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CRC从原理到实现

2010-01-23  lao_o

摘要:CRC(Cyclic Redundancy Check)被广泛用于数据通信过程中的差错检测,具有很强的
检错能力。本文详细介绍了CRC的基本原理,并且按照解释通行的查表算法的由来的思路介绍
了各种具体的实现方法。


1.差错检测
----------
数据通信中,接收端需要检测在传输过程中是否发生差错,常用的技术有奇偶校验(Parity
Check),校验和(Checksum)和CRC(Cyclic Redundancy Check)。它们都是发送端对消息按照
某种算法计算出校验码,然后将校验码和消息一起发送到接收端。接收端对接收到的消息按
照相同算法得出校验码,再与接收到的校验码比较,以判断接收到消息是否正确。

奇偶校验只需要1位校验码,其计算方法也很简单。以奇检验为例,发送端只需要对所有消息
位进行异或运算,得出的值如果是0,则校验码为1,否则为0。接收端可以对消息进行相同计
算,然后比较校验码。也可以对消息连同校验码一起计算,若值是0则有差错,否则校验通过。
通常说奇偶校验可以检测出1位差错,实际上它可以检测出任何奇数位差错。

校验和的思想也很简单,将传输的消息当成8位(或16/32位)整数的序列,将这些整数加起来
而得出校验码,该校验码也叫校验和。校验和被用在IP协议中,按照16位整数运算,而且其
MSB(Most Significant Bit)的进位被加到结果中。

显然,奇偶校验和校验和都有明显的不足。奇偶校验不能检测出偶数位差错。对于校验和,
如果整数序列中有两个整数出错,一个增加了一定的值,另一个减小了相同的值,这种差错
就检测不出来。


2.CRC算法的基本原理
-------------------
CRC算法的是以GF(2)(2元素伽罗瓦域)多项式算术为数学基础的,听起来很恐怖,但实际上它
的主要特点和运算规则是很好理解的。

GF(2)多项式中只有一个变量x,其系数也只有0和1,如:
    1*x^7 + 0*x^6 + 1*x^5 + 0*x^4 + 0*x^3 + 1*x^2 +1*x^1 + 1*x^0
即:
    x^7 + x^5 + x^2  + x + 1
(x^n表示x的n次幂)   

GF(2)多项式中的加减用模2算术执行对应项上系数的加减,模2就是加减时不考虑进位和借位,
即:
    0 + 0 = 0    0 - 0 = 0
    0 + 1 = 1    0 - 1 = 1
    1 + 0 = 1    1 - 0 = 1
    1 + 1 = 0    1 - 1 = 0
   
显然,加和减是一样的效果(故在GF(2)多项式中一般不出现"-"号),都等同于异或运算。例
如P1 = x^3  + x^2 + 1,P2 = x^3  + x^1 + 1,P1 + P2为:

    x^3  + x^2   + 1
  + x^3        + x + 1
    ------------------
           x^2 + x

GF(2)多项式乘法和一般多项式乘法基本一样,只是在各项相加的时候按模2算术进行,例如
P1 * P2为:

    (x^3 + x^2 + 1)(x^3 + x^1 + 1)
    = (x^6 + x^4 + x^3
     + x^5 + x^3 + x^2
     + x^3 + x + 1)
    = x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1

GF(2)多项式除法也和一般多项式除法基本一样,只是在各项相减的时候按模2算术进行,例
如P3 = x^7 + x^6 + x^5 + x^2 + x,P3 / P2为:

                                       x^4 + x^3           + 1
                    ------------------------------------------      
        x^3 + x + 1 )x^7 + x^6 + x^5 +             x^2 + x
                     x^7       + x^5 + x^4
                     ---------------------
                           x^6       + x^4
                           x^6       + x^4 + x^3
                           ---------------------
                                             x^3 + x^2 + x
                                             x^3       + x + 1
                                             -----------------
                                                   x^2     + 1
                                                  
CRC算法将长度为m位的消息对应一个GF(2)多项式M,比如对于8位消息11100110,如果先传输
MSB,则它对应的多项式为x^7 + x^6 + x^5 + x^2 + x。发送端和接收端约定一个次数为r的
GF(2)多项式G,称为生成多项式,比如x^3 + x + 1,r = 3。在消息后面加上r个0对应的多
项式为M',显然有M' = Mx^r。用M'除以G将得到一个次数等于或小于r - 1的余数多项式R,
其对应的r位数值则为校验码。如下所示:

