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高等数学难点总结及课后习题解读 - 数学 - 考研论坛

2010-03-16  cuso4321
前面的话:

这三篇总结文章,来自于我五一给学生的几堂总结课,当时没有做书面材料,后来才想到把它们整理成文。
考虑到现在大多数人都还在进行第一轮,也就是基础阶段的复习,所以先把自己对高数知识点的总结奉上,希望对大家能有帮助。
可能以后也会有关于线代和概率的总结。

上册除了空间解析几何基本都涉及了,这是数一数二数三数四的共通内容。
下册(一)是关于多元微积分和级数的,其中数二数四的就不用看级数了。
下册(二)是关于线面积分的,数一专题。

习题解读在第18楼

上册:

函数(高等数学的主要研究对象)

极限:数列的极限(特殊)——函数的极限(一般)

极限的本质是通过已知某一个量(自变量)的变化趋势,去研究和探索另外一个量(因变量)的变化趋势
由极限可以推得的一些性质:局部有界性、局部保号性……应当注意到,由极限所得到的性质通常都是只在局部范围内成立

在提出极限概念的时候并未涉及到函数在该点的具体情况,所以函数在某点的极限与函数在该点的取值并无必然联系
连续:函数在某点的极限 等于 函数在该点的取值
连续的本质:自变量无限接近,因变量无限接近

导数的概念
本质是函数增量与自变量增量的比值在自变量增量趋近于零时的极限,更简单的说法是变化率

微分的概念:函数增量的线性主要部分,这个说法有两层意思,一、微分是一个线性近似,二、这个线性近似带来的误差是足够小的,实际上任何函数的增量我们都可以线性关系去近似它,但是当误差不够小时,近似的程度就不够好,这时就不能说该函数可微分了

不定积分:导数的逆运算
什么样的函数有不定积分

定积分:由具体例子引出,本质是先分割、再综合,其中分割的作用是把不规则的整体划作规则的许多个小的部分,然后再综合,最后求极限,当极限存在时,近似成为精确
什么样的函数有定积分

求不定积分(定积分)的若干典型方法:换元、分部,分部积分中考虑放到积分号后面的部分,不同类型的函数有不同的优先级别,按反对幂三指的顺序来记忆

定积分的几何应用和物理应用

高等数学里最重要的数学思想方法:微元法

微分和导数的应用:判断函数的单调性和凹凸性

微分中值定理,可从几何意义去加深理解

泰勒定理:本质是用多项式来逼近连续函数。要学好这部分内容,需要考虑两个问题:一、这些多项式的系数如何求?二、即使求出了这些多项式的系数,如何去评估这个多项式逼近连续函数的精确程度,即还需要求出误差(余项),当余项随着项数的增多趋向于零时,这种近似的精确度就是足够好的


多元函数的微积分:将上册的一元函数微积分的概念拓展到多元函数

最典型的是二元函数

极限:二元函数与一元函数要注意的区别,二元函数中两点无限接近的方式有无限多种(一元函数只能沿直线接近),所以二元函数存在的要求更高,即自变量无论以任何方式接近于一定点,函数值都要有确定的变化趋势

连续:二元函数和一元函数一样,同样是考虑在某点的极限和在某点的函数值是否相等

导数:上册中已经说过,导数反映的是函数在某点处的变化率(变化情况),在二元函数中,一点处函数的变化情况与从该点出发所选择的方向有关,有可能沿不同方向会有不同的变化率,这样引出方向导数的概念

沿坐标轴方向的导数若存在,称之为偏导数

通过研究发现,方向导数与偏导数存在一定关系,可用偏导数和所选定的方向来表示,即二元函数的两个偏导数已经足够表示清楚该函数在一点沿任意方向的变化情况

高阶偏导数若连续,则求导次序可交换

微分:微分是函数增量的线性主要部分,这一本质对一元函数或多元函数来说都一样。只不过若是二元函数,所选取的线性近似部分应该是两个方向自变量增量的线性组合,然后再考虑误差是否是自变量增量的高阶无穷小,若是,则微分存在

