3、形式主义
一般认为形式主义的奠基人是希尔伯特，但是希尔伯特自己并不自命为形式主义者。并且，希尔伯特的思想有一个发展变化的过程，我们简单地介绍一下。希尔伯特是二十世纪最有影响的数学家，他不仅是数学上一些分支的公认权威，而且恐怕也是最后一位在几乎所有数学领域中都做出伟大贡献的全才。更重要的是，他对于数学基础问题有着长时期的持久关注，他的思想在现代数学也占有统治地位。
大卫·希尔伯特，1862年1月23日出生在东普鲁士的哥尼斯堡。他一直在家乡上学，1885年取得博士学位，1886年就任哥尼斯堡大学讲师。1888年因为解决了不变式理论中著名的“哥尔丹问题”开始在数学界崭露头角，1891年他升任副教授，1893年升任教授。1895年，他应克莱因之邀，任哥丁根大学教授，由此开辟了哥丁根大学的黄金时代。他在哥丁根大学任教至1930年退休，其间培养了各国数学家，单是他指导的博士论文就有五、六十篇。由于他的影响，哥丁根成为世界数学的中心，繁盛了三、四十年，一直到希特勒掌权后才迅速地衰落下去。晚年学生大都离开，他于1948年2月14在孤寂中逝世。
希尔伯特前期主要供献在不变式论方面。1895年左右，他写了代数数论的总结性巨著。二十世纪开始时，他的兴趣转向分析及物理学。从十九世纪末，他对数学基础做出重大贡献。为了方便起见，不妨把他关于数学基础和数理逻辑的主要著作开列如下：
1899年，《几何学基础》，本书多次宣印及再版，生前最后一版为第七版(1930年)。正文部分有中释本。
1900年，实数的公理化，以及“数学问题”
1904年，在海德堡国际数学家大会上的讲演—“论逻辑和算术的基础”
1917年，公理化思想
1922年，“数学的新基础”，以及“数学的逻辑基础”
1925年，论无穷
1927年，数学基础
1928年“数学基础问题”在意大利波洛那国际数学家大会上讲演；《理论逻辑纲要》(同阿克曼台著)，本书很快成为标准著作。1938年第二版，1949年第三版，有中译本，莫绍接译《数理逻辑基础》，1959年第四版，阿克曼做了很大的改动。
1930年，“初等数论基础”“逻辑及对自然的认识”
1931年，“排中律的证明”
1934年，《数学基础》Ⅰ；1939年，《数学基础》Ⅱ，这两本书与贝纳斯合著
从希尔伯特的著作看来，希尔伯特提出了大部分形式主义观点，但他并没有把它们绝对化。他的观点有些地方同逻辑主义、直觉主义有着共同之处。这反映出某种矛盾，应该说这种矛盾是数学家的哲学思想上的矛盾。
关于数学中的存在，他认为不限于感觉经验的存在。在物理世界中，他认为没有无穷小、无穷大和无穷集合，但是在数学理论的各个分支中却都有无穷集合，如自然数的集合，一个线段里所有点的集合等等。这种不是经验能够直接验证的对象，他称之为“理想元素”。引进理想元素的方法在数学中其实由来已久，比如代数中虚数的引进，几何中无穷点的引进，微积分中无穷小与无穷大的引进等等。但是理想元素的引进必须不把矛盾带到原来的较窄狭的领域内。由于理想元素不能靠直观经验来验证，只能靠逻辑来验证，因此合理性的唯一判据就是无矛盾性。这种无矛盾性的真理观实际上是形式主义基本论点。
但是希尔伯特并不抱这种极端和绝对的看法，他看到引进新元素往往是对于旧元素的一种扩张，所以很自然地要求扩张之后增加的新元素仍能保留旧元素的大部分基本性质，就象数的扩张仍能使加法交换律保持成立。当然这样也就在一定意义下限制了扩张的任意性，这也是因为对于搞研究的数学家来讲，引进新概念是为了需要，而不是“游戏”，所以希尔伯特还认为“需要有相应的成果”，而且这是“至高无上的裁判”。把这个标准弄进来，反而使得标准变得模糊不清。
