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matlab 实验一 特殊函数与图形

 木立 2010-09-29

实验一  特殊函数与图形

一、问题背景与实验目的

二、相关函数(命令)及简介

三、实验内容

四、自己动手

 

 

 

一、问题背景与实验目的

著名的Riemann函数大家都很熟悉了,但是关于它的图像你是否清楚呢?除了最上面那几点,其他都很难画吧?你想不想看看下面那些“挤在一起”的点是怎样分布的呢?还有几何中的马鞍面、单叶双曲面等是怎样由直线生成的,是不是也想目睹一下呢?这些,都离不开绘图.

实际上绘图一直是数学中的一种重要手段,借助图形,往往可以化繁为简,使抽象的对象得到明白直观的体现.比如函数的基本性质,一个图形常可以使之一目了然,非常有效.它虽不能代替严格的分析与证明,但在问题的研究过程中,可以帮助研究人员节约相当一部分精力.此外,它还可以使计算、证明、建模等的结果得到更明白易懂的表现,有时,这比科学论证更有说服力.

同时,数学的教学与学习过程也离不开绘图.借助直观的图形,常可以使初学者更容易接受新知识.如数学分析中有不少函数,其解析式着实让人望而生畏,即使对其性质作了详尽的分析,还是感到难明就里;但如果能看到它的图形,再配合理论分析,则问题可以迎刃而解.又如在几何的学习中,会遇到大量的曲线与曲面,也离不开图形的配合.

传统的手工作图,往往费力耗时,效果也不尽理想.计算机恰恰弥补了这个不足,使你可以方便地指定各种视角、比例、明暗,从各个角度进行观察.

本实验通过对函数的图形表示和几个曲面(线)图形的介绍,一方面展示它们的特点,另一方面,也将就Matlab软件的作图功能作一个简单介绍.大家将会看到,Matlab 的作图功能非常强大.返回

二、相关函数(命令)及简介

1.平面作图函数:plot,其基本调用形式:

plot(x,y,s)

x作为横坐标,y作为纵坐标.s是图形显示属性的设置选项.例如:

x=-pi:pi/10:pi;

y=sin(x);

plot(x,y,'--rh','linewidth',2,'markeredgecolor','b','markerfacecolor','g')

 

1

在使用函数plot时,应当注意到当两个输入量同为向量时,向量xy必须维数相同,而且必须同是行向量或者同是列向量.

绘图时,可以制定标记的颜色和大小,也可以用图形属性制定其他线条特征,这些属性包括:

linewidth            指定线条的粗细.

markeredgecolor      指定标记的边缘色

markerfacecolor      指定标记表面的颜色.

markersize           指定标记的大小.

若在一个坐标系中画几个函数,则plot的调用格式如下:

plot(x1,y1,s1,x2,y2,s2,……)

2空间曲线作图函数:plot3,它与plot相比,只是多了一个维数而已.其调用格式如下:

plot3(x,y,z,s).例如:

x=0:pi/30:20*pi;

y=sin(x);z=cos(x);

plot3(x,y,z)

得到三维螺旋线:

2

 

3.空间曲面作图函数:

1mesh函数.绘制彩色网格面图形.调用格式:

mesh(z)mesh(x,y,z)mesh(x,y,z,c)

其中,mesh(x,y,z,c)画出颜色由c指定的三维网格图.若xy均为向量,则length(x)=nlength(y)=m[m,n]=size(z)

2surf在矩形区域内显示三维带阴影曲面图.调用格式与mesh类似.

3ezmesh用符号函数作三维曲面网格图.

调用格式:

ezmesh(x,y,z)

其中x = x(s,t), y = y(s,t),z = z(s,t).画图区域默认为: -2*pi < s < 2*pi -2*pi < t < 2*pi.

或者用格式:

ezmesh(x,y,z,[smin,smax,tmin,tmax])

4ezsurf用符号函数作三维曲面图.调用格式与ezmesh类似.

5sphere画球体命令.

