条件概率

条件概率

玻 木   红 2 3 5 兰 4 7 11   6 10 16

[引例]  设盒中有10个木质球，6个玻璃球。玻璃球中有2个为红色，4个为兰色；木质球中有3个为红色，7个为兰色。现从盒中任取一球，已知取到的是兰色球，问它是玻璃球的概率是多少？

    解：设A表示“取到兰色球”，B表示“取到

玻璃球”，则有

    P(A)= ，P(B)= ，P(AB)=

所以P(B|A)=

一、定义：设A，B为随机试验的二个事件，且P(A)>0，则称P(B|A)= 为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。

    不难验证，条件概率符合概率定义的三个条件，即条件概率亦是概率，条件概率满足概率的一切性质。例如：P(B|A)=1–P(B|A)，P((B+C)|A)=P(B|A)+P(C|A)–P(BC|A)等。

    计算条件概率P(B|A)有两种办法:

    1.    在样本空间Ω的缩减后的样本空间Ω_A上计算B发生的(无条件)概率,就得到P(B|A)。

    2.    在样本空间Ω中,先计算P(AB),P(A),再按定义求得P(B|A)。

    例1   5个乒乓球,其中3个新球，2个旧球。每次取一个,不放回地取2次。求: (1) 第一次取到新球的概率；（2） 第二次取到新球的概率；（3）在第一次取到新球的前提下，求第二次也取到新球的概率。

    解：设A表示“第一次取到新球”，B表示“第二次取到新球”，则有

    （1） P(A)= ；（2） P(B)= （暂时用“抓阄”原理解释，详解过程见后）

    （3） P(B|A)= =

二、乘法公式（定理）

    设A，B为两个事件，若 P(A)>0，则P(AB)=P(A)P(B|A)；若P(B)>0，则

P(AB)=P(B)P(A|B)。

    设A，B，C为三事件，若P(AB)>0，则有P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)。

    一般地，设A₁，A₂，…，A_n为n个事件，且P(A₁A₂…A_n)>0，则有

        P(A₁A₂…A_n-1A_n)=P(A₁)P(A₂|A₁)P(A₃|A₁A₂)…P(A_n|A₁A₂…A_n-1)。

    例2  设袋中装有r只红球，t只白球。每次自袋中任取一只球，观察颜色后放回，并同时放入a只与所取出的那只同色的球。连续在袋中取球4次，试求第一、二次取到红色球且第三、四次取到白色球的概率。

    解：设A_I(i=1，2，3，4）表示“第i次取到红球”，则所求概率为

P(A₁A₂A₃A₄）=P(A₁)P(A₂|A₁)P(A₃|A₁A₂)P(A₄|A₁A₂A₃)

          = × × ×

三、全概率公式（定理）

    在例1中，P(B）=？

    解：因为B=BΩ=B(A+ )=BA+B =AB+ B，所以有

    P(B）=P(AB+ B）=P(AB）+P( B）=P(A）P(B|A）+P( ）P(B| )

         = × + × =

    注：这里在求“第二次取到新球的概率”时，把“第一次结果没有公开”视为一个大家认同的条件，即“第一次摸到的是新球还是旧球”尚不知晓。一旦此条件变化，即第一次摸到什么球马上公布，将不会是这个结果。如

    定义  设Ω为随机试验E的样本空间，A₁，A₂，…，A_n为E的一组事件，若满足以下两条:   1.  A_iA_j = Φ(i≠j);     2. A₁ + A₂ + … + A_n = Ω 。则称A₁，A₂，…，A_n为样本空间的一个完备事件组(或称其为Ω的一个划分(分割，剖分))。

    若A₁，A₂，…，A_n为样本空间Ω的一个划分，那么做一次试验E，事件A₁，A₂，…，A_n中必有一个且仅有一个发生。

    全概率公式  设试验E的样本空间为Ω，B为E的事件，A₁，A₂，…，A_n为Ω的一个划分，且P(A_i)>0（i=1，2，…，n），则

    P(B)=P(A₁)P(B|A₁)+P(A₂)P(B|A₂)+…+P(A_n)P(B|A_n)

