|
【教学设计】
一、内容和内容解析
1．内容
变量与函数（人民教育出版社《义务教育课程标准实验教科书`·数学》八年级上册第十四章第一节第一课时）。
2．内容解析
函数是近代数学最基本的概念之一，在数学发展过程中起着十分重要的作用，许多数学分支（如代数、三角、解析几何、微积分、实变函数、复变函数等）都是以函数为中心展开研究的。
在中学数学中，函数起着主导作用，处于核心地位。作为初中数学四大学习领域之一的数与代数，其“四大主干”——数、式、方程（不等式）、函数都可以用函数来 “统帅”：数集的发展是为函数的定义域和值域研究作准备的；“式”是函数关系的重要表达形式，“式”也可以看作是关于式中某个（或某些）字母的函数；方程或不等式的解集则可以理解为使左右两个函数值相等或不等的公共定义域的子集。高中数学的许多内容都与函数密切相关，譬如，数列是以自然数集或其子集为定义域的函数；微积分初步研究内容主要是初等连续函数的一些性质；解析几何研究的曲线与方程其实是一类隐函数。
初中阶段的函数概念是从运动变化和联系对应的角度加以定义的，即函数概念的“变量说”（高中阶段为“对应说”、大学阶段为“关系说”），这个定义对一个变化过程中的两个变量之间的关系进行了描述，因此，首先应明确什么是变量，什么是常量。在此基础上，揭示函数概念的内涵：在同一变化过程中的两个变量之间存在这样的关系——一个变量的变化会引起另一个变量也随之变化，而且这个变化之间存在单值对应的关系。
“变量、常量”蕴含着分类的思想，“函数” 蕴含着变化的思想和对应的思想。
教学重点：函数的概念．
二、目标和目标解析
1．目标
（1）了解变量、常量的概念；
（2）了解函数的概念。
2．目标解析
（1）通过简单实例，说出变量、常量的意义；
（2）在具体问题情境中，能识别变量与常量，体会分类思想；
（3）经历函数概念的形成过程，体会变化与对应的数学思想，感悟事物之间相互联系并不断运动、变化、发展的哲学思想；
（4）能结合具体实例判断两个变量之间是否存在函数关系。
三、教学问题诊断分析
函数概念具有内容的概括性、符号的抽象性、形式的多样性等特点，所以函数概念一直是中学数学教学的难点。尤其是对初中生来说，第一次接触函数概念时会感到十分困难。
一方面，函数作为从数量角度反映变化规律的数学模型涉及到很多复杂的层次和许多相关的上位概念，这将直接导致学生在概括函数概念时出现障碍。其中复杂的层次主要包括：（1）在一个“变化”过程中；（2）存在“两个”变量；（3）这两个变量具有一定的“联系”；（4）一个变量的变化会引起另一个变量也“随之”变化；（5）这个变化之间存在“单值对应”的关系。相关的上位概念主要有变量、对应、唯一、确定等。
另一方面，函数概念难以形成的原因是学生的认知准备不足。在学习函数概念之前，学生接触的基本上是常量数学的内容，是静态的数学知识。而函数研究的是变量与变量之间的关系，其特征是变化的、发展的、处于两个量的相互联系之中的。因此，了解函数的概念，需要学生的思维经历一个飞跃的过程，这个过程需要达到辨证思维的形态。然而，此时学生的辨证思维水平还处于不很成熟的时期，这个矛盾是函数概念学习中一切认知障碍的根源。
教学难点：函数概念的抽象与概括。
四、教学过程设计
（一）创设情境 导入新课
引言：我们生活在一个充满变化的世界里。以大家的成长经历为例，从小学到初中，我们年龄增长了、身体长高了、体重增加了、知识增多了、┅┅。同学们，你们还能举出在一个变化过程中不断变化的量的例子吗？
（学生发言）
看来，在我们日常生活中到处存在着变化过程中的变化的量，因此，要想了解客观世界，就离不开研究这些量。下面，我们首先来学习与此相关的知识。
设计意图：通过丰富的实例，让学生感受到生活中处处存在变量，体会学习变量的必要性。
（二）探索新知 尝试发现
教师依次呈现下列问题。
问题1 汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时，请填下面的表格，指出题中有哪些量，并用含t的式子表示s．
问题2 某地在24小时内的气温变化图如下，图中有哪些量？
问题3 在一根弹簧的下端悬挂重物，弹簧原长为10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，设重物质量为m kg，受力后的弹簧长度为lcm。在弹性限度内，怎样用含m的式子表示l？请指出题中有哪些量。
设计意图：通过三个简单而熟悉的例子，引导学生在分化和类化各题的特征中发现这样的事实：在一个变化过程中，存在数值发生变化的量和数值始终不变的量。进而为抽象、概括出变量和常量作铺垫；另外，三个问题中变量之间的关系分别用表格、图象和解析式的方式呈现，为后续学习函数的三种表达形式埋下伏笔。
