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偶变元超双曲型方程解
的中量满足的积分方程
冀礼鹏 王国正
摘要 通过基本解与基本公式,给出了偶变元常系数超双曲型方程解的中量,并指出了解的中量满足的积分方程.
关键词 超双曲型方程 解的中量
中图分类号 O 174.56
The Integral Equation Satisfied by the Mean Value of the
Solution to even Variable Ultra-hyperbolic Equation
Ji Lipeng Wang Guozheng
(Dept.of Basic Sci.,Air Force Telecommunications Engineering Institute,Xian 710077,PRC)
Abstract By using the elementary solution and the fundamental formula of the ultra-hyperbolic eqution,the solutions mean value of the even variable ultra-hyperbolic equation with constant coefficient and the integral equation which the solutions mean value satisfied were given.
Keywords ultra-hyperbolic equation,mean value of the solution
建立解的中量并研究其中量性质,进一步建立解的拓展性,从而统一讨论各类定解问题的适定性和不适定性,这是研究超双曲型方程的一条重要途径.
1 基本解
一般的常系数超双曲型方程总可以化为如下形式［1］：
 , (1)
其中c为常数,m,n≥2.
由文献［2］知,若m+n为偶数,则方程(1)具有基本解,
v=V(Γ)/Γ(m+n)/2-1-U(Γ)lnΓ, (2)
其中
2 基本公式
由于方程(1)是自伴的,现取u为其正规解,v为其基本解,则有基本公式［3］：
 (3)
其中 ,n1、n2为S1、S2的内法线方向,pf表示取瑕积分的有限部分.
3 解的中量
定义1 设 ,则称
 (4)
为方程(1)的解在 上的中量.
定理1 超双曲型方程(1)的解的中量M(r,s)满足积分方程
证明 在(3)式中,注意在S1上,有
 .
则(3)式左端可化为:
其中S11是适合(xi-x0i)2=r2,yj满足(yj-y0j)2≤s2的任意点,V11是适合(yj-y0j)2≤s2的点.令xi=x0i+rαi,则沿S11的积分可以化为单位球Ωα:α2i=1上的积分,沿V11的积分可先计算沿球面(yj-y0j)2=σ2的积分,然后由0到s积分,并做代换yj-y0j=σβj,则有:
同理可得右端.
参考文献
[1] 柯朗*希尔伯特著.数学物理方程.熊振翔译.北京:科学出版社,1977.97～105
[2] Wang Guozheng.The explicit solution of ultra-hyperbolic equation.四川师范大学学报,1991;14(1):61～63
[3] 凌岭.超双曲型方程.西安:西北大学出版社,1987.32～34
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