             11001100
         -------------                        
    1011 )11100110000
          1011.......
          ----.......
           1010......
           1011......
           ----......          
              1110...
              1011...
              ----...
               1010..
               1011..
               ----
                  100  <---校验码                                    

发送端将m位消息连同r位校验码(也就是M' + R)一起发送出去,接收端按同样的方法算出收
到的m位消息的校验码,再与收到的校验码比较。接收端也可以用收到的全部m + r位除以生
成多项式,再判断余数是否为0。这是因为,M' + R = (QG + R) + R = QG,这里Q是商。显
然,它也可以像发送端一样,在全部m + r后再增加r个0,再除以生成多项式,如果没有差错
发生,余数仍然为0。


3.生成多项式的选择
------------------
很明显,不同的生成多项式,其检错能力是不同的。如何选择一个好的生成多项式需要一定
的数学理论,这里只从一些侧面作些分析。显然,要使用r位校验码,生成多项式的次数应为
r。生成多项式应该包含项"1",否则校验码的LSB(Least Significant Bit)将始终为0。如果
消息(包括校验码)T在传输过程中产生了差错,则接收端收到的消息可以表示为T + E。若E不
能被生成多项式G除尽,则该差错可以被检测出。考虑以下几种情况:

    1)1位差错,即E = x^n = 100...00,n >= 0。只要G至少有2位1,E就不能被G除尽。这
      是因为Gx^k相当于将G左移k位,对任意多项式Q,QG相当于将多个不同的G的左移相加。
      如果G至少有两位1,它的多个不同的左移相加结果至少有两位1。
  
    2)奇数位差错,只要G含有因子F = x + 1,E就不能被G除尽。这是因为QG = Q'F,由1)
      的分析,F的多个不同的左移相加结果1的位数必然是偶数。

    3)爆炸性差错,即E = (x^n + ... + 1)x^m = 1...100...00,n >= 1,m >= 0,显然只
      要G包含项"1",且次数大于n,就不能除尽E。
     
    4)2位差错,即E = (x^n + 1)x^m = 100...00100...00,n >= 0。设x^n + 1 = QG + R,
      则E = QGx^m + Rx^m,由3)可知E能被G除尽当且仅当R为0。因此只需分析x^n + 1,根
      据[3],对于次数r,总存在一个生成多项式G,使得n最小为2^r - 1时,才能除尽x^n
      + 1。称该生成多项式是原始的(primitive),它提供了在该次数上检测2位差错的最高
      能力,因为当n = 2^r - 1时,x^n + 1能被任何r次多项式除尽。[3]同时指出,原始
      生成多项式是不可约分的,但不可约分的的多项式并不一定是原始的,因此对于某些
      奇数位差错,原始生成多项式是检测不出来的。    
 
以下是一些标准的CRC算法的生成多项式:
 
    标准            多项式                                           16进制表示  
    --------------------------------------------------------------------------- 
    CRC12           x^12 + x^11 + x^3 + x^2 + x + 1                  80F
    CRC16           x^16 + x^15 + x^2 + 1                            8005
    CRC16-CCITT     x^16 + x^12 + x^5 + 1                            1021
    CRC32           x^32 + x^26 + x^23 + x^22 + x^16 + x^12 + x^11   04C11DB7
                    + x^10 + x^8 + x^7 + x^5 + x^4 + x^2 + x + 1
  
16进制表示去掉了最高次项,CCITT在1993年改名为ITU-T。CRC12用于6位字节,其它用于8位
字节。CRC16在IBM的BISYNCH通信标准。CRC16-CCITT被广泛用于XMODEM, X.25和SDLC等通信
协议。而以太网和FDDI则使用CRC32,它也被用在ZIP,RAR等文件压缩中。在这些生成多项式
中,CRC32是原始的,而其它3个都含有因子x + 1。


4.CRC算法的实现
---------------
要用程序实现CRC算法,考虑对第2节的长除法做一下变换,依然是M = 11100110,G = 1011,
其系数r为3。
                                           
