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从哥白尼到开普勒 夫天文者，朝廷之实政、儒者之实学，非比一人一事，可以掉三寸之舌、立地雌黄、洒笔端之墨，依稀形似者也。此其道在于测验。 南怀仁：《不得已辨》 丁福保等，《四部总录算法编》，商务印书馆，1957年，《补遗》，第46页 希腊人的天文学和托勒密系统 1.古希腊人的天文学和托勒密系统 天文学作为自然科学最早的学科，它的任务主要是描述、记载和观测天体的运动。也可以说，主要是天体这种特殊物体的运动学。近代精密力学的最早萌芽即是从天文学开始的。 1．1 天体的视运 从远古起，人类就注意并观察日、月、星辰的运动和变化。世界各民族都是这样。所观察到的这些变化大致可以归纳如下： 天球每一昼夜旋转一周，天上的恒星相对位置不变。天球旋转轴的北极在北极星附近。一切天体都参加天球的周日运动。方向从东向西。 太阳在天球上每日由西向东约1°，365.24天运行一周，其轨迹称为黄道。太阳运行的速度夏季比冬季慢，如在6月1日到6月30日运行了27.5° ，而在 12 月 1 日到 12 月 30 日运行了29.5°。将周日运动星图上与北极星呈90°的星连起来，称为赤道。黄道和赤道交角为23.5°。
月亮由西向东运行一周时间为27.3日（即每日运行12°－13°）每周运行约90°。朔（月亮暗的时候）、望（月亮圆的时候）周期（与运行周期不同）为29.5306日。如果仔细观察可发现月亮在天空中的运行不是等速的。 除了太阳与月亮之外，古代人们把位置变化的星称为行星，肉眼能看见的行星有5个，即：金星（太白）、木星（岁星）、水星（晨星）、火星（荧惑）、土星（镇星或填星）。它们的运行规律各不相同，分别描述如表。
朔（月亮暗的时候）、望（月亮圆的时候）周期（与运行周期不同）为29.5306日。 星 名 视 周 期 运动特点 水 星 116日 太阳附近摆动与太阳的最大夹角在角在18°－28°（平均23°）之间 金 星 约217日 在太阳附近摆动，与太阳最大夹角约40° 火 星 约687日在 天球上徘徊地从西向东运行，780日一徘徊 木 星 约12年在 天球上徘徊地从西向东运行，399日一徘徊 土 星 约29.5年 在天球上徘徊地从西向东运行，378日一徘徊
在这些复杂的星球运行图上，最早天文学的任务在于： 1． 尽量准确的地确定太阳、月亮与五大行星的运动规律； 2． 预言它们以后的位置； 3． 讨论它们可能的真实运动图形。 这些一直是17世纪之前天文学追求的
古希腊在托勒密之前的天文学已经相当发达，资料也已相当多。 毕达哥拉斯提出地球是球形的见解并给出了论证。提出天球是多个透明球的见解，这些球带着5大行星旋转。 阿里斯塔恰斯（Aristarchus,310-230BC）第一个尝试测量太阳、月亮的大小及其与地球的距离。他知道月亮反光，如以三角形EMS中，E为地球、M为月亮、S为太阳，当正好为半月时，角M为直角，测得角E的值为87°（准确值为89.87°），由此估出太阳与月亮的距离的比值为18－20（准确值是346）。他的这个测量月亮、太阳距离之比的简单方法一直被天文界使用到15世纪。他第一个提出过日心说。 阿波罗尼对行星运动提出均轮（deferent 即行星匀速地绕地球运动的圆形轨道）与本轮（epicycle即行星以匀速绕均轮上匀速运动点的又一种圆周运动）的方案。根据这一方案可以正确解释行星的。 伊巴谷(Hiparchus,-126BC)测得四季长短不等、一年为365.25日。他还得到月亮的距离，他将太阳、月亮运动编制了精密的表，用以推算日月食。他发现了岁差，即黄道和赤道之间的交点在缓慢地改变，每年为46.8〃（现今为48〃）。他编制了星图、发明了球面三角学。他曾被称为天文学之父，是古代在有成就的天文学家逆行。 1．3 托勒密的天文学成