仅仅有偏导数存在,不能推出用线性关系近似表示函数增量后带来的误差足够小,即偏导数存在不一定有微分存在

若偏导数存在,且连续,则微分一定存在

极限、连续、偏导数和可微的关系在多元函数情形里比一元函数更为复杂

极值:若函数在一点取极值,且在该点导数(偏导数)存在,则此导数(偏导数)必为零

所以,函数在某点的极值情况,即函数在该点附近的函数增量的符号,由二阶微分的符号判断。对一元函数来说,二阶微分的符号就是二阶导数的符号,对二元函数来说,二阶微分的符号可由相应的二次型的正定或负定性判断。

级数敛散性的判别思路:首先看通项是否趋于零,若不趋于零则发散。若通项趋于零,看是否正项级数。若是正项级数,首先看能否利用比较判别法,注意等比级数和调和级数是常用来作比较的级数,若通项是连乘形式,考虑用比值判别法,若通项是乘方形式,考虑用根值判别法。若不是正项级数,取绝对值,考虑其是否绝对收敛,绝对收敛则必收敛。若绝对值不收敛,考察一般项,看是否交错级数,用莱布尼兹准则判断。若不是交错级数,只能通过最根本的方法判断,即看其前n项和是否有极限,具体问题具体分析。

比较判别法是充分必要条件,比值和根值法只是充分条件,不是必要条件。

函数项级数情况复杂,一般只研究幂级数。阿贝尔定理揭示了幂级数的重要性质:收敛区域存在一个收敛半径。所以对幂级数,关键在于求出收敛半径,而这可利用根值判别法解决。

逐项求导和逐项积分不改变幂级数除端点外的区域的敛散性,端点情况复杂,需具体分析。

一个函数能展开成幂级数的条件是:存在任意阶导数。展开后的幂级数能收敛于原来函数的条件是:余项(误差)要随着项数的增加趋于零。这与泰勒展开中的结论一致。

微分方程:不同种类的方程有不同的常见解法,但理解上并无难处。
 
下册(二)

定积分、二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分都可以概率为一种类型的积分,从物理意义上来理解是某个空间区域(直线段、平面区域、立体区域、曲线段、曲面区域)的质量,其中被积元可看作区域的微小单元,被积函数则是该微小单元的密度

这些积分最终都是转化成定积分来计算

第二类曲线积分的物理意义是变力做功(或速度环量),第二类曲面积分的物理意义是流量

在研究上述七类积分的过程中,发现其实被积函数都是空间位置点的函数,于是把这种以空间位置作为自变量的函数称为场函数

场函数有标量场和向量场,一个向量场相当于三个标量场

场函数在一点的变化情况由方向导数给出,而方向导数最大的方向,称为梯度方向。梯度是一个向量,任何方向的方向导数,都是梯度在这个方向上的投影,所以梯度的模是方向导数的最大值

梯度方向是函数变化最快的方向,等位面方向是函数无变化的方向,这两者垂直

梯度实际上一个场函数不均匀性的量度

梯度运算把一个标量场变成向量场

一条空间曲线在某点的切向量,便是该点处的曲线微元向量,有三个分量,它建立了第一类曲线积分与第二类曲线积分的联系

一张空间曲面在某点的法向量,便是该点处的曲面微元向量,有三个分量,它建立了第一类曲面积分和第二类曲面积分的联系

物体在一点处的相对体积变化率由该点处的速度场决定,其值为速度场的散度

散度运算把向量场变成标量场

散度为零的场称为无源场

高斯定理的物理意义:对散度在空间区域进行体积分,结果应该是这个空间区域的体积变化率,同时这种体积变化也可看成是在边界上的流量造成的,故两者应该相等。即高斯定理把一个速度场在边界上的积分与速度场的散度在该边界所围的闭区域上的体积分联系起来

