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小学数学解题常见错误分析

2010-10-06  茶香飘万里   |  转藏
   

 

  一、数的概念

  儿童从开始记事起,爸爸妈妈就扳着指头教他们数1,2,3,4…,他们也慢慢地知道3个指头、3颗糖、3个人…都表示的是3.可以说,他们就开始萌发了数的概念,但系统地建立数的概念还是从进学校后开始的,首先认识整数,再认识小数、分数、百分数.而建立数的概念,掌握有关数的基础知识,是学习数学的基础.当然,随着数学知识的丰富,又可以加深学生对数的有关知识的理解和掌握.正因为这样,学生是从数1,2,3,4…就开始认识数了,但限于学生的年龄和知识水平,开始对数的知识的掌握也是很有限的,需要在以后的学习过程中不断加深理解.由于教和学的种种原因,往往有的学生对于数的认识相当模糊,有时甚至是错误的.因此,在解题过程中,常出现这样或那样的错误。
 
1.整数

  整数是小学阶段主要的学习内容.学生对整数的有关知识的学习,最感困难的是多位数的读写,特别是含有0的多位数,最容易读错和写错.整数的知识内容还应包括“数的整除”,它涉及的概念与法则较多,如约数、倍数、质数、合数、奇数、偶数等概念,还有求最大公约数、最小公倍数、分解质因数等方法.对小学生来说有些概念比较抽象,难以理解和记忆.其中有的很容易混淆,因此解题时经常出错.

  (1)整数与自然数

  例 1 判断题

  (1)整数就是自然数和0.(    )

  (2)自然数就是1、2、3、4、5等等这样的一列数.(    )

  (3)最小的一位数是0.(    )

  (4)3是由3和0组成的.(    )

  [解](1)×(2)×(3)×(4)×

  [常见错误]

  (1)√(2)√(3)√(4)√

  [分析]

  小学教科书里曾说过“自然数和零都是整数”,但这并不是给“整数”下的一个定义,而只是指出自然数和0都属于“整数”的范围.然而,有些人以为这就是整数的定义,并把它倒过来理解,说成“整数就是自然数和0”,这样就把整数这一概念的外延缩小了,因为整数不仅包括自然数和0,而且还包括负整数。

  小学教科书里说“我们数物体时,用来表示物体个数的1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11…叫做自然数.”这里自然数只指这一列数中的一个个的数,1、2、3、4、5等等这样的一列数叫做“自然数列”,“自然数”与“自然数列”是两个不同的概念。

  十进位制记数法,是利用1、2、3、4、5、6、7、8、9、0这十个数字符号,结合数位来记数的,并且规定了一个数最左边的数位(数的最高位)不能为0,即不允许出现0253、00368的形式(编码除外)的数.像 0253、00368之类的数码也不能称之为四位数、五位数.否则,对于一个数就无法确定它是几位数,也无法正确记数了.对于一位数来说,它的最高位是个位,依据最高位不应为0的规定,最小的一位数就当然是1,而不是0了。

  数的组成是在数数的基础上产生的,3是1和2组成或2和1组成,这里的1是1个计数单位,2是2个计数单位.0虽然也是一个数,但它不是计数单位,也不含计数单位.无论多少个0,都不可能组成一个自然数.也就是任何一个自然数,都不可能由0来组成。

  例 2 填空题

  (1)个级的单位是(    ),亿级的单位是(    )。

  (2)和一万相邻的两个数分别是(    )和(    )。

  [解](1)个级的单位是(一),亿级的单位是(亿)。

  (2)和一万相邻的两个数分别是(9999)和(10001)。

  [常见错误]

  (1)个级的单位是(个位),亿级的单位是(亿级),或个级的单位是

  (个、十、百、千),亿级的单位是(亿、十亿、百亿、千亿)。

  (2)和一万相邻的两个单位分别是(十万位)和(千位)。

  [分析]

