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数学歌诀

2010-04-26  四乐男子

初中几何常见辅助线作法歌诀
人说几何很困难,难点就在辅助线。
辅助线,如何添?把握定理和概念。
还要刻苦加钻研,找出规律凭经验。

三角形
图中有角平分线,可向两边作垂线。
也可将图对折看,对称以后关系现。
角平分线平行线,等腰三角形来添。
角平分线加垂线,三线合一试试看。
线段垂直平分线,常向两端把线连。
要证线段倍与半,延长缩短可试验。
三角形中两中点,连接则成中位线。
三角形中有中线,延长中线等中线。

四边形
平行四边形出现,对称中心等分点。
梯形里面作高线,平移一腰试试看。
平行移动对角线,补成三角形常见。
证相似,比线段,添线平行成习惯。
等积式子比例换,寻找线段很关键。
直接证明有困难,等量代换少麻烦。
斜边上面作高线,比例中项一大片。




半径与弦长计算,弦心距来中间站。
圆上若有一切线,切点圆心半径连。
切线长度的计算,勾股定理最方便。
要想证明是切线,半径垂线仔细辨。
是直径,成半圆,想成直角径连弦。
弧有中点圆心连,垂径定理要记全。
圆周角边两条弦,直径和弦端点连。
弦切角边切线弦,同弧对角等找完。
要想作个外接圆,各边作出中垂线。
还要作个内接圆,内角平分线梦圆
如果遇到相交圆,不要忘作公共弦。
内外相切的两圆,经过切点公切线。
若是添上连心线,切点肯定在上面。
要作等角添个圆,证明题目少困难。


辅助线,是虚线,画图注意勿改变。
假如图形较分散,对称旋转去实验。
基本作图很关键,平时掌握要熟练。
解题还要多心眼,经常总结方法显。
切勿盲目乱添线,方法灵活应多变。
分析综合方法选,困难再多也会减。
虚心勤学加苦练,成绩上升成直线

1”的自述

            我的名字叫做“1”,

            自然数中是小弟;

            正弦、余弦我最大,

            真分数永远比我低。

            禀性忠厚又老实,

            “乘以”、“除以”没关系。

            两数之积若是我,

            互为倒数无置疑。

            同学莫把我藐视,

            我的作用妙无比。

            说明:在恒等变形时,巧用1(如将1 tg45°,tgα·ctgα,sin2α+cos2α,

            lg10a0a0),x/xx·1/x 互化)(x0)可使解法简便。

 

            式子无意义三诀

            分母不得为零,

            偶次方根为负,

            零负没有对数。

            注:开偶次方时,根号中式子的值为负数时,没有意义。

 

            多个有理数相乘符号法则歌

            多个有理数相乘,

            负号当家起作用;

            奇负偶正规律定,

            一数为0 必得0

            说明:几个不等于0 的有理数相乘,积的符号由负因数的个数决定(“负号当家起

            作用”)。当负因数有奇数个时,积为负;当负因数有偶数个时,积为正。几个有理数

            相乘,其中若有一个因数为0,则积为0

 

            常用速算口诀(三则)

            (一)十几与十几相乘

            十几乘十几,

            方法最容易,

            保留十位加个位,

            添零再加个位积。

            证明:设mn 1 9 的任意整数,则

            10m)(10n

            10010m10nmn

            1010+(mn)]+mn

            例:17×l6

            10+ (76)=23(第三句),

            2307×623042272(第四句),

            17×16272

 

            (二)十位数字相同、个位数字互

            补(和为10)的两位数相乘

            十位同,个位补,

            两数相乘要记住:

            十位加一乘十位,

            个位之积紧相随。

            证明:设mn 1 9 的任意整数,则

            10mn)[10m+(10n)]

            100mm1)+n10n)。

            例:34×36

            ∵(31)×34×312(第三句),

            个位之积4×624

            34×361224。 (第四句)

            注意:两个数之积小于10 时,十位数字应写零。

 

            (三)用11 去乘其它任意两位数

            两位数乘十一,

            此数两边去,

            中间留个空,

            用和补进去。

            证明:设mn 1 9 的任意整数,则

            10mn)×(101)=100m10mn)+n

            例:36×ll

            30690396

            36×11396

            注意:当两位数字之和大于10 时,要进到百位上,那么百位数数字就成为m1

            如:

            84×11

            80412×10804120924

            84×11924

 

            奇数连加法

            1 开始连续奇数加,

            其中自有妙算法,

            1 加末数除以2,平方得数即是它。

            举例:1357⋯⋯21

            =〔(121)÷22

            112

            121

 

            合并同类项法则

            合并同类项,

            法则不能忘;

            只求系数代数和,

            字母、指数不变样。

 

            分解因式歌

            首先提取公因式,

            然后考虑用公式。

            十字相乘试一试,

            分组分得要合适。

            四种方法反复试,

            分解完成连乘式。

 

            算术根运算法则歌

            绝对值,算术根,

            永不为负记在心。

            两个好像亲姐妹,

            形影相随不离分。

            两人一旦分了手,

            谬误可能就降临。

            说明:绝对值和算术根都是非负数。对于算术根的运算,一般是先化成绝对值的

            形式,再根据绝对值的概念,化去绝对值符号,这样可以减少差错。

 

            二元二次方程组一般解法

            未知项,成比例,

            消元降次都可以。

            方程一边等于零,

            因式分解再降次。

            方程缺了一次项,

            常数消去再求解。

 

            一元一次不等式的解法

            如有分母,去分母;

            如有括号,去括号。

            常数都往右边挪,

            未知都往左边靠。(注)如有同类须合并,

            化为标准再求解。

            注:未知指未知数。

 

            一元一次不等式组的四种情况

            大大取较大,

            小小取较小,

            小大,大小中间找,

            小小,大大解不了。

 

