关于泛音的一些小知识 —— BlogB...

众所周知，声音有四大要素：音高、强弱、长短、音色。
前三种，非常容易理解：
音高：就是振动的频率不同导致的区别。
强弱：就是振动的振幅不同导致的区别。
长短：就是振动持续时间的不同导致的区别。
而音色，相对而言较难理解一些。

对于振动（也就是声音）来说，最纯粹最基本的是正弦波的震动。然而，在电子时代到来之前，人类完全没有听过这种纯粹的震动。而现在则很容易，你只要提起电话，就能听到频率为440赫兹的正弦波的声音——平心而论，这种声音实在算不上美妙。

Fig 1 正弦振动

但是，自然界中存在很多非常不同的声音，他们的振动，几乎全都不是正弦的震动。

 Fig 2 非正弦振动的一个例子

这样的震动，对人听觉所产生的作用，是完全不同的，那这种不同，就是音色的不同。
但是，傅立叶从数学上证明了，任何的一种非正弦的振动，都可以分解为若干个不同频率的正弦波的叠加。而这一系列的正弦波的频率，都是原来波的频率的整数倍。但是，频率越高，所分配到的能量则越少。

Fig 3 波的傅立叶变换

而波的频率，从某种程度上来说，正对应了参与振动的弦的长度。假设频率是基音的3倍，那参与振动的弦的长度就是原弦的1/3，呈倒数关系。
（对于管乐的情况，则可以考虑参与震动的空气柱的长度，最终结果是一样的。）

而泛音，实际上就是基音被分解后所产生的一系列振动——所以有的书上也说，是“部分弦长的振动”。

因此，除了正弦波本身是不存在泛音的，任何其他的振动（或音），都存在无穷多个泛音——我们实际在音乐演奏中无法听到那么多泛音，正是由于频率越高，分配到的能量越少，因此无法实际使用的原因。

现在，我们可以给音色下一个定义了：音色的区别是由于各种振动，其总能量在泛音各音级上能量分配不同而造成的。

而在实际演奏中，所谓“演奏泛音”本质上其实是“如何将一个单独的泛音，从
同时存在的基音和泛音列中单独提取出来”的问题。

Fig 4 这里显示了用一个手指在琴弦的3/2处虚按的情况
很明显的，除了基音的3倍、6倍、9倍……等频率之外的震动，全部被抑制掉了。而这写幸存的震动，则合成了一个新的音。这个音是原来基准音频率的3倍。（如果基准音是c的话，那这个音就将是g1）

Fig 5 则显示了一个手指在琴弦的一半处虚按的情况。当然因此，除了2倍频率，极其倍数的频率之外，别的振动都被抑制了。因此，这样演奏出来的音，将是基准频率的一倍。（如果基准音是c的话，那这个音就将是c1）

通过这种方法，我们可以很简单的发现，在琴弦的1/2，1/3，2/3，1/4，3/4，1/5，2/5，3/5，4/5……等等许多地方都可以演奏出泛音。而从理论上说，由于泛音列是无限的，因此在任何一个位置，都可以演奏出泛音。但是实际上，由于泛音的音级越高，分配到的能量就越少，实际上在5倍频率的情况下，已经很难演奏出泛音了。（铜管的情形要稍微好一些，但是也很少会超过10级以上的泛音）。

而人工泛音，实际上原理没有任何区别，只是人为的用一个手指按弦，改变基准音的音高，而用另一个手指虚按琴弦的某个特定的位置，来获得需要的泛音而已。

 

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（考虑到这里大多不是学理工的，所以我尽量不把公式牵扯进来。傅立叶变换的公式我就不列出来了，不过这个问题的解释，还是需要一些简单的公式，所以还请大家原谅；同时也要请理工的同学原谅我做了一些简化。）

这里，假设发出的声音是F。频率是ω。那我们记这个波形为：F(ω)

那么，实际上，我们可以把这个波形分解成若干个正弦波的叠加。

F(ω)= A1f(ω) + A2f(2ω) + A3f(3ω) + A4f(4ω) + A5f(5ω) + A6f(6ω)……
这里，f(n ω)代表各种正弦波。而之前的数字，则代表这个正弦波的频率，是原先那个音频率的几倍。而A1  A2.....则代表这个频率的正弦波的振幅，或者说强弱。

实际上，F(ω)就是小提琴拉出的那个音（当然，也可以是任何一个别的乐器或者东西发出的音）。那A1f(ω)就是基音，这个频率ω，就是基频。

而A2f(2ω) + A3f(3ω) + A4f(4ω) + A5f(5ω) + A6f(6ω)……这一堆，就是各色泛音。A2f(2ω)就是第一级泛音。A3f(3ω)就是第二级泛音。……

现在可以开始解释一些问题了：

1、同样频率的音，为什么音色会不同？
答：频率一样，实际上就是说，基频是一样的。但是，再经过傅立叶变换之后，A1 A2 A3...这一系列参数会不一样。这也就是说，能量在不同频率上的分布不同。假设一个小提琴，发出的音A1 A2 A3……分别是0.3, 0.1, 0.005……那么，任何一个别的声音只要符合这个比例的分布（或者近似符合），我们都可以认为是同一把小提琴发出的声音。（实际上鉴定录音是否某个人的声音，也是用同样的方式）。不同的声色，这个频率分布是完全不同的。这也就是为什么有音色区别的根本原因。

2、为什么音叉没有泛音？
答：这个说法是个很不严密的说法。不能说没有泛音，只能说，由于音叉的声学特性很特殊，它的声音经过傅立叶变换之后，A1很大，A2  A3  A4……都非常非常小。一直要到很高的泛音级，才会在出现一个稍大一点的项。因此，听起来“就像没有泛音一样”。

3、这个解释是否适用于所有的弦乐器？
答：这个解释适用于所有的声音。而不仅仅是弦乐器。

4、为什么钢琴演奏出来的是泛音列？而小提琴是演奏泛音？
答：上面的解释可以看到，任何声音，都可以分解成泛音列。所以钢琴演奏的时候，也包含了一系列的泛音（如同小提琴、长笛、长号……一样）。而小提琴、吉他等乐器演奏的泛音，只是通过特殊的方法，把其中某几项分量“取出来”单独被你听见而已。所以，从物理的意义上来讲，不是小提琴演奏出了泛音，而是小提琴特意不演奏出一些泛音。