但是在什么情况下，关于理想元素的命题为真呢？这个问题，希尔伯特不认为每个个公式都必须得到验证，每一个概念都必须得到解释，然后通过直观验证。
在1900年的《论数的概念中》，希尔伯特提议用公理化方法来代替“生成的”方法。在《几何学基础》中，希尔伯特超过解析几何选出的算术模型来证明他的几何公理的无矛盾性。这样证明的是相对无矛盾性，也就是把几何学的无矛盾性归于实数的算术公理的无矛盾性。于是他在1990年国际数学家大会上把算术公理的无矛盾性列为他那著名23个问题中的第二个。他没有指出任何解决这个问题的途径，而只是强调相对无矛盾性的证明没有问题。
不久，罗素悖论变得众所周知，从而无矛盾性问题变得更加紧迫。于是，希尔伯特在1904年在德国海德堡召开的国际数学家大会上提出第一个证明算术无矛盾性的打算。事实上，这是现代这方面研究的原型。他的草案是：要证明某些初等公式具有无矛盾性，并且推演规则传递这个性质。
在这篇题为《论逻辑和算术的伪基础》的报告开头，希尔伯特评论对于算术基础的不同看法。他认为，克洛耐克是教条主义者，因为他原原本本地接受整数及其所有重要性质，他不再深入下去探求整数的基础。德国科学家赫姆霍茨是经验主义者，按照他的说法，任意大的数不能够由我们的经验得出，因此是不存在的。另外有一些人，特别是德国数学家克里斯多弗张反对克洛耐克的观点。他们认为，要是没有无理数的概念，整个数学分析就势必要垮掉。于是他们企图找寻正面的、肯定的性质来确认无理数的存在。但是，他认为这种观点是不彻底的，因此说他们是机会主义的。这几种观点，希尔伯特都表示反对。
希尔伯特认为比较深入的观点是下面几种：一是弗雷格的逻辑主义，他把数学规则建立在逻辑的基础上；二是戴德金的先验主义，他是根据哲学上的论证来推断无穷的存在，不过他对数的论述中包含着“所有对象的集合”这类矛盾了；三是康托尔的主观主义观点，他清楚地区分“相容集”及“不相容集”。但是他没有提供明显的判据，因此缺乏客观的可靠性。
希尔伯特认为所有困难都可以通过给数的概念建立完全而严格的基础而得到克服，这就是公理化方法。1904年以后，希尔伯特把主要精力放在研究积分方程等分析问题以及物理学公理此等方面，没有发表什么数学基础方面的著作。这时，各种流派进行的激烈斗争，也不能不使希尔伯特关心。尤其是布劳威尔直觉主义的出现，他感到对于整个数学的生存和发展是个极大的威胁，于是他开始投入战斗。
从1917年起的二十多年时间里，他为了挽救古典数学竭尽全力。1917年他在苏黎世发表一篇演说，题目是“公理思想”。这篇文章全面叙述了一些与认识论有关的问题，如数论和集合论的无矛盾性，每个数学问题的原则上可解性，找出数学说明的单纯性，的标准数学中内容与形式表示的关系，数学问题通过有限步骤的可判定性问题。这些问题预示着后来数理逻辑的发展。他认为，要想深入研究就必须对数学证明的概念进行深入的研究。既然逻辑推理可以符号化，进行数学的研究，为什么证明不行呢？他提出了证明论的一般思想和目标，但是没有具体化。
希尔伯特他第一篇证明论的工作是1922年发表的，在《数学的新基础：第一篇》中，他论述如何把数论用有限方法讨论，而数学本身却一般须用超穷方法。他指出用符号逻辑方法可以把命题和证明加以形式化，而把这些形式化的公式及证明直接当做研究对象。在1922年在德国自然科学家协会莱比锡会议上，他做了《数学的逻辑基础》的演讲，更进一步提出了证明方法。要求有限主义，即经过有限步不推出矛盾来即为证明可靠，这称为希尔伯特计划。
其实早先弗雷格已经坚持认为需要有明显的符号系统，明显的公理及推演规则，明显的证明。希尔伯特定走的更远，他提出这样一种明显理论本身也做为一种数学研究的对象，且应用适当的方法来判定它是否无矛盾，这种做法一般称为元数学。
