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数学建模理论在解题中的运用 “能够运用所学知识解决简单的实际问题”是九年义务教育数学教学大纲规定的初中数学教学目的之一。学生通过初中的学习应该要具备这种能力，这也是中考中考核的最重要的知识点之一。在最近几年的中考中这类题型层出不穷，它们或多或少都有一些数学建模思想。下面我主要通过2005年的全国各地中考题型分析来阐述建模理论的应用。 1. 数学建模的理论 数学建模是对科学技术领域、经济管理、生产实际等现实生活中所遇到的实际问题，利用数学的思想、方法、知识解决的过程，主要程序如下所示： 实际情景 反馈↑ ↓求解 实际结果 2.建模理论的实际应用: 2.1．例题： 例1：小明家使用的是分时电表，按平时段（6：00－22：00）和谷时段（22：00－次日6：00）分别计费，平时段每度电价为0.61元，谷时段每度电价为0.30元，小明将家里2005年1月至5月的平时段和谷时段的用电量分别用折线图表示（如图7），同时将前4个月的用电量和相应电费制成表格（如表1） 根据上述信息，解答下列问题： （1） 计算5月份的用电量和相应电费，将所得结果填入表1中； （2） 小明家这5个月的月平均用电量为 度； （3）
（4） 小明预计7月份家中用电量很大，估计7月份用电量可达500度，相应电费将达243元，请你根据小明的估计，计算出7月份小明家平时段用电量和谷时段用电量. 2.2评析: （1）实际背景：近几年来随着科学技术的迅猛发展带来了能源的紧缺，电力能源远远不够，在这个背景下，电力部门采取了分时计费的方式，这样暂时缓解了供电紧张的局面。 （2）数学问题：编制考题的老师为了能够让学生的答案统一、有利于阅卷，因此他们直接将这样的实际问题自己抽象成了数学问题，并且设计了以上几个问题，学生给予解答并去检验是否符合实际。 （3）设计缺陷：此类题型看是来自实际，但是学生的实际运用能力的提高相对教弱，它仍然无法测试学生的实际抽象能力，仅仅考察了学生根据已知的数学问题，利用已学知识然后去解决问题的能力。但是一个重要的环节忽视了，那就是他们的抽象概括能力或者说是他们发现问题的能力。当然，新教材的出现也带来了很多弥补考试中的不足，比如研究性课题的出现，让学生自己探索，自己设计问题并解决问题。再比如现在有很多中学生建模比赛，数学知识比赛等等。 2.3例题： 例2：某厂从2001年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据 如下表：
(1)请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式； (2)按照这种变化规律，若2005年已投人技改资金5万元． ①预计生产成本每件比2004年降低多少万元? ②如果打算在2005年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需投入技改资金多少万元（结果精确到0.01万元)? (1)解：设其为一次函数，解析式为 当 解得 ∴一次函数解析式为 把 左边≠右边． ∴其不是一次函数． 同理．其也不是二次函数． 设其为反比例函数．解析式为 当 ∴反比例函数是 同理可验证 可用反比例函数 (2)解：①当 ∴生产成本每件比2004年降低0．4万元。 ②当 ∴ ∴还约需投入0.63万元． 2.4评析: （1）此题的背景不如上题，同样与上题有类似的缺陷，不利于考察学生的抽象概括能力。 （2）此题要求学生运用知识的能力非常强、要求教高，它要求学生对一次函数、二次函数和反比例函数的表达式灵活运用，同时此题最经典之处就是它用上了数学建模思想中的曲线拟合思想，并要求学生除了自己选择适当的模型之外，还要自己去验证此模型，比如一次函数、二次函数在此题中均不符合，但是反比例函数确可以。后来又要求学生利用所给模型去解决实际问题，笔者认为此题非常好。 3．总结： 这类题型在中考中越来越显得非常重要，这就要求我们教师在平时的教学中不断 探索，多让学生自己去发现问题，自己去将一些实际问题抽象概括为数学问题，从 而使他们的数学应用能力得到提高。 参考文献： 1．徐稼红，《中学数学应用与建模》，苏州大学出版社，2001年7月 |
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