一．力对点之矩 (简称为力矩)
1.力对点之矩的概念
为了描述力对刚体运动的转动效应，引入力对点之矩的概念。
力对点之矩用MO（F）来表示，即
Mo(F) = ± Fd
一般地，设平面上作用一力F，在平面内任取一点O——矩心，O点到力作用线的垂直距离d称为力臂。
Mo(F) = ± 2△OAB
力对点之矩是一代数量，式中的正负号用来表明力矩的转动方向。矩心不同，力矩不同。
规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时，力矩取正号；反之，取负号。
力矩的单位是Nmm。
由力矩的定义可知：
（1）若将力F沿其作用线移动，则因为力的大小、方向和力臂都没有改变，所以不会改变该力对某一矩心的力矩。
（2）若F=0，则Mo(F) = 0；若Mo(F) = 0，F≠0，则d=0，即力F通过O点。
力矩等于零的条件是：力等于零或力的作用线通过矩心。
2.合力矩定理
设在物体上A点作用有平面汇交力系F1、F2、---Fn，该力的合力F可由汇交力系的合成求得。
计算力系中各力对平面内任一点O的矩，令OA=l，则
由上图可以看出，合力F对O点的矩为
据合力投影定理，有
Fy=F1y+F2y+---+Fny
两边同乘以l，得
Fyl=F1yl+F2yl+---+Fnyl
即
Mo(F)=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)
合力矩定理：平面汇交力系的合力对平面内任意一点之矩，等于其所有分力对同一点的力矩的代数和。
3、力对点之矩的求法（力矩的求法)
（1）用力矩的定义式，即用力和力臂的乘积求力矩。 注意：力臂d是矩心到力作用线的距离，即力臂必须垂直于力的作用线。
例2-3 如图所示，构件OBC的O端为铰链支座约束，力F作用于C点，其方向角为α，又知OB=l，BC=h，求力F对O点的力矩。
解 （1）利用力矩的定义进行求解
如图，过点O作出力F作用线的垂线，与其交于a点,则力臂d即为线段oa 。再过B点作力作用线的平行线，与力臂的延长线交于b点，则有
（2）利用合力矩定理求解
将力F分解成一对正交的分力
力F的力矩就是这两个分力对点O的力矩的代数。即
二．力偶及其性质
1.力偶的定义
在工程实践中常见物体受两个大小相等、方向相反、作用线相互平行的力的作用，使物体产生转动。例如，用手拧水龙头、转动方向盘等。
力偶——大小相等、方向相反、作用线相互平行的两力，如图中的力F与F'构成一力偶。记作(F，F')
力偶作用面——两个力所在的平面
力偶臂——两个力作用线之间的垂直距离d
力偶的转向——力偶使物体转动的方向
力偶只能使物体转动或改变转动状态。怎样度量？
力使物体转动的效应，用力对点的矩度量。
设物体上作用一力偶臂为d的力偶(F，F')，该力偶对任一点O的矩为
MO(F)+MO(F')=F(x+d)-F'x=Fd
由于点O是任意选取的，故
力偶对作用面内任一点的矩=力偶中力的大小和力偶臂的乘积
（与矩心位置无关）
力偶矩——力偶中力的大小和力偶臂的乘积，记作M(F,F')或M
M(F,F')=±Fd
规定：力偶逆时针转向时，力偶矩为正，反之为负。力偶矩的单位是Nmm。
力偶同力矩一样，是一代数量。Mo(F) = ± Fd
力偶的三要素——大小、转向和作用平面
2.力偶的性质
（1）力偶无合力。
力偶不能用一个力来等效，也不能用一个力来平衡。可以将力和力偶看成组成力系的两个基本物理量。
（2）力偶对其作用平面内任一点的力矩，恒等于其力偶矩。
（3）力偶的等效性
力偶的等效性——作用在同一平面的两个力偶，若它们的力偶矩大小相等、转向相同，则这两个力偶是等效的。
力偶的等效条件：
1）力偶可以在其作用面内任意移转而不改变它对物体的作用。即力偶对物体的作用与它在作用面内的位置无关。经验：
不论将力偶加在A、B位置还是C、D位置，对方向盘的作用效应不变。
2）只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不会改变力偶对物体的作用。经验：