             11001100                      11100110000    
         -------------                     1011   
    1011 )11100110000                      -----------
          1011.......                       1010110000   
          ----.......                      1010110000
           1010......                      1011
           1011......        ===>          -----------
           ----......                       001110000    
              1110...                      1110000
              1011...                      1011
              ----...                      -----------
               1010..                       101000       
               1011..                      101000
               ----                        1011
                  100  <---校验码          -----------
                                            00100        
                                            100           <---校验码
                                           
程序可以如下实现:
    1)将Mx^r的前r位放入一个长度为r的寄存器;
    2)如果寄存器的首位为1,将寄存器左移1位(将Mx^r剩下部分的MSB移入寄存器的LSB),
      再与G的后r位异或,否则仅将寄存器左移1位(将Mx^r剩下部分的MSB移入寄存器的LSB);
    3)重复第2步,直到M全部Mx^r移入寄存器;
    4)寄存器中的值则为校验码。                                       

用CRC16-CCITT的生成多项式0x1021,其C代码(本文所有代码假定系统为32位,且都在VC6上
编译通过)如下:

unsigned short do_crc(unsigned char *message, unsigned int len)
{
    int i, j;
    unsigned short crc_reg;
       
    crc_reg = (message[0] << 8) + message[1];
    for (i = 0; i < len; i++)
    {
        if (i < len - 2)
            for (j = 0; j <= 7; j++)
            {
                if ((short)crc_reg < 0)
                    crc_reg = ((crc_reg << 1) + (message[i + 2] >> (7 - i))) ^ 0x1021;
                else
                    crc_reg = (crc_reg << 1) + (message[i + 2] >> (7 - i));     
            }
         else
            for (j = 0; j <= 7; j++)
            {
                if ((short)crc_reg < 0)
                    crc_reg = (crc_reg << 1) ^ 0x1021;
                else
                    crc_reg <<= 1;            
            }        
    }
    return crc_reg;

显然,每次内循环的行为取决于寄存器首位。由于异或运算满足交换率和结合律,以及与0异
或无影响,消息可以不移入寄存器,而在每次内循环的时候,寄存器首位再与对应的消息位
异或。改进的代码如下:

unsigned short do_crc(unsigned char *message, unsigned int len)
{
    int i, j;
    unsigned short crc_reg = 0;
    unsigned short current;
       
    for (i = 0; i < len; i++)
    {
        current = message[i] << 8;
        for (j = 0; j < 8; j++)
        {
            if ((short)(crc_reg ^ current) < 0)
                crc_reg = (crc_reg << 1) ^ 0x1021;
            else
                crc_reg <<= 1;
            current <<= 1;           
        }
    }
    return crc_reg;
}

以上的讨论中,消息的每个字节都是先传输MSB,CRC16-CCITT标准却是按照先传输LSB,消息
右移进寄存器来计算的。只需将代码改成判断寄存器的LSB,将0x1021按位颠倒后(0x8408)与
寄存器异或即可,如下所示:

unsigned short do_crc(unsigned char *message, unsigned int len)
{
    int i, j;
    unsigned short crc_reg = 0;
    unsigned short current;
       
    for (i = 0; i < len; i++)
    {
        current = message[i];
        for (j = 0; j < 8; j++)
        {
            if ((crc_reg ^ current) & 0x0001)
                crc_reg = (crc_reg >> 1) ^ 0x8408;
            else
                crc_reg >>= 1;
            current >>= 1;           
        }
    }
    return crc_reg;
}   

该算法使用了两层循环,对消息逐位进行处理,这样效率是很低的。为了提高时间效率,通
常的思想是以空间换时间。考虑到内循环只与当前的消息字节和crc_reg的低字节有关,对该
算法做以下等效转换:

unsigned short do_crc(unsigned char *message, unsigned int len)
{
    int i, j;
    unsigned short crc_reg = 0;
    unsigned char  index;
    unsigned short to_xor;
      
    for (i = 0; i < len; i++)
    {
        index = (crc_reg ^ message[i]) & 0xff;
        to_xor = index;      
        for (j = 0; j < 8; j++)
        {
            if (to_xor & 0x0001)
                to_xor = (to_xor >> 1) ^ 0x8408;
            else
                to_xor >>= 1;          
        }
        crc_reg = (crc_reg >> 8) ^ to_xor;
    }
    return crc_reg;
}

