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麦克斯韦完成电磁场理论(建立)

 yjj0691 2010-07-13
麦克斯韦电磁场理论的建立

 

麦克斯韦是继法拉第之后,又一位集电磁学大成于一身的伟大科学家。他全面地总结了电磁学研究的全部成果,并在此基础上提出了“感生电场”和“位移电流”的假说,建立了完整的电磁场理论体系,不仅科学地预言了电磁波的存在,而且揭示了光、电、磁现象的内在联系及统一性,完成了物理学的又一次大综合。他的理论成果为现代无线电电子工业奠定了理论基础。

本文以麦克斯韦三篇主要电磁学论文为依据,试图探讨他的电磁理论建立过程以及他的科学方法的特色,期望能回答以下几个问题:麦克斯韦是怎样用类比研究方法建立他的电磁场理论的?“感生电场”和“位移电流”的假设是怎样提出来的?场的概念和麦克斯韦方程是怎样建立的?

麦克斯韦(James  Clark  Maxwell,1831—1879)是英国物理学家,诞生于苏格兰的古都爱丁堡。他少年时就受到很好的教育,有良好的思维习惯。15岁时写了一篇题为“论二次曲线的几何作图”的论文,发表在《爱丁堡皇家学会学报》上。16岁时考进了爱丁堡大学,专攻数学和物理。19岁时又进入剑桥大学。1854年,他在剑桥大学数学竞赛中名列第二。1856年任苏格兰Marishal学院的自然哲学讲座教授。 1860年至1868年任伦敦皇家学院和剑桥大学物理学教授。1870年创设并主持卡文迪什物理实验室,并担任剑桥大学首任实验物理学教授。他是英国皇家学会会员。他的主要贡献是建立了电磁场理论和气体分子速度分布律。

 

(一)《论法拉第力线》——电紧张态的数学描述感生电场的提出

在大学期间,麦克斯韦就阅读了法拉第的《电学实验研究》,深深地被法拉第的电磁思想所吸引,他认识到“力线”概念的重要性,也看到法拉第定性表述方面的弱点,决心以数学手段弥补法拉第的不足,把法拉第的天才观念用清晰准确的数学形式表示出来。

1856年2月,麦克斯韦的第一篇电磁学论文《论法拉第力线》(On Farday'sLinesofForce)在剑桥哲学学报上发表了。这篇文章不仅用数学形式解释了法拉第的力线图象,而且包藏着他后来一切新思想乃至麦克斯韦方程的胚胎。因此,法拉第从一开始就对它加以赞扬。在他给麦克斯韦的信中有这样一段话:“我亲爱的先生,接到你的论文,深表谢意。并不是说,我感谢你是因为你谈论了力线,而是因为我知道你已经在哲学真理的意义上处理了它。你的工作使我感到愉快,并鼓励我去作进一步的思考。但当我知道你要构造一种数学形式来针对这样的主题时,起初我几乎是吓坏了。然后我才惊讶地看到这个主题居然处理得如此之好!”[1]法拉第认为这位年青人是真正理解他的物理思想的人,并鼓励他要继续探索,有所突破。

论文一开始,麦克斯韦就环顾了电磁学研究的现状,指出已经建立了很多实验定律和数学理论,但未能揭示各种电磁现象之间的联系。他写道:“电科学的现状看来特别不便于思索。”他认为“有效的科学研究的第一步必须把已有的研究成果简化和归纳成一种思维易于领会的形式”,“寻找一些在思维发展的每一步保持清晰物理概念的研究方法”。[2]他认为“物理类比”就是这一研究方法。

麦克斯韦指出:“物理类比(physical analogy)的意思是利用

 

THE

SCIENTIFIC PAPERS

OF

JAMES CLERK MAXWELL

M.A,LL.D. EDIN, D.C.L, F.R.SS. LONDON AND EDINBCRGB,

HONORARY FELLW OF TRINITY COLLEGE,

CAVENDISH PROFESSOR OF EXPERMENTAL PHYSICS IN THE UNIVERSITY

OF CAMBRIDCE

 

EDITED BY

W.D. NIVEN, M.A,, F.R.S.,

DIRECTOR OF STUDIES AT THE ROYAL NAVAL COLLEGE, GREENWICH;

FORMERLY FELLOW OF TRINITY COLLEGE.

 

VOL.I.

 

PARIS

LIBBAIBIE SCIENTIFOQCE J. HEBMANN

 

8—1

一种科学定律和另一种科学定律之间的部分类似性,用它们中的一个去说明另一个。”“类比是建立在两类定律在数学形式上相似的基础上。”[2]类比可以构通不同领域的研究方法,可以在解析的抽象形式和假设之间提供媒介,还可以启发新的物理思想,帮助人们去认识和发现一些尚待研究的物理过程和规律。

在这方面,W·汤姆孙的研究给麦克斯韦以很大的启示。1842年,当汤姆孙还是剑桥大学的学生时,就把包含带电导体的区域内的静电力分布与无限固体中的热流相比较,指出前一种情形下的等势面与后一种情形下的等温面相对应,前者的电荷与后者的热源相对应;与距离成平方反比的吸引力方程与均匀媒质中的均匀热流方程相对应。[3]由于热传导是通过连续媒质中相邻粒子之间的相互作用进行的,这就启发人们思索是否可以把电作用看作是经某种连续媒质传递的呢?

