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作者：天… 文章来源：天利考试信息网 点击数：
141 更新时间：2008-11-18
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学习时间≠考试成绩
谁都想考试得高分，这没错，但把成绩的提高视为学习时间无限延长，那就大错特错了。因为学习效果=学习效率×学习时间，只有在学习效率不变的情况下，学习结果才和学习时间成正比。如果你不能维持高效的学习(事实上每人能集中精力进行学习的时间是有限的)，只保证学习时间是无用的。在学习方法没有改善的情况下，学习效率和学习时间成反比。延长学习时间的结果是：如果不能提高学习成绩，就等于降低学习效率。
学习压力≠学习动力
有压力才有动力，但压力转化成动力有几个条件：首先，压力不能大到足以摧毁个人自信的程度，要给人成功的希望;其次，人在压力下要分析原因，把可能的失败归于自己努力不够，而不是归于能力不足和外在因素的影响;再次，压力必须是可控的，如果愿意，我们有能力决定压力的大少;最后，只有动力才是真正的压力，其他压力都是阻力。
事实上，大多数同学的考试分数都低于其真实的学习水平，因为他们总在自己会的问题上丢分。如果你能做到会的题保证不丢分，成绩就能上升一个档次。可惜的是，我们总是练习做更新更难的题，想着去得分，其实最有效的复习应该是怎样不丢分或少丢分。记住，我们的水平没有那么低，把真实的水平充分发挥出来就是提高成绩。
做对难题≠考得高分
考试题有4类：难度低而高分值的、难度低而低分值的、难度高而高分值的、难度高而低分值的。所以，如果你做对了一道难而分低的题，却在一道易而分高的题上丢分，那是得不偿失的。考试的时间是成本，分数是收益，别做亏本的交易。
感觉不好≠考得不好
感觉不好意味着题目难，而题目难就意味着比你水平低的同学更做不好，他们赶不上你;而比你水平高的同学也未必做得对，就有可能被拉下来。感觉好则意味着题目容易，所以比你水平低的同学也可能做对，就会赶上你;而水平高的同学当然会做，你就没有追赶他们的机会。况且，任何试题都是有陷阱的，感觉良好可能意味着你事实上已经掉了下去。
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数学试卷 及答案
一、选择题(本题共10小题，每小题4分，满分40分)
1、下列运算正确的是（ ）
A． 4 =±2 B．2-3=-6 C．x2?x3=x6 D．(-2x)4=16x4
2、随着中国综合国力的提升，近年来全球学习汉语的人数不断增加．据报道，2006年海外学习汉语的学生人数已达38 200 000人，用科学记数法表示为（ ）人（保留3个有效数字）
A．0.382×10 B．3.82×10 C．38.2×10 D．382×10
3、如图所示的正四棱锥的俯视图是（ ）
4、 在元旦游园晚会上有一个闯关活动：将5张分别画有等腰梯形、平行四边形、等腰三角形、圆、菱形的卡片任意摆放，将有图形的一面朝下，从中任意翻开一张，如果翻开的图形是轴对称图形，就可以过关，那么一次过关的概率是 （ ）
A． B． C． D．
5、如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=44°,
则∠DCF等于（ ）
A．22° B．44° C．46° D．88°
6、 甲、乙、丙三名同学参加风筝比赛，三人放出风筝线长、线与地面夹角如下表（假设风筝线是拉直的，三位同学身高忽略不计），则三人所放的风筝中 （ ）
同学 甲 乙 丙
放出风筝线长 100m I00m 90m
线与地面夹角 40° 45° 60°
A ．甲的最高 B ．丙的最高 C ．乙的最低 D ．丙的最低
7、国家为九年义务教育期间的学生实行“两免一补”政策，下表是我市
某中学国家免费提供教科书补助的部分情况．
七 八 九 合计
每人免费补助金额（元） 110 90 50
人数（人） 80 300
免费补助总金额（元） 4000 26200
如果要知道空白处的数据，可设七年级的人数为x，八年级的人数为y，
根据题意列出方程组为（ ）
A． B ．
C． D ．
8、 有六个等圆按甲、乙、丙三种形式摆放，使相邻两圆相互外切，且
如图所示的连心线分别构成正六边形，平行四边形和正三角形，将圆心
连线外侧的六个扇形（阴影部分）的面积之和依次记为S、P、Q则（ ）
A.S>P>Q B.S>Q>P C.S>P且S=Q D.S=P=Q
9、若用（1）、（2）、（3）、（4）四幅图分别表示变量之间的关系，将下面
的（a）、（b）、（c）、（d）对应的图象排序（ ）
（a）面积为定值的矩形（矩形的相邻两边长的关系）
（b）运动员推出去的铅球（铅球的高度与时间的关系）
（c）一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物（弹簧长度与所挂重物质量的关系）
（d）某人从A地到B地后，停留一段时间，然后按原速返回（离开A地
的距离与时间的关系）
A．（3）（4）（1）（2） B．（3）（2）（1）（4）
C．（4）（3）（1）（2） D．（3）（4）（2）（1）
10、如图，刘虎使一长为4㎝，宽为3㎝的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）。木板上点A位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30度角，则点A翻滚到A2位置时共走过的路径长为（ ）
A．10㎝ B．3.5 ㎝
C．4.5 ㎝ D．2.5 ㎝
二、填空(本题共4小题，每小题5分，满分20分)
11、因式分解： =
12、如图，△OP A ， △A P A 是等腰直角三角形，点P 、P 在函数y= 的图像上，斜边OA 、A A 都在横轴上，则点A 的坐标是____________.