托勒密（Ptolemy,－120年）系统整理了伊巴谷的工作，并且进一步发展后完成了著作《大汇编》，这就是后人所说的托勒密体系。这个体系在后来由于被认为符合基督教的教义，被看作一成不变的教条，统治了天文学达1000多年。 托勒密的观察很精细，而且制造过不少好的天文仪器，他发现了天球北极的易位，即岁差现象。他还发现了星球在近地平线时的快速升高，即光折射的影响。 托勒密的系统是：地球处于天球的中心； 各行星与日、月绕地球作等速圆行沿着绕自己平均位置为中心的小圆（本轮）作等速运动。对行星的轨道圆来说，地球的位置是偏心的； 星空是一个以地球为中心的24小时旋转一周的球体。
从14世纪末开始的欧洲文艺复兴运动，使整个人类社会充满了新的创造精神。在天文、数学、地理、化学、航海、文艺、宗教改革、印刷术，各方面都提出新的思想，产生了一大批巨人。 托勒密的地心说体系，愈来愈与观测资料表现出矛盾。特别是对行星的视运动，均轮、本轮系统越来越不能说明运动轨迹。为了弥合这种误差，不得不增加本轮，最后竞多达80多个。虽然运算麻烦仍然无法达到与观测的统一。哥白尼认为"天空具有超越一切的完美性。"既然天体宇宙是上帝的创造，而上帝是万能智慧的，绝不会造出这种连人都觉得不美、不和谐的系统。追求一种新的宇宙模式自然是势所必然的。 2 尼古拉 哥白尼及其贡献 2．1 哥白尼的生平简历 尼古拉 哥白尼（Nicholas Copernicus,1473－1543）出生于波兰的普鲁士地区，10岁时他父亲去世，由他舅父抚养长大。他的舅父是这个地区的主教，在当时政教合一的西方，实际上是这个地区的最高统治者。
中世纪后，在认识论上有很大的进步，英国教士培根（Roger Bacon,?－1250）最早喊出号召实验与观察，"看看这世界"，"结束教条和权威的统治"的口号。这种思想为广大学者所赞同，从而逐渐跳出中世纪以纯思辨作为真理标准的方法论的约束。正是在这些背景下，新的天文学才得以诞生。 从幼年到青年时期他在当地求学，除了学习古典著作以外，还研究天文学，并且学会了使用简单的天文仪器。之后，他的舅父本来想培养他成为教职人员，所以送他到意大利游学，在那里他学习了教会法律、希腊文，并且得到了博士学位。在意大利，他继续对天文学保持浓厚的兴趣，除了阅读拉丁文的天文著作之外，他还学会阅读希腊文的天文著作。他26岁时，来到罗马，在那里教授天文学与数学。后来又学习了两年医学。 哥白尼在30岁时回到波兰，那时他舅父在一个大教堂里当教士，他也就在舅父的教堂里当一名博学教士。此后他就一直在那里工作到去世。在教堂里，他的任务是记帐、看病等教堂事务，在余下的时间就去思考他的宇宙模式 1512年，他的舅父去世了，他继续在那里工作，并且在教堂附近的平台上安装了一些简陋的天文仪器，以供他观察之用。 哥白尼最大的贡献是他积数十年如一日撰写的著作《天体运行论》，这本书提出了日心说，从而结束了一千多年的地心说的统治。 《天体运行论》定稿之后，一直未付印，因为他意识到他的体系与教会所提倡的地心说是根本对立的，必为教会所不容，所以踌躇再三。 1539年，有一位名叫雷蒂库斯（G1574）的青年数学家专程到波兰拜访哥白尼，在两年之中学会了哥白尼的学说，成为哥白尼的热烈的拥护者和亲密的朋友。雷蒂库斯写了一篇《天体运行论浅说》，这篇文章是以写信的方式介绍了《天体运行论》的基本要点。