希尔伯特建议两条最基本的原则：一、形式主义原则：所有符号完全看做没有意义的内容，即使将符号、公式或证明的任何有意的意义或可能的解释也不管，而只是把它们看作纯粹的形式对象，研究它们的结构性质；二、有限主义原则，即总能在有限机械步骤之内验证形式理论之内一串公式是否一个证明。应用数学方法于这样一个形式理论，避免涉及无穷的推断，这就排除了康托尔集合论的方法。这个思想是只应用靠得住的方法，因为要证明数学或其一部分无矛盾的方法是大家公认可靠的，整个数学才有牢固的基础。
4、数学与哲学
现代的数学家大都很少关心哲学文题，甚至对基础问题一般都不闻不问。从二十世纪三十年代之后，数理逻辑成为一门极为专门的学科，象几何、拓扑、分析、代数、数论一样，成为专家研究的对象，外行简直难于理解。
这样一来，数学家与数学基础、数理逻辑，乃至数学哲学脱离的越来越远，这可以从当代一位有影响的数学家的说法看出来。布尔巴基学派主要成员丢东涅谈到：“众所周知，从十九世纪后半叶以来，数理逻辑和集合论的发展引起当时许多数学家的兴趣乃至极大的热情，他们甚至并非逻辑专家，也毫不迟疑地参与由这些问题所引起的论战。到今天，这种局面完全两样。我觉察不到当代数学界的年轻的领袖人物对于基础问题表示过程何兴趣，除非他们专搞这一行”。当然，他们也不能说没有自己的哲学。拿布尔巴基学派来说，他们就是形式主义派的极端代表。不过，他们对哲学论战不那么感兴趣罢了。
在十九世纪末，这种情况则完全不一样。哲学的论战与基础问题紧密结合在一起，成为几乎每位重要数学家的关注对象。到了二十世纪，更是有着所谓三大派──逻辑主义、直觉主义和形式主义的争论。不过这些争论问题并没有得到解决，更重要的是，它们似乎离数学问题越来越远，因此越来越失掉了指导意义。
三十年代以后，讨论数学哲学的不多论著大都是数理逻辑专家或哲学家写的。因此，他们讨论的哲学问题大都偏重于数理逻辑，而较少涉及数学本身的哲学问题。王浩在他的《从数学到哲学》—书中，谈到数学哲学讨论的主要问题：1、纯粹逻辑的本性及其在人类知识中的地位；2、数学概念的刻划；3、直觉及形式化在数学中的地位；4、逻辑与数学的关系；5、数学的本性及其与下列诸概念的关系，必然性、分析性、真理性、先验性、自明性；6、数学在人类知识中的地位；7、数学活动及实际。
显然这些问题都是数理逻辑专家感兴趣的题目。但是在过去，数学哲学的题目比这更广泛、更一般。我们列举几条：1、数学的对象以及它们与现实世界(或实在)的关系；2、(由此产生的)数学中的“存在”，乃至无穷的意义；3、数学活动的本质是发现还是发明；4、数学的真理性、绝对性、相对性、约定性；5、真理的判断标准；6、数学与逻辑的关系；7、数学的方法论，公理化与形式化。
数学作为人类知识体系的一部分，不能不直接或间接和人类社会实践活动有关。在长期实践过程中，人们进行计数、计算、测量、造型(建筑)、产生出算术、代数、几何等方面数学知识。随着人类认识的深入，形成了数学的体系，它的内容主要是符号化、计算方法、概念与规律性、证明推理。
到了十九世纪七十年代，数学内容进一步发生变化：集合论成为统一数学的新基础，数理逻辑的形成、公理化运动、数学结构、抽象数学概念指数增长。在这种情况下数学内容与其实际背景脱离越来超远，从局部看来仿佛是从天上掉下来的，这就导致数学对象的唯心主义理解。
关于数学的对象有三种观点：实在论、观念论、形式主义，实在论观点是说数学命题反映我们物理世界最普遍的性质。这种观点比较古老，很长时期占统治地位。按照这种观点，数学是物理科学的一部分。
观念论的数学观认为数学的对象是某种精神或思想对象。观念论按照对象的性质又可以区分为各种观点：一个极端是柏拉图主义，它把经典数学的对象无穷扩张也有其现实性；另一个极端是直觉主义，数学对象是先验的一时的直觉过程。
