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第六章 平面与空间力系---力矩与平面力偶系

2010-09-22  wkwable

第六章  第二节 力矩与平面力偶系

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一.力对点之矩 (简称为力矩)

  1.力对点之矩的概念

  为了描述力对刚体运动的转动效应,引入力对点之矩的概念。

  

  力对点之矩用MO(F)来表示,即

Mo(F) = ± Fd

    一般地,设平面上作用一力F,在平面内任取一点O——矩心,O点到力作用线的垂直距离d称为力臂。

Mo(F) = ± 2OAB

    力对点之矩是一代数量,式中的正负号用来表明力矩的转动方向。矩心不同,力矩不同。

    规定:力使物体绕矩心作逆时针方向转动时,力矩取正号;反之,取负号。

    力矩的单位是Nmm。

    由力矩的定义可知: 

(1)若将力F沿其作用线移动,则因为力的大小、方向和力臂都没有改变,所以不会改变该力对某一矩心的力矩。

(2)若F=0,则Mo(F) = 0;若Mo(F) = 0,F≠0,则d=0,即力F通过O点。

  力矩等于零的条件是:力等于零或力的作用线通过矩心。

    2.合力矩定理 

设在物体上A点作用有平面汇交力系F1、F2、---Fn,该力的合力F可由汇交力系的合成求得。

    计算力系中各力对平面内任一点O的矩,令OA=l,则

由上图可以看出,合力F对O点的矩为

据合力投影定理,有

Fy=F1y+F2y+---+Fny

两边同乘以l,得

Fyl=F1yl+F2yl+---+Fnyl

Mo(F)=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)

 

合力矩定理:平面汇交力系的合力对平面内任意一点之矩,等于其所有分力对同一点的力矩的代数和。

3、力对点之矩的求法(力矩的求法)

(1)用力矩的定义式,即用力和力臂的乘积求力矩。 注意:力臂d是矩心到力作用线的距离,即力臂必须垂直于力的作用线。 

   例2-3 如图所示,构件OBC的O端为铰链支座约束,力F作用于C点,其方向角为α,又知OB=l,BC=h,求力F对O点的力矩。

解 (1)利用力矩的定义进行求解

    如图,过点O作出力F作用线的垂线,与其交于a点,则力臂d即为线段oa 。再过B点作力作用线的平行线,与力臂的延长线交于b点,则有

(2)利用合力矩定理求解

    将力F分解成一对正交的分力

力F的力矩就是这两个分力对点O的力矩的代数。即

二.力偶及其性质 

1.力偶的定义

    在工程实践中常见物体受两个大小相等、方向相反、作用线相互平行的力的作用,使物体产生转动。例如,用手拧水龙头、转动方向盘等。

力偶——大小相等、方向相反、作用线相互平行的两力,如图中的力F与F'构成一力偶。记作(F,F')

力偶作用面——两个力所在的平面

力偶臂——两个力作用线之间的垂直距离d

力偶的转向——力偶使物体转动的方向

力偶只能使物体转动或改变转动状态。怎样度量?

力使物体转动的效应,用力对点的矩度量。

    设物体上作用一力偶臂为d的力偶(F,F'),该力偶对任一点O的矩为

MO(F)+MO(F')=F(x+d)-F'x=Fd

由于点O是任意选取的,故

力偶对作用面内任一点的矩=力偶中力的大小和力偶臂的乘积

(与矩心位置无关)

力偶矩——力偶中力的大小和力偶臂的乘积,记作M(F,F')或M

M(F,F')=±Fd

    规定:力偶逆时针转向时,力偶矩为正,反之为负。力偶矩的单位是Nmm。

    力偶同力矩一样,是一代数量。Mo(F) = ± Fd

   力偶的三要素——大小、转向和作用平面

    2.力偶的性质

    (1)力偶无合力。         

    力偶不能用一个力来等效,也不能用一个力来平衡。可以将力和力偶看成组成力系的两个基本物理量。

    (2)力偶对其作用平面内任一点的力矩,恒等于其力偶矩。

    (3)力偶的等效性

力偶的等效性——作用在同一平面的两个力偶,若它们的力偶矩大小相等、转向相同,则这两个力偶是等效的。

    力偶的等效条件:

    1)力偶可以在其作用面内任意移转而不改变它对物体的作用。即力偶对物体的作用与它在作用面内的位置无关。经验:

不论将力偶加在A、B位置还是C、D位置,对方向盘的作用效应不变。

    2)只要保持力偶矩不变,可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短,而不会改变力偶对物体的作用。经验:

