2010年部分省市中考数学试题分类汇编 压轴题(四) 23.(安徽省)如图,已知,相似比为k(k>1),且的三边长分别为a、b、c(a>b>c),的三边长分别为、、. (1)若c=a1,求证:a=kc; [证] (2)若c=a1,试给出符合条件的一对,使得a、b、c和、、都是正整数,并加以说明; [解] (3)若b=a1,c=b1,是否存在使得k=2?请说明理由. [解] 解:(1)证:,且相似比为 又 (3分) (2)解:取 (8分) 注:本题也是开放型的,只要给出的和符合要求就相应赋分. (3)解:不存在这样的和.理由如下: 若则 又, (12分) ,而 故不存在这样的和,使得 (14分) 注:本题不要求学生严格按反证法的证明格式推理,只要能说明在题设要求下的情况不可能即可. 24.(芜湖市 本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO,其顶点为A(0,1)、B(-3,1)、C(-3,0)、O(0,0).将此矩形沿着过E(-,1)、F(-3,0)的直线EF向右下方翻折,B、C的对应点分别为B′、C′. (1)求折痕所在直线EF的解析式; (2)一抛物线经过B、E、B′三点,求此二次函数解析式; (3)能否在直线EF上求一点P,使得△PBC周长最小?如能,求出点P的坐标;若不能,说明理由. 解: (2)设矩形沿直线向右下方翻折后,、的对应点为. , . . [此时需说明]. 6分 设二次函数解析式为: 抛物线经过、、. 得到解得 . 9分 (3)能,可以在直线上找到点,连接. 由于、在一条直线上,故的和最小, 由于为定长,所以满足周长最小. 10分 设直线的解析式为: . 12分 . 14分 [注:对于以上各大题的不同解法,解答正确可参照评分!] 26.( 重庆市綦江县) 已知:抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点B(12,0)和C(0,-6),对称轴为x=2. (1)求该抛物线的解析式; (2)点D在线段AB上且AD=AC,若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动,同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动,问是否存在某一时刻,使线段PQ被直线CD垂直平分?若存在,请求出此时的时间t(秒)和点Q的运动速度;若不存在,请说明理由; (3)在(2)的结论下,直线x=1上是否存在点M,使△MPQ为等腰三角形?若存在,请求出所有点M的坐标;若不存在请说明理由. 解:方法一:∵抛物线过C(0,-6) ∴c=-6, 即y=ax2+bx-6 由 解得:a= ,b=- ∴该抛物线的解析式为y=x2-x-6 -----------------3分 方法二:∵A、B关于x=2对称 ∴A(-8,0) 设y=a(x+8)(x-12) C在抛物线上 ∴-6=a×8×(-12) 即a= ∴该抛物线的解析式为:y=x2-x-6 --------3分 (2)存在,设直线CD垂直平分PQ, 在Rt△AOC中,AC==10=AD ∴点D在对称轴上,连结DQ 显然∠PDC=∠QDC,-----------4分 由已知∠PDC=∠ACD ∴∠QDC=∠ACD ∴DQ∥AC -----------------------------5分 DB=AB-AD=20-10=10 ∴DQ为△ABC的中位线 ∴DQ=AC=5 -----------------6分 AP=AD-PD=AD-DQ=10-5=5 ∴t=5÷1=5(秒) ∴存在t=5(秒)时,线段PQ被直线CD垂直平分-----------7分 在Rt△BOC中, BC==6 ∴CQ=3 ∴点Q的运动速度为每秒单位长度.------------------8分 (3)存在 过点Q作QH⊥x轴于H,则QH=3,PH=9 在Rt△PQH中,PQ==3 --------------------9分 ①当MP=MQ,即M为顶点, 设直线CD的直线方程为:y=kx+b(k≠0),则: ∴y=3x-6 当x=1时,y=-3 ∴M1(1, -3) ------------------------10分 ②当PQ为等腰△MPQ的腰时,且P为顶点. 