            不等式解集的几种情况

            两大从大,

            两小从小,

            一大一小就相连,

            不能相连是空集。

            取对数口诀

            已知真数求对数,

            首数尾数分别求,

            根据位数定首数,

            再用数表查尾数。

            取反对数口诀

            已知对数求真数,

            定数定位两步走,

            先用数表查数字,

            再用首数定位数。

 

            巧背圆周率

            解放前,江南某处山下有一所学校,山巅有一座寺庙。一天,教师上山

            同和尚对饮,临走时布置学生背圆周率,要求背到小数点以后22 位。学生背

            诵终日,还是记不住。眼看就要日落西山,有个学生灵机一动,把老师上山

            喝酒的事编成一段顺口溜:

            山巅一寺一壶酒,(314159

            尔乐苦煞吾。 (26535

            把酒吃,酒杀尔, (897932

            杀不死,乐尔乐。(384626

 

            求积顺口溜

            周长除以π得直径,

            直径除以2 得半径。

            半径平方乘π等于圆面积,

            外圆内圆面积相减求环形。

            扇形面积是乘以圆心角,

            pr 2

            360

            圆柱侧面积是底面周长乘以高。

            圆柱表面积两底加一侧,

            圆柱体积底面积乘高。

            套管体积外圆柱减内圆柱,

            圆锥体积底面积乘高再三等分。

 

            面积公式歌

            正方长方最简单,

            要知面积长乘宽;

            平行四边底乘高,

            三角乘后再折半;

            梯形上底加下底,

            乘高除二便算完;

            知道直径就知周,

            圆形面积也好求,

            直径折半自相乘,

            再乘3.1416

            遇到奇形与怪状,

            先截后算莫慌张,

            能截三角截三角,

            能截方来就截方,

            大块小块加一起,

            整个面积就知详。

            几种体积的计算

            长方形体积如何求?

            长乘宽来再乘高。

            正方形体积如何求?

            就是棱长三次方。

            圆柱体体积如何求?

            圆底面积乘以高。

            圆锥体体积如何求?

            先把底面积乘以高,

            然后再乘三分之一,

            这步千万别忘了。

 

            角的集合

            数学里面角很多,

            组成一个大集合。

            射线绕着端点转,

            生成一个平面角。

            转一圈,叫周角,

            转半圈,叫平角。

            顺时针转,叫负角,

            逆时针转,叫正角。

            绕着端点不断转,

            生成终边相同的角。

            90°角是直角,

            还有锐角和钝角。

            两角之和为直角,

            它们互相称余角;

            两角之和为平角,

            它们彼此称补角。

            许多角和圆有关:

            圆心角,圆周角,

            圆内角,圆外角,

            还有一个弦切角。

            搞测量,也要角,

            望物体,称视角,

            测目标,方位角,

            向上看,叫仰角,

            向下瞧,是俯角。

            就是划分经纬度,

            处处也要用到角。

            一条直线有倾斜角,

            两条交成对顶角。

            三条直线若相交,

            还会构成许多角:

            同位角,内错角,

            同旁内角和外角。

            多边形,有顶角,

            相似就有对应角。

            有内角,有外角,

            外角角和为周角。

            内外两角若相邻,

            彼此互为邻补角。

            若是等腰三角形,

            顶角之外叫底角。

            圆的内接四边形,

            外角等于内对角。

            扇形有个中心角,

            还可定义新的角。

            就是平日解题目,

            也常设个辅助角。

            记住上面种种角,

            科学研究唱主角。

 

            几何证明题歌诀

            几何证明并不难,

            首先过好审题关。

            字斟句酌细琢磨,

            命题反复看几遍。

            画图正确利思考,

            已知求证要写全。

            知识联想更重要,

            紧扣题意再“优选”。

            分析途径是逆转,

            根据结论寻条件。

            字迹工整层次清,

            论证步骤写周全。

 

            证明两线垂直或平行

            欲证垂直、平行线,

            多依定理来判断。

            平行、垂直常互变,

            其中直角是关键。

            四点共圆很有用,

            找角相等极方便。

            如有公用一斜边,

            证出直角不为难。

            若用中点证平行,

            常常利用中位线。

            如能找到弦中点,

            连接中心即垂线。

            若知两圆相外切,

            必有一外公切线。

            连接切点必垂直,

            再做一个公切线。

            内外公切线相交,

            连线也能成垂直。

            平行、垂直挺有用,

            证明常添辅助线。

            只要规律掌握好,

            平行、垂直题得证。

 

            证明成比例(成等积)线段

            证明比例是重点,

            掌握规律并不难。

            比例等积可互换,

            先把定理牢记全。

            射影定理分角线,

            圆幂定理平行线。

            若无定理可引用,

            相似定理排里边。

            相似不行也好办,

            只寻等比或等线。

            再用定理或相似,

            找到等比好代换。

            条件一定要认准,

            常常需添辅助线。

 

            平面几何辅助线一般添加法

            角之关系要细辨,

            构造等、差、倍、半是关键。

            比例线段平行线,

            构造相似三角形也常见。

            比例线段中有和差,

            延截相等线段好办法。

            诸圆相交公共弦,

            有时得用连心线。

            诸圆相切公切线,

            切点圆心还需连。

            直角相对想共圆,

            互补二角共弦想共圆,

            四边形外角等于不相邻内对角想共圆。

            若遇中点找中点,

            两点相连平行线。

            角之平分线遇垂线,

            延长垂线得等边。

 

            圆的辅助线之歌

            三圆和两圆,

            圆心紧相连;

            两圆紧为伴,

            必连公切线;

            两圆扣成环,

            必连公共弦。

            说明:几何题目涉及两圆、三圆的问题,常常把它们的圆心连起来。两圆若外切

            和内切要作出它们的公切线;两圆若相交要作出其公共弦。

 

