2010全国中考数学试题汇编:压轴题(六)及答案

2010年部分省市中考数学试题分类汇编 

压轴题(六)

24、（茂名市本题满分8分）如图，在直角坐标系O中，正方形OCBA的顶点A、C分别在轴、轴上，点B坐标为（6，6），抛物线经过点A、B两点，且．

（1）求，，的值；       （3分）  

（2）如果动点E、F同时分别从点A、点B出发，分别沿A→B、B→C运动，速度都是每秒1个单位长度，当点E到达终点B时，点E、F随之停止运动．设运动时间为秒，的面积为S．

①试求出S与之间的函数关系式，并求出S的最大值；              （2分）  

②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以E、B、R、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出点R的坐标；如果不存在，请说明理由．

（3分）  

解：（1）由已知A（0，6）、B（6，6）在抛物线上，

得方程组：                    ······1分       解得：       ·············3分

（2）①运动开始秒时，EB＝，BF＝，

S＝，··········4分

因为，

所以当时，S有最大值．··················5分

②当S取得最大值时，由①知，所以BF＝3，CF＝3，EB＝6-3＝3．

若存在某点R，使得以E、B、R、F为顶点的四边形是平行四边形，

则，即可得R1为（9，3）、（3，3）；··················6分

或者，可得R2为（3，9）．·························7分

再将所求得的三个点代入，可知只有点（9，3）在抛物线上，因此抛物线上存在点R1（9，3），使得四边形EBRF为平行四边形．············8分

25、（茂名市本题满分8分）已知⊙O1的半径为R，周长为C．

（1）在⊙O1内任意作三条弦，其长分别是、、．求证：++< C；  （3分）

（2）如图，在直角坐标系O中，设⊙O1的圆心为O1．

①当直线：与⊙O1相切时，求的值；（2分）

②当反比例函数的图象与⊙O1有两个交点时，

求的取值范围．                                 （3分）

解：

（1）证明：，，．++，2分

因此，++< C．··········································3分

（2）解：①如图，根据题意可知⊙O1与与轴、轴分别相切，设直线与⊙O1相切于点M，则O1M⊥l，过点O1作直线NH⊥轴，与交于点N，与轴交于点H，又∵直线与轴、轴分别交于点E（，0）、F（0，），∴OE＝OF＝，∴∠NEO＝45o，∴∠ENO1＝45o，在Rt△O1MN中，O1N＝O1Msin45o＝，

∴点N的坐标为N（R，），················4分

把点N坐标代入得：，解得：，··········5分

②如图，设经过点O、O1的直线交⊙O1于点A、D，则由已知，直线OO1：是圆与反比例函数图象的对称轴，当反比例函数的图象与⊙O1直径AD相交时（点A、D除外），则反比例函数的图象与⊙O1有两个交点．

过点A作AB⊥轴交轴于点B，过O1作O1C⊥轴于点C，OO1＝O1Csin45o＝，OA＝，所以OB＝AB＝sin45o＝，

因此点A的坐标是A，将点A的坐标 代入，解得：．·····································6分

同理可求得点D的坐标为D，

将点D的坐标代入，解得： ······7分

所以当反比例函数的图象与⊙O1有两个交点时，的取值范围是：······················· 8分

25．（湘西自治州 本题20分）如图，已知抛物线经过点和，

   （1）求出抛物线的解析式；

   （2）写出抛物线的对称轴方程及顶点坐标；

   （3）点P(m，m) 与点Q均在抛物线上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴 对称，求m的值及点Q的坐标;

   （4）在满足（3）的情况下，在抛物线的对称轴上寻找一点M，使得△QMA的周长最小.

