摘要：CRC(Cyclic Redundancy Check)被广泛用于数据通信过程中的差错检测，具有很强的
检错能力。本文详细介绍了CRC的基本原理，并且按照解释通行的查表算法的由来的思路介绍
了各种具体的实现方法。
1.差错检测
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数据通信中，接收端需要检测在传输过程中是否发生差错，常用的技术有奇偶校验(Parity
Check)，校验和(Checksum)和CRC(Cyclic Redundancy Check)。它们都是发送端对消息按照
某种算法计算出校验码，然后将校验码和消息一起发送到接收端。接收端对接收到的消息按
照相同算法得出校验码，再与接收到的校验码比较，以判断接收到消息是否正确。
奇偶校验只需要1位校验码，其计算方法也很简单。以奇检验为例，发送端只需要对所有消息
位进行异或运算，得出的值如果是0，则校验码为1，否则为0。接收端可以对消息进行相同计
算，然后比较校验码。也可以对消息连同校验码一起计算，若值是0则有差错，否则校验通过。
通常说奇偶校验可以检测出1位差错，实际上它可以检测出任何奇数位差错。
校验和的思想也很简单，将传输的消息当成8位(或16/32位)整数的序列，将这些整数加起来
而得出校验码，该校验码也叫校验和。校验和被用在IP协议中，按照16位整数运算，而且其
MSB(Most Significant Bit)的进位被加到结果中。
显然，奇偶校验和校验和都有明显的不足。奇偶校验不能检测出偶数位差错。对于校验和，
如果整数序列中有两个整数出错，一个增加了一定的值，另一个减小了相同的值，这种差错
就检测不出来。
2.CRC算法的基本原理
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CRC算法的是以GF(2)(2元素伽罗瓦域)多项式算术为数学基础的，听起来很恐怖，但实际上它
的主要特点和运算规则是很好理解的。
GF(2)多项式中只有一个变量x，其系数也只有0和1，如：
1*x^7 + 0*x^6 + 1*x^5 + 0*x^4 + 0*x^3 + 1*x^2 +1*x^1 + 1*x^0
即：
x^7 + x^5 + x^2 + x + 1
(x^n表示x的n次幂)
GF(2)多项式中的加减用模2算术执行对应项上系数的加减，模2就是加减时不考虑进位和借位，
即：
0 + 0 = 0 0 - 0 = 0
0 + 1 = 1 0 - 1 = 1
1 + 0 = 1 1 - 0 = 1
1 + 1 = 0 1 - 1 = 0
显然，加和减是一样的效果(故在GF(2)多项式中一般不出现"-"号)，都等同于异或运算。例
如P1 = x^3 + x^2 + 1，P2 = x^3 + x^1 + 1，P1 + P2为：
x^3 + x^2 + 1
+ x^3 + x + 1
------------------
x^2 + x
GF(2)多项式乘法和一般多项式乘法基本一样，只是在各项相加的时候按模2算术进行，例如
P1 * P2为：
(x^3 + x^2 + 1)(x^3 + x^1 + 1)
= (x^6 + x^4 + x^3
+ x^5 + x^3 + x^2
+ x^3 + x + 1)
= x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1
GF(2)多项式除法也和一般多项式除法基本一样，只是在各项相减的时候按模2算术进行，例
如P3 = x^7 + x^6 + x^5 + x^2 + x，P3 / P2为：
x^4 + x^3 + 1
------------------------------------------
x^3 + x + 1 )x^7 + x^6 + x^5 + x^2 + x
x^7 + x^5 + x^4
---------------------
x^6 + x^4
x^6 + x^4 + x^3
---------------------
x^3 + x^2 + x
x^3 + x + 1
-----------------
x^2 + 1
CRC算法将长度为m位的消息对应一个GF(2)多项式M，比如对于8位消息11100110，如果先传输
MSB，则它对应的多项式为x^7 + x^6 + x^5 + x^2 + x。发送端和接收端约定一个次数为r的
GF(2)多项式G，称为生成多项式，比如x^3 + x + 1，r = 3。在消息后面加上r个0对应的多
项式为M'，显然有M' = Mx^r。用M'除以G将得到一个次数等于或小于r - 1的余数多项式R，
其对应的r位数值则为校验码。如下所示：
11001100
-------------
1011 )11100110000
1011.......