 

4meshgrid,调用格式:

[x,y]=meshgrid(m,n)

这里的mn为给定的向量,可以定义网格划分区域和划分方法.矩阵x和矩阵y是网格划分后的数据矩阵.

5.图像的修饰与其他函数:

1axis equal 控制各个坐标轴的分度,使其相等;

2colormap设置绘图颜色.

调用格式:

colormap([r g b])  

其中r,g,b都是0-1之间的数.

或者用格式:

colormap(s)

s为颜色映像.下面举几个常用的例子:

颜色映像

相应的颜色系

颜色映像

相应的颜色系

autumn

红黄色系

hsv

色调饱和色系

gray

线性灰色系

hot

黑红黄白色系

cool

青和洋红色系

pink

柔和色系

3grid网格函数   grid on添加网格.grid off取消网格.

4find找出符合条件的元素在数组中的位置.调用格式:

y=find(条件)

例如:输入:

a=[4  5  78  121  4  665  225  4  1];

b=find(a>7)

   输出:b =3     4     6     7                                             返回

 

三、实验内容

数学分析中,特别是积分部分,我们接触了不少有趣的函数,由于其中有的不是一一对应的,用上面的方法无法画出它们的图像,这时就只能用参数了.

此外还有些图形只能用参数来画,比如空间曲线,在计算机上不接受“两个曲面的交线”这种表示,所以也只能用参数来实现.

用参数方式作图的关键在于找出合适的参数表示,尤其是不能有奇点,最好也不要用到开方.所以要找的参数最好是有几何意义的.当然这也不可一概而论,需要多积累经验.

1.利用函数plot在一个坐标系中画以下几个函数图像,要求采用不同颜色、不同线形、不同的符号标记.函数为:

程序如下:

t=0:pi/20:2*pi;

x=sin(t);

y=cos(t);

z=sin(2*t);

plot(t, x, '--k*', t, y, '-rs', t, z, ':bo')

图像如下:

3

 

2.绘制类似田螺线的一条三维螺线(方程自己设计)

程序如下:

t=0:.1:30;

x=2*(cos(t)+t.*sin(t));

y=2*(sin(t)-t.*cos(t));

z=1.5*t;

plot3(x,y,-z)  % –z 主要是为了画图看起来更清楚

axis equal

图像如下:

4

3.利用函数,绘制一个墨西哥帽子的图形.

程序如下:

[a,b]=meshgrid(-8:.5:8);     %先生成一个网格

c=sqrt(a.^2+b.^2)+eps;

z=sin(c)./c;

mesh(a,b,z)

axis square

 

图像如下:

5

 

思考:这里的 eps 是什么?其作用是什么?

4.利用surf绘制马鞍面图形(函数为:).

程序如下:

 [x,y]=meshgrid(-25:1:25,-25:1:25);

z=x.^2/9-y.^2/4;

surf(x,y,z)

title('马鞍面')

grid off

图像如下:

6

 

5.分别用ezmeshezsurf各绘制一个圆环面,尝试将两个圆环面放在一个图形界面内,观察它们有什么不同之处.

       提示:圆环面的方程为: 而圆环面的参数方程为:

程序参见附录1

图像如下:

7

6.绘制黎曼函数图形,加深对黎曼函数的理解.

说明:黎曼函数的定义为

程序参见附录2

图像如下:

 

8

返回

四、自己动手

1作出下图所示的三维图形:

9

提示:图形为圆环面和球面的组合.

 

2作出下图所示的墨西哥帽子及其剪裁图形:

10

 

3.画出球面、椭球面、双叶双曲面、单叶双曲面.

4.若要求田螺线的一条轴截面的曲边是一条抛物线:.试重新设计田螺线的参数方程,并画出该田螺线.

5作出下图所示的马鞍面(颜色为灰色,并有一个标题:“马鞍面”):

11

6绘制图8所示的黎曼函数图形,要求分母的最大值的数值由键盘输入(提示:使用input语句).

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