1846年,汤姆孙获得了剑桥大学学位后,研究了电现象和弹性现象的类似性。他考察了处于应力状态的不可压缩弹性固体的平衡方程,指出表示弹性位移的矢量分布可与静电系统的电力分布相比拟。而且,弹性位移还可以同样好地与一个通过B由Curlα=B定义的矢量α相一致。这里α是与纽曼,韦伯等人在电流感应论文中引用的矢势(vector potential)等价。但汤姆孙是在不知道这一等同性时,经过不同途径,独立得到的。[3]

麦克斯韦的《论法拉第力线》采用一种几何学的观点,为法拉第的力线概念作出了数学描述。他在描述这些力线的构成时说:“如果我们从任意一点开始画一条线,并且当我们沿这条线走时,线上任意一点的方向,总是和该点合力的方向重合,那么这条曲线就表示它所通过的各点的合力的方向,在这个意义上才称为力线。用同样的方式我们可以画出其它的力线,直到曲线充满整个空间以表示任一指定点力的方向。”[2]

这篇论文可分为两部分。第一部分阐述了力线和不可压缩流体之间的类比。为了对法拉第的观念作出精密的数学处理,把这一个物理图象表示为清晰的几何图象,麦克斯韦采用了类比的思考方法。他把力线和不可压缩流体的流线加以比较,因为流体的速度方向与流线的切线方向相同且反比于流管的截面积,所以力的强度也反比于力管的截面积,这就获得了一种既表示力的强度又表示力的方向的几何模型。

麦克斯韦着重分析了不可压缩流体通过有阻力介质的运动。这个阻力取决于介质的性质,与运动方向相反,与速度大小成正比。如果用v表示速度大小,K表示阻力系数,则作用在单位流体体积上的阻力为Kv。因此,为了保持这一速度,在流体的后一部分必须比它的前一部分保持较大的压强,这一压强差可以抵消阻力的效应。显然,压强相等的面必定垂直于流线。

考虑一个单位立方体,让流体在垂直于它的两个面的方向上流动。在这个运动方向上单位长度上的压强差为Kv,如果长度为h,则压强差为Kvh。在单位流管上取两个压强差为1的等压面,如果这两个等压面间沿流线的长度为h,则Kvh=1。据单位流管的定义vS=1,由此我们得出S=Kh。他把截面积为S长为h的单位流管称为单位元(unit cell)。在每个单位元中,在单位时间内通过单位流体体积时压强从p降到p-1,因此克服阻力所消耗的功在每个单位时间,每个单位元中是一个单位。

麦克斯韦把流线的开始处称为源(Source),流线的终止处称为穴(Sink)。他讨论了一块中间嵌有一个单位流体元的各向同性的无限大的均匀介质,以此流体源为球心,在单位时间内从任意一个球面流出一个单

麦克斯韦把流体源产生的流线与点电荷产生的力线加以类比。因为点电荷之间的作用力与距离的平方成反比,所以点电荷产生的电场强度与流体源在流体中产生的速度相对应,从而得出:流体中的压强与静电电势相对应;流体中的压力梯度与电势梯度相对应。

麦克斯韦把流体运动的理论应用到电流的情形。设在导体环路中有一个均匀流动的电流,由于导体中电阻的存在,为了克服阻力,导体环路中必须有电动力存在。流体中的压强相应于导体环路中电的张力(electrical tension),物理上等同于静电电势。流体中某方向的压力减少率,相应于沿该方向该点的电动力。他明确指出为了在一闭合回路中产生稳恒电流,除了静电力外还必须有其它作用力存在,他把这个力称为环路的电动力(即现代所说的电动势)。

当不可压缩流体由一种介质进入另一种不同阻力的介质时,流动是连续的,从一种介质中流出的流量等于在另一种介质中流入的流量。但是通过介质的界面后,两旁存在的压强是不同的,而在两种介质的边界面上法向速度是相同的,因此压强的减少率正比于阻力。如果在介质的边界面上在一个单位流管进入介质处用一个单位源代替,在一个单位流管流出处用一个单位穴代替,则介质中流体的运动将和以前一样。他用这种在边界面上引入源和穴的形式,获得了在两种介质中压强的分布。

接着,他把流体通过边界面的理论应用到电介质中,对于不同的介质,阻力是不同的,如果这个阻力较小,就使我们获得一种类似于更容易传导力线的性质。显然,在这种情形下介质的表面上总是有一个明显的电的分布。在力线进入的地方有负电荷分布,在力线出来的地方有正电荷分布。在流体的情形下,在界面上没有真实的源,我们使用它们只是为了计算的目的。在介质内可能没有电荷存在,但是由于表面极化电荷的存在,有明显的电作用存在。

