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● 董文起* 教育家斯托利亚尔指出，数学教学是数学活动（思维活动）的教学，而不仅仅是数学活动的结果— —数学知识的教学。数学教学的过程，是学生在教师的指导下，通过自己的数学思维活动、数学建构活动来学习数学家思维活动的成果，并发展自己的数学思维能力的过程。数学教学应努力促使学生的数学认知结构不断地形成与发展，充分暴露数学思维的过程，把知识的产生与形成过程展现给学生。 一、公式探究，渗透思想方法 数学教学中通过学生与教师心与心的交流，能产生心灵的感应，引起心弦的共振，能使学生在体验、感悟的过程中不知不觉地去学习数学，使学生的思维不断得到发展。 例如，教学某教材“用乘法公式分解因式”第一课时“用平方差公式分解因式”时，教师请学生用一张如图1 的纸剪拼成长方形，并考虑应该怎样剪，思考给出数学解释。
图 1 图 2 一个学生想到剪下一个小的长方形，放到长方形的另一侧，得到一个大的长方形（如图2），由于原图形的面积为a2-b2，而拼成的长方形的长为a+b，宽为a-b，则有a2-b2=(a+b)(a-b)；而另一个学生说可剪成两个梯形（如图3），拼成长方形（如图4），也能得到a2-b2=(a+b)(a-b)。
图 3 图 4 教师小结了平方差公式的几何意义之后，让学生想一想，还有没有其他不同的方法来表示平方差公式的几何意义？学生在本子上画着，讨论着，兴致很高。 学生A 迫不及待地站了起来：“老师，这样表示可以吗？”原来，该生将原图形拼成了平行四边形（如图5），利用平行四边形的面积公式：底乘以高，也能得到a2-b2=(a+b)(a-b)。学生B 兴奋地说：“老师，也可以拼成梯形（如图6）， 上底为2b， 下底为
图 5 图 6
学生C 接着说：“老师，我认为根本不需要拼接，剪成两个相等的梯形，一个梯形的面积为(a+b)(a-b)2，两个梯形面积的和就是(a+b)(a-b)。” 是啊，怎么大家都想去拼成一个图形，可能前面的提法抑制了学生的思维发展，实际上直接分成的两个梯形面积相加不是更好吗？学生自己想学、想知道问题的解决方法，才是我们课堂所期望的。 用图形的面积来解释平方差公式的变形，这是一种学生易于接受的方式，也是对数形结合思想的进一步渗透。事实上，图形的面积和代数恒等式之间的关系也是“面积法”解题的本质，但不是点到为止，仅仅局限于拼成长方形，而是让学生去思考还有哪些不同的拼法也能说明平方差公式的几何意义。这样让学生有意识地去探究，去寻求解决问题的方法，可以使学生的思维空间打开，有助于提高学生的思维能力。 二、习题诊断，展示思维过程
生：老师，我知道了，以后再也不会出现这样的错误了。在习题诊断中，教师应引导学生用自己的语言说出解决问题的过程和策略，给足学生说话的机会和时间，鼓励学生积极地说、大胆地说，充分暴露他们的思维过程，以便寻找出错的原因，发现新的更好的解法。在教学中，教师在为学生纠错指正时，不要过早地下结论，不要过早地点明，应该从学生失误的原因入手，启发学生自我发现、自我感悟、自我纠正，以便从深层次上做诊断和矫治。试想，如果教师不去问，不让学生说出思维过程，就失去了了解学生思维过程的机会，也失去了让学生自由表达数学思想、提高自信心的机会。 三、鼓励合作，促进交流思考 有的教师把学生当成知识的储存器，在课堂上力争概念、例题、重点、难点、注意事项面面俱到，尽量把一切端给学生，这样教学只顾及短期教育目标，学生自主获得知识的能力无法提高，以后他们可能一直需要得到教师的指导才能完成学习任务。教师要改变以例题示范、讲解为主的教学方式，引导学生投入到探索与交流的学习活动中，使学生在学习过程中不受教师“先入为主” 的观念制约。此外，还要有足够的时间供学生思考，给学生尽可能多的交流学习的机会。 如，在学习了直线和圆的位置关系之后，为提高学生综合运用知识的能力，课堂设计提出如下题目： |
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