设直线x=1上存在点M(1,y) ,由勾股定理得: 42+y2=90 即y=± ∴M2(1,) M3(1,-) -----------------------11分 ③当PQ为等腰△MPQ的腰时,且Q为顶点. 过点Q作QE⊥y轴于E,交直线x=1于F,则F(1, -3) 设直线x=1存在点M(1,y), 由勾股定理得: (y+3)2+52=90 即y=-3± ∴M4(1, -3+) M5((1, -3-) --------------------12分 综上所述:存在这样的五点: M1(1, -3), M2(1,), M3(1,-), M4(1, -3+), M5((1, -3-). 25.(山东省滨州市 本题满分l0分) 如图,四边形ABCD是菱形,点D的坐标是(0,),以点C为顶点的抛物线恰好经过轴上A、B两点. (1)求A、B、C三点的坐标; (2)求过A、B、C三点的抛物线的解析式; (3)若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点,求平移后抛物线的解析式,并指出平移了多少个单位? 解:①由抛物线的对称性可知AM=BM 在Rt△AOD和Rt△BMC中, ∵OD=MC,AD=BC, ∴△AOD≌△BMC. ∴OA=MB=MA.………………………………………l分 设菱形的边长为2m, 在Rt△AOD中, 解得m=1. http://www. ∴DC=2,OA=1,OB=3. ∴A、B、C三点的坐标分别为(1,0)、(3,0)、(2,)………………… 4分 ②设抛物线的解析式为y=(—2)2+ 代入A点坐标可得=— 抛物线的解析式为y=—(—2)2+……………………………………7分 ③设抛物线的解析式为y=—(一2)2+k 代入D(0,)可得k=5 所以平移后的抛物线的解析式为y=—(一2)2+5…………………………9分 平移了5一=4个单位.…………………………………………………l0分 26.(山东省烟台市 本题满分14分) 如图,已知抛物线y=x2+bx-3a过点A(1,0),B(0,-3),与x轴交于另一点C. (1)求抛物线的解析式; (2)若在第三象限的抛物线上存在点P,使△PBC为以点B为直角顶点的直角三角形,求点P的坐标; (3)在(2)的条件下,在抛物线上是否存在一点Q,使以P,Q,B,C为顶点的四边形为直角梯形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 解:(1)把A(1,0),B(0,-3)代入y=x2+bx-3a中,得 1+b-3a=0 -3a=-3 a=1 解得 b=2 ∴抛物线的解析式为 y=x2+2x-3………………………………………4分 (2)令y=0,得x2+2x-3=0, 解得x1=-3,x2=1 ∴点C(-3,0)……………………………………………………5分∵B(0,-3) ∴△BOC为等腰直角三角形. ∴∠CBO=45°……………………………………………………6分过点P作PD⊥y轴,垂足为D, ∵PB⊥BC,∴∠PBD=45°∴PD=BD……………………………8分 所以可设点P(x,-3+x) 则有-3+x=x2+2x-3,∴x=-1,所以P点坐标为(-1,-4)………………………10分 (3)由(2)知,BC⊥BP 当BP为直角梯形一底时,由图象可知点Q不可能在抛物线上. 若BC为直角梯形一底,BP为直角梯形腰时, ∵B(0,-3),C(-3,0), ∴直线BC的解析式为y=-x-3…………………………11分 ∵直线PQ∥BC,且P(-1,-4), ∴直线PQ的解析式为y=-(x+1)-3-1 即y=-x-5…………………………………………………12分 y=-x-5 联立方程组得 y=x2+2x-3 解得x1=-1,x2=-2…………………………………………………………………………13分 ∴x=-2,y=-3,即点Q(-2,-3) ∴符合条件的点Q的坐标为(-2,-3)………………………………………………14分 28.