现在内循环只与index相关了,可以事先以数组形式生成一个表crc16_ccitt_table,使得
to_xor = crc16_ccitt_table[index],于是可以简化为:

unsigned short do_crc(unsigned char *message, unsigned int len)
{
    unsigned short crc_reg = 0;
         
    while (len--)
        crc_reg = (crc_reg >> 8) ^ crc16_ccitt_table[(crc_reg ^ *message++) & 0xff];
       
    return crc_reg;
}  

crc16_ccitt_table通过以下代码生成:

int main()
{
    unsigned char index = 0;
    unsigned short to_xor;
    int i;

    printf("unsigned short crc16_ccitt_table[256] =\n{");
    while (1)
    {
        if (!(index % 8))
            printf("\n");
       
        to_xor = index;      
        for (i = 0; i < 8; i++)
        {
            if (to_xor & 0x0001)
                to_xor = (to_xor >> 1) ^ 0x8408;
            else
                to_xor >>= 1;          
        }           
        printf("0x%04x", to_xor);
       
        if (index == 255)
        {
            printf("\n");
            break;
        }
        else
        {
            printf(", ");
            index++;
        }
    }
    printf("};");
    return 0;
}

生成的表如下:

unsigned short crc16_ccitt_table[256] =
{
0x0000, 0x1189, 0x2312, 0x329b, 0x4624, 0x57ad, 0x6536, 0x74bf,
0x8c48, 0x9dc1, 0xaf5a, 0xbed3, 0xca6c, 0xdbe5, 0xe97e, 0xf8f7,
0x1081, 0x0108, 0x3393, 0x221a, 0x56a5, 0x472c, 0x75b7, 0x643e,
0x9cc9, 0x8d40, 0xbfdb, 0xae52, 0xdaed, 0xcb64, 0xf9ff, 0xe876,
0x2102, 0x308b, 0x0210, 0x1399, 0x6726, 0x76af, 0x4434, 0x55bd,
0xad4a, 0xbcc3, 0x8e58, 0x9fd1, 0xeb6e, 0xfae7, 0xc87c, 0xd9f5,
0x3183, 0x200a, 0x1291, 0x0318, 0x77a7, 0x662e, 0x54b5, 0x453c,
0xbdcb, 0xac42, 0x9ed9, 0x8f50, 0xfbef, 0xea66, 0xd8fd, 0xc974,
0x4204, 0x538d, 0x6116, 0x709f, 0x0420, 0x15a9, 0x2732, 0x36bb,
0xce4c, 0xdfc5, 0xed5e, 0xfcd7, 0x8868, 0x99e1, 0xab7a, 0xbaf3,
0x5285, 0x430c, 0x7197, 0x601e, 0x14a1, 0x0528, 0x37b3, 0x263a,
0xdecd, 0xcf44, 0xfddf, 0xec56, 0x98e9, 0x8960, 0xbbfb, 0xaa72,
0x6306, 0x728f, 0x4014, 0x519d, 0x2522, 0x34ab, 0x0630, 0x17b9,
0xef4e, 0xfec7, 0xcc5c, 0xddd5, 0xa96a, 0xb8e3, 0x8a78, 0x9bf1,
0x7387, 0x620e, 0x5095, 0x411c, 0x35a3, 0x242a, 0x16b1, 0x0738,
0xffcf, 0xee46, 0xdcdd, 0xcd54, 0xb9eb, 0xa862, 0x9af9, 0x8b70,
0x8408, 0x9581, 0xa71a, 0xb693, 0xc22c, 0xd3a5, 0xe13e, 0xf0b7,
0x0840, 0x19c9, 0x2b52, 0x3adb, 0x4e64, 0x5fed, 0x6d76, 0x7cff,
0x9489, 0x8500, 0xb79b, 0xa612, 0xd2ad, 0xc324, 0xf1bf, 0xe036,
0x18c1, 0x0948, 0x3bd3, 0x2a5a, 0x5ee5, 0x4f6c, 0x7df7, 0x6c7e,
0xa50a, 0xb483, 0x8618, 0x9791, 0xe32e, 0xf2a7, 0xc03c, 0xd1b5,
0x2942, 0x38cb, 0x0a50, 0x1bd9, 0x6f66, 0x7eef, 0x4c74, 0x5dfd,
0xb58b, 0xa402, 0x9699, 0x8710, 0xf3af, 0xe226, 0xd0bd, 0xc134,
0x39c3, 0x284a, 0x1ad1, 0x0b58, 0x7fe7, 0x6e6e, 0x5cf5, 0x4d7c,
0xc60c, 0xd785, 0xe51e, 0xf497, 0x8028, 0x91a1, 0xa33a, 0xb2b3,
0x4a44, 0x5bcd, 0x6956, 0x78df, 0x0c60, 0x1de9, 0x2f72, 0x3efb,
0xd68d, 0xc704, 0xf59f, 0xe416, 0x90a9, 0x8120, 0xb3bb, 0xa232,
0x5ac5, 0x4b4c, 0x79d7, 0x685e, 0x1ce1, 0x0d68, 0x3ff3, 0x2e7a,
0xe70e, 0xf687, 0xc41c, 0xd595, 0xa12a, 0xb0a3, 0x8238, 0x93b1,
0x6b46, 0x7acf, 0x4854, 0x59dd, 0x2d62, 0x3ceb, 0x0e70, 0x1ff9,
0xf78f, 0xe606, 0xd49d, 0xc514, 0xb1ab, 0xa022, 0x92b9, 0x8330,
0x7bc7, 0x6a4e, 0x58d5, 0x495c, 0x3de3, 0x2c6a, 0x1ef1, 0x0f78
};