13、如图所示的阴影部分是某种商品的商标图案。己知菱形ABCD边长是4㎝，∠A = 60°，弧BD是以A为圆心，AB为半径的弧，弧CD是以B为圆心，BC为半径的弧，则该商标图案的面积是_____________．
14、2007年1月1日起，某市全面推行农村合作医疗，农民每年每人只拿
出10元就可以享受合作医疗，住院费报销办法如下表：
住院费（元） 报销率（％）
不超过3000元的部分 15
3000——4000的部分 25
4000——5000的部分 30
5000——10000的部分 35
10000——20000的部分 40
超过20000的部分 45
某人住院费报销了880元，则住院费为__________元．
三、(本题共2小题，每小题8分，满分16分)
15、计算:
16、先化简再求值： ， 其中
四、(本题共2小题，每小题8分，满分16分)
17、如图：已知高楼AB=333米，在距高楼AB水平距离130米的C处有一烟囱CD影响城市美观，需拆除种植绿化，在高楼顶端A处测得烟囱顶端俯角为 ，BE之间为宽20米的马路，试问在拆除烟囱时，是否需要将此马路封锁？（提示：在地面上以点C为圆心，以CD为半径的圆形区域为危险区， ）
18、如图，AB是⊙O的直径，CB，CE分别切⊙O于点B，D，CE与BA的延长线交于点E，连结OC，OD。
（1）求证：△OBC≌△ODC
（2）已知DE= a ，AE=b ，BC=c，请你思考后，选用以上的数，设计出计算
⊙O半径的一种方案：①你选用的已知数__________
②写出求解的过程。（结果用字母表示）
五、(本题共2小题，每小题10分，满分20分)
19、2007年淮北市春季房交会期间，某公司对参加本次房交会的消费者进行了随机问卷调查，共发放了1000份调查问卷，并全部收回。根据调查问卷，将消费者年收入的情况整理后，制成表格如下：
年收入（万元） 1.2 1.8 3.0 5.0 10.0
被调查的消费者数（人） 200 500 200 70 30
将消费者打算购买住房面积的情况整理后，作出部分频数分布直方图
注：每组包含最小值不包含最大值，且住房面积取整数。
请你根据以上信息，回答下列问题：
（1）根据表格可得，被调查的消费者平均年收入为 万元；被调查的消费者中年收入的中位数是 ；在平均数与中位数这两个数中
更能反映被调查的消费者年收入的一般水平。
（2）根据频数分布直方图可得，打算购买100---120m2房子的人数为
人；
打算购买住房面积小于100 m2消费
者占被调查消费人数的
百分数是 。
（3）在图中补全这个频数分布直方图
20、（本题满分10分）
如图：正五边形ABCDE的对角线AC和BE相交于M，
（1）在图中找出一条与EM相等的线段，并给与证明；
（2）如果AB=2，求EB的长。
六、(本题满分12分)
21、 刘老师装饰厨房需用 480 块某品牌的同一种规格的瓷砖，我市盛世商
贸城装饰材料商场出售的这种瓷砖有大、小两种包装，大包装每包 50 片，价格为 30 元；小包装每包 30 片，价格为 20 元，若大、小包装均不拆开零售，请你帮助刘老师制定一种购买方案，使购买瓷砖所付费用最少。
七、(本题满分12分)
22、 某瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的生产和销售，对往年的市场行情和生产情况进行了调查，提供了如下两个信息图，如甲、乙两图。
注：甲、乙两图中的A,B,C,D,E,F,G,H所对应的纵坐标分别指相应月份每千克该种蔬菜的售价和成本（生产成本6月份最低，甲图的图象是线段，乙图的图象是抛物线的一部分）。请你根据图象提供的信息说明：
（1）在3月份出售这种蔬菜，每千克的收益是多少元？（收益＝售价－成本）
（2）哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？说明理由。
八、(本题满分14分)
23. 把两块全等的直角三角形 和 叠放在一起，使三角板 的锐角顶点 与三角板 的斜边中点 重合，其中 ， ， ，把三角板 固定不动，让三角板 绕点 旋转，设射线 与射线 相交于点 ，射线 与线段 相交于点 ．
（1）如图1，当射线 经过点 ，即点 与点 重合时，易证 ．此时， ．
（2）将三角板 由图1所示的位置绕点 沿逆时针方向旋转，设旋转角为 ．其中 ，问 的值是否改变？说明你的理由．
（3）在（2）的条件下，设 ，两块三角板重叠面积为 ，求 与 的函数关系式．（图2，图3供解题用）
2007年九年级“五校”联考
数学试卷参考答案
一、1 D 2 B 3 C 4 D 5 A 6 B 7 D 8 D 9 A 10 B
二、11．(a-b)(x+2)(x-2) 12.(8 ,0)
13. 4 ㎝ 14. 4600
三、15．解：原式＝ - +1+ ＝ … 每一步骤4分
16．解：原式＝( - × …2分
＝ × …4分 ＝- …6分
＝- ＝- …8分
四、17.（1）解：过点D作DF⊥AB于F， …1分
在Rt△AFD中,∠FAD=90°－60°=30°,FD=BC=130
∴AF=FDcot∠FAD=130cot30°=130 …4分
CD=FB=AB－AF=333－130 112
CE=BC－BE=130－20=110
∵110＜112,即CE＜CD
∴要将此马路封锁. …8分
18．（1）证明: ∵CB，CE分别切⊙O于点B，D
∴CB= CD, ∠CBO=∠CDO=90°
∵CO=CO
∴Rt△OBC≌Rt△ODC(HL) …4分
（2）若选择a, b …5分
由勾股定理得,a =(b+r) － r ,
解得r= …8分
若选择a,b,c
在Rt△EBC中, 由勾股定理得, (b+2r) +c =(a+c) ,
解得r= （标准同上，其他方法参照给分）
五、19.（1）2.39 …2分， 1.8…1分， 中位数 …1分
（2）240 …2分， 52％…2分
（3）图略…2分
20. （1），如EA,MC等 …1分
∵正五边形ABCDE是正五边形, ∴∠EAB=108°,EA=AB
∴∠BEA=∠ABE=36°,同理∠MAB=36°
∴∠EMA=72°,∠EAM=72°, ∴EM=EA …4分
(2)设EB=x,由(1)知MB=EB－EA=x－2
在△AEB和△MAB中
∠AEB=∠MAB=36°, ∠ABE=∠MBA
∴△AEB∽△MAB …7分
∴ =
∴ = ,即x -2x-4=0 …2分 …9分
∴x=1+ 或 x=1- (舍去)
从而EB=1+ …10分
六、21. 解：设购买大包装x包，小包装y包，
根据题意得 …1分
50x+30y=480 …3分
因为x、y为非负整数，所以方程的解为
或 或 或 …7分
当x=0，y=16时，所付费用为：0×30+16×20=320（元）
当x=3，y=11时，所付费用为：3×30+11×20=310（元）
当x=6，y= 6时， 所付费用为：6×30+ 6×20=300（元）
当x=9，y=1 时， 所付费用为：9×30+ 1×20=290（元）…11分