麦克斯韦在描述流线与力线时,涉及到“量”(quantity)和“强度”(intensity)的术语。他在把流体运动和电流加以类比时,着重指出区别这两个术语是很有必要的。对于流体的情形,前者表示“流量”(fluxes),后者表示克服阻力的“力”(forces)。对于电流的情形,电流的量指的是在单位时间内通过一个截面的电量。电流的强度指的是电动力,即克服阻力的能力(Power)。对于磁的情形,在一个磁体内任何截面上的磁化量用穿过该面的磁力线条数来表示,磁化强度取决于穿过该面的力线数和阻力。在把力学量与电学量类比的基础上,麦克斯韦对矢量场的量和强度进一步从数学上予以区分,场中的“量”,即力线的通量,可以通过面积分求出,场中的“强度”可以通过线积分求出。

论文的第二部分主要是讨论了电磁感应现象。在第一部分的基础上,他对法拉第的力线观念作出了精密的数学处理,确立了各电磁量之间的相互联系,建立了对于电紧张态的数学描述,提出了感生电场的概念。

首先,麦克斯韦全面地阐述了法拉第的电磁感应定律。他写道:“当导体在电流或磁铁附近运动时,或者当电流或磁铁在导体附近运动时,或者在电流强度变化或磁场强度改变时,在导体中就产生了一个电动力(electromotive forces,即现在所说的电动势)。”麦克斯韦注释:“必须把电动力与电磁力(electromagneticforces)加以区别,电磁力趋向于产生导体的运动,电动力趋向于产生电流。如果导体环路是闭合的,就有连续的电流产生;如果导体环路是开放的,在它的端部就产生电的张力(tension,即现在所说的电压)。如果在闭合导体横切磁感应线的运动中,通过环路的力线数不变,整个环路的电动力就为零。”“无论用什么方法,只要使得通过环路的力线数改变,环路中就有电动力产生,而感应电流所产生的磁力线总是反抗磁力线的变化。”[2]

接着麦克斯韦探讨了法拉第电紧张态的起源,阐述了法拉第把电磁感应现象与状态概念联系起来的思索过程。他写道:“导体环路内的感应电流只是由于它周围的电的或磁的现象的改变而产生的,只要这些不变,在导体中就没有任何效应产生。当导体接近电流或磁铁,以及远离它的影响时是处在不同的状态中。”他指出,法拉第关于取决于力线数改变的电动力是由于状态的改变产生的,该状态由力线数目来确定。在磁场中,一个闭合导体处在由磁作用引起的一定的状态中,只要这种状态不变,就没有效应发生,但是当这个状态改变时,电动力就产生了,它的强度与方向取决于状态的改变。这一状态就是法拉第所说的“电紧张态”。但是这些概念和想法还没有作为数学研究的课题。麦克斯韦强调:“电紧张态是电磁场的运动性质,它具有确定的量,数学家应当把它作为一个物理真理接受下来,从它出发得出可通过实验检验的定律。”〔2〕

接着麦克斯韦讨论了电流的量与强度的关系即电流密度与电动力的关系,在定义了电流密度概念后,他引进了某一点的电动力的概念。他写道:“导体中任何一点的电流是由于作用在那个点的电动力产生的。这些电动力可能是外部的,也可能是内部的。外部的电动力或者是由于电流和磁铁的相对运动引起,或者是来自它们的强度的改变,或者是来自于其它的原因。内部的电动力是由于导体中相邻点之间的电张力之差引起的。

P2表示任意点的电张力;X2Y2Z2表示该点电动力在坐标轴X、Y、Z上的分量;α2、β2、γ2表示该点有效电动力的分量。它们有如下的关系

 

 

如果用a2b2c2分别表示沿坐标轴X、Y、Z方向上的电流密度,K2表示均匀各向同性介质的阻力,则有

α2=K2a2,β2=K[1]b2,γ2=K2c2       (8.1.2)
α2、β2、γ2可以认为是坐标轴X、Y、Z方向上的电作用强度。沿任一线元dσ测量出的强度由下式给出
E=lα+mβ+nγ                    (8.1.3)
式中l、m、n是这一线元的方向余弦。

合曲线,它就表示在这条闭合曲线中电动力的总强度°将方程(8.1.1)中的α、β、γ值代入式(8.1.3),等式两端取积分可得
 

 
对于闭合曲线
 

由此得出在一条闭合曲线内有效电动力的总强度等于从外部施加的电动力的总强度。


这个积分在给定的面上是有效的。当这个面是一个闭合面的时候,我们可以通过各部分的积分求出

如果我们令

在这里方程右边对e的面积分等于在这个面包围的空间内对4πρ的体积分。在包括均匀电流情形的一大类现象中,量ρ为零。
接着麦克斯韦讨论了磁场强度和电流的量的关系。他在电张力状态理论总结定律三中写道:“绕着任一曲面边界的总磁场强度
 