无源场的体积变化为零,这是容易理解的,相当于既无损失又无补充

物体在一点处的旋转情况由该点处的速度场决定,其值为速度场的旋度

旋度运算把向量场变成向量场

旋度为零的场称为无旋场

斯托克斯定理的物理意义:对旋度在空间曲面进行第二类曲面积分,结果应该表示的是这个曲面的旋转快慢程度,同时这种旋转也可看成是边界上的速度环量造成的,故两者应该相等。即斯托克斯定理把一个速度场在边界上形成的环量与该边界所围的曲面的第二类曲面积分联系起来。该解释是从速度环量的角度出发得到的,比高斯定理要难,不强求掌握。

无旋场的速度环量为零,这相当于一个区域没有旋转效应,这是容易理解的

格林定理是斯托克斯定理的平面情形

进一步考察无旋场的性质

旋度为零,相当于对旋度作的第二类曲面积分为零——即等号后边的第二类曲线积分为零,相当于该力场围绕一闭合空间曲线作做的功为零——即从该闭合曲线上任选一点出发,积分与路径无关——相当于所得到的曲线积分结果只于终点的选择有关,与路径无关,可看成终点的函数,这是一个场函数(空间位置的函数),称为势函数——所得的势函数的梯度正好就是原来的力场——因为力场函数是连续的,所以势函数有全微分

简单的概括起来就是:无旋场——积分与路径无关——梯度场——有势场——全微分

要注意以上这些说法之间的等价性

三定理(Gauss Stokes Green)的向量形式和分量形式都要熟悉

 
 
about 习题
基础阶段的复习是以课本为主,主要任务两个,一是学习知识点(定义、定理、公式)并理解它们,二是完成一定的课后习题以检验自己对知识点的掌握程度。

很多人在学习中都容易忽视课本,觉得比起那些专门的参考资料,课本上的习题实际上是没什么值得关注的,但其实不然,一套经典的教材,它所配的习题很多都有值得我们去挖掘的地方。

那么接下来我就说说我对我们用的教材上课后习题的解读,希望能给同学们提示。因为高数的题目比较多,而我感觉每章的总习题有着更好的总结性,所以主要就说说总习题一到十二里我感觉值得注意的一些题目吧。


总习题一:

1是填空题,是考察与极限有关的一些概念,这个是很重要的,要掌握好。而且几乎每章的总习题都设了填空题,均与这些章节的重要概念有关。所以每章的总习题里的填空题所涉及的知识点,比如谁是谁的什么条件之类,务必要搞清楚。

2是无穷小的阶的比较

3、4、5、6是与函数有关的题目,这个是学好高数的基础,但却不是高数侧重的内容,熟悉即可

7用定义证明极限,较难,一般来说能理解极限的概念就可以了

8典型题,求各种类型极限,重要,6个小题各代表一种类型,其实求极限的题目基本跳不出这六种框架了

9典型题,选择合适的参数,使函数连续,用连续的定义即可

10典型题,判断函数的间断点类型,按间断点的分类即可

11较难的极限题,这里是要用到夹逼原理,此类题目技巧性强,体会一下即可

12证明零点存在的问题,要用到连续函数介值定理,重要的证明题型之一,必需掌握

13该题目给出了渐近线的定义以及求法,要作为一个知识点来掌握,重要

综上,第一章总习题要着重掌握的是1、2、8、9、10、12、13题


总习题二:

1填空题,不多说了,重点

2非常好的一道题目,考察了与导数有关的一些说法,其中的干扰项(B)(C)设置的比较巧妙,因为平时我们一般只注意到导数在某点存在的条件是左右导数都存在且相等,容易忽视另一个重要条件:函数必须要在该点连续,否则何来可导?而(B)(C)项的问题正是在于即使其中的极限存在,也不能保证函数在该点连续,因为根本就没出现f(a),所以对f(x)在a处的情况是不清楚的。而对(A)项来说只能保证右导数存在。只有(D)项是能确实的推出可导的