所以购买大包装9包，小包装1包所付费用最少，
费用为290元 …12分
答（略）
七、22．解：（1）从甲图知：3月份出售这种蔬菜，每千克
售价为5元；从乙图知，3月份购买这种蔬菜的成本为每千克
4元，根据收益=售价－成本，易知，在3月份出售这种蔬
菜，每千克的收益是1元 …2分
（2）设图甲中图象的函数关系为y甲 =kx+b,图乙中图像的函
数关系是为y乙=a(x-h)2+k，则每千克收益为y=y甲-y乙（元）…4分
∴
∴y甲=－ x＋7 …6分
∴ 抛物线y乙=a(x-h)2+k.的顶点坐标为(6,1),又过点(3,4)
∴y乙=a(x-6)2+1
∴4=a(3-6)2+1 ∴a=
∴y乙= (x-6)2+1 …9分
∴y= y甲-y乙=－ x＋7－ (x-6)2－1
y=－ (x-5)2+ …11分
∴当x=5时 ,y值最大 …12分
答:5月份出售这种蔬菜, 每千克收益最大。
八、23．解：（1）8 …2分
（2） 的值不会改变． …3分
理由如下：在 与 中，
即
…5分
…7分
（3）情形1：当 时， ，即 ，此时两三角板重叠部分为四边形 ，过 作 于 ， 于 ，
由（2）知： 得
于是
…10分
情形2：当 时， 时，即 ，此时两三角板重叠部分为 ，
由于 ， ，易证： ，
即 解得
于是 …13分
综上所述，当 时，
当 时，
…14分
回答者： 游师 - 助理 二级 6-3 21:17
中国教育网
回答者： qiao920617 - 助理 二级 6-4 10:01
初中数学总复习提纲
第一章 实数
★重点★ 实数的有关概念及性质，实数的运算
☆内容提要☆
一、 重要概念
1．数的分类及概念
数系表：
说明：“分类”的原则：1）相称（不重、不漏）
2）有标准
2．非负数：正实数与零的统称。（表为：x≥0）
常见的非负数有：
性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。
3．倒数： ①定义及表示法
②性质：A.a≠1/a（a≠±1）;B.1/a中，a≠0;C.0＜a＜1时1/a＞1;a＞1时，1/a＜1;D.积为1。
4．相反数： ①定义及表示法
②性质：A.a≠0时，a≠-a;B.a与-a在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。
5．数轴：①定义（“三要素”）
②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。
6．奇数、偶数、质数、合数（正整数—自然数）
定义及表示：
奇数：2n-1
偶数：2n（n为自然数）
7．绝对值：①定义（两种）：
代数定义：
几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。
②│a│≥0,符号“││”是“非负数”的标志;③数a的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。
二、 实数的运算
1． 运算法则（加、减、乘、除、乘方、开方）
2． 运算定律（五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的]
分配律）
3． 运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.（同级运算）从“左”
到“右”（如5÷ ×5）;C.(有括号时)由“小”到“中”到“大”。
三、 应用举例（略）
附：典型例题
1． 已知：a、b、x在数轴上的位置如下图，求证：│x-a│+│x-b│
=b-a.
2.已知：a-b=-2且ab<0，（a≠0，b≠0），判断a、b的符号。
第二章 代数式
★重点★代数式的有关概念及性质，代数式的运算
☆内容提要☆
一、 重要概念
分类：
1.代数式与有理式
用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独
的一个数或字母也是代数式。
整式和分式统称为有理式。
2.整式和分式
含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。
没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。
有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。
3.单项式与多项式
没有加减运算的整式叫做单项式。（数字与字母的积—包括单独的一个数或字母）
几个单项式的和，叫做多项式。
说明：①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。划分代数式类别时，是从外形来看。如，
=x, =│x│等。
4.系数与指数
区别与联系：①从位置上看;②从表示的意义上看
5.同类项及其合并
条件：①字母相同;②相同字母的指数相同
合并依据：乘法分配律
6.根式
表示方根的代数式叫做根式。
含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。
注意：①从外形上判断;②区别： 、 是根式，但不是无理式（是无理数）。
7.算术平方根
⑴正数a的正的平方根（ [a≥0—与“平方根”的区别]）;
⑵算术平方根与绝对值
① 联系：都是非负数， =│a│
②区别：│a│中，a为一切实数; 中，a为非负数。
8.同类二次根式、最简二次根式、分母有理化
化为最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
满足条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式;②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式。
把分母中的根号划去叫做分母有理化。
9.指数
⑴ ( —幂，乘方运算)
① a＞0时， ＞0;②a＜0时， ＞0（n是偶数）， ＜0（n是奇数）
⑵零指数： =1（a≠0）
负整指数： =1/ （a≠0,p是正整数）
二、 运算定律、性质、法则
1．分式的加、减、乘、除、乘方、开方法则
2．分式的性质
⑴基本性质： = （m≠0）
⑵符号法则：
⑶繁分式：①定义;②化简方法（两种）
3．整式运算法则（去括号、添括号法则）
4．幂的运算性质：① · = ;② ÷ = ;③ = ;④ = ;⑤
技巧：
5．乘法法则：⑴单×单;⑵单×多;⑶多×多。
6．乘法公式：（正、逆用）
（a+b）（a-b）=
(a±b) =
7．除法法则：⑴单÷单;⑵多÷单。
8．因式分解：⑴定义;⑵方法：A.提公因式法;B.公式法;C.十字相乘法;D.分组分解法;E.求根公式法。
9．算术根的性质： ＝ ; ; (a≥0,b≥0); (a≥0,b＞0)(正用、逆用)
10．根式运算法则：⑴加法法则（合并同类二次根式）;⑵乘、除法法则;⑶分母有理化：A. ;B. ;C. .
