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2010全国中考数学试题汇编:压轴题(四)及答案

 家有学子 2010-09-27

2010年部分省市中考数学试题分类汇编 

压轴题(四)

23(安徽省)如图,已知,相似比为kk>1),且的三边长分别为abca>b>c),的三边长分别为.

1)若c=a1,求证:a=kc

[证]

2)若c=a1,试给出符合条件的一对,使得abc都是正整数,并加以说明;

[解]

3)若b=a1c=b1是否存在使得k=2?请说明理由.

[解]

:1)证:,且相似比为

3分)

2)解:取 8分)

此时 10分)

注:本题也是开放型的,只要给出的符合要求就相应赋分.

3)解:不存在这样的.理由如下:

12分)

,而

故不存在这样的,使得 14分)

注:本题不要求学生严格按反证法的证明格式推理,只要能说明在题设要求下的情况不可能即可.

24.(芜湖市 本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO,其顶点为A01)、B(-31)、C(-30)、O00).将此矩形沿着过E(-1)、F(-3(3)0)的直线EF向右下方翻折,BC的对应点分别为BC

1)求折痕所在直线EF的解析式;

2)一抛物线经过BEB三点,求此二次函数解析式;

3)能否在直线EF上求一点P,使得PBC周长最小?如能,求出点P的坐标;若不能,说明理由.

解:

2)设矩形沿直线向右下方翻折后,的对应点为.

.

.

[此时需说明]. 6

设二次函数解析式为:

抛物线经过.

得到解得

. 9

3)能,可以在直线上找到点,连接.

由于在一条直线上,故的和最小,

由于为定长,所以满足周长最小. 10

设直线的解析式为:

. 12

. 14

[注:对于以上各大题的不同解法,解答正确可参照评分!]

26.( 重庆市綦江县) 已知:抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点B(12,0)和C(0,-6,对称轴为x=2.

(1)求该抛物线的解析式;

(2)点D在线段AB上且AD=AC,若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动,同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动,问是否存在某一时刻,使线段PQ被直线CD垂直平分?若存在,请求出此时的时间t(秒)和点Q的运动速度;若不存在,请说明理由;

(3)在(2)的结论下,直线x=1上是否存在点M,使△MPQ为等腰三角形?若存在,请求出所有点M的坐标;若不存在请说明理由.

:方法一:∵抛物线过C(0,-6)

∴c=-6, 即y=ax2+bx-6

    解得:a= ,b=-

∴该抛物线的解析式为y=x2x-6 -----------------3分

方法二:∵AB关于x=2对称

∴A(-8,0)   设y=a(x+8)(x-12)  

 C在抛物线上    ∴-6=a×8×(-12)  即a=

∴该抛物线的解析式为:y=x2x-6 --------3分

(2)存在,设直线CD垂直平分PQ, 

在Rt△AOC中,AC==10=AD

∴点D在对称轴上,连结DQ  显然∠PDC=∠QDC,-----------4分

由已知∠PDC=∠ACD

∴∠QDC=∠ACD   ∴DQ∥AC -----------------------------5分

DB=AB-AD=20-10=10

∴DQ为△ABC的中位线    ∴DQ=AC=5 -----------------6分

AP=AD-PD=AD-DQ=10-5=5

∴t=5÷1=5(秒)  

∴存在t=5(秒)时,线段PQ被直线CD垂直平分-----------7分

在Rt△BOC中, BC==6  ∴CQ=3 

 ∴点Q的运动速度为每秒单位长度.------------------8分

(3)存在  过点Q作QH⊥x轴于H,则QH=3,PH=9

在Rt△PQH中,PQ==3 --------------------9分

①当MP=MQ,即M为顶点,

设直线CD的直线方程为:y=kx+b(k≠0),则:

   解得:

∴y=3x-6

当x=1时,y=-3       ∴M1(1, -3) ------------------------10分

②当PQ为等腰△MPQ的腰时,且P为顶点.

设直线x=1上存在点M(1,y) ,由勾股定理得:

42+y2=90   即y=±

∴M21)   M31) -----------------------11分

③当PQ为等腰△MPQ的腰时,且Q为顶点.

过点Q作QE⊥y轴于E,交直线x=1于F,则F(1, -3)

设直线x=1存在点M(1,y), 由勾股定理得:

(y+3)2+52=90  即y=-3±

∴M4(1, -3+)   M5((1, -3-) --------------------12分

综上所述:存在这样的五点:

M1(1, -3),  M21),  M31),  M4(1, -3+),

M5((1, -3-).

25山东省滨州市 本题满分l0分)

如图,四边形ABCD是菱形,点D的坐标是0,以点C为顶点的抛物线恰好经过轴上AB两点.