文中对这本书赞美备至，但未提作者的名字，称作者为"托伦的神父"。大约在1540－1541年间，这篇文章以单行本的形式出版了，并且引起了社会上强烈的反响。 在唯一的学生雷蒂库斯与其他朋友的极力劝说之下，哥白尼终于同意出版《天体运行论》了，雷蒂库斯以极大的热情帮他缮写手稿并且以这本书的编辑的身份前往纽伦堡联系出版事宜。在纽伦堡，雷蒂库斯收到了哥白尼补写的将此书献给教皇保罗三世的献词。这份献词的目的是向教皇阐述此书绝无亵渎之意，以求得教皇的谅解和庇护。在献词中，哥白尼提到他出版这本书的忧虑是怎样被他的一些好友消除的，但是，由于疏忽，哥白尼没有一处提到雷蒂库斯。也许是由此引起雷蒂库斯的不快，从而丧失了对出版此书的热情，并放弃了此书的编辑工作，转由纽伦堡的出版商奥赛安德尔（A.Osiander, 1498－1552）继续。 奥赛安德尔为了此书能安全发行，擅自增加了一篇《关于本书的假说告读者》的未加署名的前言，大意说书中的理论并不代表行星在空间的真实运动，而是为编算星表、预推行星位置的一种人为的设计。当时哥白尼已经身患重病，无力反对这篇前言。后来这篇前言一直被当作哥白尼的亲笔，多次出版都被保留在书中。直到上一世纪中叶，有人在布拉格的图书馆里发现了《天体运行论》的原稿才搞清楚，在以后再版时将它删去了。1543年5月24日哥白尼收到刚印好、飘着油墨香味的《天体运行论》的样书时，已经不能说话了，不久，他便离开了人世。
2．2 《天体运行论》的要点 在《天体运行论》中哥白尼以有力的证据论证了日心说。尽管早在古希腊已经有一些学者主张日心说，如阿里斯塔恰斯等，但由于论据不够充分，模型又粗糙，所以流传不广，没有得到广泛的注意。《天体运行论》共分六卷，讨论了太阳、月亮、行星等天体在天球上的视运动，给出了从日心说模型出发用球面三角学去计算这些视运动的方法。由于哥白尼认真分析了托勒密系统的矛盾，分析了大量观测数据，又进行了大量的计算，所以终于获得世人的公认。由于书中用了大量的几何知识，所以书的初版广告中有一句话："没有学过几何的人，不准入内。"
日心说的要点是： ．宇宙是一个球体，．太阳是它的中心； ．所有的行星包括地球都绕太阳同．向运动，．轨道都是圆，．且大致在同．一平面附近； ．由行星到太阳的距离远近排列，．顺序为水星、金星、地球、火星、木星、土星； ．月亮绕地球作圆运动。 哥白尼还给出了各行星与太阳的距离表，表中的数据与今测值除土星误差稍大外其余都很准。 土星 木星 火星 地球 金星 水星 哥白尼得到的值9.1743 5.21921.51981.00000.71930.3763 9.1743 5.21921.51981.00000.71930.3763 今测值 9.53885.20281.52371.00000.72330.3871 9.53885.20281.52371.00000.72330.3871 根据这个学说，哥白尼可以解释托勒密地心说可以解释的所有现象，同时又可以解释托勒密所不能解释的现象。 首先，哥白尼的日心说正确解释了太阳的周年轨道与月亮的月轨道，这些轨道是在地球与月亮运动时，从地球上在恒星背景上看到的太阳与月亮的视运动。 其次，托勒密学说最为成功的是解释行星的运动。按照哥白尼的学说，则很容易说明。
对于水星、金星这两个内行星来说，由图2看出水星的轨道圆小，金星的轨道圆大，所以这就是为什么它们分别在太阳附近与太阳S成大小不同的角度在运行，而与太阳所夹的角度在周期性的变化。
对于火星、木星、土星这三个外行星，哥白尼顺利的解释了它们的"顺行"和"逆行"现象。以火星 M 为例，它的顺行和逆行如图3。