11．科学记数法： （1≤a＜10,n是整数＝
三、 应用举例（略）
四、 数式综合运算（略）
第三章 统计初步
★重点★
☆ 内容提要☆
一、 重要概念
1.总体：考察对象的全体。
2.个体：总体中每一个考察对象。
3.样本：从总体中抽出的一部分个体。
4.样本容量：样本中个体的数目。
5.众数：一组数据中，出现次数最多的数据。
6.中位数：将一组数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数（或最中间位置的两个数据的平均数）
二、 计算方法
1.样本平均数：⑴ ;⑵若 ， ，…， ,则 (a—常数， ， ，…， 接近较整的常数a);⑶加权平均数： ;⑷平均数是刻划数据的集中趋势（集中位置）的特征数。通常用样本平均数去估计总体平均数，样本容量越大，估计越准确。
2．样本方差：⑴ ;⑵若 , ,…, ,则 （a—接近 、 、…、 的平均数的较“整”的常数）;若 、 、…、 较“小”较“整”，则 ;⑶样本方差是刻划数据的离散程度（波动大小）的特征数，当样本容量较大时，样本方差非常接近总体方差，通常用样本方差去估计总体方差。
3．样本标准差：
三、 应用举例（略）
第四章 直线形
★重点★相交线与平行线、三角形、四边形的有关概念、判定、性质。
☆ 内容提要☆
一、 直线、相交线、平行线
1．线段、射线、直线三者的区别与联系
从“图形”、“表示法”、“界限”、“端点个数”、“基本性质”等方面加以分析。
2．线段的中点及表示
3．直线、线段的基本性质（用“线段的基本性质”论证“三角形两边之和大于第三边”）
4．两点间的距离（三个距离：点-点;点-线;线-线）
5．角（平角、周角、直角、锐角、钝角）
6．互为余角、互为补角及表示方法
7．角的平分线及其表示
8．垂线及基本性质（利用它证明“直角三角形中斜边大于直角边”）
9．对顶角及性质
10．平行线及判定与性质（互逆）（二者的区别与联系）
11．常用定理：①同平行于一条直线的两条直线平行（传递性）;②同垂直于一条直线的两条直线平行。
12．定义、命题、命题的组成
13．公理、定理
14．逆命题
二、 三角形
分类：⑴按边分;
⑵按角分
1．定义（包括内、外角）
2．三角形的边角关系：⑴角与角：①内角和及推论;②外角和;③n边形内角和;④n边形外角和。⑵边与边：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。⑶角与边：在同一三角形中，
3．三角形的主要线段
讨论：①定义②××线的交点—三角形的×心③性质
① 高线②中线③角平分线④中垂线⑤中位线
⑴一般三角形⑵特殊三角形：直角三角形、等腰三角形、等边三角形
4．特殊三角形（直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形）的判定与性质
5．全等三角形
⑴一般三角形全等的判定（SAS、ASA、AAS、SSS）
⑵特殊三角形全等的判定：①一般方法②专用方法
6．三角形的面积
⑴一般计算公式⑵性质：等底等高的三角形面积相等。
7．重要辅助线
⑴中点配中点构成中位线;⑵加倍中线;⑶添加辅助平行线
8．证明方法
⑴直接证法：综合法、分析法
⑵间接证法—反证法：①反设②归谬③结论
⑶证线段相等、角相等常通过证三角形全等
⑷证线段倍分关系：加倍法、折半法
⑸证线段和差关系：延结法、截余法
⑹证面积关系：将面积表示出来
三、 四边形
分类表：
1．一般性质（角）
⑴内角和：360°
⑵顺次连结各边中点得平行四边形。
推论1：顺次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形。
推论2：顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点得矩形。
⑶外角和：360°
2．特殊四边形
⑴研究它们的一般方法:
⑵平行四边形、矩形、菱形、正方形;梯形、等腰梯形的定义、性质和判定
⑶判定步骤：四边形→平行四边形→矩形→正方形
┗→菱形——↑
⑷对角线的纽带作用：
3．对称图形
⑴轴对称（定义及性质）;⑵中心对称（定义及性质）
4．有关定理：①平行线等分线段定理及其推论1、2
②三角形、梯形的中位线定理
③平行线间的距离处处相等。（如，找下图中面积相等的三角形）
5．重要辅助线：①常连结四边形的对角线;②梯形中常“平移一腰”、“平移对角线”、“作高”、“连结顶点和对腰中点并延长与底边相交”转化为三角形。
6．作图：任意等分线段。
四、 应用举例（略）
第五章 方程（组）
★重点★一元一次、一元二次方程，二元一次方程组的解法;方程的有关应用题（特别是行程、工程问题）
☆ 内容提要☆
一、 基本概念
1．方程、方程的解（根）、方程组的解、解方程（组）
2． 分类：
二、 解方程的依据—等式性质
1．a=b←→a+c=b+c
2．a=b←→ac=bc (c≠0)
三、 解法
1．一元一次方程的解法：去分母→去括号→移项→合并同类项→
系数化成1→解。
2． 元一次方程组的解法：⑴基本思想：“消元”⑵方法：①代入法
②加减法
四、 一元二次方程
1．定义及一般形式：
2．解法：⑴直接开平方法（注意特征）
⑵配方法（注意步骤—推倒求根公式）
⑶公式法：
⑷因式分解法（特征：左边=0）
3．根的判别式：
4．根与系数顶的关系：
逆定理：若 ，则以 为根的一元二次方程是： 。
5．常用等式：
五、 可化为一元二次方程的方程
1．分式方程
⑴定义
⑵基本思想：
⑶基本解法：①去分母法②换元法（如， ）
⑷验根及方法
2．无理方程
⑴定义
⑵基本思想：
⑶基本解法：①乘方法（注意技巧！！）②换元法（例， ）⑷验根及方法
3．简单的二元二次方程组
由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组都可用代入法解。
六、 列方程（组）解应用题
一概述
列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是：
⑴审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。
⑵设元（未知数）。①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。
⑶用含未知数的代数式表示相关的量。
⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。
⑸解方程及检验。
⑹答案。
综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。因此，列方程是解应用题的关键。
二常用的相等关系
1． 行程问题（匀速运动）
基本关系：s=vt
⑴相遇问题(同时出发)：
+ = ;
⑵追及问题（同时出发）：
若甲出发t小时后，乙才出发，而后在B处追上甲，则
⑶水中航行： ;
2． 配料问题：溶质=溶液×浓度
溶液=溶质+溶剂
3．增长率问题：
4．工程问题：基本关系：工作量=工作效率×工作时间（常把工作量看着单位“1”）。
5．几何问题：常用勾股定理，几何体的面积、体积公式，相似形及有关比例性质等。
三注意语言与解析式的互化
如，“多”、“少”、“增加了”、“增加为（到）”、“同时”、“扩大为（到）”、“扩大了”、……
又如，一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数为：100a+10b+c，而不是abc。
四注意从语言叙述中写出相等关系。
如，x比y大3，则x-y=3或x=y+3或x-3=y。又如，x与y的差为3，则x-y=3。五注意单位换算
如，“小时”“分钟”的换算;s、v、t单位的一致等。
七、应用举例（略）
第六章 一元一次不等式（组）
★重点★一元一次不等式的性质、解法
☆ 内容提要☆
1． 定义：a＞b、a＜b、a≥b、a≤b、a≠b。
2． 一元一次不等式：ax＞b、ax＜b、ax≥b、ax≤b、ax≠b(a≠0)。
3． 一元一次不等式组：
4． 不等式的性质：⑴a>b←→a+c>b+c
⑵a>b←→ac>bc(c>0)
⑶a>b←→ac<bc(c<0)
⑷（传递性）a>b,b>c→a>c
⑸a>b,c>d→a+c>b+d.