8—2
量度了通过该表面的电流量。”即现在所讲的安培环路定律

麦克斯韦认为据此定律可以求出穿过一个环路的电流量。
把上述定律应用于面积元dy dz,设面元中心的坐标为 x、y、z,该点的磁化力强度(inten-sity  of  magnetizing force即磁场强度)沿坐标轴X、Y、Z方向的分量为α1、β1、γ1,于是围绕这四个边测量的总的磁化力强度分别为
 

 
通过面元dydz传导电流的量为a2dydz。因此如果我们用一个围绕着闭合曲线的总磁化力强度来量度电流的量,我们就有

因此只要我们知道磁场强度(magnetic intensities) α、β、γ的值,我们就能求出电流的分布。我们看到通过对上述方程的微分可以得到

这就是闭合电路的连续方程。
接着麦克斯韦作了一系列论证。他证明了如果a1b1c1是磁感应量的三个分量,ρ1是磁密度,满足

可以找到三个函数α0、β0、γ0和第四个函数V使其满足
 

 
如果a1b1c1表示磁感应强度B的三个分量,α0、β0、γ0就是法拉第电紧张态函数α的三个分量,据矢量分析中旋度和梯度的定义可得
B=curla+gradV                   (8.1.8)
当不存在磁极时,此式右边第二项可被变量的适当变换略去,可以得到
B=curla                        (8.1.9)
这是与麦克斯韦在这篇论文的电紧张态的理论总结中的叙述完全等效的。他在该总结的定律一中指出:“绕着一个面边界的整个电紧张强度等于通过那个面的磁感应量,或者换句话说,通过那个面的磁力线的数量。”用现代的形式表示就是

式中φ表示磁力线的数量。
麦克斯韦在定律五中写道:“一个闭合电流总的电磁势(即总能量)是由电流的量(即电流密度)与同方向绕该环路的电紧张强度的乘积所量度。”用现代的形式表示即为

麦克斯韦在定律六中写道:“任何导体元上的电动力,无论是在大小还是在方向上由在那个元上电紧张强度的瞬时变化率来量度。这里所说的电动力就是变化磁场引起的感生电场。”用现代形式表示即为

对感生电场在一个闭合回路上进行积分就得到感生电动势。所以麦克斯韦写道:
“在一个闭合导体上的电动力(即电动势)是由绕着这个环路的整个电紧张强度对时间的变化率来量度。虽然产生的电流是随电阻而改变,但是电动力不依赖于导体的性质;而且,无论用什么方式使得电紧张强度改变,或者是由于导体的运动,或者是由于外部环境的改变,产生的电动力都是相同的。”[2]
 
(二)《论物理力线》——磁力及磁场能量感生电场与变化磁场的关系位移电流概念的提出
1862年,麦克斯韦发表了《论物理力线》(OnPhysicallinesof force)这篇重要论文。他觉得要更好地体现法拉第的力线思想,仅仅从几何学方面讨论力线是不够的,还应该对已经确立的电学量和磁学量之间的关系给以物理解释,为此目的他设计了电磁作用的力学模型,试图用力学观点解释这些现象。他写道:“在这篇文章中,我的目的是研究介质中的张力和运动的某些状态的力学结果,并将它与观察到的磁和电的现象加以比较,来澄清这方面的思考。”[4]
在论文的第一部分,应用于磁现象的分子涡旋理论中,麦克斯韦通过他所提出的分子涡旋假设讨论了磁场作用在磁极上,作用在磁感应物质上以及作用在电流上的力。
在这以前,“以太旋涡”的思想早已有了。1856年,汤姆孙从研究光的偏振面在磁场中的旋转效应得出磁具有旋转的特征。认为可以把磁致旋光效应归结为以太振动和分子旋转运动之间的耦合,这给麦克斯韦以很大的启发,使他认识到磁是一种旋转的效应。他写道:“对于由电流引起的电离质在一定方向上的传送和由磁力引起的偏振光在—定方向上的转动这一事实的思考,导致我把磁认为是一种旋转现象。”[3]
麦克斯韦把磁旋转这一概念与法拉第的力线思想相联系。按照法拉第的力线思想,力管倾向于纵向收缩和横向膨胀。他想,如果假设每个力管所包含的流体是处在绕它的管轴的转动中,这样一种倾向就可以归因于离心力。于是他设想了一个“分子涡旋”(molecularvortex)模型,假设涡旋绕磁力线旋转,即从S极到N极沿磁力线看去,涡旋在顺时针方向旋转,由于旋转引起的离心力使每个涡旋在横向扩张,从而纵向收缩,因而磁力线在纵向表现为张力,就象绳上的拉力一样。横向表现为压力。
 
8—3
麦克斯韦假设在场中任何一部分的所有涡旋是围绕几乎平行的轴在相同的方向上以相同的角速度转动。磁的影响是作为介质中的压力或张力形式而存在。这种压强不同于通常流体的压强,在介质中每一点在不同方向上的压强是不同的,在垂直于轴线方向上的压强是相等的,且具有最大值;最小的压强在平行于轴线的方向上。如果设轴上的压强是p0,在涡旋圆周

的线速度。p1的方向垂直于轴线。在平行于轴线的方向上,平均压强为

 

