张庆熊：弗雷格的逻辑和数学思想的哲学基础

张庆熊：弗雷格的逻辑和数学思想的哲学基础

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● 张庆熊

【提要】弗雷格在《算术基础》中阐述了三条基本原理，这三条原理一方面说明他为什么要构造他的人工语言系统，另一方面说明算术何以能够建立在逻辑的基础之上，这是从哲学的高度出发论证他的逻辑和数学思想的基础。 ( http://www. )               弗雷格（Gottlob Friedrich Ludwig Frege，1848－1925）于1897年发表《概念文字：一种模仿算术语言构造的纯思维的形式语言》（Begriffsschrift，eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens）。这本薄薄的书可谓现代逻辑的开山之作。它奠定了数理逻辑中的命题逻辑和一阶谓词逻辑的基础。然而，对于这本逻辑史上划时代的专著，在当时却少有人问津。弗雷格反思其原因，认为除人们对那陌生的符号系统望而生畏外，还不理解他为什么要构造这一系统的理由。他在1884年发表了专著《算术基础》（Grundlagen der Arithmetik）。在这本书中，他没有使用数理逻辑的符号，而是哲学理论上论证他所构造的人工语言系统的基本原理，指出严格区分心理的东西和逻辑的东西、主观的东西和客观的东西的必要性；强调决不要忘记概念和客体之间的区别；对当时所流行的逻辑学和数学中的心理主义展开批判。他认为逻辑是数学的基础，数的概念可以被定义为逻辑的类的概念，而类则被看成概念的外延。可以说，《算术基础》一书是弗雷格在哲学的方面为他的数学基础研究中的逻辑主义的方案奠定基础。 ( http://www. )          弗雷格在《算术基础》中所提出的原理一共只有三条，下面我们就结合考察这三条原理来评述弗雷格的逻辑和数学思想的哲学基础。 ( http://www. )          一、逻辑规律的客观性          在弗雷格所处的时代，逻辑研究中的心理主义占支配地位。按照这种心理主义的观点，逻辑推理是一种思维的活动，思维的活动是一种心理的活动，所以逻辑的规律可以还原为心理的规律，逻辑的真理是一种主观的真理。弗雷格认为，这种心理的观点就如压在逻辑和数学成长之树上的巨石一样，为使逻辑和数学研究得以顺利展开，必须搬开这块巨石。为此，他在《算术哲学》导言中所列出的第一条原理就是： ( http://www. )          “严格区分心理的东西和逻辑的东西、主观的东西和客观的东西。”[1]          弗雷格认为，这种心理主义的观点混淆了逻辑本身和从事逻辑推理的心理活动。一个人在从事逻辑推理的时候，确实发生心理的活动。这种心理的活动是主观的活动，是因人而异的。一个人的心理推论活动可能正确，也可能错误，但是逻辑规律本身则是不变的，逻辑的定理是永真的。有人可能把2＋2计算为5，但是2＋2＝4的真理性不以人的计算的心理活动为转移。 ( http://www. )          我们如何得出某一个结论涉及一个心理活动的过程，但是我们凭什么论证这一结论的正确性却不能靠主观的经验和心理的规律。某一理论体系的创立是研究者的创造性的思维活动的结果，这里涉及研究者的想象力等心理特性，但是对于这一理论体系的论证要依靠逻辑，逻辑并不是依研究者的心理特征为转移的。所以弗雷格强调： ( http://www. )          “因此，摆在我们面前的一个普遍问题是分清我们如何获得一个判断的内容和我们凭什么论证我们的断言”。[2] ( http://www. )          弗雷格终其一生都在与心理主义作斗争。在其晚年的“思想”一文中，再次强调要抵制心理主义的诱惑，要分清把某物看作真的心理过程和对把某物看作真这一过程的证明。他写道：“根据心理学定律，把假看作真和把真看作真这两种情况都会出现。从这些情况进行的推导和对把某物看作真所经历的心理过程的说明，绝不能代替对把某物看作真所相关的证明”。[3] ( http://www. )          弗雷格在《算术基础》中，主要考虑的数的客观性的问题。他认为，数像外部世界中的对象一样是客观的东西，数的存在不依赖于人的主观意识是否想到它们，正如外部世界中的对象的存在不依赖于人是否感知到它们一样。