5．一元一次不等式的解、解一元一次不等式
6．一元一次不等式组的解、解一元一次不等式组（在数轴上表示解集）
7．应用举例（略）
第七章 相似形
★重点★相似三角形的判定和性质
☆内容提要☆
一、本章的两套定理
第一套（比例的有关性质）：
涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。
第二套：
注意：①定理中“对应”二字的含义;
②平行→相似（比例线段）→平行。
二、相似三角形性质
1．对应线段…;2．对应周长…;3．对应面积…。
三、相关作图
①作第四比例项;②作比例中项。
四、证（解）题规律、辅助线
1．“等积”变“比例”，“比例”找“相似”。
2．找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。⑴
⑵
⑶
3．添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。
4．对比例问题，常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k。
5．对于复杂的几何图形，采用将部分需要的图形（或基本图形）“抽”出来的办法处理。
五、 应用举例（略）
第八章 函数及其图象
★重点★正、反比例函数，一次、二次函数的图象和性质。
☆ 内容提要☆
一、平面直角坐标系
1．各象限内点的坐标的特点
2．坐标轴上点的坐标的特点
3．关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特点
4．坐标平面内点与有序实数对的对应关系
二、函数
1．表示方法：⑴解析法;⑵列表法;⑶图象法。
2．确定自变量取值范围的原则：⑴使代数式有意义;⑵使实际问题有
意义。
3．画函数图象：⑴列表;⑵描点;⑶连线。
三、几种特殊函数
（定义→图象→性质）
1． 正比例函数
⑴定义：y=kx(k≠0) 或y/x=k。
⑵图象：直线（过原点）
⑶性质：①k>0，…②k<0，…
2． 一次函数
⑴定义：y=kx+b(k≠0)
⑵图象：直线过点（0,b）—与y轴的交点和（-b/k,0）—与x轴的交点。
⑶性质：①k>0,…②k<0,…
⑷图象的四种情况：
3． 二次函数
⑴定义：
特殊地， 都是二次函数。
⑵图象：抛物线（用描点法画出：先确定顶点、对称轴、开口方向，再对称地描点）。 用配方法变为 ，则顶点为（h,k）;对称轴为直线x=h;a>0时，开口向上;a<0时，开口向下。
⑶性质：a>0时，在对称轴左侧…，右侧…;a<0时，在对称轴左侧…，右侧…。
4.反比例函数
⑴定义： 或xy=k(k≠0)。
⑵图象：双曲线（两支）—用描点法画出。
⑶性质：①k>0时，图象位于…，y随x…;②k<0时，图象位于…，y随x…;③两支曲线无限接近于坐标轴但永远不能到达坐标轴。
四、重要解题方法
1． 用待定系数法求解析式（列方程[组]求解）。对求二次函数的解析式，要合理选用一般式或顶点式，并应充分运用抛物线关于对称轴对称的特点，寻找新的点的坐标。如下图：
2．利用图象一次（正比例）函数、反比例函数、二次函数中的k、b;a、b、c的符号。
六、应用举例（略）
第九章 解直角三角形
★重点★解直角三角形
☆ 内容提要☆
一、三角函数
1．定义：在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，则sinA= ;cosA= ;tgA= ;ctgA= .
2． 特殊角的三角函数值：
0° 30° 45° 60° 90°
sinα
cosα
tgα /
ctgα /
3． 互余两角的三角函数关系：sin(90°-α)=cosα;…
4． 三角函数值随角度变化的关系
5．查三角函数表
二、解直角三角形
1． 定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。
2． 依据：①边的关系：
②角的关系：A+B=90°
③边角关系：三角函数的定义。
注意：尽量避免使用中间数据和除法。
三、对实际问题的处理
1． 俯、仰角： 2．方位角、象限角： 3．坡度：
4．在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。
四、应用举例（略）
第十章 圆
★重点★①圆的重要性质;②直线与圆、圆与圆的位置关系;③与圆有关的角的定理;④与圆有关的比例线段定理。
☆ 内容提要☆
一、圆的基本性质
1．圆的定义（两种）
2．有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。
3．“三点定圆”定理
4．垂径定理及其推论
5．“等对等”定理及其推论
5． 与圆有关的角：⑴圆心角定义（等对等定理）
⑵圆周角定义（圆周角定理，与圆心角的关系）
⑶弦切角定义（弦切角定理）
二、直线和圆的位置关系
1.三种位置及判定与性质：
2.切线的性质（重点）
3.切线的判定定理（重点）。圆的切线的判定有⑴…⑵…
4．切线长定理
三、圆换圆的位置关系
1.五种位置关系及判定与性质：(重点：相切)
2.相切（交）两圆连心线的性质定理
3.两圆的公切线：⑴定义⑵性质
四、与圆有关的比例线段
1.相交弦定理
2.切割线定理
五、与和正多边形
1.圆的内接、外切多边形（三角形、四边形）
2.三角形的外接圆、内切圆及性质
3.圆的外切四边形、内接四边形的性质
4.正多边形及计算
中心角：
内角的一半： (右图)
（解Rt△OAM可求出相关元素, 、 等）
六、 一组计算公式
1.圆周长公式
2.圆面积公式
3.扇形面积公式
4.弧长公式
5.弓形面积的计算方法
6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算
七、 点的轨迹
六条基本轨迹
八、 有关作图
1.作三角形的外接圆、内切圆
2.平分已知弧
3.作已知两线段的比例中项
4.等分圆周：4、8;6、3等分
九、 基本图形
十、 重要辅助线
1.作半径
2.见弦往往作弦心距
3.见直径往往作直径上的圆周角
4.切点圆心莫忘连
5.两圆相切公切线（连心线）
6.两圆相交公共弦
十一、应用举例（略）
2006年全国中考数学压轴题全析全解
1、（2006重庆）如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成 和 两个三角形（如图2所示）.将纸片 沿直线 （AB）方向平移（点 始终在同一直线上），当点 于点B重合时，停止平移.在平移过程中， 与 交于点E, 与 分别交于点F、P.