            三角函数值在象限内的符号

            郑玄吃鱼

            说明:郑玄是我国三国时的一位数学家。“郑玄吃鱼”可以帮助记忆六个三角函

            数在四个不同象限内的符号。“郑”,(Ⅰ)中皆为正(音同郑);“玄”,(Ⅱ)只

            有正弦(音近弦)和它的倒函数余割为正;“吃”,(Ⅲ)中只有正切(音近切)和它

            的倒函数余切为正;“鱼”,(Ⅳ)只有余(音同鱼)弦和它的倒函数正割为正。

            三角函数符号、互倒及奇偶性记忆法

            如果将三角函数按顺序编号,正弦函数为一,余弦函数为二,正切函数

            为三,余切函数为四,正割函数为五,余割函数为六,那么可以熟记下面的

            口诀:

            全正;一、六;

            三、四;二、五;

            二、五不变。

            说明:在第一象限六个函数都为正,第二象限一、六为正(即正弦,余割函数为

            正,其余四个函数都为负);第三象限三、四为正(即正切,余切为正,其它为负);

            第四象限二、五为正(即余弦、正割为正,其余为负)。二、五不变,是说余弦,正割

            为偶函数〔cos(-x) =cosxsec(-x)=secx〕,其余四个函数均为奇函数。并

            且一、六,三、四,二、五互为倒数关系(即sinα· cscα=1tgα·ctgα=1

            cosα·secα=1)。

            记忆诱导公式

            关于180°±α, 360°±α,-α的诱导公式口诀为:

            函数名不变,

            符号看象限。

            关于90°±α,270°±α的诱导公式口诀为:

            函数名改变,

            符号看象限。

            说明,①不管α是什么样的角,都把它看作锐角来确定诱导公式中角所在的象限,

            从而确定它的符号。

            ②符号的确定,是由原来函数的角所在象限决定的。

            ③函数名改变,指正弦、余弦互变,正切、余切互变,正割、余割互变。

            三角函数诱导公式的共同特点

            奇变偶不变

            符号看象限

 

            通过正六边形记三角公式

            记忆三角公式,有一张图形会对我们有所帮助:

            在这个六边形中,位于对角线两端的两项乘积均为1,即:tgα·ctgα

            1sinα·cscα=1cosα·secα=1,共三个公式。画有格线的三角形

            中,肩上两角两项的平方和等于下面一项的平方,即sin2α+cos2α=1ctg2

            α+1csc2α,tg2α+1sec2α,共三个公式。相邻三个顶点的外项乘积

            等于中间一项,即:sinα=cosα·tgα,cosα=sinα·ctgα,tgα=sin

            α·secα⋯⋯共六个公式。该图形中,正弦、正切、正割依次位于六边形右

            侧,而余弦、余切、余割位于左侧,易于记住。记住一个图形即可记起十几

            个公式,确是一种经济省力的记忆方法。

 

            积化和差公式

            正弦·余弦(= )正加正。

            余弦·正弦(= )正减正。

            余弦·余弦(= )余加余。

            系数二分之一要牢记。

            角角关系变和差。

            公式符号记忆法

            一减余弦想正弦,

            一加余弦想余弦,

            异名减,同名加,

            幂高一次角减半。

 

            三倍角正弦与余弦函数公式

            三倍角正弦:3 43

            三倍角余弦:43 3

            系数后面很好记,

            都是单角的同名函数。

            公式:

            sin3θ=3sinθ-4sin3θ。

            cos3θ=4cos3θ-3cosθ。

 

            和差化积公式

            和差化积需同名,

            变量置换要记清;

            假若函数不同名,

            互余角度换名称。

            简记为:

            SS2S·C

            SS2C·S

            CC2C·C

            CC=-2S·S

 

高等数学诗文一百首

http://bbs.tech.sina.com.cn/?h=http%3A//bbs.tech.sina.com.cn/g_forum/00/3B/00/view.php%3Ffid%3D1273%26tbid%3D5920&g=8
  
第一章  函数与极限


    
数学初等与高等,
    
按其对象定浅深。
    
初等研究不变量,
    
研究变量是高等。
    
变量相关成函数,
    
研究采用极限术。
    
高等数学十数章,
    
极限方法贯其纲。

  
第一节  函数

    
集合是总体,
    
元素是个体。
    
列举法和特征法,
    
集合标记由此达。
    
自然数集整数集,
    
有理数集实数集。
    
数集元素都是数,
    
不含元素是空集。
    
另有数集多用途,
    
这是区间和邻域。
    
常量和变量,
    
须从过程来推想。
    
变量变化相联系,
    
函数由此得定义。
    
自变量数集,
    
因变量数集,
    
两个数集相对应,
    
元素按照法则来。
    
自变量在定义域,
    
使算式有意义为根据。
    
值域中是因变量,
    
单值多值纵线交点出。
    
函数特性有四类,
    
有界单调奇偶和周期。
    
直接函数反函数,
    
两个变量相对换。
    
同一坐标平面对称轴,
    
是过原点奇象中斜线。

  
第二节  初等函数

    
幂指对数两三角,

    
基本初等函数表。
    
再加常数经四则运算,
    
有限复合初等函数全。
    
自然指数为基础,
    
双曲函数义自出。
    
三角公式相类似,
    
两相对比区别记清础。

  
第三节  数列的极限

    
要求精确作解答,
    
计算时须缩小差。
    
无限接近确定数,
    
极限概念得萌芽。
    
数列极限如何定?
    
不等式子来呼应。
    
任意给定一正数,
    
绝对值式须小于。
    
绝对值中是什么?
    
一般项减一常数。
    
还须存在正整数,
    
序大的一般项皆满足。
    
收敛数列三性质,
    
唯一有界子列收。

  
第四节  函数的极限

    
数列极限撇开特殊性,
    
函数极限一般概念定。
    
趋于有限值或无穷大,
    
自变量的变化两情形。
    
若是趋于有限值,
    
函数极限如下述:
    
任意给定一正数,
    
绝对值式须小于。
    
绝对值中是什么?
    