  错解(1)的前种错误是把计数单位误填成了数位,这主要是对数位和计数单位的概念不清楚造成的.后种错误则把各个数位上的计数单位与每一级的计数单位混淆了.个级的单位应该是“一”,万级的单位是“万”,亿级的单位是“亿”。

  错解(2)是把数与数位混淆了,概念不清是造成解题错误的主要原因,还有可能是由于学生粗心所致,因为题中的一万是用汉字表示的,没有用阿拉伯数字10000表示,因此容易产生错觉,把“一万”误认为是“万位”了,和万位相邻的两个数位就是“十万位”和“千位”。
 
2.小数

  小数的概念本来是建立在分数概念的基础之上的,但考虑小学生的年龄特点,小学教材一般是先学小数,再学分数.这给小数意义的理解带来一定的困难,其中对于小数点位置移动引起小数大小变化的规律;对于有限小数和无限小数的认识;对于循环小数的认识及求近似值的方法等,都是学生比较难以理解和掌握的,因此,在解题中常常出现这样或那样的错误。

  例 1

  (1)一个数由4个10、3个1、3个0.1、5个0.01组成,这个数是(如果把这个数扩大1000倍,应写作(    )。

  (2)0.85的计数单位是(    ),把这个数扩大1000倍得(   )。

  (3)由 32个1,57个0.001组成的数是(    ),保留一位小数是(  )。

  (4)读出下面各数:

  7.005, 120.28。

  (5)在 0. 、0.33、2.1、2.1这四个数中,(    )是纯小数;是带小数;(    )是纯循环小数;(    )是混循环小数。

  [解](1)是43.35,写作43350。

  (2)是0.01,得850。

  (3)是32.057,是32.1。

  (4)读作七点零零五或七又千分之五;

  读作一百二十点二八或一百二十又百分之二十八。

  [分析]

  产生上述错误的主要原因是对于小数的组成、小数的计数单位没有很好掌握,对于纯小数、带小数、纯循环小数、混循环小数的概念不能很好的区分.小数的数位顺序表是:

  如果掌握了这个数位顺序表,(1)题就不会写成403.305,因为依题意十位上是4,个位是3,十分位上是3,百分位上是5,即 43.35.(2)题 0.85虽由8个0.1和5个0.01组成,但 0.85的计数单位应该是0.01,因为一个小数的计数单位应是小数部分最小数位的计数单位.(3)题因为32个1是32,57个0.001是0.057,合起来就是32.057,而不应是32.57。

  小数的读法与整数是不相同的,小数中的整数部分,可按整数的读法去读,而小数部分一般只按顺序依次读出各位上的数字.如7.005要读成七点零零五,要读出两个零.120.28要读成一百二十点二八,不读成二十八.如果按数位读,7.005就是七又千分之五,120.28就是一百二十又百分之二十八。

  小数中的纯小数和带小数是根据整数部分是否有数来确定的,而纯循环小数和混循环小数是从循环节的位置来区分的,循环节从小数部分第一位开始的,叫纯循环小数;循环节不是从小数部分第一位开始的,叫混循环小数.所

  [分析]

  两个数相除,判断它的商是不是循环小数,应该看除到小数部分后,它的余数是否重复出现.余数重复出现商才会不断重复出现,若只有商重复出现几次,还不一定是循环小数.如上例除到小数第三位,连续出现了三个2,

  [常见错误]

  (1)题找不到合适的数。

  (2)(3)题顺序排错或从小到大排列。

  [分析]

  (3)题的关键是π,它的值是3.1415…。

  例 5(1)一个数,如果将它的小数点向左移动一位,得到的新数比原来的数少3.6.原来的数是(    )。

  (2)最小的三位小数去掉小数点后,再缩小100倍是(    )。

  (3)把 3.14159的小数点先向右移动三位,再在后面添上两个零,原数就(    )。

  (4)把3.09扩大(    )倍是3090。

  [解](1)4。

  (2)0.01。

  (3)扩大1000倍。

  (4)1000。

  [常见错误]

  (1)36。

  (2)0.001。

  (3)扩大100000倍。

  (4)100。

  [分析]