数不是像人的情感一样的心理的东西，数不是当人思考数的心理活动发生的时候就发生，停止的时候就停止的心理活动的伴随现象，而是客观存在的对象。他认为： ( http://www. )               “数不是心理学的对象或心理过程的结果，正如北海不是这样的对象或结果一样。”[4]          当人们说“北海的面积约一万平方浬”时，所断言的是一个客观的事实。北海的大小不依赖于人们的主观印象，不会因为某些人感觉到它大些而大些，或感觉到它小些而小些。同样，这个判断的真值取决于它是否符合北海面积的客观事实。如果它不符合，那么它就是假的；反之，则真的。如果把数仅仅当作主观的表象的话，那么当人的意识中浮现出数的表象的时候，数就存在；不浮现出数的表象的时候，数就不存在。然而，北海面积约一万平方浬这个事实则不依赖于人有关它的思想活动的产生而产生，停止而停止。即使从来没有想到过北海，北海面积的数量关系依然是客观的存在。这种数量关系不是人的主观想象的产物，正如北海本身不是人的主观想象的产物一样。人不是发明数量关系，而是发现数量关系。 ( http://www. )          弗雷格还认为，把数理解为人的主观的表象会导致荒谬的结论。因为人的表象是各不相同的。即使两个人看同一样东西，鉴于他们的视力的不同，所处的位置的不同，心理状况的不同，会产生不同的视觉表象。如果说数是人的表象的话，那些对于甲来说某物的面积就可以不同于对于乙来说某物的面积。对于甲来说2＋2＝4，对于乙来说就可以2＋2＝5。这当然是荒唐的。再之，不同人之间的表象不可相互直接比较。我不知道你的表象，你不知道我的表象。你的表象不可以移植到我的头脑中来。在我的头脑中的关于你的表象，实际上不是你的表象，而是我表象。然而，数量关系是可以相互比较的。数学的真理具有普遍的有效性。尽管不同的人对某一数量关系的主观表象可能不同，但他们都必须承认这一数量关系的客观的真理性。 ( http://www. )          弗雷格意识到，数的存在与物的存在具有不同的特点。物是在时间和空间中存在的东西，而数不是在时间和空间中的存在的东西。我们可以说某宫殿造于某时某地，毁于某时某地；但不可以说，某数产生于某时某地，消失于某时某地。然而，物和数又都是客观存在的东西。有鉴于此，弗雷格把物称为“客观实在的东西”（das objektiv Wirkliche），把数称为“客观非实在的东西”（das objektiv Nichtwirkliche）。在此，实在的东西就是指在时空中存在的东西；非实在的东西就是指不是在时空中存在的东西。 ( http://www. )          弗雷格和胡塞尔都是十九世纪末和二十世纪初奋起反对逻辑研究中的心理主义观点的代表人物。有鉴于弗雷格的《算术基础》发表于1884年，早于胡塞尔的《逻辑研究》第一卷（1900年）。而且，在此之前，胡塞尔持心理主义的观点，在弗雷格的影响之下他转而反对心理主义。所以，弗雷格在反心理主义方面的贡献具有特别重大的哲学意义。 ( http://www. )          二、语言运用的基本单位是句子          在以往的语言理论中，人们习惯于把词当作语言运用的基本单位。弗雷格发现，词的意义离不开它们在句子中的功用。脱离了词在句子中的前后关系，就不可能把握词的意义。因此他主张，语言运用的基本单位不是词而是句子。 ( http://www. )          弗雷格认为这一关于词的意义的语境观点很重要，在他的《算术哲学》中，这被确立为他的逻辑和数学思想的第二条原理： ( http://www. )     “必须在句子的关联中寻问词的意义，而不是孤立地寻问词的意义。”[5]          弗雷格论证，单独的一个词无法确定其意义。就拿语言中最常用的一个词“是”来说，它在不同的语句的关联中具有不同的意义。在“晨星是行星”中，“是”表示一种归属关系，即晨星归属于行星。在“晨星是金星”中，“是”表示某种同一的关系，即晨星和金星指称同一个对象。因此，只有在一个特定的句子中，我们根据“是”这个系动词所处的上下关系，才能确定它究竟表示归属关系，还是表示某种同一关系。 ( http://www. )          弗雷格主张词的意义的语境原则还与他反对心理主义的立场有关。按照当时流行的“意义的指称理论”，一个词的意义在于它所指称的对象。心理主义者设想，既然表达逻辑和数学概念的那些词在外部世界中不存在所指称的对象，那些它们就指称内在于意识中的东西，即心理的表象。