麦克斯韦认为实际应力可以分解成作用在所有方向上的简单的流体压

X、Y、Z轴的方向余弦是l、m、n,则平行于三条轴的法向应力pxxpyypzz和在三个坐标面上的切向应力pyzpzxpxy应为
 

 
如果我们令α=vl,β=vm,γ=vn,则有
 

 
由于内部应力的改变,在体积元内将引起一个合力,麦克斯韦根据应力的平衡定律得出每单位体积在X轴方向的力为

代入以上数据,经计算得

接着麦克斯韦对上式中每一项进行物理解释。他假设α、β、γ是磁场强度,即磁场对单位北磁极的作用力在坐标轴X、Y、Z方向的分量,它们与涡旋周围的速度成正比。μ表示介质中任何一点的磁导率,与涡旋的密度成正比。μα、μβ、μγ表示通过垂直于 X、  Y、  Z轴的单位面积上的磁感应强度。
通过围绕着一个磁极的闭合面的磁感应总量完全取决于闭合面内的磁物质的量。所以如果dxdydz是一个体积元,m是磁极强度,即单位体积中北极磁物质的量,则有

因此X值的第一项

可以写为                 αm           (8.2.4)
这一项的物理解释是,在X轴正方向推动磁北极的力是在X轴方向上的磁场强度和磁极强度的乘积。
然后麦克斯韦按照分子涡旋假设对磁场作用于磁极上的力进
 
8—4
行力学解释,给出了定性的物理图象。他假设有一组磁力线是从左向右的平行线。放置在磁场中的磁北极N向外发出力线,在N极的右边与原磁场方向一致,使磁场得到加强;在N极的左边与原磁场方向相反,使磁场受到削弱。因此这个场的涡旋的转速在N极的右边将加快,在N极的左边将减慢。从而使N极右边的张力将比左边的张力大,所似磁北极将沿着场的方向被拉向右边。在同样的意义上,南极将被拉向左边。
X值的第二项是

 
在这里α222是场中任意一点的磁场强度的平方,μ是同一地方的磁导率。这一项的物理意义是在X轴方向上磁场作用在磁感应物质上的力。对于磁导率μ是正的物体将被推向强磁场的地方。
X值的第三项是

在这里μβ是通过垂直于Y轴的单位面积上的磁感应量,即磁感应强
通过垂直于X轴的单位面积上的电流强度。如果我们令通过垂直于X、Y、Z轴的电流密度分别为p、q、r,则有
 

 
第三项的物理解释是Y轴方向的磁感应强度μβ对Z轴方向的电流密度r的作用力沿X轴负方向。
 
8—5
麦克斯韦继续用分子涡旋假设对磁场作用在电流上的力给以力学解释。他假设一垂直于纸面的长直电流放在一垂直向上的均匀磁场中,由电流产生的磁力线使它右边的磁场加强,而使左边的磁场削弱。因此在导线右边的涡旋转速加快,给导线向左的压力加大;在导线左边,涡旋转速减慢,给导线向右的压力减小,其结果将把导线推向左边。
X值的第四项是

这一项的物理解释是Z轴方向的磁感应强度μγ对Y轴方向的电流密度q的作用力沿X轴正方向。它与第三项一样都是指的磁场对电流的作用力。

现在我们可以写出磁场作用在单位体积介质元上的合力的分量的表示式为

每个表示式中,第一项表示磁场作用在磁极上的力;第二项是作用在磁感应物质上的力;第三项和第四项是作用在电流上的力;第五项是简单的压力效应。
对于电流不存在,即p、q、r为零的情形,据式(5)有



据式(3)有

如果在我们所考虑的空间无磁极物质,即m=0,则

在μ是均匀的而且没有电流的空间中,磁力线必定是来自于磁物质。如果设想在与我们所考虑的空间点距离r处有一磁极m,则上式唯一的解是

单位北磁极在r处受到的排斥力是

这就是磁库仑定律。
在论文的第二部分,应用于电流的分子涡旋理论中,讨论了电磁感应现象。这就要求对电流与分子涡旋的物理联系有所理解。而它又引起了另一个问题,由于相邻涡旋的表面在空间任意一点运动方向相反,这两个相邻的涡旋如何在相同的方向上自由转动呢?麦克斯韦想到在机械齿轮机构中有一种惰轮(idlewheel),它们与两边的齿轮相互啮合,可以保证两边的齿轮在相同的方向上旋转。这个惰轮的中心是可以运动的,其中心的运动是两边齿轮周边运动之和的一半。麦克斯韦设想每个涡旋同它相邻的涡旋被一层细微的粒子隔开,这些细微的粒子起着齿轮系列中可动惰轮的作用,这些粒子远比涡旋的线度小,它们的质量与涡旋相比微不足道。由于磁体的磁力线可长期保持而不消耗,因此粒子作无滑动的滚动。粒子与涡旋的作用沿切线方向。麦克斯韦通过计算得到这些粒子的运动与电流相对应,穿过单位面积的粒子数等于流过单位面积的电量。因此,电流由这些穿插在相邻涡旋之间的粒子的移动来表示。粒子的滚动带动涡旋旋转,好象齿条带动齿轮。这就是电流产生磁力线的类比机制。
然后麦克斯韦计算了介质中涡旋运动引起的能量。他假设单位体积中涡旋的实际能量正比于密度和速度的平方,即