(四川省成都市)在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于两点(点在点的左侧),与轴交于点,点的坐标为,若将经过两点的直线沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点,且抛物线的对称轴是直线. (1)求直线及抛物线的函数表达式; (2)如果P是线段上一点,设、的面积分别为、,且,求点P的坐标; (3)设的半径为l,圆心在抛物线上运动,则在运动过程中是否存在与坐标轴相切的情况?若存在,求出圆心的坐标;若不存在,请说明理由.并探究:若设⊙Q的半径为,圆心在抛物线上运动,则当取何值时,⊙Q与两坐轴同时相切? 解:(1)∵沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点, ∴,。 将 代入,得。解得。 ∴直线AC的函数表达式为。 ∵抛物线的对称轴是直线 ∴解得 ∴抛物线的函数表达式为。 (2)如图,过点B作BD⊥AC于点D。 ∵, ∴ ∴。 过点P作PE⊥x轴于点E, ∵PE∥CO,∴△APE∽△ACO, ∴, ∴ ∴,解得 ∴点P的坐标为 (3)(Ⅰ)假设⊙Q在运动过程中,存在与坐标轴相切的情况。 设点Q的坐标为。 ① 当⊙Q与y轴相切时,有,即。 当时,得,∴ 当时,得,∴ ② 当⊙Q与x轴相切时,有,即 当时,得,即,解得,∴ 当时,得,即,解得,∴,。 综上所述,存在符合条件的⊙Q,其圆心Q的坐标分别为,,,,。 (Ⅱ)设点Q的坐标为。 当⊙Q与两坐标轴同时相切时,有。 由,得,即, ∵△= ∴此方程无解。 由,得,即, 解得 ∴当⊙Q的半径时,⊙Q与两坐标轴同时相切。 8.(四川省泸州市本题满分l2分) 已二次函数及一次函数. (l)求该二次函数图象的顶点坐标以及它与轴的交点坐标; (2)将该二次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方,图象的其余部分不变,得到一个新图象,请你在图10中画出这个新图象,并求出新图象与直线有三个不同公共点时的值: (3)当时,函数的图象与轴有两个不同公共点,求的取值范围. 解:(1)二次函数图象的顶点坐标为,与轴的交点坐标为 (2)①当直线位于时,此时过点, ∴,即。 ②当直线位于时,此时与函数的图象有一个公共点。 ∴方程有一根, ∴,即 当时,满足, 由①②知,或。 (3)∵ ∵当时,函数的图象与x轴有两个不同交点, ∴应同时满足下列三方面的条件: ①方程的判别式△=, ②抛物线的对称轴满足, ③当时,函数值,当时,函数值 即,解得。 ∴当时,函数图象()的图象与轴有两个不同公共点. 26.(重庆市江津区)如图,抛物线与轴交于两点A(-1,0),B(1,0),与轴交于点C. (1)求抛物线的解析式; (2)过点B作BD∥CA与抛物线交于点D,求四边形ACBD的面积; (3)在轴下方的抛物线上是否存在一点M,过M作MN⊥轴于点N,使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似?若存在,则求出点M的坐标;若不存在,请说明理由. 解:(1)把A B代入得: 解得: ………………………………………………………………………3分 (2)令,得 ∴ ……………………………………………4分 ∵OA=OB=OC= ∴BAC=ACO=BCO=ABC = ∵BD∥CA, ∴ABD=BAC 过点D作DE轴于E,则BDE为等腰直角三角形 令 ,则 ∴ ∵点D在抛物线上 ∴ 解得,(不合题意,舍去) ∴DE= (说明:先求出直线BD的解析式,再用两个解析式联立求解得到点D的坐标也可) ∴四边形ACBD的面积=AB•OC +AB•DE ………………………………7分 (说明:也可直接求直角梯形ACBD的面积为4) (3)存在这样的点M……………………………………………………………………8分 ∵ABC=ABD= ∴DBC= ∵MN轴于点N, ∴ANM=DBC = 在Rt△BOC中,OB=OC= 有BC= 在Rt△DBE中,BE=DE= 有BD= 设M点的横坐标为,则M ①点M在轴左侧时,则 (ⅰ) 当AMN CDB时,有 ∵ 即 解得:(舍去) 则 (ⅱ) 当AMN DCB时,有 即 解得(舍去) (舍去)…………10分 ② 点M在轴右侧时,则 (ⅰ) 当AMN DCB时,有 ∵ ∴ 解得(舍去) ∴ (ⅱ) 当AMN CDB时,有 即 解得:(舍去) ∴ 25.