          =

    证明：因为A₁，A₂，…，A_n为Ω的一个划分，所以A_iA_j=Φ(i≠j),A₁+A₂+…+A_n=Ω，于是        B=BΩ=B(A₁+A₂+…+A_n)=BA₁+BA₂+…+BA_n      且(BA_i)∩(BA_j)=Φ(i≠j)，

由概率的可加性得：       P(B)=P(BA₁)+P(BA₂)+…+P(BA_n)

又因为P(A_i)>0(i=1,2,…,n),由概率的乘法定理得：

    P(B)=P(A₁)P(B|A₁)+P(A₂)P(B|A₂)+…+P(A_n)P(B|A_n)

        =

    有时直接求P(B)比较困难，它可能要分很多种情况，这些情况就对应Ω的一个划分A₁,A₂,…,A_n,且能求得P(A_i)及P(B|A_i)(i=1,2,…,n),则由全概率公式即可求出P(B)。

    例3  设一批同类型的产品是由三家工厂所生产的。已知其中 的产品是第二家工厂所生产的，其它二厂各生产 。又已知第一家工厂生产的有93%是合格品，第二家工厂生产的有92%是合格品，第三家工厂生产的有98%是合格品。现从这批产品中任取一个产品，问抽取的是合格品的概率是多少？

    解：设事件B={抽到的产品是合格品}，A_i={抽到的产品属于第i家工厂生产的产品}（i=1，2，3），

    显然A_iA_j=Φ（i≠j），A₁+A₂+A₃=Ω，且P(A₁)=P(A₃)= ，P(A₂)= ，P(B|A₁)=93%，P(B|A₂)=92%，P(B|A₃)=98%，由全概率公式得：

    P(B)=P(A₁)P(B|A₁)+P(A₂)P(B|A₂)+P(A₃)P(B|A₃)

        = ×0.93+ ×0.92+ ×0.98=0.9375

    例4  发报台分别以0.6和0.4发出信号“·”和“―”。由于通讯受到干扰，当发出信号为“·”时，收报台未必收到信号“·”，而分别以概率0.8和0.2收到信号“·”和“—”；又若发出信号为“—”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“—”和“·”。求当收报台收到信号“·”时，发报台确实发出信号“·”的概率。

    解：设A={发出信号“·”}，B={收到信号“·”}，则所求的概率是P(A|B)。于是

    P(A|B)= ，而P(AB)=P(A)P(B|A)。再由全概率公式，得

    P(B)=P(A)P(B|A)+P( )P(B| )。由于P(A)=0.6，P(B|A)= 0.8，P( )=0.4， P(B| )= 0.1，所以有           

    P(A|B)=

          = = ≈0.923。

四、逆概定理（贝叶斯（Bayes）公式）

设A₁，A₂，…，A_n为样本空间的一个划分，且P(A_i)>0（i=1，2，…，n）。对于任一事件B，P(B)>0，由条件概率的定义有

    P(A_i|B)= = 。

又由全概率公式：  P(B)= 。

即得：P(A_i|B)= ，此式称为贝叶斯公式。

    例5  对以往数据分析的结果表明，当机器调整良好时，产品的合格率为90%；而当机器发生故障时，其合格率为30%。每天早晨机器开动时，机器调整良好的概率是75%。试求某日早上第一件产品是合格品时，机器调整良好的概率是多少？

    解：设B为“产品合格”的事件，A为“机器调整良好”的事件。已知P(B|A)=0.9,P(B| )=0.3,P( )=0.25,P(A)=0.75,所求概率是:

    P(A|B)=

          = =0.9

    这就是说，当生产出第一件产品是合格品时，机器调整良好的概率为0.9。这里，概率0.75是由以往数据分析得到的，叫做先验概率；而0.9是在得到新的信息后（即生产出一种产品是合格品）重新加以修正的概率，叫做后验概率。

作业：P27习题一19，20，23，27，28。

    思考题：同时抛掷两枚分币，观察正面出现的情况。设A表示“第一枚分币出现正面”，B表示“第二次分币出现正面”。求：(1) P(B)；  (2) P(B|A)。

    解：P(B)= , P(B|A)= Þ P(B)=P(B|A)= ÞP(AB)=P(A)P(B)

事实上，由题意知：第一枚分币是否出现正面与第二枚分币出现正面与否是互不影响的。（独立）