  如果没有很好地掌握小数点位置移动引起小数大小变化的规律,就很容易出现上述错误.如(1)题,因为小

  整数的小数点是在个位右边,因为没有小数部分就不必记上.(2)题最小的三位小数是0.001,去掉小数点后变为1,1记上小数点是1.,再缩小100倍,即小数点向左移动两位,应该是0.01,而不是0.001;又如(4)题3.09变成3090,小数点是向右移动三位,是扩大了1000倍,而不是100倍。

  小数末尾添上0或去掉0,小数的大小不变,理解了这条性质,那么(3)题中的“再在后面添上两个零”,并没有引起小数大小的变化,所以原数并没有扩大100000倍,只是因为小数点向右移动三位而扩大了1000倍。

  小数点位置的移动引起小数大小的变化规律,既难理解,又易混淆.移动的方向与大小变化是相关的,移动的位数与变化的倍数是相应的.这些变化规律必须牢固掌握。

  [解](1)4.263

  (2)3.30。

  (3)0.90

  (4)0.455.

  [常见错误]

  (1)4.262。

  (2)3.3。

  (3)0.9。

  (4)0.454。

  [分析]

  求近似值的方法,一般是采用“四舍五入”法,(1)(4)题都是要保留三位小数,那么要根据第四位小数“四舍五入”.4.2626…、0.4545…的第四位都是五或五以上的数,所以去掉尾数后必须向第三位小数进一,4.262和0.454都是因为没有“进一”而出错。

  在求近似值里,一般地说3.0比3精确,在表示近似值的情况下,十分位的0不能去掉.因此,在(2)(3)题里,3.30是由3.295保留两位小数得到,0.90是由0.89保留两位小数得到它们的0都不能去掉,在这里如果写成3.3和0.9就是错误的。

  例 7 判断题

  (1)去掉小数点后面的零,小数的大小不变.(    )

  (2)2.666是循环小数.(    )

  (3)在小数点后面添上零或去掉零,小数的大小不变.(    )

  (4)把7.08的小数点去掉后,比原来的数扩大100倍.(    )

  [解]

  (1)20897600000≈209亿。

  31548200000≈315亿。

  (2)20897600000=208.976亿。

  31548200000=315.482亿。

  (3)20897600000=208.976亿≈208.98亿。

  31548200000=315.482亿≈315.48亿

  [常见错误]

  (1)20897600000≈208亿。

  31548200000=315亿。

  (2)20897600000≈209亿。

  31548200000≈315亿。

  (3)30897600000≈208.98亿。

  31548200000≈315.48亿。

  [分析]

  这三道题都要求写成用亿作单位的数,但具体要求是不相同的.(1)题是省略亿后面的尾数,求它们的近似数,那么要看它的千万位是什么数,然后用“四舍五入”法求出近似数.20897600000的千万位是9,省略尾数后应该向亿位“进一”,所以写成208亿是错误的,31548200000千万位是4,省略尾数后不须向亿位进一,应该是315亿,但这只是近似数,应该用“≈”,错解错在用了“=”。

  (2)题是改写成用“亿”作单位的数,不是求近似数,所以,分别写成09亿和315亿都是不合题意的。

  (3)题改写成用“亿”作单位的数后再保留两位小数,省略了前一步也是不合题意的,应按题目要求进行改写。

  还值得注意的是不要忘记写上“亿”字作单位。
 
 3.分数和百分数

  对分数和百分数的认识比整数难多了,我们这里讲的分数和百分数主要包括分数、百分数的意义;分数的性质;分数大小的比较;分数、百分数和小数的互化等.如果没有很好地建立分数和百分数的概念,那么解答有关分数、百分数的概念题、比较分数的大小或进行分数、百分数和小数的互化,都会经常出现错误.但对分数和百分数的理解不是孤立地建立起来的,它是通过比较分数大小、进行分数、百分数和小数的互化等过程中逐步加深认识的。

  例 1(1)判断题:把单位“1”分成若干份,表示这样一份或者几份的数,叫做分数.(    )

 (11)题判为“正确”的原因是对于分数的基本性质中的“零除外”没有引起足够的重视。

 (12)题也是因为没有很好掌握分数的基本性质,误认为分子加上8,分母也要加上8.而要使分数的大小不变,分数的分子和分母都应乘以或除

  [常见错误]

  这类题的解答错误是填不出或填错了数.