解：（1）依题意有

即 ……2分

……4分

∴抛物线的解析式为：……5分

   （2）把配方得，

 ∴对称轴方程为 ……7分

顶点坐标 ……10分

   （3）由点在抛物线上

有 ……12分

即

∴ 或（舍去） ……13分

∴

∵点、均在抛物线上，且关于对称轴对称

∴ ……15分

   （4）连接，直线与对称轴相交于点

由于两点关于对称轴对称，由轴对称性质可知，此时的交点，能够使 得△的周长最小. ……17分

设直线的解析式

∴有 ∴

∴直线的解析式为： ……18分

设点

则有 ……19分

此时点能够使得△的周长最小. ……20分

26．（湘潭市 本题满分10分）

　　如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，以线段AB为直径作⊙C，抛物线过A、C、O三点．

(1) 求点C的坐标和抛物线的解析式；

(2) 过点B作直线与x轴交于点D，且OB2=OA·OD，求证：DB是⊙C的切线；

(3) 抛物线上是否存在一点P， 使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

解：（1）A（6，0），B（0，6）             ……………………1分

连结OC,由于∠AOB=90o，C为AB的中点，则，

所以点O在⊙C上（没有说明不扣分）．

过C点作CE⊥OA，垂足为E，则E为OA中点,故点C的横坐标为3．

又点C在直线y=－x+6上，故C（3，3）    ……………………2分

抛物线过点O，所以c=0,

又抛物线过点A、C，所以，解得： 

所以抛物线解析式为   　 　…………………3分

（2）OA=OB=6代入OB2=OA·OD，得OD=6   　 ……………………4分

   所以OD=OB=OA，∠DBA=90o．       　  ……………………5分

   又点B在圆上，故DB为⊙C的切线     　 ……………………6分

（通过证相似三角形得出亦可）

（3）假设存在点P满足题意．因C为AB中点,O在圆上,故∠OCA=90o,

要使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形，

则 ∠CAP=90o或 ∠COP=90o,              ……………………7分

若∠CAP=90o,则OC∥AP，因OC的方程为y=x,设AP方程为y=x+b．

又AP过点A（6，0），则b=－6,              ……………………8分

方程y=x－6与联立解得：，，   

 故点P1坐标为（－3，－9）                    ……………………9分

     若∠COP=90o,则OP∥AC，同理可求得点P2（9，－9）

      (用抛物线的对称性求出亦可)

     故存在点P1坐标为（－3，－9）和P2（9，－9）满足题意．…………10分

28．(甘肃省 本小题满分12分)如图，抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，－3），设抛物线的顶点为D．

（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；

（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？

（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）设该抛物线的解析式为，

由抛物线与y轴交于点C（0，－3）,可知. 

即抛物线的解析式为．                  ………………………1分

把A（－1，0）、B（3，0）代入, 得 

解得.

∴ 抛物线的解析式为y = x2－2x－3．   ……………………………………………3分

∴ 顶点D的坐标为.       ……………………………………………………4分

说明：只要学生求对，不写“抛物线的解析式为y = x2－2x－3”不扣分.

（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形.        ……………………………5分

理由如下：

过点D分别作轴、轴的垂线，垂足分别为E、F.

在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，∴ .            …………………………6分

在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1，∴ .   …………………………7分

在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，∴ .  …………………………8分

∴ ， 故△BCD为直角三角形.       …………………………9分

（3）连接AC，可知Rt△COA∽ Rt△BCD，得符合条件的点为O（0，0）．  ………10分

过A作AP1⊥AC交y轴正半轴于P1，可知Rt△CAP1 ∽ Rt△COA∽ Rt△BCD，

求得符合条件的点为．           …………………………………………11分

过C作CP2⊥AC交x轴正半轴于P2，可知Rt△P2CA∽ Rt△COA∽ Rt△BCD，

求得符合条件的点为P2（9，0）．         …………………………………………12分

    ∴符合条件的点有三个：O（0，0），，P2（9，0）.

26．（桂林市 本题满分12分）如图，过A（8，0）、B（0，）两点的直线与直线交于点C．平行于轴的直线从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向右平移，到C点时停止；分别交线段BC、OC于点D、E，以DE为边向左侧作等边△DEF，设△DEF与△BCO重叠部分的面积为S（平方单位），直线的运动时间为t（秒）．

（1）直接写出C点坐标和t的取值范围；   

（2）求S与t的函数关系式；

（3）设直线与轴交于点P，是否存在这样的点P，使得以P、O、F为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解（1）C（4，）  ……………………………2分

