平方根与算术平方根概念辨析

2010-09-28  家有学子

平方根与算术平方根概念辨析

平方根与算术平方根是初中数学中的两个重要概念,因为它们定义相近,联系紧密,所以初学的同学很容易混淆。为帮助同学们正确理解和区分这两个概念,现将它们的区别与联系总结如下:

一、区别:

1、定义不同。

平方根:一般地,如果一个数x的平方等于a,即,那么这个数x叫做a的平方根。例如,24的平方根,,-24的平方根,即2和-2都是4的平方根。

算术平方根:一般地,如果一个正数x的平方等于a,即,那么这个正数x叫做a的算术平方根(特别规定:0的算术平方根是0)。例如,,正数24的算术平方根。虽然,但-2不是正数,所以-2不是4的算术平方根。

2、表示方法不同。

平方根:一个非负数a的平方根记做。例如,5的平方根记做

算术平方根:一个非负数a的算术平方根记作。例如,5的算术平方根记作

3、个数不同。

平方根:一个正数有两个平方根,它们互为相反数。例如,16的平方根有两个,一个是4,另一个是-4

算术平方根:一个正数的算术平方根只有一个,且这个数是正数。例如,16的算术平方根只有一个,是4

二、联系

1、二者之间存在着从属关系。

一个正数的平方根包含了这个正数的算术平方根,算术平方根是平方根中的一个。

例如,的两个平方根是,其中的算术平方根。

2、二者被开方数的取值范围相同。

只有非负数才有平方根,负数没有平方根。

只有非负数才有算术平方根,负数没有算术平方根。

一个数没有平方根,它一定也没有算术平方根。

三、典型例题

 求下列各数的平方根。

1121 2 30 4

解:(1)因,故121的平方根是

2)因,故的平方根是

3)因,故0的平方根是0

4)因,故的平方根是

评析:求数a的平方根,就是要把平方后等于a的数都找出来。正数的平方根有两个,不要丢掉负的平方根。

 求下列各数的算术平方根。

1225 2 30.49 4

解:(1)因,故225的平方根是,取正的平方根,即225的算术平方根是15

2)因,故的算术平方根是,即

3)因,故0.49的算术平方根是0.7,即

4)因,而,所以的算术平方根是5

评析:求正数a的算术平方根,只需找出平方后等于a的正数。

 下列说法是否正确?为什么?

1525的平方根。

225的平方根是5

解:(1)正确。因,所以525的平方根。

2)不正确。因都等于25,所以25的平方根是

评析:判断x是不是a的平方根,只需看是否等于a,若,那么x就是a的平方根,求a的平方根,则需将所有平方后等于a的数全部找出来。

4  下列说法正确的是(    )

A. 5的算术平方根

B. 81的平方根是

C. 2是-4的算术平方根

D. 9的算术平方根是

解:选B

评析:解答此题的关键是理解、掌握平方根和算术平方根的联系和区别。只有非负数才有平方根和算术平方根,所以选项C错误;一个正数有两个平方根,其中正的平方根才叫做算术平方根,所以选项AD错误。

5  求下列各式的值。

1 2 3 4

解:(1

2

3

4

评析:解这类题的关键是弄清三种符号的意义:表示a的平方根,表示a的算术平方根,表示a的负的平方根。

 下列各式正确的是(    )

A.  B. 

C.  D. 

解:选D

评析:解答此题的关键是掌握平方根和算术平方根的定义和表示方法。一个正数a的平方根记为,它的结果是互为相反数的两个数,所以C错误。一个正数a的算术平方根记为,它的结果是一个正数,所以AB错误。

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