　 　　 x=7

　　 7+3=10

　　【分析3】假设总工作量为24，那么甲乙效率和是24÷8=3，甲的效率是24÷12=2，所以乙的效率是3-2=1，它3天完成了1×3=3.因此，甲乙合做（24-3）÷3=7（天），即乙先做了7天，再加上3天即得乙共做的天数.

　　【解法3】假设工作总量为24.

　　 [24-（24÷8-24÷12）×3]÷（24÷8）+3

　　=[24-（3-2）×3）÷3+3

　　=[24-3]÷3+3

　　=21÷3+3=10（天）.

　　【分析4】假设甲乙合做了5天，那么比实际少完成1-×5-（-）×3=，甲乙继续合做还要用÷=2（天）.所以乙共做了5+2+3=10天.

　　【解法4】假设甲乙合做了5天.

　　 [1-×5-（-）×3]÷+5+3

　　=[1-×5-×3]÷+5+3

　　=÷+5+3=10（天）.

　　答：乙一共做了10天.

　　【评注】解法1和解法2是较好的解法.解法1是工程应用题的一般解法，虽思路较繁，但容易想到.

　  例4    如图是表示甲、乙、丙三个工程队单独完成某项工程所需天数的条形图.请计算：甲、乙两队合做4天后，剩下的工程由丙队做，丙队还要做几天才能完成任务？

　　【分析1】先求出甲、乙两队合做 4天完成了工程的几分之几，再求剩下的工程，再除以丙队每天的工作量，即得丙队还要做的天数.

　　【解法1】甲、乙合做4天完成的工程？

　　　　　　

　　剩下的工程有多少？

　　1-=

　　丙队还要几天完成？

　　（天）

　　综合算式： [1-]÷

　　=[1-÷4]÷

　　=[1-]÷

　　=（天）.

　　【分析2】先求出甲、乙合做4天的工作量由丙队独做需要几天，再用丙独做全工程用的15天减去这个天数，即得丙队还要做的天数.

　　【解法2】甲、乙合做4天完成多少？

　　=

　　甲、乙合做的工程由丙独做需几天？

　　÷=11（天）

　　剩下的工程丙队还要几天完成？

　　15-11=4（天）

　　综合算式： 15-÷

　　=15-×4÷

　　=15-÷

　　=15-11=4（天）.

　　【分析3】把丙队独做全工程需用天数看作“1”.先求出甲、乙合做后剩下的工程，即丙队还要做天数的对应分率，最后求出剩下工程丙队还需几天完.

　　【解法3】甲、乙合做了工程的几分之几？

　　

　　还剩下全工程的几分之几？

　　1-=

　　丙队完成剩下的工程还需几天？

　　15×=4（天）

　　综合算式： 15×[1-]

　　=15×[1-]

　　=15×=4（天）.

　　【分析4】根据“剩下工程=总工程-甲乙合做的工程”这一等量关系，列方程解.

　　【解法4】设丙队还要x天完成.

　　=1-

　　=1-

　　x=÷

　　x=4

　　答：丙队还要做4天才能完成任务.

　　【评注】比较以上四种解法，解法1和解法3是较好的解法.解法1是解工程应用题的一般方法，容易理解.解法3是运用分数乘法应用题的解法，比解法1的思路更直接.另外，本题还可用最小公倍法和正比例来解，读者可试解一下.

　　例5     一项工程，甲、乙两队合做20天完成.已知甲、乙两队工作效率的比是4∶5.甲乙两队单独完成这项工程各需要多少天？

　　【分析1】甲乙两队的工作效率和是，又知甲乙工作效率的比是4∶5，由此运用按比例分配的方法，分别求出甲、乙两队的工作效率.再用总工作量“1”分别除以甲乙的独做效率，即得甲乙独做全工程的天数.

　　【解法1】甲队每天完成多少工程？

　　

　　乙队每天完成多少工程？

　　

　　甲队独做全工程需几天？

　　1÷=45（天）

　　乙队独做全工程需几天？

　　1÷=36（天）

　　综合算式：甲队：1÷（）=1÷=45（天）

　　乙队：1÷（）=1÷=36（天）.