函数减去一常数。
    
邻域半径存在一正数,
    
去心邻域内的函数皆满足。
    
局部保号定义证,
    
去心邻域有同符。
    
去心邻域函数值符定,
    
则其极限也同符。
    
左极限和右极限,

    
存在相等极限有。
    
若是趋于无穷大,
    
极限定义有变化。
    
任意给定一正数,
    
绝对值式须小于。
    
绝对值中是什么?
    
函数减去一常数。
    
只须存在一正数,
    
自变量绝对值大的函数皆满足。
    
水平渐近线,
    
常数为极限。

  
第五节  无穷小和无穷大

    
极限为零无穷小,
    
常数为零定义晓。
    
变化过程函数值,
    
极限加上无穷小。
    
若是函数等于常数加上无穷小,
    
则此函数极限就是这个常数了。
    
再有定义无穷大,
    
变化过程函数值绝对值总比给定正数大。
    
铅直渐近线,
    
无穷大来作极限。
    
大小无穷有关系,
    
变化过程须同一。
    
若是函数无穷大,
    
函数倒数无穷小。
    
若是函数无穷小,
    
则其倒数无穷大中找。

  
第六节  极限运算法则

    
极限运算有法则,
    
运算时须正确找。
    
无穷小,有限个,
    
其和仍是无穷小。
    
有界函数遇上无穷小,
    
乘积也是无穷小。
    
加减和乘除,
    
可以合并极限符。
    
两个函数相比较,
    
大者极限不会小。
    
复合函数求极限,
    
变化过程中间变量代入算。


  
第七节  极限存在准则  两个重要极限

    
极限存在有准则,
    
夹逼准则第一出。
    
三个数列或函数,
    
大小必须有次序。
    
最大最小极限同,
    
居其中者极限同。
    
正弦和自变量来相比,
    
由此可证极限等于1
    
存在准则第二出,
    
单调有界数列极限有。
    
重要极限第二个,
    
括号外面自变指。
    
括号当中有什么?
    
自变量倒数再加上1
    
极限存在却无理,
    
自然对数得其底。
    
存在准则第三出,
    
柯西准则来开路。
    
任意给定一正数,
    
绝对值式须小于。
    
绝对值中是什么?
    
任意两项差值铺。
    
两项怎样才任意?
    
只须大于同一正整数。

  
第八节  无穷小的比较

    
两者相比取极限,
    
无穷小来作比较。
    
极限若为零,
    
分子高阶无穷小。
    
极限若无穷,
    
分子低阶无穷小。
    
极限常数且非零,
    
两者同阶无穷小。
    
极限若为1
    
两者等价无穷小。
    
再有分母添k次,
    
添了之后作比较。
    
极限常数且非零,
    
分子就是k阶无穷小。
    
等价无穷小来求充要,
    
相等只须再加高阶无穷小。
    
无穷小之比来求极限,
    
等价无穷小可作代换。

  
第九节  函数的连续性与间断点

    
函数连续如何定?
    
自增因增同趋零。
    
左右极限均存在,
    
间断点属第一类。

  
第十节  连续函数的运算与初等函数的连续性

    
连续函数作运算,
    
和积连续个有限。
    
连续函数来相比,
    
分母非零连续必。
    
直接函数单调且连续,
    
反函数也单调且连续。
    
复合函数求极限,
    
中间变量必须有极限。
    
中间以外若连续,
    
复合函数极限出。
    
三层变量皆连续,
    
复合函数就连续。
    
初等函数值何如?
    
定义域内都连续。

  
第十一节  闭区间上连续函数的性质

    
闭区间上若连续,
    
最值有界皆能取。
    
零点定理看两端,
    
两端异号零值有。
    
介值定理看介值,
    
介值必有点可出。
    
闭区间上若连续,
    
最值之间值任取。
    
一致连续必连续,
    
闭区间上反推也能书。

 
第二章  导数与微分

    
微积分中微分学,
    
导数微分有其诀。
    
变化快慢问导数,
    
微小变化微分解。
  
第一节  导数概念

    
导数定义须牢记,
    
用途广泛是根基。
    
分子因变量增量,
    
分母自变量增量。
    
相比然后取极限,
    
导数定义由此现。
    
负除是左导,
    
正除是右导。
    
两者存在且相等,
    
充要条件导数存。
    
几何意义看倾角,
    
切线方程由此晓。
    
若知法线及斜率,
    
法线方程不难找。
    
可导必定可连续,
    
连续未必就可导。

  
第二节  函数的和、差、积、商的求导法则

    
和差求导不用教,
    
乘积求导这样找。
    
先求一项乘一项,
    
加上反样就得了。
    
两项相除再求导,
    
分子似乘加变减,
    
还有分母莫忘却,
    
除项平方写齐全。

  
第三节  反函数的导数  复合函数的求导法则

    
反函数来求导数,
    
直接求导半筋斗。
    
复合函数易求导,
    
一层一层算到老。

  
第四节  初等函数的求导问题  双曲函数与反双曲函数的导数

    
常数导数值为零,
    
幂函求导减次再乘次原形。
    
正弦导数是余弦,
    
余弦导数反正弦。
    
正切求得正割方,
    
余切余割方负长。

    
正割求导带正切,
    
余割余切负相接。
    
指数求导添因子,
    
除非自然指数止。
    
自然对数求导是倒数,
    
不自然时分母乘上底对数。
    
反三角函数,
    
导数是分数。
    
分子都为1
    
分母如下述:
    