(1) 当 平移到如图3所示的位置时，猜想图中的 与 的数量关系，并证明你的猜想；
(2) 设平移距离 为 ， 与 重叠部分面积为 ，请写出 与 的函数关系式，以及自变量的取值范围；
（3）对于（2）中的结论是否存在这样的 的值，使重叠部分的面积等于原 面积的 .
若存在，求x的值；若不存在，请说明理由.
[解] （1） .因为 ，所以 .
又因为 ，CD是斜边上的中线，
所以， ，即
所以， ，所以
所以， .同理： .
又因为 ，所以 .所以
（2）因为在 中， ，所以由勾股定理，得
即
又因为 ，所以 .所以
在 中， 到 的距离就是 的 边上的高，为 .
设 的 边上的高为 ，由探究，得 ，所以 .
所以 .
又因为 ，所以 .
又因为 ， .
所以 ，
而
所以
(3) 存在. 当 时，即
整理，得 解得， .
即当 或 时，重叠部分的面积等于原 面积的
2、（2006浙江金华） 如图,平面直角坐标系中,直线AB与 轴, 轴分别交于A(3,0),B(0, )两点, ,点C为线段AB上的一动点,过点C作CD⊥ 轴于点D.
(1)求直线AB的解析式;
(2)若S梯形OBCD＝ ,求点C的坐标;
(3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的
三角形与△OBA相似.若存在,请求出所有符合条件
的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
[解] （1）直线AB解析式为：y= x+ ．
（2）方法一：设点Ｃ坐标为（x， x+ ），那么OD＝x，CD＝ x+ ．
∴ ＝ ＝ ．
由题意： ＝ ，解得 （舍去）
∴ Ｃ（２， ）
方法二：∵ , ＝ ，∴ ．
由OA= OB，得∠BAO＝30°，AD= CD．
∴ ＝ CD×AD＝ ＝ ．可得CD＝ ．
∴ AD=１，OD＝２．∴C（２， ）．
（３）当∠OBP＝Rt∠时，如图
①若△BOP∽△OBA，则∠BOP＝∠BAO=30°，BP= OB=3，
∴ （3， ）．
②若△BPO∽△OBA，则∠BPO＝∠BAO=30°,OP= OB=1．
∴ （1， ）．
当∠OPB＝Rt∠时
③ 过点P作OP⊥BC于点P(如图)，此时△PBO∽△OBA，∠BOP＝∠BAO＝30°
过点P作PM⊥OA于点M．
方法一： 在Rt△PBO中，BP＝ OB＝ ，OP＝ BP＝ ．
∵ 在Rt△PＭO中，∠OPM＝30°，
∴ OM＝ OP＝ ；PM＝ OM＝ ．∴ （ ， ）．
方法二：设Ｐ（x ， x+ ），得OM＝x ，PM＝ x+
由∠BOP＝∠BAO,得∠POM＝∠ABO．
∵tan∠POM== = ，tan∠ABOC= = ．
∴ x+ ＝ x，解得x＝ ．此时， （ ， ）．
④若△POB∽△OBA(如图)，则∠OBP=∠BAO＝30°，∠POM＝30°．
∴ PM＝ OM＝ ．
∴ （ ， ）（由对称性也可得到点 的坐标）．
当∠OPB＝Rt∠时，点P在ｘ轴上,不符合要求.
综合得，符合条件的点有四个，分别是：
（3， ）， （1， ）， （ ， ）， （ ， ）．
3、（2006山东济南）如图1，已知 中， ， ．过点 作 ，且 ，连接 交 于点 ．
（1）求 的长；
（2）以点 为圆心， 为半径作⊙A，试判断 与⊙A是否相切，并说明理由；
（3）如图2，过点 作 ，垂足为 ．以点 为圆心， 为半径作⊙A；以点 为圆心， 为半径作⊙C．若 和 的大小是可变化的，并且在变化过程中保持⊙A和⊙C相切，且使 点在⊙A的内部， 点在⊙A的外部，求 和 的变化范围．
[解]
（1） 在 中， ，
．
， ．
．
， ．
（2） 与⊙A相切．
在 中， ， ，
， ．
又 ， ，
与⊙A相切．
（3）因为 ，所以 的变化范围为 ．
当⊙A与⊙C外切时， ，所以 的变化范围为 ；
当⊙A与⊙C内切时， ，所以 的变化范围为 ．
4、（2006山东烟台）如图，已知抛物线L1: y=x2-4的图像与x有交于A、C两点，
（1）若抛物线l2与l1关于x轴对称，求l2的解析式；
（2）若点B是抛物线l1上的一动点（B不与A、C重合），以AC为对角线，A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D，求证：点D在l2上；
（3）探索：当点B分别位于l1在x轴上、下两部分的图像上时，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由。
[解]
（1）设l2的解析式为y=a(x-h)2+k
∵l2与x轴的交点A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0，-4),l1与l2关于x轴对称，
∴l2过A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是（0，4）
∴y=ax2+4
∴0=4a+4 得 a=-1
∴l2的解析式为y=-x2+4
(2)设B(x1 ,y1)
∵点B在l1上
∴B(x1 ,x12-4)
∵四边形ABCD是平行四边形，A、C关于O对称
∴B、D关于O对称
∴D(-x1 ,-x12+4).
将D(-x1 ,-x12+4)的坐标代入l2：y=-x2+4
∴左边=右边
∴点D在l2上.
(3)设平行四边形ABCD的面积为S,则
S=2*S△ABC =AC*|y1|=4|y1|
a.当点B在x轴上方时，y1＞0
∴S=4y1 ,它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而增大，
∴S既无最大值也无最小值
b.当点B在x轴下方时，-4≤y1＜0
∴S=-4y1 ,它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而减小，
∴当y1 =-4时，S由最大值16，但他没有最小值
此时B(0,-4)在y轴上，它的对称点D也在y轴上.
∴AC⊥BD
∴平行四边形ABCD是菱形
此时S最大=16.