----.......
1010......
1011......
----......
1110...
1011...
----...
1010..
1011..
----
100 <---校验码
发送端将m位消息连同r位校验码(也就是M' + R)一起发送出去，接收端按同样的方法算出收
到的m位消息的校验码，再与收到的校验码比较。接收端也可以用收到的全部m + r位除以生
成多项式，再判断余数是否为0。这是因为，M' + R = (QG + R) + R = QG，这里Q是商。显
然，它也可以像发送端一样，在全部m + r后再增加r个0，再除以生成多项式，如果没有差错
发生，余数仍然为0。
3.生成多项式的选择
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很明显，不同的生成多项式，其检错能力是不同的。如何选择一个好的生成多项式需要一定
的数学理论，这里只从一些侧面作些分析。显然，要使用r位校验码，生成多项式的次数应为
r。生成多项式应该包含项"1"，否则校验码的LSB(Least Significant Bit)将始终为0。如果
消息(包括校验码)T在传输过程中产生了差错，则接收端收到的消息可以表示为T + E。若E不
能被生成多项式G除尽，则该差错可以被检测出。考虑以下几种情况：
1)1位差错，即E = x^n = 100...00，n >= 0。只要G至少有2位1，E就不能被G除尽。这
是因为Gx^k相当于将G左移k位，对任意多项式Q，QG相当于将多个不同的G的左移相加。
如果G至少有两位1，它的多个不同的左移相加结果至少有两位1。
2)奇数位差错，只要G含有因子F = x + 1，E就不能被G除尽。这是因为QG = Q'F，由1)
的分析，F的多个不同的左移相加结果1的位数必然是偶数。
3)爆炸性差错，即E = (x^n + ... + 1)x^m = 1...100...00，n >= 1，m >= 0，显然只
要G包含项"1"，且次数大于n，就不能除尽E。
4)2位差错，即E = (x^n + 1)x^m = 100...00100...00，n >= 0。设x^n + 1 = QG + R，
则E = QGx^m + Rx^m，由3)可知E能被G除尽当且仅当R为0。因此只需分析x^n + 1，根
据[3]，对于次数r，总存在一个生成多项式G，使得n最小为2^r - 1时，才能除尽x^n
+ 1。称该生成多项式是原始的(primitive)，它提供了在该次数上检测2位差错的最高
能力，因为当n = 2^r - 1时，x^n + 1能被任何r次多项式除尽。[3]同时指出，原始
生成多项式是不可约分的，但不可约分的的多项式并不一定是原始的，因此对于某些
奇数位差错，原始生成多项式是检测不出来的。
以下是一些标准的CRC算法的生成多项式：
标准 多项式 16进制表示
---------------------------------------------------------------------------
CRC12 x^12 + x^11 + x^3 + x^2 + x + 1 80F
CRC16 x^16 + x^15 + x^2 + 1 8005
CRC16-CCITT x^16 + x^12 + x^5 + 1 1021
CRC32 x^32 + x^26 + x^23 + x^22 + x^16 + x^12 + x^11 04C11DB7
+ x^10 + x^8 + x^7 + x^5 + x^4 + x^2 + x + 1
16进制表示去掉了最高次项，CCITT在1993年改名为ITU-T。CRC12用于6位字节，其它用于8位
字节。CRC16在IBM的BISYNCH通信标准。CRC16-CCITT被广泛用于XMODEM, X.25和SDLC等通信
协议。而以太网和FDDI则使用CRC32，它也被用在ZIP，RAR等文件压缩中。在这些生成多项式
中，CRC32是原始的，而其它3个都含有因子x + 1。
4.CRC算法的实现
---------------
要用程序实现CRC算法，考虑对第2节的长除法做一下变换，依然是M = 11100110，G = 1011，
其系数r为3。
11001100 11100110000
------------- 1011
1011 )11100110000 -----------
1011....... 1010110000
----....... 1010110000
1010...... 1011
1011...... ===> -----------
----...... 001110000
1110... 1110000
1011... 1011
----... -----------
1010.. 101000
1011.. 101000
---- 1011
100 <---校验码 -----------
00100
100 <---校验码