式中C是待确定的常数。在磁场中没有电流的情形下,据式(7)有

j=j1+j2据式(8)有

j1表示磁极m1在空间任何点产生的势,j2是磁极m2产生的势。所有涡旋的实际能量是E式对整个空间进行积分
E=ΣCμ(α22+r2)dV
通过分部积分可以证明
j1E=-4πCΣ(j1m1+j2m2+j1m2+j2m1)dV
又因Σj1m2dV=Σj2m1dV
       E=-4πCΣ(j1m1+j2m2+2j1m2)dV               (8.2.12)
现在令磁场m1处于静止状态,m2通过空间δx的距离,因为j1只取决于m1,它仍然与以前一样,所以j1m1是常数。因为j2只取决于m2,在m2的周围j2的分布仍然是相同的,所以j1m1仍然与以前一样。由于m2的位移

际的能量变化为


根据能量守恒有δE+δW=0,即磁场对运动磁铁所作的功等于涡旋能量的减少。所以,


所以单位体积中涡旋的能量为


向力所作的功,或者来自涡旋形状的改变。
接着,麦克斯韦根据粒子层的切向力对涡旋作的功应等于涡旋能量的改变,推导出了重要的磁场状态的改变和感生电场的关系式。
P、Q、R是在坐标轴X、Y、Z方向上作用在单个粒子上的力。因为每个粒子的端部接触了两个涡旋,所以单个粒子对涡旋的反作用力分

 

现在令dS为涡旋的面积元,它的法线的方向余弦为l、m、n,它的坐标是x、y,z。它在坐标轴X、Y、Z方向的分速度为u、v、w。于是粒子层作用在dS面上的力所作的功为

让我们从第一项开始,P可以写为

u=nβ-
因为涡旋表面是一个闭合面,所以
ΣldS=ΣmdS=ΣndS=0
ΣnxdS=ΣmxdS=ΣnydS=ΣmzdS=0
              ΣmydS=ΣnzdS=V
式中V为该闭合面所包围的体积。由此得到

在单位时间内对涡旋作的总功为

据式(14),对体积为V的涡旋其能量为

因为粒子对涡旋作的功应等于涡旋能量的改变,所以由此可得

这个方程对α、β和γ的任何值都是成立的。
首先令β=γ=0,并用α除等式两端,然后分别令α=γ=0、α=β=0,并相应除以β、γ,就得到一组公式


之间的关系。按照前面的假设,这就是磁场强度H的改变和感生电场E之间的关系。用现代的形式表示,即为

麦克斯韦将这一公式与他在第一篇论文中得到的磁场强度和电紧张态

上的力就是感应电动力,也就是描述“电紧张状态”变化率的物理量。
 
8—6
接着麦克斯韦按照他的分子涡旋假设对上述关系式进行力学解释。如图(8-6)所示,六角形空白代表涡旋,分开涡旋的小圆圈代表带电粒子。当电流从左到右通过AB时,AB上面的一排涡旋gh按逆时针方向旋转,如果KL排涡旋仍然处于静止状态,则这两排涡旋之间的粒子将在顺时针方向上转动,粒子层pq由右到左运动,即产生与AB电流方向相反的感应电流。当电流稳定时,空间涡旋运动都已达到平衡,它们之间相互没有影响。如果AB中电流突然停止,则gh排涡旋将受到阻碍,而KL排涡旋仍然在反时针方向上快速转动,这就使pq层中的粒子从左向右运动,即产生与AB电流方向相同的感应电流。因此感应电流的现象是涡旋的转速改变时发生的作用力的一种效应。
麦克斯韦在论文的这部分还讨论了电流或磁铁运动时产生的感应现象,以及导体运动时产生的感应现象,并用分子涡旋假设对动生电动势的产生作了力学解释。
在论文的第三部分,应用于静电的分子涡旋理论中,麦克斯韦引进了“位移电流”的概念。为了计算涡旋运动从场中的一部分传到另一部分,他假设涡旋物质具有弹性。当分子涡旋之间的粒子层受到电力而位移时,运动粒子给涡旋切向力使之变形,而形变涡旋给该粒子以大小相等、方向相反的弹性力,当激发粒子的电力撤销时,涡旋恢复原来的形状,粒子也回复原来的位置。
麦克斯韦根据物理图象的分析,对比了在电场作用下导体内和电解质内所发生的过程。他把导体比作多孔的膜,允许电流通过。把介质比作一个流体通不过的弹性膜,能把流体的压力从一边传到另一边。他指出:“虽然电流通不过介质,但是电的效应可以通过介质传播。”他肯定在变化电场的作用下,电解质中也会有一种能够产生磁效应的特殊的“电流”。他写道:
“只要有电动力作用在导体上,它就产生一个电流……。作用在电介质上的电动力使它的组成部分产生一种极化状态,犹如铁的颗粒在磁体的影响下的极性分布一样……在受到感应的电介质中,可以想象每个分子中的电是这样移动的,使得一端为正,另一端为负,但是这些电仍然完全同分子联系在一起,而不从一个分子跑到另一个分子上去。这种作用对于整个电介质的影响是引起电在一定方向上的一个总位移。这一位移并不构成电流,因为当它达到某一定值时就保持不变了。不过当电位移不断变化时,随着电位移的增大或减少,就会形成一种沿着正方向或负方向的电流。”[4]
麦克斯韦就是这样表述了位移电流的概念。所以位移电流出现在任何电场强度有变化的电介质中,传导电流与位移电流一起,保证了电流的连续性;位移电流和传导电流一样地在它的周围产生磁场。麦克斯韦按照他的分子涡旋模型,根据力的平衡条件,得出了电动力R与电位移h(指的是穿过垂直于运动方向上的单位面积的电量)成正比的结论,即Rah。