  [分析]

  产生错误的主要原因是对分数(包括成数)、小数、百分数的互化;除法与分数的关系;假分数与带分数的互化;分数的基本性质及比与除法的关系等知识没有理解和掌握.

  如以(1)题为例,七成五就是十分之七点五即为75%,化成分数为

  F=10÷10÷12÷13÷14.

  [解]

  先分为大于10和小于10的两大类:大于10的有A、D、E;小于10的有B、C、F,而大于10的A不会超过12;D是把10扩大10倍,再扩大100倍,再扩大1000倍,再扩大10000倍;E是把10扩大11倍,再扩大12倍,再扩大13倍,再扩大14倍.所以D>E>A.而小于10的B不会小于8;C是把10缩小10倍,再缩小100倍,再缩小1000倍,再缩小10000倍;F是把10缩小11倍,再缩小12倍,再缩小13倍,再缩小14倍.所以B>F>C.即(D)>(E)>(A)>(B)>(F)>(C).

  [常见错误]

  (C)>(E)>(A)>(D)>(F)>(B).

  [分析]

  产生这种错误的原因是误以为凡是乘和加的结果肯定增大,凡是除或减
 
                                                                                                                    二、四则计算
  四则计算包括整数、小数、分数的四则计算及混合运算,它是小学阶段学习的重要内容,而培养学生的四则计算能力是小学数学教学的一项重要任务.在小学数学的学习过程中,几乎天天都离不开计算.但它又是最容易发生错误的内容之一.基础知识掌握不牢、基本口算不熟练、数学概念模糊都会造成计算上的错误;由于思维不灵活、粗心大意也会造成计算错误;对于教材中的难点、易混淆的问题、计算过程复杂的内容更容易发生计算错误.因此要达到“正确、迅速、合理、灵活”的要求,确实是一件不容易的事情.
 
小数四则计算是在掌握整数四则计算的基础上进行学习的,它们之间有着密切联系.因此,解题的许多常见错误也是共同的,例如对位问题.而小数四则计算中小数点的处理,如加、减法中的小数点对齐;乘法中乘积中小数点的定位;除法中商的小数点的定位及除数是小数的计算法则等,都是最容易发生错误的地方.

  (1)加法和减法

  例 1 整数加法的意义是什么?整数减法的意义是什么?

  [解]

  整数加法的意义:把两个数合并成一个数的运算,叫做加法.

  整数减法的意义:已知两个加数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算,叫做减法.

  [常见错误]

  整数加法的意义:求和的运算叫做加法.或把几个数合并成一个数的运算,叫做加法.

  整数减法的意义:求剩余的运算叫做减法.

  [分析]

  定义应该是严格的,求和是用加法,求剩余也是用减法,但不能说求和就叫做加法,求剩余就叫做减法.另外,把几个数合并成一个数,实际上都是两两合并,如3+5+8,是先算3+5=8,再算8+8=16,所以把两个数合并成一个数的运算定义为加法是确切的.

  例 2 (1)8+2.16.

  (2)7.43-5.

  (3)0.008+1.2.

  [解](1)8+2.16=10.16.(2)7.435=2.43.