1ABC三点的坐标;

2求过ABC三点的抛物线的解析式;

3若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点,求平移后抛物线的解析式,并指出平移了多少个单位?

由抛物线的对称性可知AM=BM

RtAODRtBMC中,

OD=MCAD=BC

∴△AOD≌△BMC

OA=MB=MA………………………………………l

设菱形的边长为2m

RtAOD中,

解得m=1   http://www.

DC=2OA=1OB=3

ABC三点的坐标分别为10302………………… 4

设抛物线的解析式为y=22+ 

代入A点坐标可得=

抛物线的解析式为y=22+……………………………………7

设抛物线的解析式为y=22+k

代入D0可得k=5  

所以平移后的抛物线的解析式为y=22+5…………………………9

平移了5=4个单位.…………………………………………………l0

   

26.山东省烟台市 本题满分14分)

如图,已知抛物线y=x2+bx3a过点A10),B0,-3),与x轴交于另一点C.

1)求抛物线的解析式;

2)若在第三象限的抛物线上存在点P,使△PBC为以点B为直角顶点的直角三角形,求点P的坐标;

3)在(2)的条件下,在抛物线上是否存在一点Q,使以PQBC为顶点的四边形为直角梯形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

:(1)把A10),B0,-3)代入y=x2+bx3a中,得

1+b3a=0

      -3a=3    

a=1

解得

b=2

∴抛物线的解析式为

y=x2+2x3………………………………………4

2y=0x2+2x3=0

解得x1=3x2=1

∴点C(-30)……………………………………………………5分∵B0,-3

∴△BOC为等腰直角三角形.

∴∠CBO=45°……………………………………………………6分过点PPDy轴,垂足为D

PBBC,∴∠PBD=45°∴PD=BD……………………………8

所以可设点Px,-3+x

则有-3+x=x2+2x3,∴x=1,所以P点坐标为(-1,-4)………………………10

3)由(2)知,BCBP

BP为直角梯形一底时,由图象可知点Q不可能在抛物线上.

BC为直角梯形一底,BP为直角梯形腰时,

B0,-3),C(-30),

∴直线BC的解析式为y=x3…………………………11

∵直线PQBC,且P(-1,-4),

∴直线PQ的解析式为y=-(x+1)-31

y=x5…………………………………………………12             

y=x5

联立方程组得

             y=x2+2x3

解得x1=1x2=2…………………………………………………………………………13

x=2y=3,即点Q(-2,-3

∴符合条件的点Q的坐标为(-2,-3)………………………………………………14

28(四川省成都市)在平面直角坐标系中,抛物线轴交于两点(点在点的左侧),与轴交于点,点的坐标为,若将经过两点的直线沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点,且抛物线的对称轴是直线

1)求直线及抛物线的函数表达式;

2)如果P是线段上一点,设的面积分别为,且,求点P的坐标;

3)设的半径为l圆心在抛物线上运动,则在运动过程中是否存在与坐标轴相切的情况?若存在,求出圆心的坐标;若不存在,请说明理由.并探究:若设Q的半径为,圆心在抛物线上运动,则当取何值时,Q与两坐轴同时相切?

解:(1)∵沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点,

           ∴

           将 代入,得。解得

           ∴直线AC的函数表达式为

         ∵抛物线的对称轴是直线

解得

∴抛物线的函数表达式为

2)如图,过点BBDAC于点D

  ∵

 

过点PPEx轴于点E

PECO,∴△APE∽△ACO

,解得

∴点P的坐标为

3)(Ⅰ)假设⊙Q在运动过程中,存在与坐标轴相切的情况。

         设点Q的坐标为

① 当⊙Qy轴相切时,有,即

时,得,∴

时,得,∴

② 当⊙Qx轴相切时,有,即

时,得,即,解得,∴

时,得,即,解得,∴

综上所述,存在符合条件的⊙Q,其圆心Q的坐标分别为

(Ⅱ)设点Q的坐标为

当⊙Q与两坐标轴同时相切时,有

,得,即

∵△=

∴此方程无解。

,得,即

解得

∴当⊙Q的半径时,⊙Q与两坐标轴同时相切。

8.(四川省泸州市本题满分l2分)

    已二次函数及一次函数.

    (l)求该二次函数图象的顶点坐标以及它与轴的交点坐标;

    (2)将该二次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方,图象的其余部分不变,得到一个新图象,请你在图10中画出这个新图象,并求出新图象与直线有三个不同公共点时的值:

    (3)当时,函数的图象与轴有两个不同公共点,求的取值范围.