反正弦求导,
    
分母是1减去平方再开方。
    
反余弦求导,
    
只须再加负号在前方。
    
反正切求导,
    
分母是1加平方。
    
反余切求导,
    
只须再加负号在前方。
    
双曲函数求导数,
    
双弦求出值交互。
    
双曲正切求导数,
    
双曲余弦平方作分母。
    
反双曲正弦求导,
    
分母1加平方再开方。
    
反双曲余弦求导,
    
分母负1加方再开方。
    
反双曲正切求导,
    
分母是1减平方。

  
第五节  高阶导数

    
求导求导再求导,
    
高阶导数产生了。
    
莱布尼茨公式多,
    
高阶导数乘积过。

  
第六节  隐函数的导数  由参数方程所确定的函数的导数  相关变化率

    
隐函方程确定了,
    
两边求导容易找。
    
对数求导是技巧,
    
幂指函数也可了。
    
分子分母各自有,
    
参数方程上下求。
    
相关变化须注意,
    
分析问题要仔细。

  
第七节  函数的微分

    
可微必可导,
    
可导必可微。
    
从其导数表达式,
    
微分公式直接推。
    
复合函数求微分,
    
形式不变可因循。

  
第八节  微分在近似计算中的应用

    
计算公式太复杂,
    
微分近似可简化。
    
测量因其影响在,
    
还须考虑误差值。
    
精确值和近似值,
    
相减再取绝对值。
    
绝对误差由此见,
    
相对误差还须再比近似值。

 
第三章  中值定理与导数的应用

  
第一节  中值定理

    
中值定理是基础,
    
罗尔定理为根据。
    
端点函数值相等,
    
导数为零点必存。
    
拉氏定理两端作比率,
    
至少有一点导数值来呼应。
    
函数导数恒为零,
    
其值必是常数定。
    
同一区间两函数,
    
端点函数相减作比较,
    
柯西定理不同处,
    
一点分子分母两函数求导。

  
第二节  洛必达法则

    
极限若是未定式,
    
求解多从洛必达。
    
分子分母趋于零,
    
同时求导可简化。


  
第三节  泰勒公式

    
中值定理泰勒公式长,
    
系数阶乘除导随幂张。
    
麦氏简化原点求导数,
    
只有余项取点不同处。

  
第四节  函数单调性的判定法

    
单调判定看求导,
    
为正增加为负少。
    
若点求导值为零,
    
划分区间皆单调。

  
第五节  函数的极值及其求法

    
一点导数若为零,
    
极值还须再论证。
    
左右两边再求导,
    
看其正负极值晓。
    
左正右负大值当,
    
左负右正其值小。
    
若是恒正与恒负,
    
该点极值没有了。
    
充分条件此第一,
    
还有第二来充数。
    
一阶导数若为零,
    
二阶导数看正负。
    
若是为正取极小,
    
若是为负极大出。

  
第六节  最大值、最小值问题

    
最值问题如何解?
    
端点驻点值先写。
    
再将各值相比较,
    
最大最小找得到。

  
第七节  曲线的凹凸和拐点

    
曲线凹凸如何定?
    
只在二阶导数符。
    
二阶为正图形凹,
    
二阶为负图形凸。
    
凹凸既能由此定,
    
拐点亦可依此寻。
    
二阶导数若为零,
    
两侧异号拐点准。

  
第八节  函数图形的描绘

    
极值与拐点,
    
升降与凹凸。
    
尽皆求出后,
    
就能绘好图。

  
第九节  曲率

    
记住公式弧微分,
    1
加导方再开根。
    
曲率本是一极限,
    
角度来比其弧段。
    
一阶导数其值小,
    
曲率看成二阶导。
    
防负添加绝对值,
    
曲率本是非负值。
    
曲率圆中有交互,
    
半径曲率为倒数。

  
第十节  方程的近似解

    
方程要求近似解,
    
先定范围再改善。
    
二分法和切线法,
    
用了可以得答案。

 
第四章  不定积分

  
第一节  不定积分的概念与性质

    
谁的导数是函数?
    
回答就是原函数。
    
什么函数存在原函数?
    
连续函数一定有。
    
不定积分要记清,
    
带上常数看谁行。
    
微分运算有互逆,
    
积分运算来顶替。
    
导数反求得积分,
    
积分公式自己寻。
    
基本积分有什么?
    
且听如下道分明:
    
常数可积幂可积,
    
负一次方对数定。
    
分母是一加平方,
    
不定积分反正切。
    
若加成减还开方,
    
反正弦是真的确。
    
余弦正弦皆可积,
    
正弦积出负号依。
    
正割余割若平方,
    
积成正切负余切。
    
正割正切乘后积,
    
得成正割少正切。
    
余割余切同其理,
    
只是负号来相依。
    
自然指数原样积,
    
若底非e还须除以对数底。
    
双曲正弦与余弦,
    
积分只须交互替。

  
第二节  换元积分法

    
复合函数求积分,
    
从其微分来求索。
    
中间变量一代换,
    
换元积分用处多。
    
倒代换来用一用,
    
分母因子无影踪。
    
正切积分对数负,
    
余弦取正真数足。
    
余切积分正弦替,
    
对数前面负号无。
    
正割积得正割切,
    
对数号中加取正。
    
余割积得余割切,
    
对数号中减取正。
    
分母数方加平方,
    
反正切里外都用数除。
    
若是平方减数方,
    
积成对数因式分解是近途。
    
分母数方减方再开方,
    
积分所得反正弦中用数除。
    
分母若是平方加减数方再开方,
    
积出对数中是分母加上自变量。



  
第三节  分部积分法


    
求导法则看乘积,
    
反推就是分部积。
    
何时考虑分部积?
    
被积函数幂对反。
    
分部积分试一试,
    
恰当选取是关键。
    
兼用换元与分部,
    
积分自然能提速。

  
第四节  几种特殊类型函数的积分

    
特殊类型求积分,
    
有理函数拆其型。
    
三角函数有理式,
    
变量代换最简不一定。
    
变量代换是推理,
    
无理函数亦可积。
    
恰当选取代换式,
    
积分路上难成易.