最后，哥白尼根据观测的结果，计算了各行星的实际运行周期。由于地球的周期为365.25日，对于内行星而言，如图4他取连续两次在太阳同一侧的最大角度。如对于水星M1M2来说，在图上 为水星连续两次在太阳同一侧最大角度的位置，E1,E2为在这两个时刻地球的位置，S为太阳，则有 根据同样的道理可以计算得金星轨道半径为0.72，周期为225日。对于外行星，例如对火星来说，如图5观测它连续两次"冲"。所谓"冲"，是太阳、地球、火星在一直线上的时刻，从地球上观测，当地球同太阳S和地球E同火星M正好夹角是时，就是"冲"。实际观测结果是，每780日火星冲一次，外行星运动周期比地球为长，这相当于地球走 769493602过了，而火星走过了。故可以算得火星的周期日（因为）。
同理，可以算得木星的实际周期为12年，土星的实际周期为29.5年。它们同太阳的距离相应地为：火星为1.5、木星为5.2、土星为9.5。 总之，哥白尼不用托勒密的本轮，便可以顺利解释行星的复杂运动轨迹。 哥白尼的理论虽然可以解释许多事情，但仍有与观测不一致的地方。特别是对于月亮运动的复杂性，他对月亮运动的描述仍不能令人满意。 2．3 哥白尼学说的影响 哥白尼系统是天文学上的一场革命。它标志着科学脱离宗教的枷锁而宣告独立。在哥白尼时代，知识还没有如现在划分为许多分支学科。哥白尼的学说推翻了那些一千多年来被认为是金科玉律的东西，从而也动摇了那个时代的知识观。哥白尼宣布新体系，意味着对宗教维护的托勒密系统的公开蔑视，意味着蔑视宗教的权威。 由于哥白尼学说的迅速传播，引起了天主教的恐慌。意大利的哲学家、数学家、天文学家布鲁诺（G.Bruno,1548－1600）由于蔑视教规，阅读当时的进步书籍，被教会视为异端，他是哥白尼狂热的信奉者与宣传者。不仅如此他还进一步发展了哥白尼的学说。1576年，英国一位学者出版了一部名为《天体轨道完美的描述》的书。书中宣传了哥白尼学说，并且在说明中，去掉了哥白尼系统中的"恒星天"。 这给布鲁诺以很大的启发，使布鲁诺发展了宇宙无限的思想。1584年布鲁诺出版了《论无限宇宙和世界》一书，书中指出"宇宙是无限大的，其中的各个世界是无数的。"他认为恒星都是太阳，太阳是一颗普通的恒星，不是宇宙的中心。这是对哥白尼学说的重大发展。他的这些观点和活动为教会所不容，1591年遭到逮捕，经过8年的监禁，布鲁诺毫不屈服，最后于1600年2月17日被焚死在罗马的百花广场。 1616年天主教宣布哥白尼学说是一种邪说予以禁止。直到1830年才悄悄地开禁。从禁止到开禁的这200多年中，日心说历经了血与火的斗争，终于取得了胜利。
3 开普勒的行星运动三大定律 哥白尼的学说虽然使天文学起了革命性的变化，为太阳系各行星的运动画出了一幅正确的图像。但这还仅仅是定性的，在定量上还存在许多问题。随着观测资料的积累，哥白尼系统表现出的误差越来越明显。大约在1600年前后，根据哥白尼学说编制的行星运行表的预测值的误差达到了。这样大的误差表明哥白尼的理论还不完善。事实上，在哥白尼的学说中还保留了行星运动轨道是圆形的古代观点。这种在一切运动中圆运动最和谐、最美的观点正好是亚里斯多德学说关于运动的核心。为了进一步发展日心说，为了编制更为精确的星图，还需要更好的观测、更深入的理论思考。而这些便落在哥白尼的后来人身上了。 3．1 第谷的观测工作 第谷!布拉赫(Tycho Brahe,1546－1601)出身于丹麦的贵族，自幼酷爱天文学。由于1572年有一颗!新星!（超新星）促使他编制星表并献身于天文观测工作。 