　　【分析2】因为“工作量÷工作效率=工作时间”，工作时间一定，所以工作量和工作效率成正比例.即甲乙两队工作量的比是4∶5，所以甲20天完成了全工程的，乙队20天完成了全工程的.由此可分别求出甲、乙独做全工程各需多少天.

　　【解法2】甲队独做全工程需要多少天？

　　20÷=20×=45（天）

　　乙队独做全工程需要多少天？

　　20÷=20×=36（天）

　　【分析3】由分析2可知，甲乙完成工作量的比是4∶5.因为他们的工作效率一定，所以他们各自完成的工作量与所需的时间成正比例.由此可分别列比例式，求出两队的独做时间.

　　【解法3】设甲队独做需x天完.

　　20∶4=x∶（4+5）

　　4x=20×9

　　x=20×9÷4

　　x=45

　　设乙队独做全工程需要y天.

　　20∶5=y∶（4+5）

　　5y=20×9

　　y=20×9÷5

　　y=36

　　答：略.

　　【评注】解法1是解工程应用题的一般方法，易于理解，但思路较曲折.解法2是运用分数除法应用题的方法来解的，思路简单明白，运算也较简便，是本题的较好解法.解法3虽与解法2的思路、方法都不同，但两者的数量关系是相同的.

　　例6   修一段公路，甲队单独修需要16小时完工.甲乙两队合修4小时后，剩下的由乙队又用小时修完.这段公路全部由乙队修筑需要几小时完工？

　　【分析1】乙队先后共修了4+=小时.先求乙队共修了这段路的几分之几，再求乙队的工作效率，最后看这段公路“1”里包含几个乙队的工作效率，即乙队独修需几小时.

　　【解法1】乙队共修了全长的几分之几？

　　1-×4=

　　乙队先后共修了几小时？

　　4+=（小时）

　　乙队每小时修全长的几分之几？

　　

　　乙队独修全长需几小时？

　　1÷=14（小时）

　　 　综合算式： 1÷[（1-×4）÷（4+）]

　　　　=1÷[（1-）÷]

　　　　=1÷[]

　　　　=1÷=14（小时）.

　　【分析2】把乙队独修全长需要的时间看作“1”.由分析1可知，乙队先后共修了小时，修了全长的，根据分数除法的意义求出乙队独修全长需要几小时.

　　【解法2】 （4+）÷（1-×4）

　　=÷=14（小时）.

　　【分析3】根据“甲队修路+乙队修路=全路长”这一等量关系列方程解.

　　【解法3】设乙队独修需x小时完.

　　×4+×（4+）=1

　　×=1-

　　x=1÷

　　x=14

　　答：这段公路由乙队独修需14小时完工.

　　【评注】比较以上三种解法，解法2的思路最简捷，运算最简便，是本题的最佳解法.

　　例7   一项工程甲队单独做要15天才能完成，乙队单独做12天才能完成，如果甲队先做3天后，剩余的工作两队同时去做，还要多少天可以完成？

　　【分析1】先求出甲队先完成了工程的几分之几，那么即可求出剩下的工程，再用剩下的工程除以甲、乙队的工作效率和，即得甲、乙队合做还要多少天完.

　　【解法1】甲队先做了多少？

　　×3=

　　剩余的工作有多少？

　　1-=

　　两队合做还要多少天完？

　　÷（）=（天）

　　综合算式： （1-×3）÷（）

　　=（1-）÷

　　=÷=（天）.

　　【分析2】把两队合做全工程的时间看作“1”.先求出两队做全工程需要多少天，再求剩余的工程是全工程的几分之几，最后求出两队还要多少天完成.

　　【解法2】甲乙合做全工程需要几天？

　　1÷（）=（天）

　　两队要合做全工程的几分之几？

　　1-×3=

　　两队还要多少天可以完成？

　　×=（天）

　　综合算式： 1÷（）×（1-×3）

　　=1÷×

　　=×=（天）.