3物理应用现在基本不要求了

4按定义求导数,不难,应该掌握

5常见题型,判断函数在间断点处的导数情况,按定义即可

6典型题,讨论函数在间断点处的连续性和可导性,均按定义即可

7求函数的导数,计算层面的考察,第二章学习的主要内容

8求二阶导数,同上题

9求高阶导数,需注意总结规律,难度稍大,体会思路即可

10求隐函数的导数,重要,常考题型

11求参数方程的导数,同样是常考题型

12导数的几何应用,重要题型

13、14、15不作要求

综上,第二章总习题需重点掌握的题目是1、2、4、5、6、7、8、10、11、12

第三章的习题都比较难,需要多总结和体会解题思路



总习题三

1零点个数的讨论问题,典型题,需掌握

2又一道设置巧妙的题目,解决方法有很多,通过二阶导的符号来判断函数增量与导数、微分的大小关系,07年真题就有一道题目由此题改造而来,需重点体会

3举反例,随便找个有跳跃点的函数即可

4中值定理和极限的综合应用,重要题目,主要从中体会中值定理的妙处

5零点问题,可用反证法结合罗尔定理,也可正面推证,确定出函数的单调区间即可,此题非典型题

6、7、8中值定理典型题,要证明存在零点,可构造适当的辅助函数,再利用罗尔定理,此类题非常重要,要细心体会解答给出的方法

9非常见题型,了解即可

10罗必达法则应用,重要题型,重点掌握

11不等式,一般可用导数推征,典型题

12、13极值及最值问题,需要掌握,不过相对来说多元函数的这类问题更重要些

14、15、16不作要求

17非常重要的一道题目,设计的很好,需要注意题目条件中并未给出f''可导,故不能连用两次洛必达法则,只能用一次洛必达法则再用定义,这是此题的亮点

18无穷小的阶的比较,一是可直接按定义,二是可将函数泰勒展开,都能得到结果,此题考察的是如何判断两个量的阶的大小,重要

19对凹凸性定义的推广,用泰勒公式展开到二阶可较方便的解决,此题可看作泰勒公式应用的一个实例,重在体会其思想

20确定合适的常数,使得函数为给定的无穷小量,典型题,且难度不大

综上,第三章总习题需要重点掌握的是1、2、4、6、7、8、10、11、12、13、17、18、20


第四章没有什么可说的重点,能做多少是多少吧……

积分的题目是做不完的。

当然,如果你以那种不破楼兰终不还的决心和气势,最终把所有题目搞定了,这还是值得恭喜的,尽管可能这会花掉很多时间,但仍然是值得的……因为这有效的锻炼了思维。


总习题五

1填空,重要,但第(2)、(3)问涉及广义积分,不作要求

2典型题,前3题用定积分定义求极限,需重点掌握,尤其是要体会如何把和式改写为相应的积分式,积分区间和被积函数如何定,这个是需要适当的练习才能把握好的,后2题涉及积分上限函数求导,也是常见题型

3分别列出三种积分计算中最可能出现的错误,需细心体会,重要

4利用定积分的估值证明不等式,技巧性较强

5两个著名不等式的积分形式,不作强制要求,了解即可

6此题证明要用5题中的柯西不等式,不作要求

7计算定积分,典型题

8证明两个积分相等,可用一般方法,也可利用二重积分的交换积分次序,设计巧妙的重点题目

9同样是利用导数证明不等式,只不过对象变得比一般函数复杂,是积分上限函数,但本质和第三章的类似题目无区别,不难掌握

10分段求积分,典型题

11证明积分第一中值定理,要用到连续函数的介值定理,难度高于积分中值定理的证明,可作为提高和锻炼性质的练习

综上,总习题五需要重点掌握的题目是1、2、3、7、8、9、10


定积分的应用一块的考察,现在更偏重的是几何应用

1物理应用,跳过

2所涉及到的图形较为复杂,是两个圆,其中第二个是旋转了一定角度的圆,不易看出,此题可作为一个提高性质的练习

3重点题,积分的几何应用和极值问题相结合,常考题型之一

4旋转体体积,需注意的是绕哪条线形成的旋转体,所绕的轴不同的话,结果不同

5求弧长,非典型题,了解即可

6、7、8均为物理应用,不作要求,有兴趣的不妨一试

综上,总习题六实际上就2、3、4题需要引起注意


第七章空间解析几何,只对数一的同学有要求,数二三四的就直接pass吧

总习题七

1填空,向量代数的基本练习,必不可少

2、3、4、5都是平面向量几何的题目,不太重要,不过适当练习可以培养起用向量的方式来思考问题的习惯

7、8、9、10、11都是与向量有关的运算,包括加(减),数乘、点积(相应的意义是一个向量在另一个向量的投影)、两向量的夹角、叉积(相应的意义是平行四边形的面积),要通过这些题目熟悉向量的各种运算,重要