说明：部分学生在回答问题3时可能会出现认知障碍，教师可以借助多媒体启发学生由特殊到一般寻找规律。对于学生回答不完整、表述不准确的地方，教师及时予以补充和纠正。
问题4 针对上述三个问题，请同学们为这些量进行分类，并指出你的分类标准。
设计意图：在反复观察、反复比较、反复分析中，抽象、概括出变量和常量的本质属性，体会分类思想。
说明：在学生分类，并指出分类的标准后，教师引导学生概括共同属性，得出变量和常量的定义。
问题5 在前面研究的三个问题中，哪些量是变量？哪些量是常量？请你再列举一些日常生活中的变化过程的实例，并指出其中的变量和常量。
设计意图：让学生“再认识”前面研究的问题，并联系生活列举实例，进一步体会变量和常量的意义，感受数学的应用价值。
（三）反思提炼 归纳定义
问题6 问题1、问题2和问题3中都分别有两个变量，那么，在同一个问题中的两个变量之间有没有联系呢？若有联系，又有怎样的联系呢？
设计意图：通过对三个具体问题中两个变量之间联系的研究，让学生在观察、比较、抽象、概括等数学活动过程中，经历函数概念的形成过程，体会变化与对应的思想。
说明：学生在独立思考后进行小组交流，此时，教师也参与学生的活动之中，了解各小组的讨论情况，并适时点拨。然后小组汇报讨论结果，全班学生一起交流，并抽象、概括三个问题中变量与变量之间关系的共同属性，即（1）在一个“变化”过程中；（2）存在“两个”变量；（3）这两个变量具有一定的“联系”；（4）一个变量的变化会引起另一个变量也“随之”变化；（5）这个变化之间存在“单值对应”的关系。
教师用规范的数学语言表述函数的概念，并介绍与函数有关的概念。
在此过程中，教师要引导学生反复观察、反复比较、反复分析每个具体问题中的两个变量之间的关系，从中发现其共同属性，概括出两个变量究竟是“怎样联系”的。并重点强调几个关键字——“每”、“确定”、“唯一”、“对应”的含义，同时举出反例进行辨析。
例如，“每”字包含两层意思：其一是“任意”，即在一个变化过程中（即在定义域内）“任意”给出x（即自变量）一个值，y都有唯一确定的值（即函数值）与其对应；其二是“所有”，即“取尽”变化过程中（即在定义域内）的“所有”的值，y都有与其相对应的唯一确定的值（即函数值）。在解释“每”的含义时，要结合三个具体问题尽可能多地取x（即自变量）的值，使学生真正领会其内涵。同时，举出反例，深化对函数概念的认识。如举出反例：若变量x为实数，在将x取倒数（即y为x的倒数）的过程中，由于0的倒数没有意义，所以当x取0时，没有相应的y与之对应，此时y不是x的函数。
问题7 在前面研究的几个问题中，哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？你能再列举一些函数的例子吗？请指出其中的自变量及自变量的函数。
设计意图：通过“具体——抽象——具体”的过程，进一步加深对函数概念的认识，体会函数是刻画现实世界变化规律的重要数学模型。
（四）练习运用 反馈纠正
1．下图是某物体的抛射曲线图，其中s表示物体与抛射点之间的水平距离，h表示物体的高度．
（1）这个图象反映了哪两个变量之间的关系？
（2）根据图象填表：
（3）当距离s取0米至6米之间的一个确定的值时，相应的高度h确定吗？
（4）高度h是距离s的函数吗？
2．下列式子中，y是x的函数吗？为什么？
3．下列曲线中，哪个表示y是x的函数？为什么？
设计意图：遵循学生的认知规律，多角度、多层次地设置习题，提高学生对概念核心的理解程度。
练习1通过再现函数概念的形成过程，进一步巩固变量与函数的概念，体会变化与对应的思想。
练习2、练习3通过变式练习，进一步明确概念的内涵和外延，突出函数概念的本质属性。
（五）交流悟理 归纳小结
1．通过本节课的学习：
（1）对自己说，你有哪些收获？
（2）对同学说，你有哪些温馨提示？
（3）对老师说，你有哪些困惑？
设计意图：创设反思情境，搭建交流平台，体现人文关怀。
说明：学生从不同的角度、不同的侧面畅谈自己的感受。在反思和交流之中，引发深层次的思考，促进思维品质的优化。
2．布置作业：
（1）举出3个日常生活中的函数的例子，并指出其中的自变量及自变量的函数；
（2）教材99页练习题，107页第6题。
五、目标检测设计
1．写出下列各题中的关系式，并指出其中的常量与变量：
（1）圆的周长C与半径r的关系式；
（2）n边形的内角和S与边数n的关系式；
（3）火车以60千米/时的速度行驶，它驶过的路程s（千米）和所用时间t（时）的关系式．