5、（2006浙江嘉兴）某旅游胜地欲开发一座景观山．从山的侧面进行堪测，迎面山坡线ABC由同一平面内的两段抛物线组成，其中AB所在的抛物线以A为顶点、开口向下，BC所在的抛物线以C为顶点、开口向上．以过山脚（点C）的水平线为x轴、过山顶（点A）的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系如图（单位：百米）．已知AB所在抛物线的解析式为 ，BC所在抛物线的解析式为 ，且已知 ．
（1）设 是山坡线AB上任意一点，用y表示x，并求点B的坐标；
（2）从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶．这种台阶每级的高度为20厘米，长度因坡度的大小而定，但不得小于20厘米，每级台阶的两端点在坡面上（见图）．
①分别求出前三级台阶的长度（精确到厘米）；
②这种台阶不能一直铺到山脚，为什么？
（3）在山坡上的700米高度（点D）处恰好有一小块平地，可以用来建造索道站．索道的起点选择在山脚水平线上的点E处， （米）．假设索道DE可近似地看成一
段以E为顶点、开口向上的抛物线，解析式为 ．试求索道的最大悬空高度．
[解] （1）∵ 是山坡线AB上任意一点，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ＝4，∴
（2）在山坡线AB上， ，
①令 ，得 ；令 ，得
∴第一级台阶的长度为 （百米） （厘米）
同理，令 、 ，可得 、
∴第二级台阶的长度为 （百米） （厘米）
第三级台阶的长度为 （百米） （厘米）
②取点 ，又取 ，则
∵
∴这种台阶不能从山顶一直铺到点B，从而就不能一直铺到山脚
（注：事实上这种台阶从山顶开始最多只能铺到700米高度，共500级．从100米高度到700米高度都不能铺设这种台阶．解题时取点具有开放性）
②另解：连接任意一段台阶的两端点P、Q，如图
∵这种台阶的长度不小于它的高度
∴
当其中有一级台阶的长大于它的高时，
在题设图中，作 于H
则 ，又第一级台阶的长大于它的高
∴这种台阶不能从山顶一直铺到点B，从而就不能一直铺到山脚
（3）
、 、 、
由图可知，只有当索道在BC上方时，索道的悬空高度才有可能取最大值
索道在BC上方时，悬空高度
当 时，
∴索道的最大悬空高度为 米．
6、（2006山东潍坊）已知二次函数图象的顶点在原点 ，对称轴为 轴．一次函数 的图象与二次函数的图象交于 两点（ 在 的左侧），且 点坐标为 ．平行于 轴的直线 过 点．
（1）求一次函数与二次函数的解析式；
（2）判断以线段 为直径的圆与直线 的位置关系，并给出证明；
（3）把二次函数的图象向右平移 个单位，再向下平移 个单位 ，二次函数的图象与 轴交于 两点，一次函数图象交 轴于 点．当 为何值时，过 三点的圆的面积最小？最小面积是多少？
[解]（1）把 代入 得 ，
一次函数的解析式为 ；
二次函数图象的顶点在原点，对称轴为 轴，
设二次函数解析式为 ，
·········································································· 把 代入 得 ，
二次函数解析式为 ．
（2）由
解得 或 ，
，
过 点分别作直线 的垂线，垂足为 ，
则 ，
直角梯形 的中位线长为 ，
过 作 垂直于直线 于点 ，则 ， ，
，
的长等于 中点到直线 的距离的2倍，
以 为直径的圆与直线 相切．
（3）平移后二次函数解析式为 ，
令 ，得 ， ， ，
过 三点的圆的圆心一定在直线 上，点 为定点，
·································· 要使圆面积最小，圆半径应等于点 到直线 的距离，
此时，半径为2，面积为 ，
设圆心为 中点为 ，连 ，则 ，
在三角形 中， ，
，而 ， ，
当 时，过 三点的圆面积最小，最小面积为 ．
7、（2006江西）问题背景 某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：
①如图1，在正三角形△ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝60o，则BM＝CN；
②如图2，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝90o，则BM＝CN；
然后运用类比的思想提出了如下命题：
③如图3，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝108o，则BM＝CN。
任务要求：
（1）请你从①、②、③三个命题中选择一个进行证明；（说明：选①做对得4分，选②做对得3分，选③做对得5分）
(2)请你继续完成下列探索：
①请在图3中画出一条与CN相等的线段DH，使点H在正五边形的边上，且与CN相交所成的一个角是108o，这样的线段有几条？（不必写出画法，不要求证明）
②如图4，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、EA上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝108o，请问结论BM＝CN是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。
[解] （1）以下答案供参考：
（1） 如选命题①
证明：在图1中，∵∠BON=60°∴∠1+∠2=60°
∵∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3
又∵BC=CA，∠BCM=∠CAN=60°∴ΔBCM≌ΔCAN
∴BM=CN （2）如选命题②
证明：在图2中，∵∵∠BON=90°∴∠1+∠2=90°
∵∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3
又∵BC=CD，∠BCM=∠CDN=90°∴ΔBCM≌ΔCDN
∴BM=CN
（3）如选命题③
证明；在图3中，∵∠BON=108°∴∠1+∠2=108°
∵∠2+∠3=108°∴∠1=∠3
又∵BC=CD，∠BCM=∠CDN=108°
∴ΔBCM≌ΔCDN
∴BM=CN
(2)①答：当∠BON= 时结论BM=CN成立．
②答当∠BON=108°时。BM=CN还成立
证明；如图5连结BD、CE.