12用证明题的形式来考察对混合积的掌握,需掌握

13按定义写点的轨迹方程,解析几何中的常见题,了解基本做法即可

14旋转曲面相关题目,非常重要,要搞清楚绕某一轴旋转后的旋转曲面写法

15、16求平面的方程,顺带可复习平面方程的类型,这类问题的解决办法一般是先从立体几何中考虑,想到做法再翻译成解析几何的语言,重在思路的考察,需多加练习

17求直线方程,同上题

18解析几何与极值的混合问题,也是一类典型题

19、20考察投影曲线和投影面,这部分知识是多重积分计算的基础,要重点掌握

21画出曲面所围的立体图形,有一定难度,是对空间想象能力的锻炼,尽量都掌握

综上,总习题七需重点掌握的题目是1、7、8、9、10、11、12、14、15、16、17、18、19、20


下册的内容有很多数二数三数四不考,因此我在解读习题时尽量标注出是数一要求的,大家平时也多查查考纲或者翻翻计划,这样对于哪些考哪些不考就更清楚了。


总习题八:

1填空,很重要

2选择,着重考查一条说法,偏导数存在未必可微,这个是无论数几都需要的,还有就是偏导数的几何应用,这个只数一要求

3基本题,求二元函数的定义域和极限,因为是初等函数,直接用“代入法”求极限就可以了

4典型题,判断极限存在性,考察如果证明一个二元函数的极限是不存在的(常用方法是取两条路径)

5典型题,求偏导数,注意在连续区间内按求导法则求,在间断点处只能按定义求

6求高阶偏导数,到二阶的题目需要熟练掌握

7微分的概念,简单题目,直接按微分和增量的定义即可

8重点题型,对一个二元函数,考察其在某点的连续性、偏导存在情况和可微性,务必熟练此类题目

9、10、11、12复合函数求偏导的链式法则,重点题型,要多加练习的一类题目,复合函数中哪些自变量是独立的,哪些是不独立的,还有各自对应关系,判断好这些是解题的关键

13、14分别是极坐标和直角坐标情形下偏导数的几何应用,数一要求

15、16方向导数相关题目,该知识点与第十一章联系密切,重要,数一要求

17、18多元函数的极值问题,典型题,且通常都是结合条件极值来考,这类题目一定要熟练,其中08年真题中一道极值题目就是把17题中的柱面改成锥面,其它完全一样,由此可见对课本要重新重视。

综上,总习题八需要重点掌握的题目是1、2、4、5、6、8、9、10、11、12、13(数一)、14(数一)、15(数一)、16(数一)、17、18


第九章的内容中,二重积分以外的内容是数二三四不要求的,就不在题号后一一写明了

总习题九

1选择题,实际是考察多重积分的对称性,属于典型题,在多重积分的情况下,对称性的应用比定积分要复杂,重要,第(1)小问是三重积分,只数一要求,第(2)小问是二重积分

2、3基本题型,计算二重积分或者是交换二重积分的顺序,需要熟练掌握

4利用交换积分次序证明等式,体会一下方法即可

5基本题型,利用极坐标计算二重积分,实际上在计算多重积分时本就要求根据不同的积分区域选择合适的坐标系,这是一个基本能力,重要

6确定三重积分的积分区域,比较锻炼空间想象能力的一类题,重要

7计算三重积分,基本题型,仍然要注意区域不同,所选坐标系不同

8重积分的几何应用,从二重积分的角度,或者从三重积分的角度都可以求解,此题要求数二三四考生也掌握

9、10、11是重积分的物理应用,不作要求

综上,总习题九需要重点掌握的题目是1、2、3、5、6、7、8


第十章的内容全部针对数一

总习题十

1填空,相关知识点是两类线、面积分之间的联系,重要

2选择,考察的是第一类曲面积分的对称性,与重积分的对称性类同,重点题型。需要注意,第二类线、面积分与第一类会有所不同,因为第二类线、面积分的被积元也有符号,这是和第一类线、面积分的区别