　　【分析3】根据“甲队先做的工作量+两队合做的工作量=工作总量”列方程解.

　　【解法3】设两队还要x天完成.

　　×3+（）x=1

　　

　　x=（1-）÷

　　x=

　　【分析4】剩余的工作由甲独做要用15-3=12（天）.把剩余的工作看作定量，那么所需的时间和工作效率成反比例.由此列方程解.

　　【解法4】设两队合做还要x天完.

　　　 ×（15-3）=（）x

　　 　×12=x

　　　 x=

　　　 x=

　　答：剩余的工作两队还要天可以完成.

　　【评注】以上四种解法各有特点.解法1是一般解法，最容易想到，运算较简便，是较好的解法.解法2是分数应用题的解法，思路更直接.解法3和解法4都是方程解法，但等量关系不同.读者可灵活选用.

　　例8   仓库有45吨化肥，甲汽车单独运10小时完成，乙汽车单独运15小时完成.用甲乙两辆汽车同时运，多少小时可以运完？

　　【分析1】先求两车每小时各运多少吨，再求两车每小时共运多少吨，最后用总吨数除以两车每小时运的，即得两车同运所需时间.

　　【解法1】甲车每小时运多少吨？

　　45÷10=4.5（吨）

　　乙车每小时运多少吨？

　　45÷15=3（吨）

　　两车每小时运多少吨？

　　4.5+3=7.5（吨）

　　两车同时运需几小时运完？

　　45÷7.5=6（小时）

　　综合算式： 45+（45÷10+45÷15）

　　=45÷（4.5+3）

　　=45÷7.5=6（小时）。

　　【分析 2】先求出两车每小时共运总吨数的几分之.几？再求两车每小时共运多少吨，再看总吨数里包含几个这样的吨数，就是两队合运需几小时.

　　【解法2】两车每小时运货的几分之几？

　　

　　两车每小时运货多少吨？

　　45×=7.5（吨）

　　两车合运几小时完成？

　　45÷7.5=6（小时）

　　综合算式： 45÷[45×（）]

　　=45÷[45÷]

　　=45÷7.5=6（小时）.

　　【分析3】甲车每小时运化肥的，乙车每小时运化肥的，两车每小时运化肥的（）=.把化肥总吨数看作“1”，“1”里包含几个，就是两车同运几小时完成.

　　【解法3】1÷（）=1÷=6（小时）.

　　【分析4】根据“甲车运肥+乙车运肥=化肥总量”这一等量关系列方程解.

　　【解法4】设两车同运x小时完.

　　x+x=1

　　（）x=1

　　x=1÷

　　x=6

　　或 （）x=1

　　x=1÷（）

　　x=6

　　答：两车同时运6小时可以完成.

　　【评注】比较以上四种解法，解法3的思路最简捷，运算最简便，是本题的最佳解法.

　　例9    甲乙两地相距630千米，客车和货车同时从两地出发，相向而行.客车行完全程需14小时，货车行完全程需21小时.两车相遇时各行了多少千米？

　　【分析1】先求客车和货车的速度各多少，再求两车的相遇时间，最后用两车的速度分别乘以相遇时间，即得每车各行多少千米.

　　【解法1】客车每小时行多少千米？

　　630÷14=45（千米）

　　货车每小时行多少千米？

　　630÷21=30（千米）

　　两车几小时相遇？

　　630÷（45+30）=（小时）

　　相遇时客车行多少千米？

　　45×=378（千米）

　　相遇时货车行多少千米？

　　30×=252（千米）

　　综合算式：

　　客车： 630÷14×[630÷（630÷14+630÷21）]

　　=45×[630÷（45+30）]

　　=45×=378（千米）

　　货车： 630-378=252（千米）

　　【分析2】先求出甲车的速度，再运用工程应用题的解法求两车的相遇时间，然后用甲车速度乘以相遇时间即得甲车行多少千米.最后再求货车的行程.