程序可以如下实现：
1)将Mx^r的前r位放入一个长度为r的寄存器；
2)如果寄存器的首位为1，将寄存器左移1位(将Mx^r剩下部分的MSB移入寄存器的LSB)，
再与G的后r位异或，否则仅将寄存器左移1位(将Mx^r剩下部分的MSB移入寄存器的LSB)；
3)重复第2步，直到M全部Mx^r移入寄存器；
4)寄存器中的值则为校验码。
用CRC16-CCITT的生成多项式0x1021，其C代码(本文所有代码假定系统为32位，且都在VC6上
编译通过)如下：
unsigned short do_crc(unsigned char *message, unsigned int len)
{
int i, j;
unsigned short crc_reg;
crc_reg = (message[0] << 8) + message[1];
for (i = 0; i < len; i++)
{
if (i < len - 2)
for (j = 0; j <= 7; j++)
{
if ((short)crc_reg < 0)
crc_reg = ((crc_reg << 1) + (message[i + 2] >> (7 - i))) ^ 0x1021;
else
crc_reg = (crc_reg << 1) + (message[i + 2] >> (7 - i));
}
else
for (j = 0; j <= 7; j++)
{
if ((short)crc_reg < 0)
crc_reg = (crc_reg << 1) ^ 0x1021;
else
crc_reg <<= 1;
}
}
return crc_reg;
}
显然，每次内循环的行为取决于寄存器首位。由于异或运算满足交换率和结合律，以及与0异
或无影响，消息可以不移入寄存器，而在每次内循环的时候，寄存器首位再与对应的消息位
异或。改进的代码如下：
unsigned short do_crc(unsigned char *message, unsigned int len)
{
int i, j;
unsigned short crc_reg = 0;
unsigned short current;
for (i = 0; i < len; i++)
{
current = message[i] << 8;
for (j = 0; j < 8; j++)
{
if ((short)(crc_reg ^ current) < 0)
crc_reg = (crc_reg << 1) ^ 0x1021;
else
crc_reg <<= 1;
current <<= 1;
}
}
return crc_reg;
}
以上的讨论中，消息的每个字节都是先传输MSB，CRC16-CCITT标准却是按照先传输LSB，消息
右移进寄存器来计算的。只需将代码改成判断寄存器的LSB，将0x1021按位颠倒后(0x8408)与
寄存器异或即可，如下所示：
unsigned short do_crc(unsigned char *message, unsigned int len)
{
int i, j;
unsigned short crc_reg = 0;
unsigned short current;
for (i = 0; i < len; i++)
{
current = message[i];
for (j = 0; j < 8; j++)
{
if ((crc_reg ^ current) & 0x0001)
crc_reg = (crc_reg >> 1) ^ 0x8408;
else
crc_reg >>= 1;
current >>= 1;
}
}
return crc_reg;
}
该算法使用了两层循环，对消息逐位进行处理，这样效率是很低的。为了提高时间效率，通
常的思想是以空间换时间。考虑到内循环只与当前的消息字节和crc_reg的低字节有关，对该
算法做以下等效转换：
unsigned short do_crc(unsigned char *message, unsigned int len)
{
int i, j;
unsigned short crc_reg = 0;
unsigned char index;
unsigned short to_xor;
for (i = 0; i < len; i++)
{
index = (crc_reg ^ message[i]) & 0xff;
to_xor = index;
for (j = 0; j < 8; j++)
{
if (to_xor & 0x0001)
to_xor = (to_xor >> 1) ^ 0x8408;
else
to_xor >>= 1;
}
crc_reg = (crc_reg >> 8) ^ to_xor;
}
return crc_reg;
}
现在内循环只与index相关了，可以事先以数组形式生成一个表crc16_ccitt_table，使得