在△BCI)和△CDE中
∵BC=CD, ∠BCD=∠CDE=108°,CD=DE
∴ΔBCD≌ ΔCDE
∴BD=CE , ∠BDC=∠CED, ∠DBC=∠CEN
∵∠CDE=∠DEC=108°, ∴∠BDM=∠CEN
∵∠OBC+∠ECD=108°, ∠OCB+∠OCD=108°
∴∠MBC=∠NCD
又∵∠DBC=∠ECD=36°, ∴∠DBM=∠ECN
∴ΔBDM≌ ΔCNE ∴BM=CN
8、（2006吉林长春）如图，在平面直角坐标系中，两个函数 的图象交于点A。动点P从点O开始沿OA方向以每秒1个单位的速度运动，作PQ∥x轴交直线BC于点Q，以PQ为一边向下作正方形PQMN，设它与△OAB重叠部分的面积为S。
（1）求点A的坐标。
（2）试求出点P在线段OA上运动时，S与运动时间t（秒）的关系式。
（3）在（2）的条件下，S是否有最大值？若有，求出t为何值时，S有最大值，并求出最大值；若没有，请说明理由。
（4）若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动，当正方形PQMN与△OAB重叠部分面积最大时，运动时间t满足的条件是____________。
[解] （1）由 可得
∴A（4，4）。
（2）点P在y = x上，OP = t，
则点P坐标为
点Q的纵坐标为 ，并且点Q在 上。
∴ ，
即点Q坐标为 。
。
当 时， 。
当 ，
当点P到达A点时， ，
当 时，
。
（3）有最大值，最大值应在 中，
当 时，S的最大值为12。
（4） 。
9、（2006湖南常德）把两块全等的直角三角形 和 叠放在一起，使三角板 的锐角顶点 与三角板 的斜边中点 重合，其中 ， ， ，把三角板 固定不动，让三角板 绕点 旋转，设射线 与射线 相交于点 ，射线 与线段 相交于点 ．
（1）如图9，当射线 经过点 ，即点 与点 重合时，易证 ．此时， ．
（2）将三角板 由图1所示的位置绕点 沿逆时针方向旋转，设旋转角为 ．其中
，问 的值是否改变？说明你的理由．
（3）在（2）的条件下，设 ，两块三角板重叠面积为 ，求 与 的函数关系式．
[解] （1）8
（2） 的值不会改变．
理由如下：在 与 中，
即
（3）情形1：当 时， ，即 ，此时两三角板重叠部分为四边形 ，过 作 于 ， 于 ，
由（2）知： 得
于是
情形2：当 时， 时，即 ，此时两三角板重叠部分为 ，
由于 ， ，易证： ，
即 解得
于是
综上所述，当 时，
当 时，
法二：连结 ，并过 作 于点 ，在 与 中，
法三：过 作 于点 ，在 中，
于是在 与 中
即
10、（2006湖北宜昌）如图，点O是坐标原点，点A（n，0）是x轴上一动点(n＜0＝以AO为一边作矩形AOBC，点C在第二象限，且OB＝2OA．矩形AOBC绕点A逆时针旋转90o得矩形AGDE．过点A的直线y＝kx＋m 交y轴于点F，FB＝FA．抛物线y=ax2+bx+c过点E、F、G且和直线AF交于点H，过点H作HM⊥x轴，垂足为点M．(1)求k的值；
(2)点A位置改变时，△AMH的面积和矩形AOBC 的面积的比值是否改变？说明你的理由．
[解] （1）根据题意得到：E（3n，0）， G（n，－n）
当x＝0时，y＝kx＋m＝m，∴点F坐标为（0，m）
∵Rt△AOF中，AF2＝m2＋n2，
∵FB＝AF，
∴m2＋n2＝(-2n－m)2，
化简得：m＝－0.75n，
对于y＝kx＋m，当x＝n时，y＝0，
∴0＝kn－0.75n，
∴k＝0.75
（2）∵抛物线y=ax2+bx+c过点E、F、G，
∴
解得：a＝ ，b＝－ ，c＝－0.75n
∴抛物线为y= x2－ x－0.75n
解方程组：
得：x1＝5n，y1＝3n；x2＝0，y2＝－0.75n
∴H坐标是：（5n，3n），HM＝－3n，AM＝n－5n＝－4n，
∴△AMH的面积＝0.5×HM×AM＝6n2；
而矩形AOBC 的面积＝2n2，∴△AMH的面积∶矩形AOBC 的面积＝3:1，不随着点A的位置的改变而改变．
11、（2006北京海淀）如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，连结AD、BD、OC、OD，且OD＝5。
（1）若 ，求CD的长；
（2）若 ∠ADO：∠EDO＝4：1，求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保留 ）。
[解]
（1）因为AB是⊙O的直径，OD＝5
所以∠ADB＝90°，AB＝10
在Rt△ABD中，
又 ，所以 ，所以
因为∠ADB＝90°，AB⊥CD
所以
所以
所以
所以
（2）因为AB是⊙O的直径，AB⊥CD
所以
所以∠BAD＝∠CDB，∠AOC＝∠AOD
因为AO＝DO，所以∠BAD＝∠ADO
所以∠CDB＝∠ADO
设∠ADO＝4x，则∠CDB＝4x
由∠ADO：∠EDO＝4：1，则∠EDO＝x
因为∠ADO＋∠EDO＋∠EDB＝90°
所以
所以x＝10°
所以∠AOD＝180°－（∠OAD＋∠ADO）＝100°
所以∠AOC＝∠AOD＝100°
12、（2006湖南长沙）如图1，已知直线 与抛物线 交于 两点．
（1）求 两点的坐标；
（2）求线段 的垂直平分线的解析式；
（3）如图2，取与线段 等长的一根橡皮筋，端点分别固定在 两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖 在直线 上方的抛物线上移动，动点 将与 构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时 点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．
[解]
（1）解：依题意得 解之得
（2）作 的垂直平分线交 轴， 轴于 两点，交 于 （如图1）
由（1）可知：
过 作 轴， 为垂足
由 ，得： ，
同理：
设 的解析式为
的垂直平分线的解析式为： ．
（3）若存在点 使 的面积最大，则点 在与直线 平行且和抛物线只有一个交点的直线 上，并设该直线与 轴， 轴交于 两点（如图2）．
抛物线与直线只有一个交点，
，
在直线 中，
设 到 的距离为 ，
到 的距离等于 到 的距离 ．
．
13、（2006广东）如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，BC∥OA，OA=7，AB=4，∠ COA=60°，点P为x轴上的—个动点，点P不与点0、点A重合．连结CP，过点P作PD交AB于点D．
(1)求点B的坐标；
(2)当点P运动什么位置时，△OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标；
(3)当点P运动什么位置时，使得∠CPD=∠OAB，且 = ，求这时点P的坐标。
[解] (1)作BQ⊥x轴于Q.
∵ 四边形ABCD是等腰梯形,
∴∠BAQ＝∠COA＝60°
在RtΔBQA中,BA=4,
∴BQ=AB·sin∠BAO=4×sin60°=
AQ=AB·cos∠BAO=4×cos60°=2,
∴OQ=OA-AQ=7-2=5
∵点B在第一象限内,
∴点B的的坐标为(5, )
(2)若ΔOCP为等腰三角形,∵∠COP=60°,
此时ΔOCP为等边三角形或是顶角为120°的等腰三角形
若ΔOCP为等边三角形,OP=OC=PC=4,且点P在x轴的正半轴上,
∴点P的坐标为(4,0)
若ΔOCP是顶角为120°的等腰三角形,则点P在x轴的负半轴上,且OP=OC=4
∴点P的坐标为(-4,0)
∴点P的坐标为(4,0)或(-4,0)
(3)若∠CPD=∠OAB
∵∠CPA=∠OCP+∠COP
而∠OAB=∠COP=60°,
∴∠OCP=∠DPA
此时ΔOCP∽ΔADP
∴
∵
∴ ,
AD=AB-BD=4- =
AP=OA-OP=7-OP
∴
得OP=1或6
∴点P坐标为(1,0)或(6,0).