　　【解法2】客车每小时行多少千米？

　　630÷14=45（千米）

　　两车几小时相遇？

　　1÷()=（小时）

　　 客车行了多少千米？

　　45×=378（千米）

　　货车行多少千米？

　　630-378=252（千米）

　　综合算式：

　　客车：（630÷14）×[1÷（）]

　　=45×[1÷]=45×=378（千米）

　　货车：630-378=252（千米）

　　【分析3】 因为“路程÷速度=时间”，时间一定，所以客车和货车的路程比等于速度比即∶=3∶2.由此可运用按比例分配的方法分别求出两车各行了多少千米.

　　【解法3】客车与货车所行路程的比？

　　∶=3∶2

　　客车行了多少千米？

　　630×=378（千米）

　　货车行了多少千米？

　　630×=252（千米）

　　综合算式：客车：630×=378（千米）

　　货车：630×=252（千米）.

　　答：略.

　　【评注】比较以上三种解法，解法1最繁，但其思维难度小，也最容易想到.解法3的思路简单明白，运算最简便，是本题最佳解法.如果由分析3继续分析，运用分数应用题解法也可求出两车各行多少千米.

　　例10   一项工程，甲单独做40天完成，乙单独做30天完成，二人合做若干天后，甲临时调走，乙继续完成这项工程，一共用27天.求乙单独工作了多少天？

　　【分析1】把全工程看作“1”.先求出乙共完成的工程，再求出甲完成的工程，然后再除以甲的工作效率即得甲做了几天，即甲乙合做的天数.最后用27天减去甲乙合做的天数，即得乙单独做了多少天.

　　【解法1】 乙共完成工程的几分之几？

　　×27=

　　甲完成了工程的几分之几？

　　1-=

　　甲乙合做了多少天？

　　÷=4（天）

　　乙单独做了多少天？

　　27-4=23（天）

　　综合算式： 27-（1-×27）÷

　　=27-÷

　　=27-4=23（天）.

　　【分析2】假设甲没有被调走，那么甲乙合做27天要超过全工程的（）×27-1=.这部分工程就是甲留下完成的，因此求出甲完成工程的需要几天，就是乙单独又做了几天.

　　【解法2】甲乙的效率和是多少？

　　=

　　甲乙合做27天完成工程的几分之几？

　　×27=

　　超过全工程的几分之几？

　　-1=

　　乙单独工作了多少天？

　　÷=23（天）

　　综合算式： [（）×27-1]÷

　　=[×27-1]÷

　　=[-1]÷

　　=÷=23（天）.

　　【分析3】 根据“甲乙合做的工作量+乙单独做的工作量=总工作量”列方程解.

　　【解法 3】设乙单独工作了x天.

　　（）×（27-x）+x=1

　　×27-x+x=1

　　（-）x=×27-1

　　x=23

　　【分析4】 甲乙合做全工程需要1÷（）=（天），那么实际多用27-=（天）.这是因为甲应完成的工作由乙天完成，由此可求若甲不调走，甲还应做（天），所以乙独做的时间为+=23（天）.

　　【解法4】 甲乙合做全工程需几天？

　　1÷（）=（天）

　　全工程延长了几天？

　　27-=（天）

　　乙天的工作量甲需几天完？

　　（天）

　　乙单独做了几天？

　　+=23（天）.

　　【分析5】假设乙独做27天完成全工程，那么比它实际每天多做全工程的.这是因为把甲完成的工作量平均分了27等份，每份恰是.因此把每份工作量乘以27即得甲完成的工作量，再除以甲的工作效率，即得甲乙合做天数，由此可求乙独做了多少天.

　　【解法5】 27-（）×27÷

　　=27-×27×40

　　=27-4=23（天）.

　　答：乙单独工作了23天.

　　【评注】比较以上五种解法，解法1、解法2、解法5各有特点，是本题的较好解法.读者可根据实际情况，选择合适的方法.