(黄冈市15分)已知抛物线顶点为C(1,1)且过原点O.过抛物线上一点P(x,y)向直线作垂线,垂足为M,连FM(如图). (1)求字母a,b,c的值; (2)在直线x=1上有一点,求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标,并证明此时△PFM为正三角形; (3)对抛物线上任意一点P,是否总存在一点N(1,t),使PM=PN恒成立,若存在请求出t值,若不存在请说明理由. 解:(1)a=-1,b=2,c=0 (2)过P作直线x=1的垂线,可求P的纵坐标为,横坐标为.此时,MP=MF=PF=1,故△MPF为正三角形. (3)不存在.因为当t<,x<1时,PM与PN不可能相等, 同理,当t>,x>1时,PM与PN不可能相等. 26.( 湖南常德市)如图10,若四边形ABCD、四边形CFED都是正方形,显然图中有AG=CE,AG⊥CE. (1)当正方形GFED绕D旋转到如图11的位置时,AG=CE是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由. (2)当正方形GFED绕D旋转到如图12的位置时,延长CE交AG于H,交AD于M. ①求证:AG⊥CH; ②当AD=4,DG=时,求CH的长。 解:(1)成立. 四边形、四边形是正方形, ∴ ……………1分 ∠∠. ∴∠90°-∠∠. ……………2分 ∴△△. ∴. ……………3分 (2)①类似(1)可得△△, ∴∠1=∠2 …………………4分 又∵∠=∠. ∴∠∠=. 即 …………………5分 ② 解法一: 过作于, 由题意有, ∴,则∠1=. ………6分 而∠1=∠2,∴∠2==∠1=. ∴ ,即. …………………7分 在Rt中,==,………8分 而∽,∴, 即, ∴. …………………9分 再连接,显然有, ∴. 所求的长为. …………………10分 解法二:研究四边形ACDG的面积 过作于, 由题意有, ∴,. ………………8分 而以CD为底边的三角形CDG的高=PD=1, , ∴4×1+4×4=×CH+4 ×1. ∴=. ………………10分 注:本题算法较多,请参照此标准给分. 25.(上海市)如图9,在Rt△ABC中,∠ACB=90°.半径为1的圆A与边AB相交于点D,与边AC相交于点E,连结DE并延长,与线段BC的延长线交于点P. (1)当∠B=30°时,连结AP,若△AEP与△BDP相似,求CE的长; (2)若CE=2,BD=BC,求∠BPD的正切值; (3)若,设CE=x,△ABC的周长为y,求y关于x的函数关系式. 图9 图10(备用) 图11(备用) 解:(1)∵∠B=30°∠ACB=90°∴∠BAC=60° ∵AD=AE ∴∠AED=60°=∠CEP ∴∠EPC=30° ∴三角形BDP为等腰三角形 ∵△AEP与△BDP相似 ∴∠EAP=∠EPA=∠DBP=∠DPB=30° ∴AE=EP=1 ∴在RT△ECP中,EC=EP= (2)过点D作DQ⊥AC于点Q,且设AQ=a,BD=x ∵AE=1,EC=2 ∴QC=3-a ∵∠ACB=90° ∴△ADQ与△ABC相似 ∴ 即,∴ ∵在RT△ADQ中 ∵ ∴ 解之得x=4,即BC=4 过点C作CF//DP ∴△ADE与△AFC相似, ∴,即AF=AC,即DF=EC=2, ∴BF=DF=2 ∵△BFC与△BDP相似 ∴,即:BC=CP=4 ∴tan∠BPD= (3)过D点作DQ⊥AC于点Q,则△DQE与△PCE相似,设AQ=a,则QE=1-a ∴且 ∴ ∵在Rt△ADQ中,据勾股定理得: 即:,解之得 ∵△ADQ与△ABC相似 ∴ ∴ 即:,其中x>0 22.(福州市 满分14分) 如图1,在平面直角坐标系中,点B在直线上,过点B作轴的垂线,垂足为A,OA=5。若抛物线过点O、A两点。 (1)求该抛物线的解析式; (2)若A点关于直线的对称点为C,判断点C是否在该抛物线上,并说明理由; (3)如图2,在(2)的条件下,⊙O1是以BC为直径的圆。