的取值范围是：0≤≤4  ……………………………… 3分

（2）∵D点的坐标是（，），E的坐标是（，）

∴DE=-=     ……………………4分

∴等边△DEF的DE边上的高为： 

∴当点F在BO边上时：=，∴=3  ……………………5分

当0≤<3时，重叠部分为等腰梯形，可求梯形上底为：-  …7分

S=

=

=  ………………………………8分

当3≤≤4时，重叠部分为等边三角形

S=  …………………  9分

=  ……………………10分

（3）存在，P（，0）  ……………………12分

说明：∵FO≥，FP≥，OP≤4

∴以P，O，F以顶点的等腰三角形，腰只有可能是FO，FP,

若FO=FP时，=2（12-3），=，∴P（，0） 

30. (江西省南昌市)

课题：两个重叠的正多边形，其中的一个绕某一个顶点旋转所形成的有关问题．

实验与论证

设旋转角∠A1A0B1＝α（α＜∠A1A0B1），θ1，θ2，θ3，θ4，θ5，θ6所表示的角如图所示．

（1）用含α的式子表示：θ3＝_________，θ4＝_________，θ5＝_________；

（2）图1－图4中，连接A0H时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请选择期中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由；

归纳与猜想

设正n边形A0A1A2…An-1与正n边形A0B1B2…Bn-1重合（其中，A1与B1重合），现将正n边形A0B1B2…Bn-1绕顶点A0逆时针旋转α（）．

（3）设θn与上述“θ3，θ4，…”的意义一样，请直接写出θn的度数；

（4）试猜想在正n边形且不添加其他辅助线的情形下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由．

解：（1），  ，   . 3分

          说明：每写对一个给1分.

       （2）存在.下面就所选图形的不同分别给出证明： 

            选图1.图1中有直线垂直平分，证明如下：

图1

            方法一：

            证明：∵与是全等的等边三角形，

                  ∴，

                  ∴.

                 又∵.

                   ∴   .

                   ∴.∴点H在线段的垂直平分线上.

又∵，∴点在线段的垂直平分线上

∴直线垂直平分 8分

方法二：

证明：∵与是全等的等边三角形，

                   ∴，

                    ∴.

                    又.

  ∴

 ∴.

在与中

∵，，

∴≌.∴

∴是等腰三角形的顶角平分线.

∴直线垂直平分.   8分

选图2.图2中有直线垂直平分，证明如下：

图2

      ∵

∴

又∵，

         ∴   .

  ∴.∴点H在线段的垂直平分线上.

又∵，∴点在线段的垂直平分线上

∴直线垂直平分.  8分

  

说明：（ⅰ）在图2中选用方法二证明的，参照上面的方法二给分；

（ⅱ）选择图3或图4给予证明的，参照上述证明过程评分.

        (3)当为奇数时，，

       当为偶数时，    10分

        （4）存在.当为奇数时，直线垂直平分，

          当为偶数时，直线垂直平分. 12分

26．（山东省泰安市 本小题满分10分）

如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F。

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为2，BE=1，求cosA的值.

解：（1）证明：连结AD、OD

∵AC是直径

∴AD⊥BC （2分）

∵AB=AC

∴D是BC的中点

又∵O是AC的中点

∴OD//AB （4分）

∵DE⊥AB

∴OD⊥DE

∴DE是⊙O的切线 （6分）

   （2）由（1）知OD//AE

∴ （8分）

∴

∴

解得FC=2

∴AF=6

∴cosA= （10分）

23．（深圳市本题9分）如图10，以点M（－1,0）为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D，直线y＝－ 3(3)x－ 3(3)与⊙M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点F．

   （1）请直接写出OE、⊙M的半径r、CH的长；（3分）

（2）如图11，弦HQ交x轴于点P，且DP:PH＝3:2，求cos∠QHC的值；（3分）

（3）如图12，点K为线段EC上一动点（不与E、C重合），连接BK交⊙M于点T，弦AT交x轴于点N．是否存在一个常数a，始终满足MN·MK＝a，如果存在，请求出a的值；如果不存在，请说明理由．（3分）

        

解：

（1）、如图4，OE=5，，CH=2

（2）、如图5，连接QC、QD，则，

易知，故，

，，由于，

；

（3）、如图6，连接AK，AM，延长AM，

与圆交于点G，连接TG，则

，

由于，故，；

而，故

在和中，；

故；

;

即：

故存在常数，始终满足

常数

25、（天津市 本小题10分）  

在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在轴、

轴的正半轴上，，，D为边OB的中点.