 
第五章  定积分

  
第一节  定积分概念

    
抽象定义定积分,
    
任意插点区间被分开。
    
小区间中取一点,
    
对应函数乘以区间长度值。
    
各个区间皆如此,
    
乘积之和取其极限值。
    
若是极限存在准,
    
则称此为定积分。
    
闭区间上若连续,
    
函数可积成定论。
    
有限间断并有界,
    
同样可积得其解。

  
第二节  定积分的性质  中值定理

    
上限下限若相等,
    
积分之值就为零。
    
变换上限与下限,
    
再添负号值恒定。
    
相加乘数容易算,
    
区间还有可加性。
    
被积函数若为1
    
两限之差就是积分值。
    
被积函数大于零,
    
定积分也大于零。
    
函数小时积分小,
    
绝对值上看分晓。
    
最大值和最小值,
    
积分取值两矩包。
    
中值定理有公式,
    
矩形面积等于积分值。

  
第三节  微积分基本公式

    
积分上限若变动,
    
积分取值成函数。
    
被积函数若连续,
    
上限函数导其出。
    
由此可得原函数,
    
存在定理开新路。
    
莱布尼茨与牛顿,
    
基本公式证出途。
    
区间端点原函数,
    
相减定积分值出。

  
第四节  定积分的换元法

    
定积分也可换元,
    
比起不定更简洁。
    
上限下限若变动,
    
简化计算容易些。

  
第五节  定积分的分部积分法

    
分部积分转不停,
    
注意次序定积分。
    
换元分部结合用,
    
递推公式仔细寻。

  
第六节  定积分的近似计算

    
近似计算定积分,
    
先用矩形和梯形。
    
等分区间偶数个,
    
抛物线法亦可行。



  
第七节  广义积分

    
积分区间可无穷,
    
被积函数可无界。
    
若遇两者来出题,
    
广义积分是其解。
    
定积分再取极限,
    
广义积分定义现。

 
第六章  定积分的应用

  
第一节  定积分的元素法

    
定积分用元素法,
    
从其条件来出发。
    
变化区间有变量,
    
部分之和要可加。
    
函数值乘区间长度值,
    
部分如此积分就可下。
    
按其步骤来选取,
    
要写积分如下述:
    
先选变量和区间,
    
再分区间取其微。
    
自变微分乘函数,
    
部分量形须如此。
    
以此作为被积式,
    
再添区间是定积。

  
第二节  定积分的应用

    
定积分的用处找一找,
    
平面图形面积到。
    
旋转体来求体积,
    
截面已知体积晓。
    
光滑曲线可求长,
    
从其坐标再协商。
    
物理学中用定积,
    
作功水压和引力。
    
区间长除定积分,
    
就得函数平均值。

 
第七章  空间解析几何与向量代数

    
笛卡儿创坐标系,

    
函数图形得解析。
    
点与序数相对应,
    
代数法解几何题。

  
第一节  空间直角坐标系

    
直角坐标空间点,
    
横纵竖轴相关联。
    
右手规则定三向,
    
三个垂面交一点。
    
两点距离记心肠,
    
投影方和再开方。
    
若是原点一端立,
    
坐标方和再开方。

  
第二节  向量及其加减法  向量与数的乘法

    
具有大小和方向,
    
这一类量称向量。
    
相加法则三角形,
    
还有平行四边形。
    
数乘向量值如何?
    