过原点O作O1的切线OP,P为切点(P与点C不重合),抛物线上是否存在点Q,使得以PQ为直径的圆与O1相切?若存在,求出点Q的横坐标;若不存在,请说明理由。 解:(1)把、分别代入, 得 解得 …………3分 ∴该抛物线的解析式为 ……………4分 (2)点在该抛物线上. ………………………5分 理由:过点作轴于点,连结,设与相交于点. ∵点在直线上, ∴ ∵点、关于直线对称, ∴,,,,. 又∵轴,,由勾股定理得. ∵,∴, ∴. ∵,,∴. 又∵,∴∽. ∴. ∴,.∴. ……8分 当时,. ∴点在抛物线上. ………………9分 (3)抛物线上存在点,使得以为直径的圆与相切. 过点作轴于点;连结;过点作轴于点. ∴∥∥. ∵,.点是的中点, 由平行线分线段成比例定理得, ∴,同理可得:. ∴点的坐标为. ……………………10分 ∵,∴为的切线. 又∵为的切线,∴. ∴四边形为正方形.∴. ∴.又∵=, ∴≌. ∴,.∴.…………12分 设直线的解析式为 把、分别代入, 得 解得, ∴直线的解析式为 若以为直径的圆与相切,则点为直线与抛物线的交点. 可设点的坐标为 ,则有,. ∴.整理得, 解得.∴点的横坐标为或.……14分 24.(日照市 本题满分10分) 如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交AC与E,交BC与D.求证: (1)D是BC的中点; (2)△BEC∽△ADC; (3)BC2=2AB·CE. 解:(1)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90° , 即AD是底边BC上的高. ………………………………………1分 又∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形, ∴D是BC的中点;………… ……………………………………………3分 (2) 证明:∵∠CBE与∠CAD是同弧所对的圆周角, ∴ ∠CBE=∠CAD.…………………………………………………5分 又∵ ∠BCE=∠ACD, ∴△BEC∽△ADC;…………………………………………………6分 (3)证明:由△BEC∽△ADC,知, 即CD·BC=AC·CE. …………………………………………………8分 ∵D是BC的中点,∴CD=BC. 又 ∵AB=AC,∴CD·BC=AC·CE=BC ·BC=AB·CE 即BC=2AB·CE.……………………………………………………10分 27.(四川省凉山州)已知:抛物线,顶点C(1,-4),与x轴交于A、B两点,A(-1,0). (1)求这条抛物线的解析式; (2)如图,以AB为直径作圆,与抛物线交于点D,与抛物线的对称轴交于 E,依次连接A、D、B、E,点Q为AB上一个动点(Q与A、B两点不重合),过点Q作QF⊥AE于F,QG⊥DB于G,请判断 是否为定值,若是,请求出此定值,若不是,请说明理由; (3)在(2)的条件下,若点H是线段EQ上一点,过点H作MN⊥EQ, MN分别与边AE、BE相交于M、N(M与A、E不重合,N与E、B不重合), 请判断 是否成立,若成立,请给出证明,若不成立,请说明理由. 解:(1)设抛物线解析式为 ………………1分 将A(-1,0)带入 得 ……………………………………………2分 ∴ 即……………………………………3分 (2) 是定值1…………………………………4分 ∵AB是直径 ∴∠AEB=90° ∵QF⊥AE ∴QF∥BE ∴ 同理可得 ………………………………5分 ∴ ∴ 为固定值1.…………………………6分 (3) 成立……………………………………7分 ∵直线EC为抛物线对称轴 ∴EC垂直平分AB ∴AE=EB ∴∠FAQ=45° ∴AF=FQ…………………………………………8分 ∵QF∥BE ∴ ∴ ………………………………………9分 ∵MN⊥EQ ∴∠QEF=∠MNE 又∵∠QFE=∠MEN=90° ∴△QEF≌△MNE ∴ ……………………………………10分 ∴ ……………………………………11分 |
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