平面力偶系的合成与平衡

平面力偶系——作用在刚体上同一平面内的多个力偶。

1.平面力偶系的合成

    例  两个力偶的合成

2.平面力偶系的平衡

平面力偶系合成的结果为一个合力偶,因而要使力偶系平衡,就必须使合力偶矩等于零,

例2-4 梁AB 受一主动力偶作用,其力偶矩M=100Nm ,梁长l=5m ,梁的自重不计,求两支座的约束反力。

解 (1)以梁为研究对象,进行受力分析并画出受力图

    FA必须与FB大小相等、方向相反、作用线平行。

   (2)列平衡方程

   

例2-5 电机轴通过联轴器与工件相连接,联轴器上四个螺栓A、B、C、D的孔心均匀地分布在同一圆周上,见图2-2-6,此圆周的直径d=150mm ,电机轴传给联轴器的力偶矩M=25kNm,求每个螺栓所受的力。

解 以联轴器为研究对象。

作用于联轴器上的力有电动机传给联轴器的力偶矩M,四个螺栓的约束反力,假设四个螺栓的受力均匀,则F1=F2=F3=F4=F,其方向如图所示。由平面力偶系平衡条件可知,F1与F3 、F2与F4组成两个力偶,并与电动机传给联轴器的力偶矩M平衡。据平面力偶系的平衡方程

2.3 平面一般力系

平面一般力系——作用在物体上的各力作用线都在同一平面内,既不相交于一点又不完全平行。

上图起重机横梁AB受平面一般力系的作用

三.平面一般力系的简化

1.力的平移定理

力的可传性——作用于刚体上的力可沿其作用线在刚体内移动,而不改变其对刚体的作用效应。

问题:如果将力平移到刚体内另一位置?

将作用在刚体上A点的力F平移动到刚体内任意一点O,

附加力偶,其力偶矩为

M(F,F'')=±Fd=Mo(F)

上式表示,附加力偶矩等于原力F对平移点的力矩。于是,在作用于刚体上平移点的力F′和附加力偶M的共同作用下,其作用效应就与力F作用在A点时等效。

力的平移定理——作用于刚体上的力,可平移到刚体上的任意一点,但必须附加一力偶,其附加力偶矩等于原力对平移点的力矩。

根据力的平移定理,可以将力分解为一个力和一个力偶;也可以将一个力和一个力偶合成为一个力。

2.平面一般力系向平面内任意一点的简化

   F'R——平面一般力系的主矢,其作用线过简化中心点O

     α——主矢与x轴的夹角

   Mo——平面一般力系的主矩

    主矩=各附加力偶矩的代数和。

(由于每一个附加力偶矩等于原力对平移点的力矩,所以主矩等于各分力对简化中心的力矩的代数和,作用在力系所在的平面上。)

 Mo=M1+M2+---+Mn=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)

平面一般力系向平面内一点简化,得到一个主矢 F'R 和一个主矩Mo , 主矢的大小等于原力系中各分力投影的平方和再开方,作用在简化中心上。其大小和方向与简化中心的选择无关。

主矩等于原力系各分力对简化中心力矩的代数和,其值一般与简化中心的选择有关。

3. 简化结果分析 

平面一般力系向平面内任一点简化,得到一个主矢F'R和一个主矩Mo,但这不是力系简化的最终结果,如果进一步分析简化结果,则有下列情况:F'R =0,Mo≠0

F'R ≠0,Mo=0

F'R ≠0,Mo≠0

F'R =0,Mo=0(力系平衡)

(1)F'R ≠0,Mo≠0,原力系简化为一个力和一个力偶。据力的平移定理,这个力和力偶还可以继续合成为一个合力FR,其作用线离O点的距离为d=Mo/F'R。

(2) F'R ≠0,Mo=0,原力系简化为一个力。主矢F'R 即为原力系的合力FR,作用于简化中心。

(3)F'R =0,Mo≠0,原力系简化为一个力偶,其矩等于原力系对简化

中心的主矩。主矩与简化中心的位置无关。因为力偶对任一点的矩恒等于力偶矩,与矩心位置无关。

(4)F'R =0,Mo=0,原力系是平衡力系。

四 平面一般力系的平衡 

1.平面一般力系的平衡条件

平面一般力系平衡的必要与充分条件为:

F'R =0,Mo=0, 即

平面一般力系的平衡方程为

         可求解出三个未知量

2.平面平行力系的平衡条件

平面平行力系的平衡方程为

平面平行力系的平衡方程,也可用两个力矩方程的形式,即

式中A、B两点连线不能与各力的作用线平行

平面平行力系只有两个独立的平衡方程,因此只能求出两个未知量。

例2-6 塔式起重机的结构简图如图所示。设机架重力G=500kN,重心在C点,与右轨相距a=1.5m。最大起吊重量P=250kN,与右轨B最远距离l=10m。平衡物重力为G1,与左轨A相距x=6m,二轨相距b=3m。试求起重机在满载与空载时都不至翻倒的平衡重物G1的范围。

解:取起重机为研究对象。是一平面平行力系

1)要保障满载时机身平衡而不向右翻倒,则这些力必须满足平衡方程,在此状态下,A点将处于离地与不离地的临界状态,即有FNA=0。这样求出的G1值是它应有的最小值。

平衡方程:

∑Fy=0            -G1min-G-P+FNB=0

∑MB(F)=0            G1min(x+b)-Ga-Pl=0     

         2)要保障空载时机身平衡而不向左翻倒,则这些力必须满足平衡方程,在此状态下,B点将处于离地与不离地的临界状态,即有FNB=0。这样求出的G1值是它应有的最大值。

          

因此,平衡重力G1之值的范围为

3.物体系统的平衡条件

物系——由多个构件通过一定的约束组成的系统。

 若整个物系处于平衡时,那么组成这一物系的所有构件也处于平衡。因此在求解有关物系的平衡问题时,既可以以整个系统为研究对象,也可以取单个构件为研究对象。对于每一种选取的研究对象,一般情况下都可以列出三个独立的平衡方程。3n

物系外力——系统外部物体对系统的作用力

物系内力——系统内部各构件之间的相互作用力

物系的外力和内力只是一个相对的概念,它们之间没有严格的区别。当研究整个系统平衡时,由于其内力总是成对出现、相互抵消,因此可以不予考虑。当研究系统中某一构件或部分构件的平衡问题时,系统内其它构件对它们的作用力就又成为这一研究对象的外力,必须予以考虑。

例2-7 如图所示,为一三铰拱桥。左右两半拱通过铰链C联接起来,通过铰链A、B与桥基联接。已知G=40kN,P=10kN。试求铰链A、B、C三处的约束反力。

解 (1)取整体为研究对象画出受力图,并建立如图2-3-6b所示坐标系。列解平衡方程

      

         

(2)取左半拱为研究对象画出受力图,并建立如图所示坐标系。列解平衡方程

          

            

       

(3)取整体为研究对象。列解平衡方程

          

    解平面力系平衡问题的方法和步骤:

明确题意,正确选择研究对象。

分析研究对象的受力情况,画出受力图。这是解题的关键一步,尤其在处理物系平衡问题时,每确定一个研究对象就必须单独画出它的受力图,不能将几个研究对象的受力图都画在一起,以免混淆。另外,还要注意作用力、反作用力,外力、内力的区别。在受力图上内力不画出。

建立坐标系。建立坐标系的原则应使每个方程中的未知量越少越好,最好每个方程中只有一个未知量。

列解平衡方程,求未知量。在计算结果中,负号表示预先假设力的指向与实际指向相反。在运算中应连同符号一起代入其它方程中继续求解。

讨论并校核计算结果。

物体系统中每个物体的受力分析方法和单个物体分析方法相同,但应注意以下几点: 

1.物系受力分析时往往需要画整体受力图 

2.画单个物体受力图时,注意作用与反作用力的关系。 

3.注意判断二力构件(二力杆)。二力构件一般不作为单个物体画独立受力图。

平面力系平衡

解平面力系平衡问题的方法和步骤: 

明确题意,正确选择研究对象。 

分析研究对象的受力情况,画出受力图。这是解题的关键一步,尤其在处理物系平衡问题时,每确定一个研究对象就必须单独画出它的受力图。要注意作用力、反作用力,外力、内力的区别。在受力图上内力不画出。

建立坐标系。建立坐标系的原则应使每个方程中的未知量越少越好,最好每个方程中只有一个未知量。 

列解平衡方程,求未知量。在计算结果中,负号表示预先假设力的指向与实际指向相反。在运算中应连同符号一起代入其它方程中继续求解。 

讨论并校核计算结果。

例1 组合梁AC和CE用铰链C相连,A端为固定端,E端为活动铰链支座。受力如图所示。已知: l=8m,F=5kN,均布载荷集度q=2.5 kN/m,力偶矩的大小M= 5kN·m,试求固端A、铰链C和支座E的反力。

       解: 1.取CE段为研究对象,受力分析如图。

 

 

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