方向不变大小迁。
    
向量平行由此定,
    
唯一实数等式上接连。

  
第三节  向量的坐标

    
有向线段有投影,
    
模乘余弦是其值。
    
三个投影平方后,
    
相加开方模成式。
    
方向余弦影比模,
    
平方之和值为1

  
第四节  数量积、向量积、混合积

    
两向量有数量积,
    
两模乘上余弦值。
    
若是求其向量积,
    
大小方向须同记。
    
两模乘上正弦值,
    
方向须从右手系。
    
坐标表示向量积,
    
行列式中单位向上依。
    
向量积式有先后,
    
乘项交换符更替。
    
混合积中有次序,
    
向量积后数量积。
    
坐标放进行列式,
    
三组投影按序记。
    
几何意义是体积,
    
右手转成是正值。

  
第五节  曲面及其方程

    
曲面对应有方程,
    
方程对应有曲面。
    
已知曲面建方程,
    
已知方程画曲面。

  
第六节  空间曲线及其方程

    
曲面相交得曲线,
    
曲线方程由此见。
    
参数方程有参数,
    
投影方程须消元。
    
一般方程消一元,
    
再联元面投影现。

  
第七节  平面及其方程

    
平面向量乘法向,
    
数量积值必为零。
    
平面方程点法式,
    
由此可以写分明。
    
点法方程再简化,
    
一般方程现其形。
    
系数就是法向量,
    
平面方程认得清。

  
第八节  空间直线及其方程

    
平面相交得直线,
    
直线方程由此现。
    
方向向量若知晓,
    
点向方程不难找。
    
点向方程确定了,
    
参数方程易推导。
    
方程组中方程乘数加,
    
加成面束只有一面少。
  
第九节  二次曲面

    
二次曲面求形状,
    
截痕法来却其障。
    
交线形状再综合,
    
曲面全貌就可想。

 
第八章  多元函数微分法及其应用

    
多元函数是新局,
    
要以一元为基础。
    
对比一元再分析,
    
多元函数无难题。

  
第一节  多元函数的基本概念

    
邻域区域和空间,
    
多元函数增其元。
    
平面点集定义域,
    
二元函数以此为根据。
    
二重极限若存在,
    
任意方式极限为同数。
    
在其定义区域内,
    
多元初等函数皆连续。

  
第二节  偏导数

    
固定一元变一元,
    
二元函数偏导现。
    
偏导也是求导数,
    
偏增量相比来取极限。
    
若知函数求偏导,
    
将其一元看作常量是技巧。
    
偏导还可再偏导,
    
混偏连续次序消。

  
第三节  全微分及其应用

    
全微分来作定义,
    
全增量上找根基。
    
自变增量有两个,
    
乘上系数再作和。
    
再加高阶无穷小,
    
全增量值如此表。
    
若是可以如此表,

    
则称函数可微分。
    
自增方和再开方,
    
高阶无穷小值由此准。
    
自增量乘系数再相加,
    
就是函数全微分。
    
若在一点可微分,
    
两个偏导必皆存。
    
自变增量乘偏导,
    
加和就是全微分。
    
必要条件上已明,
    
偏导连续条件就充分。
    
全微分与偏微分,
    
叠加原理是一论。

  
第四节  多元复合函数的求导法则

    
看作常量是关键,
    
多元复合练一练。
    
一层一层求偏导,
    
一条线也不能少。

  
第五节  隐函数的求导公式

    
方程中有隐函数,
    
先化方程单边去。
    
看作复合求全导,
    
隐函导数如此找。

  
第六节  微分法在几何上的应用

    
空间曲线参数表,
    
函数必须都可导。
    
三个函数求导数,
    
方向向量从此出。
    
切线方程割线取极限,
    
还可求出法平面。
    
曲面方程隐式表,
    
两类方程也可找。
    
切线集合切平面,
    
法向量能由此建。
    
曲面方程显式表,
    
化成隐式就明了。
    
法向量式很简洁,
    
方向余弦对着写。



  
第七节  方向导数与梯度

    
求一方向变化率,
    
全增量比方向自增量。
    
何为方向自增量?
    
自增量平方和再开方。
    
方向导数是极限,
    
定理存在及计算:
    
函数若是可微分,
    
任一方向导数存。
    
余弦正弦乘偏导,
    
对应相加莫混淆。
    
方向导数若最大,
    
梯度方向就由它。

  
第八节  多元函数的极值及其求法

    
一点若是极值定,
    
偏导数必全为零。
    
一阶偏导若为零,
    
还须二阶来呼应。
    
纯偏积大混偏方,
    
纯偏负时大值当。
    
纯偏积小无极值,
    
若是相等再相量。
    
条件极值有局限,
    
拉格朗日乘数现。
    
条件乘上一常数,
    
再加函数成辅助。
    
辅助函数求偏导,
    
条件归零联立就得了。

 
第九章  重积分

    
多元复合求全导,
    
知道步骤不难解。
    
先从二重学计算,
    
其它类型照样写。

  
第一节  二重积分的概念与性质

    
积分范围线变面,
    
二重积分来对现。
    
直角坐标面积元,
    
划分区域要用横纵平行线。

  
第二节  二重积分的计算法


         
(一)

    
二重积分作计算,
    
化成两次单积较普遍。
    
自变量在先在后两限值不相同,
    
积分限上是关键。

         
(二)

    
极坐标中算二重,
    
比较直角坐标较从容。
    
面积元素有变更,
    
乘上极径不相同。
    
径乘余弦替其横,
    
径乘正弦换其纵。
    
替换之后作计算,
    
化成二次就可从。

         
(三)

    
二重积分换元法,
    
变换公式是桥梁。
    
xy来除以偏uv
    
再取绝对值于式中放。

  
第三节  二重积分的应用

    
二重积分应用面,
    
曲面面积过一遍。
    
平面薄片求重心,
    
再加惯量引力和质点。

  
第四节  三重积分的概念及其计算法

    
二重积分作推广,
    
三重积分不用想。
    
平面划分闭区域,
    
体积元素得依据。
    
计算公式可因循,
    
化成三次来积分。

  
第五节  利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分


    
三重积分计算法,
    
柱面球面有其达。
    
柱面替换在何处?
    
横标、纵标和体积元素。
    
球面坐标样子繁,
    
离竖轴角第一关。
    
极径乘以其余弦,
    
纵标由此可代换。
    
横纵坐标径乘其正弦,
    
再乘离横轴角余正弦。
    
径方乘以其正弦,
    
正好填充其体元。

 
第十章  曲线积分与曲面积分

    
积分类型如何辨?
    
积分范围是关键。
    
曲线弧上可积分,
    
也可积分在曲面。

  
第一节  对弧长的曲线积分

    
曲线积分对弧长,
    
计算法中参数忙。
    
横纵替换看弧系,
    
导数方和再开方。

  
第二节  对坐标的曲线积分

    
曲线积分对坐标,
    
改变方向值变号。
    
若问计算用何法?
    
参数方程来正好。
    
横纵坐标先替换,
    
再来函数微分是技巧。
    
弧长坐标有联系,
    
积分转化方向余弦依。

  
第三节  格林公式及其应用

    
连通区域有单复,
    
边界正向域左附。
    
格林公式如何写?
    
积分对面对边界。
    
二重积分横偏减纵偏,
    
闭线积分居于另一边。
    
等价命题凡有四,
    
与路无关是第一。
    
闭线积分值为零,
    
再加偏等与全微。

  
第四节  对面积的曲面积分

    
曲面积分对面积,
    
计算法中投域换函再有开方挤。
    
根号下面是何式?
    
两偏导平方再加上1

  
第五节  对坐标的曲面积分

    
曲面积分对坐标,
    
改变方向值变号。
    
计算方法容易找,
    
投域换函就得了。

  
第六节  高斯公式  通量与散度

    
空间闭域三重积,
    
边界曲面曲面积。
    
一边有散度另一边是通量,
    
高斯公式由此记。

  
第七节  斯托克斯公式  环流量与旋度

    
斯托克斯公式长,
    
行列式号来帮忙。
    
从上到下余偏函,
    
余弦改坐三一翻。

 
第十一章  无穷级数

  
第一节  常数项级数的概念和性质

    
常数项级数,
    
可作部分和。
    
判断收敛与发散,
    
从其部分和数列。
    
若其收敛级数也收敛,
    
若其发散级数也发散。
    
等比级数看公比,
    
收敛公比小于1
    
收敛性质如下面:
    
乘数相加仍收敛。
    
去加改变有限项,
    
收敛性质不改变。
    
若是级数本收敛,
    
加括号后仍收敛。
    
如果级数本收敛,
    
一般项将以零为极限。
    
柯西审敛不等式,
    
任意项和是小值。

  
第二节  常数项级数的审敛法

    
各项都是正或零,
    
正项级数为其名。
    
观其部分和数列,
    
收敛充要为有界。
    
正项级数审敛法,
    
比较审敛第一家。
    
两个级数相比较,
    
一般项上看大小。
    
大者收敛全收敛,
    
小者发散都发散。
    
调和级数已发散,
    p
级数也得答案。
    p
1大就收敛,
    p
1小就发散。
    
两个级数均正项,
    
一般项比看极限。
    
若是极限恒存在,
    
同时收敛或同时发散。
    
一个级数如何划?
    