（Ⅰ）若为边上的一个动点，当△的周长最小时，求点的坐标；

（Ⅱ）若、为边上的两个动点，且，当四边形的周长最小时，求点、的坐标.

解：（Ⅰ）如图，作点D关于轴的对称点，连接与轴交于点E，连接.

若在边上任取点（与点E不重合），连接、、.

由，

可知△的周长最小.

∵ 在矩形中，，，为的中点，

∴ ，，.

∵ OE∥BC，

∴ Rt△∽Rt△，有.

∴ .

∴ 点的坐标为（1，0）.        ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（Ⅱ）如图，作点关于轴的对称点，在边上截取，连接与轴交于点，在上截取.

∵ GC∥EF，，

∴ 四边形为平行四边形，有.

又 、的长为定值，

∴ 此时得到的点、使四边形的周长最小. 

∵ OE∥BC，

∴ Rt△∽Rt△, 有 .

∴ .

∴ .

∴ 点的坐标为（，0），点的坐标为（，0）. ．．．．．．．．．．．．．．．10分

26、（天津市 本小题10分）    

在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴的正半轴交于点，顶点为.

（Ⅰ）若，，求此时抛物线顶点的坐标；

（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC中满足

S△BCE = S△ABC，求此时直线的解析式；

（Ⅲ）将（Ⅰ）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC中满足

S△BCE = 2S△AOC，且顶点恰好落在直线上，求此时抛物线的解析式.

解：（Ⅰ）当，时，抛物线的解析式为，即.

∴ 抛物线顶点的坐标为（1，4）．               ．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，则顶点在对称轴上，有，

∴ 抛物线的解析式为（）．

∴ 此时，抛物线与轴的交点为，顶点为．

∵ 方程的两个根为，，

∴ 此时，抛物线与轴的交点为，．

如图，过点作EF∥CB与轴交于点，连接，则S△BCE = S△BCF．

∵ S△BCE = S△ABC，

∴ S△BCF = S△ABC．

∴ ．

设对称轴与轴交于点，

则．

由EF∥CB，得．

∴ Rt△EDF∽Rt△COB．有．

∴ ．结合题意，解得 ．

∴ 点，．

26.( 大连市)如图17，抛物线F：与轴相交于点C，直线经过点C且平行于轴，将向上平移t个单位得到直线，设与抛物线F的交点为C、D，与抛物线F的交点为A、B，连接AC、BC

（1）当，，，时，探究△ABC的形状，并说明理由；

（2）若△ABC为直角三角形，求t的值（用含a的式子表示）；

（3）在（2）的条件下，若点A关于轴的对称点A’恰好在抛物线F的对称轴上，连接A’C，BD，求四边形A’CDB的面积（用含a的式子表示）

解：（1）结论：是直角三角形. 1分

由题意：

令

解得

点的坐标分别为

设与轴相交于点，在和中

是直角三角形 2分

（2）由题意，，设点的坐标为

3分

4分

设为的中点，则点的坐标为

为直角三角形

5分

即 6分

7分

（舍去） 8分

（3）依题意，点与点重合

在抛物线的对称轴上，与关于轴对称

轴

四边形是平行四边形 9分

在中

与关于轴对称

为等边三角形 10分

11分

12分

设直线的解析式为，则

  解得  

∴ 直线的解析式为.       ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（Ⅲ）根据题意，设抛物线的顶点为，（，）

则抛物线的解析式为，

此时，抛物线与轴的交点为，

与轴的交点为，.（）

过点作EF∥CB与轴交于点，连接，

则S△BCE = S△BCF.

由S△BCE = 2S△AOC，

∴ S△BCF = 2S△AOC. 得.

设该抛物线的对称轴与轴交于点.

则 .

于是，由Rt△EDF∽Rt△COB，有．

∴ ，即．

结合题意，解得 ．                         ①                                

∵ 点在直线上，有．  ②     

∴ 由①②，结合题意，解得．

有，．

∴ 抛物线的解析式为．    ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

28．(徐州市 本题10分)如图，已知二次函数y=的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC．

  (1)点A的坐标为_______ ，点C的坐标为_______ ；

  (2)线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形?若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；

  (3)点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，若所得△PAC的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有2个?