to_xor = crc16_ccitt_table[index]，于是可以简化为：
unsigned short do_crc(unsigned char *message, unsigned int len)
{
unsigned short crc_reg = 0;
while (len--)
crc_reg = (crc_reg >> 8) ^ crc16_ccitt_table[(crc_reg ^ *message++) & 0xff];
return crc_reg;
}
crc16_ccitt_table通过以下代码生成：
int main()
{
unsigned char index = 0;
unsigned short to_xor;
int i;
printf("unsigned short crc16_ccitt_table[256] =\n{");
while (1)
{
if (!(index % 8))
printf("\n");
to_xor = index;
for (i = 0; i < 8; i++)
{
if (to_xor & 0x0001)
to_xor = (to_xor >> 1) ^ 0x8408;
else
to_xor >>= 1;
}
printf("0x%04x", to_xor);
if (index == 255)
{
printf("\n");
break;
}
else
{
printf(", ");
index++;
}
}
printf("};");
return 0;
}
生成的表如下：
unsigned short crc16_ccitt_table[256] =
{
0x0000, 0x1189, 0x2312, 0x329b, 0x4624, 0x57ad, 0x6536, 0x74bf,
0x8c48, 0x9dc1, 0xaf5a, 0xbed3, 0xca6c, 0xdbe5, 0xe97e, 0xf8f7,
0x1081, 0x0108, 0x3393, 0x221a, 0x56a5, 0x472c, 0x75b7, 0x643e,
0x9cc9, 0x8d40, 0xbfdb, 0xae52, 0xdaed, 0xcb64, 0xf9ff, 0xe876,
0x2102, 0x308b, 0x0210, 0x1399, 0x6726, 0x76af, 0x4434, 0x55bd,
0xad4a, 0xbcc3, 0x8e58, 0x9fd1, 0xeb6e, 0xfae7, 0xc87c, 0xd9f5,
0x3183, 0x200a, 0x1291, 0x0318, 0x77a7, 0x662e, 0x54b5, 0x453c,
0xbdcb, 0xac42, 0x9ed9, 0x8f50, 0xfbef, 0xea66, 0xd8fd, 0xc974,
0x4204, 0x538d, 0x6116, 0x709f, 0x0420, 0x15a9, 0x2732, 0x36bb,
0xce4c, 0xdfc5, 0xed5e, 0xfcd7, 0x8868, 0x99e1, 0xab7a, 0xbaf3,
0x5285, 0x430c, 0x7197, 0x601e, 0x14a1, 0x0528, 0x37b3, 0x263a,
0xdecd, 0xcf44, 0xfddf, 0xec56, 0x98e9, 0x8960, 0xbbfb, 0xaa72,
0x6306, 0x728f, 0x4014, 0x519d, 0x2522, 0x34ab, 0x0630, 0x17b9,
0xef4e, 0xfec7, 0xcc5c, 0xddd5, 0xa96a, 0xb8e3, 0x8a78, 0x9bf1,
0x7387, 0x620e, 0x5095, 0x411c, 0x35a3, 0x242a, 0x16b1, 0x0738,
0xffcf, 0xee46, 0xdcdd, 0xcd54, 0xb9eb, 0xa862, 0x9af9, 0x8b70,
0x8408, 0x9581, 0xa71a, 0xb693, 0xc22c, 0xd3a5, 0xe13e, 0xf0b7,
0x0840, 0x19c9, 0x2b52, 0x3adb, 0x4e64, 0x5fed, 0x6d76, 0x7cff,
0x9489, 0x8500, 0xb79b, 0xa612, 0xd2ad, 0xc324, 0xf1bf, 0xe036,
0x18c1, 0x0948, 0x3bd3, 0x2a5a, 0x5ee5, 0x4f6c, 0x7df7, 0x6c7e,
0xa50a, 0xb483, 0x8618, 0x9791, 0xe32e, 0xf2a7, 0xc03c, 0xd1b5,