解:(1)二次函数图象的顶点坐标,与轴的交点坐标

  (2)①当直线位于时,此时过点,

     ∴,即

②当直线位于时,此时与函数的图象有一个公共点。

∴方程有一根,

,即

时,满足

由①②知,

(3)∵

∵当时,函数的图象与x轴有两个不同交点,

应同时满足下列三方面的条件:

①方程的判别式△=

②抛物线的对称轴满足

③当时,函数值,当时,函数值

,解得

时,函数图象的图象与轴有两个不同公共点.

26.(重庆市江津区)如图,抛物线轴交于两点A(-10),B10),与轴交于点C

(1)求抛物线的解析式;

(2)过点BBDCA与抛物线交于点D,求四边形ACBD的面积;

(3)轴下方的抛物线上是否存在一点M,过MMN轴于点N,使以AMN为顶点的三角形与△BCD相似?若存在,则求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

解:(1)把A   B代入得:

   解得:

………………………………………………………………………3

2)令,得   ……………………………………………4

OA=OB=OC=    BAC=ACO=BCO=ABC =

BDCA        ABD=BAC 

 过点DDE轴于E,则BDE为等腰直角三角形

 ,则  

∵点D在抛物线    

解得(不合题意,舍去)

      DE=

(说明:先求出直线BD的解析式,再用两个解析式联立求解得到点D的坐标也可)

四边形ACBD的面积=ABOC +ABDE

………………………………7

(说明:也可直接求直角梯形ACBD的面积为4

(3)存在这样的点M……………………………………………………………………8

ABC=ABD=  DBC=

MN轴于点N ANM=DBC =

RtBOC中,OB=OC=   BC=

RtDBE中,BE=DE=   BD=   

M点的横坐标为,则 

①点M轴左侧时,则

(AMN CDB时,有

  解得:(舍去)  

(AMN DCB时,有

  解得(舍去) (舍去)…………10

 M轴右侧时,则 

(AMN DCB时,有

   

    

解得(舍去)   

      

() 当AMN CDB时,有 

   解得:(舍去)    

M点的坐标为…………………………12

25.(黄冈市15分)已知抛物线顶点为C11)且过原点O.过抛物线上一点Pxy)向直线作垂线,垂足为M,连FM(如图).

1)求字母abc的值;

2)在直线x1上有一点,求以PM为底边的等腰三角形PFMP点的坐标,并证明此时△PFM为正三角形;

3)对抛物线上任意一点P,是否总存在一点N1t),使PMPN恒成立,若存在请求出t值,若不存在请说明理由.

解:(1a=-1b2c0

2)过P作直线x=1的垂线,可求P的纵坐标为,横坐标为.此时,MPMFPF1,故△MPF为正三角形.

3)不存在.因为当tx1时,PMPN不可能相等,

同理,当tx1时,PMPN不可能相等.

26.( 湖南常德市)如图10,若四边形ABCD、四边形CFED都是正方形,显然图中有AG=CE,AG⊥CE.

(1)当正方形GFED绕D旋转到如图11的位置时,AG=CE是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.

(2)当正方形GFED绕D旋转到如图12的位置时,延长CE交AG于H,交AD于M.

①求证:AG⊥CH;

②当AD=4,DG=时,求CH的长。

解:1成立.

      四边形、四边形是正方形

      ∴ ……………1

.

            ∴∠90°-. ……………2

      ∴△.

            . ……………3

      2类似(1)可得

       ∴∠1=∠2 …………………4

       又∵=∠.

       ∴∠.

       …………………5

        解法一,

      由题意有,

      ∴,则1. ………6

      而∠1=∠221.

      ∴ ,即. …………………7

      在Rt中,,………8

       ,,  ,    

.  …………………9

再连接,显然有,

      .

            所求的长为. …………………10

解法二研究四边形ACDG的面积

,

      由题意有,

,. ………………8

而以CD为底边的三角形CDG的高=PD=1,

,

4×1+4×4=×CH+4 ×1.

=. ………………10

注:本题算法较多,请参照此标准给分.

25(上海市)如图9,在RtABC中,∠ACB90°.半径为1的圆A与边AB相交于点D,与边AC相交于点E,连结DE并延长,与线段BC的延长线交于点P.

1)当∠B30°时,连结AP,若△AEP与△BDP相似,求CE的长;

2)若CE=2BD=BC,求∠BPD的正切值;

3)若,设CE=x,△ABC的周长为y,求y关于x的函数关系式.