从1576年开始，他靠丹麦王腓特立二世资助，在赫芬岛上建立了一所大的天文台，称为观天堡。他拥有当时最精密的天文观测仪器。在那里他一直工作到1599年。在丹麦国王死后，他不得不逃往布拉格，受聘为布拉格的奥国御前天文学家，直到1601年逝世。 他对天文学上最重要的贡献是：他在理论上并不是哥白尼的拥护者。 3．2 开普勒的生平 开普勒（Johannes Kepler,1571,12,27－1630，11，15）出生于德国，其祖父曾任魏尔市市长，父亲则是一位职业军人，经常外出，并于1588年离家出走。开普勒自幼多病，5岁时染上天花，几乎死去。 开普勒16岁是进入德国蒂宾根大学求学，受秘密宣传哥白尼学说的天文学教授麦斯特林（F.M?stlin）的影响，成为这一学说的拥护者。开普勒在大学里表现出非凡的才能，当时，学习成绩优秀者才允许进一步学习神学，开普勒在大学期间一直迷于神学，并且一心向往作一名神职人员。
一个偶然的机会，使他进入了天文学领域。正好在格拉茨地方一所教会学校的数学教员去世了，在他的老师麦斯特林的推荐下，于1594年4月11日，22岁的开普勒去格拉茨任数学教员。在业余他做编制年历和预言，并且研究天文学。 1596年，开普勒25岁时发表了《宇宙的神秘》一书。在书中他突发奇想，他说正六面体有5种，行星连地球共有6个， 6个行星轨道所在的球面正好外接于或内切于这5种正多面体，即任何二相邻行星之间正好存在一种正多面体，其外接球与内切球正好是二星轨道的大小。 开普勒认为引起行星运动的力是太阳产生的。
开普勒曾将他的书赠送给许多人，如伽利略、第谷等，当第谷读了他的书后，虽然不同意开普勒的观点，但是对开普勒的才能是颇为赞赏的。开普勒同伽利略通过很多次信，尤其在伽利略为宣传日心说而受审的困难日子里，开普勒曾给以热情的支承。 1600年初，开普勒到布拉格访问了第谷，在第谷那里逗留了三个月。同年10月他再次来到布拉格，不久第谷逝世，临终前第谷将关于火星的观测资料赠给他，嘱咐他继续完成关于行星运动的《鲁道夫星表》，且嘱咐他一定要尊重观测事实。 3．3 开普勒三定律的发现 早在哥白尼之前，人们就注意到太阳、地球和外行星在一条直线上的情况，这就是所谓!冲!。在地球上，为了观测火星的"冲"，180只要不断测量太阳、火星的夹角，一旦这个夹角成 ，这就是火星的"冲"。人们早就注意到，每过780日火星"冲"一次。哥白尼从这个数字经过推理，算出火星绕太阳的实际运行周期为687日。事实上，地球在780日中绕太阳走过了2周又 ，即共走769了 ，而火星走过了1周又 ，即总共走了。第谷在世时，从1576年到1599年在赫芬岛上一共观测了20多年。这就是说，第谷大约一共能观测到12次火星"冲"。幸运的是开普勒在第谷的观测资料中，恰好找到了12次火星"冲"的记载。开普勒正好是利用这些记载来计算的。
开普勒从一次"冲"开始，当过了687日时，火星绕太阳回到了原处，而地球走了差43天不到2周。如图，43天对应于角 ，这个角度可以在当时测太阳、火星的夹角得到 。令S为太阳，E为地球，M为火星，在!冲!时地球为 ，过了687日地球为 ，再过687日地球为 ，再过687日地球为为 ，!。SM同之间的角度),3,2,1(iSE是可以及时测得的，设SM为1，则可以通过计算得i到 。这样就得到一串地球的位置 ，从而将地球的轨道画出来。开普勒发现地球的轨道是一个圆，而太阳却不在圆心，据他计算，太阳距圆心大约为半径的1/59倍，即约为半径的0.017倍。开普勒还注意到地球的运动速度不是均匀的，在近日点比远日点要快。 有了地球的轨道，开普勒接着去推算火星的轨道。