这样对于消息unsigned char message[len],校验码为:
    unsigned short code = do_crc(message, len);
并且按以下方式发送出去:
    message[len] = code & 0x00ff;
    message[len + 1] = (code >> 8) & 0x00ff;
   
接收端对收到的len + 2字节执行do_crc,如果没有差错发生则结果应为0。

在一些传输协议中,发送端并不指出消息长度,而是采用结束标志,考虑以下几种差错:
    1)在消息之前,增加1个或多个0字节;
    2)消息以1个或多个连续的0字节开始,丢掉1个或多个0;
    3)在消息(包括校验码)之后,增加1个或多个0字节;
    4)消息(包括校验码)以1个或多个连续的0字节结尾,丢掉1个或多个0;
   
显然,这几种差错都检测不出来,其原因就是如果寄存器值为0,处理0消息字节(或位),寄
存器值不变。为了解决前2个问题,只需寄存器的初值非0即可,对do_crc作以下改进:
 
unsigned short do_crc(unsigned short reg_init, unsigned char *message, unsigned int len)
{
    unsigned short crc_reg = reg_init;
         
    while (len--)
        crc_reg = (crc_reg >> 8) ^ crc16_ccitt_table[(crc_reg ^ *message++) & 0xff];
       
    return crc_reg;
}

在CRC16-CCITT标准中reg_init = 0xffff,为了解决后2个问题,在CRC16-CCITT标准中将计
算出的校验码与0xffff进行异或,即:
    unsigned short code = do_crc(0xffff, message, len);
    code ^= 0xffff;
    message[len] = code & 0x00ff;
    message[len + 1] = (code >> 8) & 0x00ff;  
   
显然,现在接收端对收到的所有字节执行do_crc,如果没有差错发生则结果应为某一常值
GOOD_CRC。其满足以下关系:
    unsigned char p[]= {0xff, 0xff};
    GOOD_CRC = do_crc(0, p, 2);
其结果为GOOD_CRC = 0xf0b8。


参考文献
--------
[1] Ross N. Williams,"A PAINLESS GUIDE TO CRC ERROR DETECTION ALGORITHMS",Version 3,
   
http://www.ross.net/crc/crcpaper.html,August 1993
[2] Simpson, W., Editor, "PPP in HDLC Framing",RFC 1549, December 1993
[3] P. E. Boudreau,W. C. Bergman and D. R. lrvin,"Performance of a cyclic redundancy
    check and its interaction with a data scrambler",IBM J. RES. DEVELOP.,VOL.38
    NO.6,November 1994
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