  [分析]

  上述错误主要是在整、小数的加减计算中,没有把相同的数位对齐,产生错误的原因有:①对小数的数位概念没有理解和掌握;②小数加减法法则掌握不牢;③受整数加减法法则的影响.因为整数加减法中相同的数位对齐,即是末位数字对齐,因此误认为小数加减法也是末位数字对齐,造成一定的干扰.实际上整数和小数加减法都要把相同的数位对齐,因为整数的末位都是个位数,只要把末位数对齐,那么相同的数位就对齐了.而小数的末位数的数位是不固定的,不能用末位数对齐的方法使相同的数位对齐.最好的办法是把小数点对齐.小数点对齐了,相同的数位也就对齐了尽管上面的(1)(2)题中的“8”和“5”都是整数,但由于整数的小数点是在个位的右

 [分析]

  整、小数加减计算,在进位加法和退位减法中,忘记加上进位“1”或忘记减去退位“1”,这是经常发生的计算错误.上例中的(1)、(2)、(3)题都是这类型错误,特别是第(2)题的十位是0减5,只注意了退1当10,减5得5,忘记了先要减去个位不够减退的“1”,应该是9减5得4.第(4)题的千分位不够减,应从百分位退“1”,错解中是直接把5写下来,因此百分位没有减去退的1,因此误把“4”写成了“5”.

  例 4(1)4.35+ 5.65.

  (2)64.7-63.9.

  [解]

  (1)4.35+5.65=10.(2)64.7-63.9=0.8.

  位的0;错解(2)得数8应该是在十分位上的8,应记上小数点,并在整数部分写0,得数00.8又在整数部分多写了一个0,因为整数部分没有数写一个0就可以了,写多了就是多余的了.所以,在小数计算里要特别注意0的处理.

  例 5(1)3005-632.

  (2)40003-21208。

  (3)9-4.25.

  [解](1)3005-632=2373.(2)40003-21208=18795。

  [分析]

  在加减计算中,减法难于加法,特别是减法中有连续退位的,如果要隔位退位就更难了.上面三例都是要隔位退位的.(1)题十位不够减要从千位退一;(2)题个位不够减要从万位退一;(3)题百分位不够减要从个位退一.因此由于一时不好填什么数就出现了像(1)、(3)题那样把减数直接写下来的错误;或像(2)题那样从万位退一到千位、百位、十位都作10的错误.如果掌握了退位的方法就不会发生类似的错

  [分析]

  在连加计算中,因为需要计算的数多,在进位时,有时不止向前一位进“1”,有时需要进“2”或“3”或更大的数.但学生对“满十进一”的印象比较深刻,误认为都是向前一位进“1”,因此出现上述错误.为了防止这类错误,进位时,可以把进上几记上一个小数字,以防忘记.

 
 
2.分数的加减法四则计算

  分数的四则计算,由于分数加减法中的通分问题,带分数的加减法,分数乘除法中的约分问题等都不容易一下理解和掌握,因此计算常常出现错误。在分数四则计算中,很多计算过程都需口算,口算的错误率往往高于笔算。因此,分数四则计算的错误率一般要高于整小数的四则计算。再加之分数四则计算的复杂程度远远超过了整、小数的四则计算,所以,要熟练、准确地进行分数四则计算确实是不容易的。

  (1)加法和减法

  为什么出现这样的错误呢?第一,受整、小数加减法的影响,误认为把数加起来就是它们的结果,于是产生了分子加分子、分母加分母的错误;第二,分数意义、分数单位的概念模糊,或者基本上没有弄清这些概念;第三,分数加法法则没有掌握。

  [分析]

  这种错误在刚开始学习异分母分数加法时经常发生。错解(1)是通分时分母扩大了,而分子没有扩大;(2)题虽然计算正确,但最后结果是假分数,应化成带分数。在小学阶段都要求这样做。

  例 3

(2)乘法

  例 1 整数乘法的意义是什么?

  [解]

  整数乘法的意义:求几个相同加数和的简便运算,叫做乘法

  [常见错误]

  整数乘法的意义:求积的运算.

  [分析]

  和前面分析的一样,定义是严格的,求积是用乘法计算,但我们不能说求积就是乘法.

  例 2 小数乘法的意义与整数乘法的意义相同吗?

  [解]不完全相同.

  [常见错误]

  相同.