平面力偶系的合成与平衡
平面力偶系——作用在刚体上同一平面内的多个力偶。
1.平面力偶系的合成
例 两个力偶的合成
2.平面力偶系的平衡
平面力偶系合成的结果为一个合力偶，因而要使力偶系平衡，就必须使合力偶矩等于零，
例2-4 梁AB 受一主动力偶作用，其力偶矩M=100Nm ，梁长l=5m ，梁的自重不计，求两支座的约束反力。
解 （1）以梁为研究对象，进行受力分析并画出受力图
FA必须与FB大小相等、方向相反、作用线平行。
（2）列平衡方程
例2-5 电机轴通过联轴器与工件相连接，联轴器上四个螺栓A、B、C、D的孔心均匀地分布在同一圆周上，见图2-2-6，此圆周的直径d=150mm ，电机轴传给联轴器的力偶矩M=25kNm，求每个螺栓所受的力。
解 以联轴器为研究对象。
作用于联轴器上的力有电动机传给联轴器的力偶矩M，四个螺栓的约束反力，假设四个螺栓的受力均匀，则F1=F2=F3=F4=F，其方向如图所示。由平面力偶系平衡条件可知，F1与F3 、F2与F4组成两个力偶，并与电动机传给联轴器的力偶矩M平衡。据平面力偶系的平衡方程
2.3 平面一般力系
平面一般力系——作用在物体上的各力作用线都在同一平面内，既不相交于一点又不完全平行。
上图起重机横梁AB受平面一般力系的作用
三．平面一般力系的简化
1.力的平移定理
力的可传性——作用于刚体上的力可沿其作用线在刚体内移动，而不改变其对刚体的作用效应。
问题：如果将力平移到刚体内另一位置？
将作用在刚体上A点的力F平移动到刚体内任意一点O，
附加力偶，其力偶矩为
M(F,F'')=±Fd=Mo(F)
上式表示，附加力偶矩等于原力F对平移点的力矩。于是，在作用于刚体上平移点的力F′和附加力偶M的共同作用下，其作用效应就与力F作用在A点时等效。
力的平移定理——作用于刚体上的力，可平移到刚体上的任意一点，但必须附加一力偶，其附加力偶矩等于原力对平移点的力矩。
根据力的平移定理，可以将力分解为一个力和一个力偶；也可以将一个力和一个力偶合成为一个力。
2.平面一般力系向平面内任意一点的简化
F'R——平面一般力系的主矢，其作用线过简化中心点O
α——主矢与x轴的夹角
Mo——平面一般力系的主矩
主矩=各附加力偶矩的代数和。
（由于每一个附加力偶矩等于原力对平移点的力矩，所以主矩等于各分力对简化中心的力矩的代数和，作用在力系所在的平面上。）
Mo=M1+M2+---+Mn=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)
平面一般力系向平面内一点简化，得到一个主矢 F'R 和一个主矩Mo ， 主矢的大小等于原力系中各分力投影的平方和再开方，作用在简化中心上。其大小和方向与简化中心的选择无关。
主矩等于原力系各分力对简化中心力矩的代数和，其值一般与简化中心的选择有关。
3. 简化结果分析
平面一般力系向平面内任一点简化，得到一个主矢F'R和一个主矩Mo，但这不是力系简化的最终结果，如果进一步分析简化结果，则有下列情况：F'R =0,Mo≠0
F'R ≠0,Mo=0
F'R ≠0,Mo≠0
F'R =0,Mo=0(力系平衡)
（1）F'R ≠0,Mo≠0,原力系简化为一个力和一个力偶。据力的平移定理，这个力和力偶还可以继续合成为一个合力FR，其作用线离O点的距离为d=Mo/F'R。
(2) F'R ≠0,Mo=0,原力系简化为一个力。主矢F'R 即为原力系的合力FR，作用于简化中心。
(3)F'R =0,Mo≠0,原力系简化为一个力偶，其矩等于原力系对简化
中心的主矩。主矩与简化中心的位置无关。因为力偶对任一点的矩恒等于力偶矩，与矩心位置无关。
(4)F'R =0,Mo=0，原力系是平衡力系。
四 平面一般力系的平衡
1.平面一般力系的平衡条件
平面一般力系平衡的必要与充分条件为：
F'R =0,Mo=0， 即
平面一般力系的平衡方程为
可求解出三个未知量
2.平面平行力系的平衡条件
平面平行力系的平衡方程为
平面平行力系的平衡方程,也可用两个力矩方程的形式，即