9                              10(备用)                         11(备用)

:(1)∵∠B30°∠ACB90°BAC60°

AD=AE  ∴AED60°=CEP

EPC30°

∴三角形BDP为等腰三角形

∵△AEP与△BDP相似

EAP=EPA=DBP=DPB=30°

∴AE=EP=1

∴在RT△ECP中,EC=EP=

2)过点DDQ⊥AC于点Q,且设AQ=a,BD=x

AE=1,EC=2

∴QC=3-a

∵∠ACB90°

ADQ与△ABC相似

∵在RTADQ

解之得x=4,即BC=4

过点CCF//DP

ADE与△AFC相似, 

,即AF=AC,即DF=EC=2, 

∴BF=DF=2

∵△BFC与△BDP相似

,即:BC=CP=4

∴tanBPD=

(3)D点作DQ⊥AC于点Q,则DQE与△PCE相似,AQ=a,则QE=1a

∵在RtADQ中,据勾股定理得:

即:,解之得

∵△ADQ与△ABC相似

∴三角形ABC的周长

即:,其中x>0

22.福州市 满分14分)

如图1,在平面直角坐标系中,点B在直线上,过点B轴的垂线,垂足为AOA=5。若抛物线过点OA两点。

1)求该抛物线的解析式;

2)若A点关于直线的对称点为C,判断点C是否在该抛物线上,并说明理由;

3)如图2,在(2)的条件下,⊙O1是以BC为直径的圆。过原点OO1的切线OPP为切点(P与点C不重合),抛物线上是否存在点Q,使得以PQ为直径的圆与O1相切?若存在,求出点Q的横坐标;若不存在,请说明理由。

解:(1)把分别代入

  解得      …………3

该抛物线的解析式为    ……………4

2)点在该抛物线上.            ………………………5

理由:过点轴于点,连结,设相交于点

在直线上,  

关于直线对称,  

,,,

轴,,由勾股定理得

,  

  ∴.  ,.  ……8

在抛物线上.               ………………9

3)抛物线上存在点,使得以为直径的圆与相切.

过点轴于点;连结;过点轴于点

.点的中点,

由平行线分线段成比例定理得,

,同理可得:

的坐标为.                   ……………………10

的切线.

的切线,∴

四边形为正方形.

.又

,…………12

设直线的解析式为

分别代入

        解得,     

直线的解析式为   

若以为直径的圆与相切,则点为直线与抛物线的交点.

可设点的坐标为 则有

.整理得

解得.∴的横坐标为……14

24(日照市 本题满分10)

如图,ABC中,AB=AC,以AB为直径的OACEBCD求证:

1DBC的中点

2BEC∽△ADC

3BC2=2AB·CE

1)证明:∵ABO的直径ADB=90° ,

AD是底边BC上的高.      ………………………………………1

AB=AC,∴△ABC是等腰三角形 

DBC的中点………… ……………………………………………3

 (2) 证明:CBECAD是同弧所对的圆周角,

       CBE=CAD…………………………………………………5

     又 BCE=ACD

    BECADC…………………………………………………6

3)证明:BECADC

CD·BC=AC·CE. …………………………………………………8

DBC的中点CD=BC 

   AB=ACCD·BC=AC·CE=BC ·BC=AB·CE

BC=2AB·CE……………………………………………………10

27(四川省凉山州)已知:抛物线,顶点C1-4),与x轴交于AB两点,A-10).

   (1)求这条抛物线的解析式;

   (2)如图,以AB为直径作圆,与抛物线交于点D,与抛物线的对称轴交于

E,依次连接ADBE,点QAB上一个动点(QAB两点不重合),过点QQF⊥AEFQG⊥DBG,请判断         是否为定值,若是,请求出此定值,若不是,请说明理由;

   (3)在(2)的条件下,若点H是线段EQ上一点,过点HMN⊥EQ

MN分别与边AEBE相交于MNMAE不重合,NEB不重合),

请判断         是否成立,若成立,请给出证明,若不成立,请说明理由.

解:(1)设抛物线解析式为 ………………1

            将A-10)带入

            得 ……………………………………………2

……………………………………3

          (2)        是定值1…………………………………4

               ∵AB是直径

               ∴∠AEB=90°

               ∵QF⊥AE

QF∥BE

               ∴        

               同理可得        ………………………………5

               ∴

                    ∴        为固定值1.…………………………6

          (3)         成立……………………………………7

直线EC为抛物线对称轴 

               ∴EC垂直平分AB

               AE=EB

               ∴∠FAQ=45°

               ∴AF=FQ…………………………………………8

QF∥BE

         ………………………………………9

MN⊥EQ

∠QEF=∠MNE

∠QFE=∠MEN=90°

  ∴△QEF≌△MNE

∴          ……………………………………10

            

              ∴          ……………………………………11

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