很自然地，他认为火星的轨道也是一个偏心圆，但是太阳的偏心在什么方向，偏心距多大，需要推算。为此，他从第谷的12组火星!冲!的记录中，选择了4组，即火星轨道圆上的4点来推算太阳的位置。在当时，这是一项十分复杂的计算工作，他先假定一个太阳的位置，然后计算，反复调整，大约进行了70次计算，费了4年的时间。终于定下一个比较满意的火星偏心圆轨道。 但是，这个轨道虽然与选定的4次!冲!符合很好，对另外的8次!冲!却有误差。这个误差大约是角度 ，这是一个不大的误差。 大约是一个圆周角的8/(360×60)=1/2700。不过开普勒心里很清楚，这仍然是一个不小的误差，因为他相信第谷的观测误差绝不会超过。开普勒为追求更高的精度，终于不得不打破火星轨道是偏心圆的框框。他试验了多种圆和类似卵圆的曲线，最后他才试验椭圆轨道。结果12次"冲"都符合很好。
他最后推求火星实际轨道的方法可以表为如图8，令"分别代表火星"冲"的位置 "是"冲"过后687天的位置，这时火星仍在原来位置上。因为地球轨道上的是已知 开普勒在计算地球与火星的轨道时，还发现了所谓开普勒第二定律，即从椭圆到行星的矢径在相等的时间内，扫过的面积相等。之后，他还发现了第三定律，即各个行星运动周期的平方与各自离太阳的平均距离的立方成正比。这三个定律合称为开普勒关于行星运动的三定律，都收在他1619年出版的专著《宇宙的和谐》一书中。 开普勒三定律不仅对于天文学是十分重要的,开普勒因此被称为"天空的立法者"的称号，更为重要的是，它奏响了经典力学诞生的序曲。有了开普勒三定律，再有了伽利略关于落体运动的研究，万有引力定律与经典力学系统的确立，便是呼之欲出的事了。 开普勒第一定律 开普勒第二定律 3．4 开普勒对他的行星运动三定律的叙述 开普勒在他的《宇宙的和谐》中对他发现的行星的运动三大定律是这样介绍的："谈谈和谐性得以确立的运动，我再次提请读者铭记我在《火星评述》中根据第谷极其精确的观测已经阐明的下述事实：经过同一偏心圆上同样周日弧的速度是不等的，随着与运动之源太阳的距离不同，经过偏心圆上相等弧的时间也彼此不同；另一方面，若假定每一场合的时间都相等，比如说等于一自然日，那么同一偏心圆上与之对应的两段周日弧与各自到太阳的距离成反比。“±我在22年前由于尚未洞悉方法而暂时搁置的《宇宙的神秘》的一部分，必须重新完成并在此引述。因为在黑暗中进行了长期探索之后，借助布拉赫的观测，我先是发现了轨道的真实距离，然后终于豁然开朗，发现了轨道周期之间的真实关系，倘若问及确切的年月，”-虽已迟了，仍在徘徊观望，历尽岁月，终归光临； 这一思想发轫于1618年3月8日，但当时试验未获成功，又因此以为是假象遂搁置下来。最后，5月15日来临，一次新的冲击开始了。起先我以为自己处于梦幻之中正在为那个苛求已久的原理设想一种可行的方案。思想的风暴一举扫荡了我心中的阴霾，并且在我以布拉赫的观测为基础进行了17年的工作与我现今的潜心研究之间获得了圆满的一致。然而，这条原理是千真万确地真实而又极其精确的：任意两个行星的周期正好与其距离平方根的立方成比例；但是，应该看到，椭圆轨道两直径的算术平均值较其半长径稍小。因此，举例来说，地球的周期为1年，土星的周期为30年，如果取这两个周期之比的立方根，再平方之，得到的数值刚好就是土星和地球到太阳的中距离之比。因为1的立方根是1，再平方仍是1；而30的立方根大于3，平方之，则大于9，因此土星与太阳的平均距离略大于日地平均距离的9倍。” |
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