  [分析]

  因为小数乘法有两种情况.一是小数乘以整数,它的意义与整数乘法意义相同,就是求几个相同加数的和的简便运算.如 3.5×4,就是求4个3的和的简便运算;二是一个数乘以小数,它的意义是求这个数的十分之几百分之几,千分之几…,就不能理解为求相同加数的和的简便运算了.如×0.23,就是求3.5的百分之二十三是多少.所以,不能说小数乘法的意与整数乘法的意义相同.

  例 3(1)216×28.

  (2)345×308.

  [解](1)216×28=6048.(2)345×308=106260.

  [分析]

  多位数的乘法计算,部分积的位置错误是经常发生的,如(1)题中乘数十位上的“2”与216相乘得432,是432个10,即4320,所以2应该写在十位上.(2)题中乘数百位上的“3”与345相乘得1035,是即103500,所以5应该写在百位上.关键是要记住“用乘数哪乘,乘得的数的末位就要和那一位对齐”.

  例 4(1)801×5

  (2)2008×6.

  (3)370×20.

  (4)4100×50.

  [解]

  (1)801×5=4005。(2)2008×6=12048。

  [分析]

  被乘数中间有0或被乘数和乘数末尾有0的乘法是多位数乘法中的难点。错解(1)没有用5与被乘数的0相乘,被乘数的8是在百位上,表示8个百,与 5相乘应得40个百,即 4个千,4要写在千位,现在错把4写在了百位上,原因是漏乘了“0×5=0”这一步。同理错解(2)也是漏乘了“0×6”(10位上的0)和“0×6”(百位上的0)两步。

  (3)、(4)题被乘数和乘数末尾都有0,计算时只要将0前面的数相乘,然后再看被乘数和乘数末尾共有几个0,就在积的末尾也添上几个0。如370×20洗用37×2=74,再添上两个0得7400。4100×50,先用41×5=205,再添上三个0得205000。其理由是因为4100看成41,缩小100倍,50看成5缩小10倍,那么41×5的积比4100×50的积也缩小了100×10=1000倍,所以要将41×5的积扩大1000倍,即添上三个0。如果明白了这个道理就不会出现少添0或多添0的错误。

  例 53.18×16。

  [解]

  3.18×16=50.88。

  [分析]

  积里忘记点上小数点,这种错误比加减法里忘记点上小数点的错误要多,因为做小数加减时,可以边计算边点上小数点,而做小数乘法时,则需做完乘法后,再在积里点上小数点。这样很容易忘记在积里点上小数点。
  例 6(1)3.6×4.8。

  (2)1.75×3.4。

  (3)0.34×0.26。

  (4)0.73×0.08。

  [解](1)3.6×4.8=17.28。(2)1.75×3.4=5.95。

  [分析]

  小数乘法计算,最容易出现的错误是积里小数点的位置点错。(1)题错把积里的小数点和因数里的小数点对齐,这是因为:①受小数加减法‘小数点对齐”的影响;②小数乘以整数积里的小数点和被乘数的小数点也是对齐的,如 3.6×48=172.8;③正好3.6×4.8中被乘数和乘数的小数点是对齐的,因而粗心者很容易不自觉地把积里的小数点也与它们的小数点对齐。(2)题应该是在积里先点上小数点,再去掉小数末尾的0。不能先去掉末尾的0再数数位点上小数点。

  (3)题积里的小数位数不够要用0补足。积里小数点的确定是“看因数一共有几位小数,就从积的右边起数出几位,点上小数点。位数不够的,要在前面用0补足”。

  (4)题错把0.08看成一位小数,误认为被乘数和乘数一共是三位小数,所以在积里也就错误地点上三位小数。

  例 7 张大妈到菜场买白菜2.7千克,每千克价1.87元,应付多少元?