—式中A、B两点连线不能与各力的作用线平行
平面平行力系只有两个独立的平衡方程，因此只能求出两个未知量。
例2-6 塔式起重机的结构简图如图所示。设机架重力G=500kN，重心在C点，与右轨相距a=1.5m。最大起吊重量P=250kN，与右轨B最远距离l=10m。平衡物重力为G1，与左轨A相距x=6m，二轨相距b=3m。试求起重机在满载与空载时都不至翻倒的平衡重物G1的范围。
解：取起重机为研究对象。是一平面平行力系
1)要保障满载时机身平衡而不向右翻倒，则这些力必须满足平衡方程，在此状态下，A点将处于离地与不离地的临界状态，即有FNA=0。这样求出的G1值是它应有的最小值。
平衡方程：
∑Fy=0 -G1min-G-P+FNB=0
∑MB(F)=0 G1min(x+b)-Ga-Pl=0
2)要保障空载时机身平衡而不向左翻倒，则这些力必须满足平衡方程，在此状态下，B点将处于离地与不离地的临界状态，即有FNB=0。这样求出的G1值是它应有的最大值。
因此，平衡重力G1之值的范围为
3.物体系统的平衡条件
物系——由多个构件通过一定的约束组成的系统。
若整个物系处于平衡时，那么组成这一物系的所有构件也处于平衡。因此在求解有关物系的平衡问题时，既可以以整个系统为研究对象，也可以取单个构件为研究对象。对于每一种选取的研究对象，一般情况下都可以列出三个独立的平衡方程。3n
物系外力——系统外部物体对系统的作用力
物系内力——系统内部各构件之间的相互作用力
物系的外力和内力只是一个相对的概念，它们之间没有严格的区别。当研究整个系统平衡时，由于其内力总是成对出现、相互抵消，因此可以不予考虑。当研究系统中某一构件或部分构件的平衡问题时，系统内其它构件对它们的作用力就又成为这一研究对象的外力，必须予以考虑。
例2-7 如图所示，为一三铰拱桥。左右两半拱通过铰链C联接起来，通过铰链A、B与桥基联接。已知G=40kN，P=10kN。试求铰链A、B、C三处的约束反力。
解 （1）取整体为研究对象画出受力图，并建立如图2-3-6b所示坐标系。列解平衡方程
（2）取左半拱为研究对象画出受力图，并建立如图所示坐标系。列解平衡方程
（3）取整体为研究对象。列解平衡方程
解平面力系平衡问题的方法和步骤：
①明确题意，正确选择研究对象。
②分析研究对象的受力情况，画出受力图。这是解题的关键一步，尤其在处理物系平衡问题时，每确定一个研究对象就必须单独画出它的受力图，不能将几个研究对象的受力图都画在一起，以免混淆。另外，还要注意作用力、反作用力，外力、内力的区别。在受力图上内力不画出。
③建立坐标系。建立坐标系的原则应使每个方程中的未知量越少越好，最好每个方程中只有一个未知量。
④列解平衡方程，求未知量。在计算结果中，负号表示预先假设力的指向与实际指向相反。在运算中应连同符号一起代入其它方程中继续求解。
⑤讨论并校核计算结果。
物体系统中每个物体的受力分析方法和单个物体分析方法相同，但应注意以下几点：
1.物系受力分析时往往需要画整体受力图
2.画单个物体受力图时，注意作用与反作用力的关系。
3.注意判断二力构件（二力杆）。二力构件一般不作为单个物体画独立受力图。
平面力系平衡
解平面力系平衡问题的方法和步骤：
①明确题意，正确选择研究对象。
②分析研究对象的受力情况，画出受力图。这是解题的关键一步，尤其在处理物系平衡问题时，每确定一个研究对象就必须单独画出它的受力图。要注意作用力、反作用力，外力、内力的区别。在受力图上内力不画出。
③建立坐标系。建立坐标系的原则应使每个方程中的未知量越少越好，最好每个方程中只有一个未知量。
④列解平衡方程，求未知量。在计算结果中，负号表示预先假设力的指向与实际指向相反。在运算中应连同符号一起代入其它方程中继续求解。
⑤讨论并校核计算结果。
例1 组合梁AC和CE用铰链C相连，A端为固定端，E端为活动铰链支座。受力如图所示。已知： l=8m，F=5kN，均布载荷集度q=2.5 kN/m，力偶矩的大小M= 5kN·m，试求固端A、铰链C和支座E的反力。
解： 1.取CE段为研究对象，受力分析如图。