最后,麦克斯韦讨论了在涡旋物质中波的传播速度。对于密度为ρ和

用于具有弹性结构的涡旋物质。涡旋介质的密度ρ与介质的磁导率μ有

位和静电单位的比值。1856年韦伯和柯尔劳斯(R.Kohlrausch,1809—1858)得出这一值为 3.1074×103m/s,这正是μ=1的涡旋介质中波的传播速度。这个值与斐索(Fizeau)在1849年测定的光在空气中的速度3.14858×103m/s符合得很好。这一惊人的结果进一步揭示了电磁现象和光现象之间的联系。麦克斯韦在论文中着重指出:“我们不可避免地推论,光是介质中起源于电磁现象的横波。”[4]
 
(三)《电磁场的动力学理论》——场的概念的确立位移电流的定量表示电磁场方程组的建立
1865年,麦克斯韦发表了电磁场理论的第三篇重要论文《电磁场的动力学理论》(ADynamicalTheoryoftheElectromag-netic  Field)。在这篇论文里,他不再采用以前论文中的力学模型,因为他认识到那里的分子涡旋运动只是一种力学运动,用它去解释复杂的电磁现象是不够的,从而放弃了这类假设。他写道:“在前一工作(指他的‘论物理力线’)中,我曾试图描述一种特殊的运动和一种特殊的应力,用以说明电磁现象。在本文中,我避免任何这类假设,而使用与电流感应和介质极化这些熟知现象有关的电动量和电弹性这样一些词汇,我仅希望指点读者想到一些力学现象,它们将帮助读者理解电现象。本文所有这些用语都应看作是说明性的,而不是解释性的。”[5]
在这篇论文的第一部分引言中,麦克斯韦最早明确地提出了电磁场的概念。他在评价韦伯和纽曼的超距作用的电磁理论时写道:“然而,在依赖于粒子速度的力超距作用在另一些粒子上的假设中包含着力学上的困难,阻止我认为这一理论是最终的理论。”“所以,我宁愿从另一方面去寻找对这一事实的解释,假设它们是被周围介质以及在激发物体中所发生的作用而产生,而不需要假定在相当距离上直接作用的力存在就可以解释远距离物体之间的作用。”“所以,我提出的理论可以称为电磁场理论,因为它与带电体或磁体附近的空间有关;它也可以称为动力学理论,因为它假定在该空间中有运动的物质,从而产生了我们所观察到的电磁现象。”[5]
麦克斯韦认为电磁场既可在物体内存在,也可在真空中存在。他写道:“电磁场是包括和环绕那些处于电或磁状态的物体的那一部分空间,它可以被任何种物质所充满,也可以抽成没有任何宏观物质的空间,就象在盖斯勒管或其它称为真空的情形下一样。”他假定以太物质是电磁场的物质承担者。他指出:“从光和热的现象看来,我们有理由相信,有一种以太介质充满空间和渗入物体;它能运动并将该运动从一部分传到另一部分;它能将该运动传到宏观物体,使其加热,并以各种方式影响它。”[5]
在物理学发展史上,麦克斯韦第一个表述了能量局域性的概念。这就是说对于带电物体或磁性物体,能量并非只存在于这些物体内部,而且也存留在该物体周围的空间中。他写道:“一切能量,不论它以运动的形式存在,或以弹性的形式存在,还是以任何其它形式存在,都是和机械能一样的。……剩下的问题仅仅是:它存留在什么地方?……按照旧的理论,它存在于带电物体、导体环流以及磁铁的内部……按照我们的理论,它存在于电磁场中,存在于带电体的周围空间和这些物体内部。它以两种不同的形式表现出来,这两种形式就是电极化和磁极化;或者按照一种可能的假设,把它们看成是同一介质的运动和应力。”[5]麦克斯韦对电磁场的能量还作了定量计算,推导出了电磁场能量密度公式和总能量方程。
在论文的第三部分麦克斯韦建立了电磁场的普遍方程,它与我们今天所熟悉的麦克斯韦方程组已经非常接近,一共有八组方程,他把前六组矢量方程写成直角坐标分量式,所以这是一组包括20个变量的由20个方程构成的方程组。在这篇文章中,麦克斯韦直接根据电磁学的实验事实和普遍原理给出这些方程。下面我们用今天使用的术语和符号,把这些方程表示如下。
A.全电流方程