  这道题的列式和计算都没有错误,而是在实际应用中,人民币的币值计算只能精确到分,因此,这类题目需用“四舍五入法”求出近似值。
 

(3)除法

  例 1(1)3286÷44。

  (2)3286÷46

  (3)780÷15。(4)165÷24。

  [解](1)3286544÷74……30。

  [分析]

  上述各题都是试商不准而造成计算错误,因为商一般是“试”出来的,没有固定的法则,很难一次试准。为了提高试商的准确性,一般的教材是采用把除数用“四舍五入”法看成整十或整百的方法试商,但是用这种方法试商,有几个地方值得注意。这里我们重点只研究除数是两位数的除法:

  从(1)、(2)题来看,用“四舍五入”法看成整十数后,比原除数增加或减少的数较大时如(44看成40就少了4;46看成50也多了4),很可能出现试商不准的现象。如果(1)题改为3286÷41,那么把41看成40试商8就准了;(2)题改为3286÷49,那么把49看成50试商6也准了。因此,凡除数个位数是4、5、6的,采用“四舍五入”法试商,很可能出现初商过大或过小的现象,即“四舍”试商可能初商过大;“五入”试商可能初商过小。

  从(3)、(4)题来看,它们试商的准确性更小(3)题是初商2不准而要改5;(4)题是初商8不准,而要改商6。这是什么原因呢?这主要是因为除数十位上的数较小的缘故,如果除数十位上的数是1或2,个位上又是4、5、6,那么用“四舍五人”法试商就很不准确了。

  因此,除数十位上的数愈小,把它看作整十数试商的准确性就愈小。我们可以用提高十位数是1、2的两位数乘以一位数口算能力的方法,使这类题的试商更准确,即直接用口算求商,不必再把除数“四舍五人”看成整十数

  例 2(1)7622÷37。

  (2)7313÷43。

  (3)2500÷20。

  [解](1)7622÷37=206。

  [分析]

  漏掉商中间或商末尾的零是多位数除法中常见的错误。除法法则中规定“哪一位不够商1,就在那一位上写0”,为了避免上述错误的产生,要强调“求出商的最高位后,除到被除数的哪一位不够商1,就随时在商的那一位上面写0,不要等到全部除完后再补0”。如(1)题求出商的百位“2”后,22÷37不够商1,随时在商的十位上写上0,再将222÷37,在个位商6。如果养成了这种“随时写0”的习惯,就会避免出现漏写商中间的零的错误。

  商末尾的零也是容易漏写的,特别像(2)题这一类题,被除数个位上的数不够除时而有余数就更容易发生错误,因为它很容易与734÷43混淆,我们比较一下下面的两个竖式就清楚了。

[分析]

  以上两题的错误都是忘记在商里点上小数点。发生这种错误,除受整数除法的影响外,主要原因是对小数除法法则不理解。第(2)题更容易出错,因为在被除数里本来就没有点上小数点,在余数后面补0继续除,也不需记上小数点,因此最容易把商里的小数点丢掉。

·  [分析]

  在商里如果整数部分和十分位都不能商数时,要用0来补足数位,并点上小数点如果写商时没有用0来补足数位,就容易忘记点上小数点。后种解法虽然点上了小数点,但因为十分位没有用0补位,“8”实际上是写在十分位上,所以也错了。因为在整数除法里,要先商出最高位后,如果某一位不能商数才用0补位,而在小数除法里就不是这样,这是值得十分注意的。如184÷23,就直接在个位商8,不要在十位和百位补0,只有当 540÷5时,百位商1,十位不能商数补0,个位商8得108。要注意两种除法商的写法上的区别.

  例 5(1)16.2÷0.6

  (2)8÷0.5

  [解]

  (1)16.2÷0.6=27。(2)8÷0.5=16。

  [分析]

  上面两题的解答错误都是出现在除数是小数的除法里,商的小数点标错了位置。解题时,移动除数的小数点后,商里的小数点的位置,仍按原来被除数小数点的位置去确定,应该按被除数移动小数点后的小数点的位置来确定商里的小数点。如第(1)题,被除数16.2的小数向右移动一位成了162,这个小数点可以不记,商就是27,不是2.7。第(2)题被除数8的小数点向右移动一位就成了80,所以商是16,不是1.6。