弗雷格认为，我们并没有数的心理的表象。对于“一千”和“一百万”这两个数，我并没有一个较小的“一千”的表象和一个较大的“一百万”的表象。我们是根据数学的规律知道一百万是一千的一千倍。同样，对于数学和逻辑中的运算符号的意义，如“加”、“减”、“乘”、“除”、“等于”、“同一”、“归属”等，我们并不是根据其相对的心理的表象来知道它们的意义的，而是根据定义和它们在句子中的用法来知道它们的意义的。 ( http://www. )          既然“数”等“客观的非实在的东西”没有心理的表象，那么它们的意义何在呢？弗雷格决不想否定它们的意义，而且弗雷格也不想完全否定意义的指称理论。弗雷格认为，问题是出在孤立地考察词的意义。如果我们在一个完整的句子中来考察词的意义，情况就会完全不同。 ( http://www. )          弗雷格这里所考虑的句子，是指判断句，即逻辑中所说的命题。他认为，在此可以区分二类命题，一类是分析命题，另一类是综合命题。分析命题是根据逻辑的规律和定义就能知道其真假的命题。综合命题则要根据与事实的对照才能知道其真假。在对分析命题的论证中，我们不需要求助于事实，只要看它是否符合逻辑规律和定义就够了。在对综合命题的论证中，单靠规律和定义还不够，还需要求助于事实。这里所说的规律是指本身既不需要也不允许证明的规律，即自明的规律。 ( http://www. )          因此，对于分析命题中所涉及的词的意义，我们是根据规律和定义来理解的。由于定义和规律必然要用句子来表达，所以只有在句子中才能弄清楚分析命题所涉及的概念的意义。在此我们不应孤立地追问它们所指的对象，而是要通过分析在它所在句子中的用法来了解它们的规律和定义。在这里，不需要也不应该依靠意义的指称理论。换句话说，意义的指称理论不适用于分析命题。 ( http://www. )          对于综合命题来说，弗雷格认为意义的指称理论还是有用武之地的。虽然孤立地寻问词所指称的对象，我们往往找不到许多抽象的词所指称的对象，但是综合命题必定与经验事实相关联。由于综合命题涉及事实，所以综合命题是通过与事实的对照来确定其真假的。因此，综合命题的意义在于它的真值条件。由于单个的词不能确定其真值条件，只有句子才能确定其真值条件，所以句子才是意义的基本单位。一旦句子的意义得到确立，我们就有可能通过词在句子中的用法，来理解词的意义。 ( http://www. )          总而言之，弗雷格看到了意义的指称理论的局限性，从而主张用意义的语境原则来取代意义的指称理论。意义的指称理论或许适用于表达外在世界中的对象的专名，但不适用于抽象的词，特别是那些表达数和逻辑的概念的词。如果强求在词的意义问题上贯彻这种指称理论，就会陷入心理主义的泥潭，就会誘使我们把内在的心理表象当作那些词所指称的东西。然而事实上，并不存在那样的心理的表象。所以弗雷格在区分分析命题和综合的基础上，把意义的指称修正为意义的语境原则。弗雷格的意义的语境原则并不完全排斥意义的指称理论，而是把它扩展为句子的意义取决于它的真值条件的理论。分析命题的真值条件是其相关的逻辑规则和定义。综合命题的真值条件是其相关的经验事实。所以句子才是意义的基本单位，词的意义要在句子的关联中去理解。 ( http://www. )          弗雷格的这一思想直接影响到维特根斯坦和罗素的关于基本命题（原子命题）是语言的基本单位的思想，以及命题与事实的关系的思想，并影响到维也纳学派的意义理论和证实标准。 ( http://www. )          三、区分概念和对象以及概念的等级          弗雷格在《算术基础》中列出的第三条原理（总共三条原理中的最后一条原理）是区分概念和对象：     “要时刻看到概念和对象的区别。”[6]          弗雷格所说的概念和对象有着专门的含义，是他通过把数学中的函数和自变元与我们的语言中的判断句的构成成分进行有效的类比后引入的术语。让我们来看以下一组数学中的表达式： ( http://www. )          12、22、32、42、52 ……          这组表达式可以分为二个部分：（1）函数表达式：( )2；（2）自变元表达式：1、2、3、4、5等。          一个函数表达式的最主要的标志是它的不完全性或可填补性，这一特征由括号表示出来。