的变化率,即位移电流密度。这个方程是麦克斯韦电磁理论的核心,它把麦克斯韦关于位移电流的思想定量化了。
B.磁力方程
μH=Curlα
式中H为磁场强度,μ为磁导率,μH即磁感应强度B。α为电磁动

紧张态相同的量”。上式表明了在磁场中沿任意闭合回路的电磁动量的总和等于穿过回路的磁力线数。对此式两边取散度,即得现代形式的方程 divB=0。
C.电流方程
CurlH=4πj
根据实验可知,当磁极在磁场中移动的闭合回路未绕过电流时不产生功,而磁极沿绕过电流的回路移动时所产生的功与绕过的电流有关,由此

1873年,麦克斯韦在他的《电学和磁学通论》(TreatiseonElectricity and Magnetism)这部经典著作中,叙述了引入位移电流概念这一思想过程。他在该书的第607条中作出这一评述:“只有很少的实验证明介质中位移电流的改变与电流的电磁作用相联系。但是协调电磁定律与不闭合电流存在的极大困难使我们必须接受瞬变电流的存在是由于位移变化产生的。这是许多理由中的一个理由。”[6]
对安培环路定律的微分形式有

这就要求divj=0
也就是说该定律只能在闭合回路中成立。在闭合环路中的任何点上没有电荷的累积。在开路的情形下,例如在电容器充电时,我们有

ρ是单位体积中所包含的电荷量。这时在电容器的极板上有电荷累积,j的散度不为零,这就表明在不稳定电流的情形下,安培环路定律不成立。为了克服这一困难,麦克斯韦引进了全电流思想。


D.电动力方程

式中E为电动力,即电场强度。第一项表示导体本身运动产生的电动力。麦克斯韦指出这个电动力与运动方向和力线垂直。如果以速度ν和磁感应强度μH为平行四边形的两个邻边,则这个力的大小等于平行四边形的面积,力的方向垂直平行四边形的平面。第二项表示在场中由于磁体或电流强度的改变,或位置的变化而引起的电动力。第三项表示电势j引起

E.电弹性方程
E=KD
电动力作用于电介质,使它的每一部分极化,它的相对的面上出现相反的电荷,这个电量取决于电动力和电介质的性质。对各向同性的电介质电动力E与电位移D方向相同,其大小成正比,比例系数为K。写成现代形式的方程为D=εE。
F.电阻方程
E=-ρj
电动力作用在导体上产生通过导体的电流。式中ρ为单位体积导体中的电阻,写成现代形式为j=σE,σ为电导率。
G.自由电荷方程
e+divD=0
式中e是单位体积内的正的自由电荷量。写成现代形式的方程 divD=4πρ。
麦克斯韦在《电学和磁学通论》一书的第60条中对上式说明如下:“如果电荷e均匀地分布在一个球面上,在介质中与球心距离r处的任何点的

半径为r的同心球面,通过这个面的总电位移将正比于e,而与r无关。如果 U1U2分别是内球面和外球面的电势,则增加电位移dE所作的功将为(U1-U2)dE。如果取外球面在无限远,则U1成为带电球的势,而U2就变为零,于是这个功就为UdE。但是这个功也是Ude,在这里de是球的电荷的增加。如果我们承认电能存在于介质中,则dE=de,即穿过任何同心球面的电位移等于球上的电荷。由此得出结论:位移电流给任何其它有限长的电流提供了一个连续的,等同于闭合环路中的电流。”[6]
H.连续性方程

这就是电荷守恒定律。
以上八个方程就是麦克斯韦最早提出的电磁场方程组。这是一套完备的电磁场方程组,只要知道问题的条件,方程中的变量是完全可以确定的。这个方程组概括了各个电磁学的实验规律,是能够完整和充分地反映电磁场客观运动规律的理论。
方程组最简单的完美对称形式是1890年由赫兹写出的,它包括四个方程,其现代形式为
divD=4πρ0
divB=0

其中第一个方程即电学的高斯定理,D为电位移矢量,ρ0是自由电荷体密度。第二个方程即磁学的高斯定理,说明磁场是涡旋场。第三个方程即麦克斯韦推广了的安培环路定理。H为磁场强度,j0是传导电流密度,

个方程即电场的环路定理,说明变化的磁场产生感应电场。
麦克斯韦的电磁场理论从超距作用过渡到以场作为基本变量,实现了科学认识的一个革命性变革。在《物理学的进化》一书中,爱因斯坦和英费尔德评论说:“这些方程的提出是牛顿时代以来物理学上一个最重要的事件,这不仅是因为它的内容丰富,并且还因为它构成了一种新型定律的典范。”

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