比值审敛第二家。
    
后项前项比极限,
    
小于1时必收敛。
    
一般项有幂次夹,
    
根值审敛第三家。
    n
次方根求极限,
    
小于1时必收敛。
    
正项级数至此完,
    
交错级数有条件。
    
一般项求绝对值,
    
递减归零必收敛。
    
交错级数又完了,
    
其余级数怎么办?
    
一般项取绝对值,
    
绝对收敛必收敛。

  
第三节  幂级数

   
一般项上是函数,
    
收敛有其收敛域。
    
各项若是幂级数,
    
名称就叫幂级数。
    
审敛法从阿贝尔,
    
自变量选一点代入算。
    
算出级数若收敛,
    
自变量绝对值小的必绝对收敛。
    
算出级数若发散,
    
自变量绝对值大的必发散。
    
收敛半径如何求?
    
系数相比是其途。
    
相邻两项后比前,
    
取其绝对值再作极限。
    
极限一出半径出,
    
收敛半径是倒数。

  
第四节  函数展开成幂级数

    
函数展开若为幂级数,
    
泰勒公式是基础。
    
余项极限若为零,
    
函数展开必可行。
    
先求各阶导数出,
    
再于原点取其值。
    
写出级数求半径,
    
再观余项式可知。

  
第五节  函数的幂级数展开式的应用

    
展开应用作计算,
    
欧拉公式中有级数相关联。
    
一边指数里有虚i伴,
    
一边i乘正弦再加上余弦.

  
第六节  傅里叶级数

    
三角函数系有正交性,
    
不同两个乘积积分值为零。
    
函数展开由此定,
    
傅氏级数现原形。
  2π
周期函数如何展?
    
级数加上半a。。
    
级数中是什么作累加?
    
n两弦乘以系数再相加。
    
余弦系数是何物?
    
n余弦乘系数。
    n
取值从0始,
    
积分后再除以π
    
正弦系数是何物,
    
n正弦乘系数。
    n
取值从1始,
    
积分后再除以π
    
收敛定理有结论,
    
连续点间断点值中准。

  
第七节  正弦级数和余弦级数

    
奇偶函数作展开,
    
傅氏级数样子改。
    
正弦级数奇函定,
    
余弦级数偶函来。

  
第八节  周期为2l的周期函数的傅里叶级数

    
周期若与两弦异,
    
展开时须作更替。
    
区间变换依变量,
    
变量代换要仔细。

 
第十二章  微分方程

    
实际问题有分寸,
    
函数关系何处寻?
    
微分方程若可建,
    
求解就是函数线。

  
第一节  微分方程的基本概念

    
未知函数最高导,
    
其阶亦是方程阶。
    
求解有其特殊处,
    
微分方程函数解。
    
任意常数论个数,
    
同阶不并该解为通解。
    
任意常数若确定,
    
则此通解成特解。
    
初始条件若知晓,
    
初值问题就成了。

  
第二节  可分离变量的微分方程

    
微分方程数万千,
    
哪种类型最简便?
    
分离变量在两边,
    
两边积分解出现。

  
第三节  齐次方程

    
齐次方程如何辨?
    
变量相比处处现。
    
将其比值作函数,
    
代入求解分离变量解出现。

  
第四节  一阶线性微分方程

    
线性方程求通解,
    
方程齐次作台阶。
    
再用常数变易法,
    
非齐次也得通解。
    
另有方程伯努力,
    
多了幂次非线性。
    
y除幂作系数,
    
代换求解通解就能定。

  
第五节  全微分方程

    
方程若是全微分,
    
直接积分解可寻。
    
偏导相等若是不成立,
    
积分因子观察得出就可积。

  
第六节  可降阶的高阶微分方程

    
高阶方程作降阶,
    
其中三类容易解。
    
纯导数在左纯函数右,
    
两边积分阶阶可。
    
二阶方程占两类,
    
左边二阶右一阶。
    
自变量于右边添,
    
变量代换去一阶。
    
若是因变量在右边添,
    
变量代换去掉一阶还须改变其二阶。
  
第七节  高阶线性微分方程

    
线性方程到高阶,
    
解的结构有规则。
    
叠加原理在齐次,
    
两解组合亦为解。
    
线性无关两特解,
    
线性组合是通解。
    
非齐次特解加齐次的通解,
    
非齐次方程可得通解。
    
非齐右端函分几,
    
特解相加就是原方程特解。

  
第八节  二阶常系数齐次线性微分方程

    
二阶齐次方程系数是常数,
    
特征方程来帮忙。
    
先求方程特征根,
    
再依特根作文章。
    
若是不等两实根,
    
通解特根指数分别含。
    
若是相等两实根,
    
指数收进乘以系数一次函。
    
共轭复根如何办?
    
实部入指虚入弦。

  
第九节  二阶常系数非齐次线性微分方程

    
二阶常系非齐次,
    
两种形式求特解。
    
待定系数须仔细,
    
照其结果来书写。

  
第十节  欧拉方程

    
系数不是常系数,
    
欧拉方程先入目。
    
变换采用指数式,
    
系数化常其解出。

  
第十一节  微分方程的幂级数解法

    
微分方程解难表,
    
幂级数解可开道。
    
数值解法也可从,
    
计算机中有影踪。
  
第十二节  常系数线性微分方程组解法举例

    
方程组是常系数,
    
求解步骤如下述:
    
未知函数消一消,
    
连其导数都带去。
    
只剩一函和其导,
    
方程组化方程了。
    
解此方程得函数,
    
代入原组其余函数就可求。

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