只有当一个函项表达式与一个自变元相结合时，即由一个自变元填补函数的括号时，它们才共同构成一个完整的表达式。弗雷格把函数刻画为“不饱和的”（unges?ttigt），把自变元刻画为“饱和的”（ges?ttigt）。 ( http://www. )          弗雷格认为，一个语句也可以折分为类似于函数和自变元的二个成分。在句子“苏格拉底是哲学家”中，我们可以折分为“（ ）是哲学家”和“苏格拉底”两个部分。前者是函项，后者是自变元。苏格拉底可由柏拉图、亚里士多德代替，去充实“（ ）是哲学家”这一函项。 ( http://www. )          正是从这一思路出发，弗雷格区分概念和对象。概念词是在句子中起着函项功能的词，对象词是在句子中起着自变元功能的词。以上例子中的“（ ）是哲学家”为概念词，“苏格拉底”等为对象词。概念词表达概念，对象词表达对象。正如数学中的函数的自变元有一个取值范围一样，句子中与概念词相对应的对象词也有一个取值范围。在数学表达式( )2中，填入某一个数字，例如2，这个表达式是一个有意义的表达式，但是如果填入的不是数字，如填入“＝”，则成为没有意义的表达式。同样，在句子中，相对于概念词“（ ）是哲学家”，填入某一个人，例如苏格拉底，构成一个有意义的句子，但如填入“红”、“3”等不属于它的取值范围的词，则成为无意义的句子。 ( http://www. )          一个函数方程式的真假取决于所填入的自变元的数值，如对于“( )2＝4”来说，填入“2”或“－2”该方程式为真，否则为假。一个命题函项也是这样。例如，对于“（ ）杀了凯撒”来说，填入“布鲁修斯”为真，否则为假。 ( http://www. )          对象词与概念词的关系是相对的。什么词是对象词，完全取决于与之相对应的概念词。离开了概念词，我们不知道对象词的取值范围。只有当概念词和对象词组成有意义的结合，即把适当的对象词填入不饱和的概念词之中，构成充实的句子之后，我们才能判断其真假。 ( http://www. )     弗雷格不仅注意到，概念与对象之间关系是相对的，而且注意到概念本身也可区分不同的等级。这种概念与对象之间的区分、概念等级的区分必须相对于语言的应用而确定，即必须遵循语境的原则。 ( http://www. )          同样的一个词，在不同的语句中，可以被视为对象词，也可以被视为概念词，甚至是第二级的概念词。举例来说，在语句“3是一个数”中，“3”是一个对象词。然而，在语句“这里有3匹马中”，“3”就不是一个对象词，而是一个概念词，并且是一个第二级的概念词。 ( http://www. )          弗雷格是如何区分概念的等级的呢？让我们说明他的思路。句子“这里有3匹白马”表达这里存在3个个体，它们是马，并且它们是白色的。我们当然也可以分别用一个不带马字的专名来代替它们。我们可以用“马甲”、“马乙”、“马丙”来表示它们。为表述方便，我们权且把“马甲”、“马乙”、“马丙”当作专名，分别指称个体的马。在这里，马甲、马乙、马丙是对象，而马是概念。弗雷格发现，句子“马甲是马”是有意义的，句子“马甲是白色的”以及“马甲是白马”也是有意义的，但是说“马甲是3”则无意义。在以上句子中，用“马乙”或“马丙”代替“马甲”情况也是一样。弗雷格追问为什么会造成前一种表达式有意义，而后一种表达式无意义的原因。答案是马甲、马乙、马丙具有马的属性和白的属性，而不具有“3”的属性。3不可能是任何个体的对象的属性。那么“3”在此的含义是什么呢？“3”在此不是用来表达马的属性，而是针对马的群（马的个体的组合）而说的，即这群马有三匹，或这个组合有三个个体。因此在句子“这里有3匹白马”中包含二个等级的概念词；第一等级的概念词是“马”，“白”或“白马”，第二等级的概念词是3。“马甲”、“马乙”“马丙”是“马”、“白”或“白马”的对象词，3的对象词则是这个白马的群，表达这个群（这个组合）有3个个体，是一个3元组合。 ( http://www. )          从表面上看，在“3匹白马”这一表达中，3和白虽然都作为形容词用，但有着以下重大差别。白刻划属性，而3表达存在的个体的数量。因此“3匹白马”包含着“这些马是白的”和“这群马有3匹”这二层意思。系动词“是”用来刻画马的属性，“有”则表达存在。当我们指出某物的属性的时候，并不意谓着断定某物的存在。但是当我们使用量词的时候，常包含断定存在的意思。量词的概念往往与存在的概念联系在一起。