条件求值

            条件求值                                                          

      

             条件求值，综合性强，技巧性高，难度大，同学做这类题觉得有些困难。但是同学学会利用数学思想解题，

 

     就会化难为易。

 

一、换元法

 

    1已知：  X/2=Y/3=Z/4       则（X²-2Y²+3Z²) /(XY+2YZ+3XZ)

 

        解： 设X/2=Y/3=Z/4=K      则X=2K     Y=3K    Z=4K

 

                   原式=（4K²-18k^{2_+48K2_)/(6K2_+24K2_+24K2)}

 

                           =34K²/54K²=14/27

 二、降次法

 

       2。如果a是X²-3X+1=0的一个根     求（2a⁵-5a⁴+2a³-8a²) /(a²+1)

          解：a是x²-3x+1=0的一个根

 

                   则a²-3a+1=0

                 

                      a²=3a-1      或a²+1=3a

            

             分子=2a³(3a-1)-5a⁴+2a³-8a²=6a⁴-2a³+2a³-5a⁴-8a²=a⁴-8a²

 

                     =a²(3a-1)-8a²=3a³-9a²=3a(3a-1)-9a²=-3a

 

              分母=3a

 

               原式=-3a/3a= -1

       

        3、若抛物线y=x²+(2a+1)x+2a+5/4的图像和X轴只有一个交点

 

             （1）求a的值

         

               （2）求a⁴-3a+8的值

 

            解：因为抛物线和X轴只有一个交点

 

                   所以x²+(2a+1)x+2a+5/4=0只有一个实数根

 

                     则判别式=（2a+1)²-4*(2a+5/4)=0

 

                   整理得a²-a-1=0

 

                    解之a=（1+√5 ）/2       或a=（1-√5 ）/2

   

              (2)因为a²-a-1=0

 

                  所以a²=a+1

 

                          a⁴=(a+1)²=a²+2a+1=a+1+2a+1=3a+2

 

                     a⁴-3a+8=3a+2-3a+8=10

 

 

三、整体代入法

 

      4．已知;X+1/X=4     求  X² /(X⁴+X²+1) 

 

          解：∵X+1/X=4

 

               ∴X²+1/X²=14

 

              ∵X≠0

 

               ∴X²/(X⁴+X²+1)=1/[（X²+1/X²）+1]=1/(14+1)=1/15

 

 

 

四、求根代入法

 

         5．已知：实数X满足X+X²+X³+X⁴=0 求  1+X+X²+X³+X⁴+……+X²⁰⁰⁸  的值

 

        

                                          _{解   ∵x+x}²_+x³_+x⁴₌₀

                                                _∴X(1+X)+X³_(1+X)=0

                                                _{∴（1+X）(X+X}³_)=O

                                                 _{∴X(1+X)(1+X}²_)=O

                                                 _∴X1=0    X₂=-1

    

                当X=0时  1+X+X²+X³+X⁴+……+X²⁰⁰⁸=1

 

                   当X=-1时  1+X+X²+X³+X⁴+……+X²⁰⁰⁸

     

                                      =1+（-1）+（-1）²+（-1）³+……+（-1）²⁰⁰⁸=1