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第二节 阅读理解 【例题经典】 等式性质和三角形形状判定的综合应用． 例1 （2006年临安市）阅读下列题目的解题过程： 已知：a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，试判断△ABC的形状． 解：∵a2c2-b2c2=a4-b4 （A） ∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2） （B） ∴c2=a2+b2 （C） ∴△ABC是直角三角形． 问：（1）上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？ 请写出该误步的代号：_______． （2）错误的原因式为：_______． （3）本题的正确结论为：_______． 【解答】（1）C （2）错误的原因是由（B）到（C）时，等式两边同时约去了因式（a2-b2），而a2-b2可能等于0．（3）△ABC是等腰三角形或直角三角形． 【点评】解答此题的关键是弄清等式性质（2）的使用条件．在上述等式两边同时约去因式（a2-b2）时，要分a2-b2≠0或a2-b2=0两种情况讨论．因此，△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形，而不是等腰直角三角形． 例2 阅读材料，如图（1），在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为P， 求证：S四边形ABCD= 证明：AC⊥BD ∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ACB= =
解答问题： （1）上述证明得到的性质可叙述为：___________． （2）已知：如图（2），等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD且相交于点P．若AD=3cm，BC=7cm．利用上述性质求梯形面积． 【解析】（1）通过阅读本题的符号语言，图形语言，可抽象概括出结论：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．（2）由（1）得出的结论，只要求出AC、BD的长即可求出梯形ABCD的面积． 【解答】（1）性质可叙述为：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半． （2）过点D作DE∥AC交BC的延长线于E． 则有：DE=AC，CE=AD=3cm． ∵梯形ABCD是等腰梯形． ∴AC=BD，∴DE=BD ∵AC⊥BD，DE∥AC ∴DE⊥DB ∴△BDE是等腰直角三角形． ∴BD=BE×sin45°=10× ∴S梯形ABCD= 【考点精练】 1．（2005年泉州市）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出右表，此表提示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的各项系数的规律，例如： （a+b）0=1，它只有一项，系数为1； （a+b）1=a+b，它有两项，系数分别为1，1； （A+b）2=a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1； （a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1； …… 根据以上规律，（a+b）4展开式共有五项，系数分别为______．
(第1题) (第5题) 2．先阅读下列文字找规律，然后完成题后填空． 我们知道：31=3，个位数字是3；32=9，个位数字是9；33=27，个位数字是7；34=81， 个位数字是1；35=243，个数数字是3；36=729，个位数字是9…… （1）那么，37的个位数字是______；320的个位数字是______． （2）根据以上规律求：（3-1）（3+1）（32+1）（34+1）……（332+1）+1的个位数字是_____． 3．先阅读下面方程组的解题过程． 解方程组 解：①+②+③ 得 2（x+y+z）=12 即 x+y+z=6 ④ ④-①，得z=3 ④-②，得x=1 ④-③，得y=2 ∴原方程组的解为 请模仿上面的解题思想，解方程组 4．（2006年茂名市）先阅读，再填空解题： （1）方程：x2-x-12=0的根是：x1=-3，x2=4，则x1+x 2=1，x1·x2=-12； （2）方程2x2-7x+3=0的根是：x1= （3）方程x2-3x+1=10的根是：x1=____，x2=_____，则x1+x2=______，x1·x2=_______． 根据以上（1）（2）（3）你能否猜出： 如果关于x的一元二次方程mx2+nx+p=0（m≠0且m，n，p为常数）的两根为x1，x2，那么x1+x2，x1·x2与系数m，n，p有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由． 5．阅读下列内容：“矩形、菱形、正方形都是平行四边形，但它们都是有特殊条件的平行四边形．正方形是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的特殊菱形，因此我们可以用矩形、菱形的性质来研究正方形的有关问题”，回答下列问题： （1）将平行四边形、矩形、菱形、正方形填入它们所包含的关系中，如图（1）所示； （2）要证明一个四边形是正方形，可以先证明四边形是矩形，再证明这个矩形的_____相等；也可先证明四边形是菱形，再证明这个菱形有一个角是_______； （3）如图（2）所示，某同学根据菱形的面积计算公式推导出对角线长为a的正方形面积是 6．（2005年嘉兴市）某校研究性学习小组在研究相似图形时，发现相似三角形的定义、判定及其性质，可以拓展到扇形的相似中去．例如，可以定义：“圆心角相等且半径和弧长对应成比例的两个扇形叫做相似扇形”；相似扇形有性质：弧长比等于半径比、面积比等于半径比的平方……，请你协助他们探索这个问题． （1）写出判定扇形相似的一种方法：若____________，则两个扇形相似； （2）有两个圆心角相等的扇形，其中一个半径为a，弧长为m，另一个半径为2a，则它的弧长为_______； （3）如图（1）是一完全打开的纸扇，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为30cm，现要做一个和它形状相似，面积是它一半的纸扇（如图（2）），求新做纸扇（扇形）的圆心角和半径． （提示：（1）可以类比相似三角形的判定方法写出判定扇形相似的一种方法；（2）由相似扇形的性质“弧长比等于半径比”可求解；（3）由相似扇形的性质“面积比等于半径比的平方”可求出新做纸扇的半径．）
7．（2006年绍兴市）我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？ （1）阅读与证明： 对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等； 对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（证明略）． 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下： 已知：△ABC，△A1B1C1均为锐角三角形，AB=A1B1，BC=B1C1，∠C=∠C1． 求证：△ABC≌△A1B1C1．
（请你将下列证明过程补充完整） 证明：分别过点B，B1作BD⊥CA于D，B1D1⊥C1A1于D1． 则∠BDC=∠B1D1C1=90°， ∵BC=B1C1，∠C=∠C1， ∴△BCD≌△B1C1D1， ∴BD=B1D1． （2）归纳与叙述： 由（1）可得到一个正确结论，请你写出这个结论． 8．（2006年海淀区）请阅读下列材料： 问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图①，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形． 小东同学的做法是：设新正方形的边长为x（x>0）．依题意，割补前后图形的面积相等，有x2=5，解得x=
请你参考小东同学的做法，解决如下问题： 现有10个边长为1的正方形，排列形式如图④，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：在图④中画出分割线，并在图⑤的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形． 说明：直接画出图形，不要求写分析过程．
答案: 考点精练 1．1，4，6，4，1 2．（1）7，1 （2）1 3． 4．解：（3）x1= 猜想：x1+x2=- ∵一元二次方程mx2+nx+p=0（m≠0，且m，n，p为常数）的两实数根是 x1= ∴x1+x2= x1·x2= 5．解：（1）如图
（2）一组邻边，直角 （3）对角线长为a的正方形的面积S= S正方形= 解：（1）答案不惟一，例如“圆心角相等”“半径和弧长对应成比例”． （2）2m （3）∵两个扇形相似， ∴新扇形的圆心角为120°，设新扇形的半径为r，则（ ∴r=15 7．解：（1）∵AB=A1B1，∠ADB=∠A1D1B1=90°， ∴△ADB≌△A1D1B1，∴∠A=∠A1， 又∵∠C=∠C1，BC=B1C1，∴△ABC≌△A1B1C1 （2）若△ABC，△A1B1C1均为锐角三角形或均为直角三角形或均为钝角三角形，AB=A1B1，BC=B1C1，∠C=∠C1，则△ABC≌△A1B1C1 8．解：所画图形如图所示．
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