弗雷格的分析表明，作为形容词使用的量词是一个第二级的概念词，存在也是一个第二级的概念。量词在此用来表达某一类东西的个体的数量，“存在”则指出这些个体的存在。说某某东西存在，并不是在刻画这个东西的属性，而是表达了另一个层次上的意思，即表达相关的个体的存在。康德已经意识到“存在”不是一个恰当的谓词。弗雷格对此的分析则进了一步。弗雷格用概念词来取代含义不清的谓词，并区分了概念词的等级，使语言中的有关数量和存在的概念得到更加明确的表达。 ( http://www. )          在弗雷格那里，数学和逻辑是相通的，数学的基础是逻辑，他认为他所构造的逻辑哲学的基本原理也就是他的数学哲学的基本原理。弄清楚弗雷格在《算术基础》所提出的基本原理，不仅对于理解他为什么和依据什么建立他的形式语言系统，而且对于理解他为什么主张纯数学可以还原为逻辑的思想都十分重要。 ( http://www. )          研究弗雷格的哲学思想，对于弄清楚分析哲学的渊源具有重大意义。弗雷格没有自命为哲学家，他没有什么哲学派系观点。他只是在研究逻辑、数学和语言的时候，发现了一些与哲学相关的重大问题。为解决这些问题，他摸索各种解决办法，他没有固定的哲学套路，也没有自成体系的哲学术语。有时他为了表达自己的观点，不得不创造一些术语，如“概念词”、“对象词”等。他对这些术语的用法，与人们通常的用法有所不同，这造成了阅读他的著作时理解上的困难。但是他创造这些术语自有他的苦心，这是遇到新问题和发现新思想时常会出现的情况。一旦人们了解了他的思路，就会领会这些术语的奥秘。 ( http://www. )          弗雷格在研究逻辑和数学的基础问题时所探讨的哲学问题，在今天被称为逻辑哲学、数学哲学、语言哲学。今天的分析哲学家已经看清楚，逻辑和人工语言不是脱离哲学而独自存在的，逻辑和人工语言本身都有它们的元哲学的问题。但是在上个世纪30年代至50年代，当分析哲学处于全盛时期时，逻辑实证主义的分析哲学家提出通过逻辑分析和语言批判消解哲学的观点，他们没有看到或“忘记了”作为分析哲学的镇山之宝的数理逻辑和人工语言是伴随着与其相关的逻辑哲学、数学哲学和语言哲学一起产生的。 ( http://www. )          弗雷格为了建立他的以命题逻辑和谓词逻辑为基础的人工语言，不得不对日常语言的诸多用法进行规范。他一方面认识到日常语言的缺陷和他所建立的人工语言对于澄清日常语言的缺陷具有重大帮助，另一方面他也充分意识到他的人工语言不能取代日常语言的全部功能。弗雷格首先探讨了语句的认识价值和真值的关系问题。他主张对语句的真值的寻问固然具有重大的认识意义，但是语句的认识价值并不仅仅在于语句的真值，它应该包括对语句的涵义理解和对所指的真值的寻问这两个方面。但是，许多从弗雷格的思想中得到启发并使用弗雷格所开发的人工语言的分析哲学家，却把弗雷格的思想简单化了。他们片面夸大了人工语言的作用，并主张语句的意义就是语句的真值条件。这特别表现在作为逻辑实证主义的基本纲领的“意义标准”和“证实原则”中。 ( http://www. )          仔细阅读弗雷格的著作，可以发现许多分析哲学的观点的来源，可以从源头上把握分析哲学发展的思想脉络。在今天，当分析哲学走过了一百年迂回曲折道路，再从源头上来思考它所发现的诸多问题和寻求的解决方案时，弗雷格哲学的伟大意义将更充分地显示出来。 ( http://www. )               注释：     [1] G. Frege，Die Grundlage der Arithmetik. Eine Logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl（《算术基础：对数的概念的逻辑数学的研究》），Breslau 1884，第23页。 ( http://www. )     [2] 同上，第27页。     [3] G. Frede，Der Gedanke，Philosophie des deutschen Idealismus；I. Band（1918/ 19），第 58－59页；引自G. Frege，Kleine Schriften，Damstadt 1967，第342页。 ( http://www. )     [4] 同上，第56页。     [5] 同上，第23页。     [6] Frege，Die Grundlage der Arithmetik，第23页。