这种观念论的数学观也遭到批评，一是不确切，二是另有形而上学的假定，而数学应该除掉形而上学前提条件。拿直觉主义来讲什么是“直觉”呢？很难讲清。不过，它们有这样的性质：1、它本质上是一种思维活动；2、它是先验的；3、它不依赖于语言；4、它是客观的，也就是对于所有思想者都是同样的。
形式主义的数学对象是形式系统，形式系统与以上两种数学观的对象不同，它只是一个架子，指定一些对象而不管其意义如何，然后由对象按照一定规则组成项，并规定由项组成的一些原始话题的方式，再指定一些原始命题称为公理及推演规则。数学的对象就是这样构成的形式系统，其主要任务就是由这些对象推出定理来。从某种意义上来讲，形式主义的数学就是符号游戏。
从上述几种观点看来，持实在论及柏拉图主义观点的人认为数学是不依赖于人们对它的认识而存在，因而具有绝对真理的性质，所以数学家的工作就在于发现这种真理。但是直觉主义者和形式主义者则认为数学家的工作在于发明。当然，人们是不可能凭空发明任何东西的。对于直觉主义者来讲，总是承认自然数是给定的，至于别的就是人们从自然数出发的发明。
形式主义者的形式系统虽说可以任意选出，但是终究在发明过程中也仰赖于经验及过去的知识，或者说是从客观世界中归纳出来的。要不然，那就的的确确是游戏了。
不过直觉主义的发明和形式主义的发明完全不同。直觉主义的发明不是任意的，而是必须能够具体选出来，也就是从自然数经过有限多步写出来。他们主张，要证明一个数学对象存在，必须指出这个对象是怎样造出来的。这种观点可以远溯到德国著名哲学家康德，他认为数学最终的真理性在于数学概念可以通过人的智慧来构造。
由于对数学对象的观点不同，所以对于数学命题的真假以及数学的可接受性也有不同的看法。一门数学是否被大家接受往往不只是靠真、假，而且还有许多其他因素，特别是是否有直观或经验的依据，以及实用性。当然最重要的是真假，不过各派的真理观距离实在太远。
对于实在论者，数学命题的真假靠实践检验。它正如物理学及生物学命题一样，靠观察实验。比如高斯的确实实在在地在地球上找三点，具体测量三角形内角之和是否为180°。对于观念论者，数学命题的真假要靠先验的假定。
对于形式主义者，数学命题无所谓绝对真假，而是相对于某一个系统，但是这个系统必须是无矛盾的，无矛盾性是真理的判断标准。
产生最大矛盾之处是关于无穷的概念。在有穷的问题上，各派的对立没有那么尖锐，它主要是数学中到处出现的无穷造成的。在古希腊，关于无穷可分性没连续性的芝诺悖论使数学家对无穷特别小心。欧几里得的无穷是潜在的无穷，他不讨论无穷长的直线而只讨论可以延伸到任意长度的线段。他对无穷观念表现在“素数无穷多”是指任何有限多素数集台之外还有素数，而不考虑所有素数的无穷整体。数学家一直回避这种实在的无穷。一直到康托尔集合论之前，他们都局限于潜在的无穷，这就是超越过所有有限的变化着的有限。
而实在的无穷则分为三类：1、绝对的实在无限，完全独立的、超越世界而存在的，在神中实现的绝对的实无穷；2、超穷，现存世界或被造世界中具体化的无穷；3、超穷数，人仍所认识的抽象的实在的无穷。
依据对超穷和超穷数的见解，可以区分为下面四种观点：1、完全否认超穷和超穷数，如柯西；2、承认具体的实在无穷，但否认抽象的实在无穷，例如笛卡尔、莱布尼兹、洛克、斯宾诺莎都持这种看法；3、神学的观点，承认抽象的实在无穷而否认具体的实在无穷，也就是显示上帝的伟大，只有上帝才是无穷的，而他所创造的世界只能是有限的；4、康托尔的观点是既承认抽象的实在无穷，也承认具体的实在无穷，康托尔的观点中有柏拉图 主义的成份，他不是形式主义者。