0x2942, 0x38cb, 0x0a50, 0x1bd9, 0x6f66, 0x7eef, 0x4c74, 0x5dfd,
0xb58b, 0xa402, 0x9699, 0x8710, 0xf3af, 0xe226, 0xd0bd, 0xc134,
0x39c3, 0x284a, 0x1ad1, 0x0b58, 0x7fe7, 0x6e6e, 0x5cf5, 0x4d7c,
0xc60c, 0xd785, 0xe51e, 0xf497, 0x8028, 0x91a1, 0xa33a, 0xb2b3,
0x4a44, 0x5bcd, 0x6956, 0x78df, 0x0c60, 0x1de9, 0x2f72, 0x3efb,
0xd68d, 0xc704, 0xf59f, 0xe416, 0x90a9, 0x8120, 0xb3bb, 0xa232,
0x5ac5, 0x4b4c, 0x79d7, 0x685e, 0x1ce1, 0x0d68, 0x3ff3, 0x2e7a,
0xe70e, 0xf687, 0xc41c, 0xd595, 0xa12a, 0xb0a3, 0x8238, 0x93b1,
0x6b46, 0x7acf, 0x4854, 0x59dd, 0x2d62, 0x3ceb, 0x0e70, 0x1ff9,
0xf78f, 0xe606, 0xd49d, 0xc514, 0xb1ab, 0xa022, 0x92b9, 0x8330,
0x7bc7, 0x6a4e, 0x58d5, 0x495c, 0x3de3, 0x2c6a, 0x1ef1, 0x0f78
};
这样对于消息unsigned char message[len]，校验码为：
unsigned short code = do_crc(message, len);
并且按以下方式发送出去：
message[len] = code & 0x00ff;
message[len + 1] = (code >> 8) & 0x00ff;
接收端对收到的len + 2字节执行do_crc，如果没有差错发生则结果应为0。
在一些传输协议中，发送端并不指出消息长度，而是采用结束标志，考虑以下几种差错：
1)在消息之前，增加1个或多个0字节；
2)消息以1个或多个连续的0字节开始，丢掉1个或多个0；
3)在消息(包括校验码)之后，增加1个或多个0字节；
4)消息(包括校验码)以1个或多个连续的0字节结尾，丢掉1个或多个0；
显然，这几种差错都检测不出来，其原因就是如果寄存器值为0，处理0消息字节(或位)，寄
存器值不变。为了解决前2个问题，只需寄存器的初值非0即可，对do_crc作以下改进：
unsigned short do_crc(unsigned short reg_init, unsigned char *message, unsigned int len)
{
unsigned short crc_reg = reg_init;
while (len--)
crc_reg = (crc_reg >> 8) ^ crc16_ccitt_table[(crc_reg ^ *message++) & 0xff];
return crc_reg;
}
在CRC16-CCITT标准中reg_init = 0xffff，为了解决后2个问题，在CRC16-CCITT标准中将计
算出的校验码与0xffff进行异或，即：
unsigned short code = do_crc(0xffff, message, len);
code ^= 0xffff;
message[len] = code & 0x00ff;
message[len + 1] = (code >> 8) & 0x00ff;
显然，现在接收端对收到的所有字节执行do_crc，如果没有差错发生则结果应为某一常值
GOOD_CRC。其满足以下关系：
unsigned char p[]= {0xff, 0xff};
GOOD_CRC = do_crc(0, p, 2);
其结果为GOOD_CRC = 0xf0b8。
参考文献
--------
[1] Ross N. Williams，"A PAINLESS GUIDE TO CRC ERROR DETECTION ALGORITHMS"，Version 3，
http://www./crc/crcpaper.html，August 1993
[2] Simpson, W., Editor, "PPP in HDLC Framing"，RFC 1549, December 1993
[3] P. E. Boudreau，W. C. Bergman and D. R. lrvin，"Performance of a cyclic redundancy
check and its interaction with a data scrambler"，IBM J. RES. DEVELOP.，VOL.38
NO.6，November 1994