3计算曲线积分,基本题型,需要多加练习,六个小题基本覆盖了曲线积分计算题的类型

4计算曲面积分,基本题型,要求同上题。注意在计算线、面积分时,方法很多,常用的有直接转化成定积分或二重积分,或用Green公式,Guass定理,在用这两个定理时又要注意其成立的条件是所围区域不能有奇点,甚至不是闭区域要先补线或者补面,此类题目一定要熟练掌握

5全微分的相关等价说法,典型题,顺带可回顾一下与全微分有关的一系列等价命题

6、7线面积分的物理应用,不作要求

8证明,涉及的知识点多,覆盖面广,通过此题的练习可回忆和巩固线面积分的几乎所有知识点(把梯度和方向导数包括进来了),推荐掌握

9从流量的角度出发理解第二类曲面积分,基本题型

10用Stokes定理积分空间曲线积分,基本题型,01年考过

综上,总习题十需要重点掌握的题目是1、2、3、4、5、8、9、10


第十一章是级数,数二数四不要求,其中傅立叶级数对数三无要求

总习题十一

1填空,涉及级数敛散性的相关说法,重要

2判断正项级数的收敛性,典型题,综合应用比较、比值、根值三种方法,在用比较判别法时实际就是比较两个通项是否同阶无穷小,这样可让思路更清晰

3抽象级数的概念题,重点题型之一,要利用级数收敛的相关性质判断

4设置了陷阱的概念题,因为比较判别法只对正项级数成立,也是重点题型之一

5判断级数的绝对收敛和条件收敛,典型题,通过这些练习来加强对这类题目的熟练度

6利用收敛级数的通项趋于零这一说法来判断极限,体会方法即可

7求幂级数的收敛域,典型题,要多加练习,注意搞清楚收敛域、收敛半径、收敛区域的区别

8求幂级数的和函数,典型题,重要,一般求和函数都不用直接法而用间接法,即通过对通项作变形(逐项积分或求导等),再利用已知的常见函数的展开式得到结果,注意求出和函数不要忘记相应的收敛域。

9利用构造幂级数来求数项级数的和,也是一类重要题型

10将函数展开为幂级数,与8是互为反问题,仍是多用间接展开法,方法上异曲同工,需要熟练掌握,同样注意不要忘记收敛域

11、12傅立叶级数的相关题目,基本题,此类题目记得相应的系数表达式就可解决,一般来说至少要掌握周期为pi的情形。注意傅氏级数展开的系数公式难记,只能平时多加回顾,还有不要忽略了在非连续点展开后的傅氏级数的收敛情况(即狄利赫莱收敛定理)

综上,总习题十一需要重点掌握的题目是1、2、3、4、5、7、8、9、10、11


第十二章微分方程,二阶以上的方程对数四不作要求,下面不再详细说明

总习题十二

1填空,涉及微分方程理论的若干说法,基本题,第(2)问只数一要求

2通过解的形式观察出相应的微分方程,典型题,其中第(2)问更重要

3、4求解不同类型的微分方程,通过这些题目的练习,基本对各种方程的解法有一定了解,同时也培养了一些解题思路和技巧,重要。其中涉及到全微分方程的几个小题只数一有要求

5微分方程的几何应用,基本题

6微分方程的物理应用,不作要求

7由积分方程推导微分方程,典型题,要求掌握

8用变量代换化简微分方程,典型题,只对数一有要求,注意在代换过程中要搞清楚变量和变量的对应关系

9涉及微分方程基本理论的题目,非常见题型,但可体会其出题思路

10欧拉方程的练习,数一要求

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