  例 6420÷0.7。

  在小数除法法则里,如果除数是小数,不管被除数是小数还是整数,都要去掉除数的小数点,再移动被除数的小数点,如果被除数是整数,或者位数不够,就在被除数末尾用0补足。上面的错解就是没有在420后面补一个0,因此商错成60。

  [分析]

  以上两题都是被除数的小数点移动错误。错解(1)的除数0.054是三位小数,而误看成两位小数,所以去掉小数点后被除数的小数点只向右移动了两位,因此出现了商8.8的错误错解(2)是因为没有掌握法则,采用的方法是把被除数和除数的小数点一律去掉所造成的错误。

  例 8(1)4÷32。

  (2)34÷5。

  [解]

  (1)4÷32=0.125。(2)34÷5=6.8。

  [分析]

  以上两类题是小数除法里最容易出错的题,因为被除数和除数都不是小数,而商却是小数。(1)题因为被除数的整数部分不够商数,必须先点上小数点再补0,即把4写成4.0,商 1应该是在十分位上,1的前面必须有小数点。(2)题更容易出错,因为不是直接在被除数后面补0,是在余数后面补0再继续除,在被除数里根本没有小数点,所以应该在商过整数6之后,即在6的右下角点上小数点,再继续除,就不会出错。

  例 91.5÷25。

  [解]1.5÷25=0.06

  [分析]

  错解中丢掉了十分位上的0,与整数除法里丢掉了商中间的0是一样的错误。因为整数部分不够除,被除数取到十分位时仍不够除,所以商的最高位应该写在百分位上,十分位应该用0占位,否则商错成0.6。

  综合上面各例,记错商里小数点的位置是小数除法中最常见的错误。小数除法可归结为两类:第一类是除数是整数的,关键是要把商里的小数点和被除数的小数点对齐。特别是遇到被除数也是整数,商是小数的情况,应注意被除数的整数末尾省略了小数点;第二类是除数是小数的,先移动除数里的小数点,使它变成整数,除数的小数点向右移动几位,被除数的小数点向右移动几位(位数不够的在末尾用“0”补足),然后按照除数是整数的法则进行计算。因移动小数点的情况较为复杂,容易出现错误。现将各种移动情况列举如下,以便区分。

  移动小数点后,除数都变成了整数,但被除数可能是整数,也可能是小数,有的还要补0。

  例 10(l)一辆汽车每小时行50千米,0.5小时行多少千米?

  (2)一辆汽车0.5小时行25千米,每小时行多少千米?

  [解](1)50×0.5=25(千米)。

  答:0.5小时行25千米。

  (2)25÷0.5=50(千米)。

  答:每小时行50千米。

  [常见错误]

  (1)50÷0.5=100(千米)。

  答:0.5小时行100千米。

  (2)25×0.5=12.5(千米)。

  答:每小时行12.5千米。

  [分析]

  出现这类错误,主要是对小数除法的意义不理解。(l)题错误地认为每小时行50千米,那么0.5小时行了多少千米呢?0.5小时只有1小时的一半,要用除法;(2)题又错误地认为半小时行25千米,那么1小时是0.5小时的2倍,要用乘法。所以错误的列式为(1)50÷0.5,(2)50×0.5。

  例 11求下面商的近似值,得数保留两位小数。

  (1)2.7÷0.7。 (2)4.4÷1.3。

  〔解〕

  (1)2.7÷0.7≈3.86。(2)4.4÷1.3≈3.38

  [分析]

  求商的近似值时,要除到比需要保留的数位多一位,如果这一位是4或以下的数,则把它舍去;如果这一位是5或5以上的数,则把它舍去后并向前一位进一,即用“四舍五人法”求出商的近似值。错解(l)只除到了第二位小数(题目要求保留两位小数),就舍去了第三位小数,因为还不知道第三位小数是几,是“舍”还是“入”并不知道,结果出错;错解(2)又多除了一位,除到了第四位小数,并且第四位小数是“6”向前一位进“1”,第三位小数成了“5”,又向前一位进“l”,所以错成了3.39。
 
 

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