2．学校食堂现库存粮食21000千克，平均每天用粮食200千克．
（1）5天后库存粮食多少千克？
（2）若食用的天数为x，库存粮食为y(千克)，试用含x的式子表示y；
（3）y是x的函数吗？为什么？
设计意图：对本节重点内容进行现场检测，及时了解教学目标的达成情况。
【反思】从数学思想方法的高度进行概念教学
数学思想方法是对数学的知识内容和所使用方法的本质的认识，它是形成数学意识和数学能力的桥梁，是灵活运用数学知识、数学技能和数学方法解决有关问题的灵魂。日本数学教育家米山国藏在《数学的精神、思想和方法》一文中曾写道：学生在初中、高中等所接受的数学知识，因毕业进入社会后几乎没有什么机会应用这种作为知识的数学，所以，通常是出校门后不到一两年便很快就忘掉了。然而不管他们从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神，数学的思维方法、研究方法、推理方法和着眼点等都随时随地发生作用，使他们受益终身。因此，在概念教学中，我们不仅要在揭示概念的内涵上下功夫，而且还应该追求解决问题的“根本大法”——基本概念所蕴含的思想方法，要从数学思想方法的高度进行概念教学。否则，如果仅仅将数学概念作为一般知识，而忽视数学概念本身所蕴含的思想方法对提高学生数学素质的作用，那么数学教学的价值必将黯然失色。
在函数概念的教学中，应突出“变化”的思想和“对应”的思想。
从概念的起源来看，函数是随着数学研究事物的运动、变化而出现的，它刻画了客观世界事物间的动态变化和相互依存关系，这种关系反映了运动变化过程中的两个变量之间的制约关系。因此，变化是函数概念产生的源头，是制约概念学习的关节点，同时也是概念教学的一个重要突破口。当学生面对问题1中s=60t的时候，虽然对于每个给定的t的值，他们都能计算出与之对应的s的值，但此时绝大多数学生只是将这一行行的式子当作孤立的算式，将一个个数值简单地填入表中，其目的只是运用关系式算出答案，而并没有真正体会到在这个过程中变量t的变化将引起变量s也随之变化。所以，教师要通过大量的典型的实例，尽可能多地取自变量的值，得到相应的函数值，让学生反复观察、反复比较、反复分析每个具体问题中的量与量之间的变化关系，把静止的表达式（或曲线、表格）看作动态的变化过程，让他们从原来的常量、代数式、方程和算式的静态的关系中逐渐过渡到变量、函数这些表示量与量之间动态的关系上，进而使学生的认识实现由静态到动态的飞跃。
从概念的本质上看，函数是一种特殊的对应——单值对应。对于“对应”，学生并不陌生。譬如，小学乘法运算中2的乘法公式，被乘数取1、2、3、4、5、6、7、8、9时，即可得到乘积2、4、6、8、10、12、14、16、18，此时学生对乘积与被乘数的“对应”关系已有一些朦胧的认识。到了初中，在学习函数概念之前，教材已渗透了“对应”的思想，如绝对值是实数到非负实数的对应（而且是单值对应），有理数到数轴上的点是对应（而且是单值对应），实数与数轴上的点是一一对应（此时教材正式使用“对应”术语）。由于学生对“对应”的思想已有一些初步的认识，因此，在函数概念教学时，教师应通过具体实例的分析让学生进一步“感受”对应的思想，使其由“感受”向“领悟”靠近。同时，还应当通过非概念变式让学生明确函数中“对应”是“单值”对应，即只有“唯一”确定的变量y与变量x对应。
|
“变量与函数”教学反思
|
|
|
|
|
|
民航广州子弟学校 林俊伟
|
|
|
|
|
在沈阳抚顺的研讨会上，本人承担了《变量与函数》的教学任务．之前，我分别在本校与广州开发区中学分别上了一堂课．三节课，是一个实践、反思、改进、再实践的过程．经过课题组的点评与讨论，本人对概念课的教学设计与教学实践有了更深入的了解．
本设计呈现的课堂结构为：（１）揭示学习目标；（２）引入数学原型；（３）抽象出数学现实，逐步达致数学形式化的概念；（４）巩固概念练习（概念辨析）；（５）小结（质疑）．
１、如何揭示学习目标
概念课的引入要考虑学生关心的如下问题：这节课学什么概念？为什么要学这样的概念？
数学源于生活而高于生活，数学概念的引入可从生活的需要、数学的需要等方面引入．初中涉及的函数概念的核心是“量与量之间的特殊对应关系”．本课中，本人在导言中提出两个问题：“引例1，《名侦探柯南》中有这样一个情景：柯南根据案发现场的脚印，锁定疑犯的身高．你知道其中的道理吗？”、“引例2.我们班中同学A与职业相扑运动员，谁的饭量大？你能说明理由吗？”学生对上述问题既熟悉又感到意外．问题1涉及两个量的关系，脚印确定，对应的身高有多个取值；问题2涉及多个量的关系．上述问题，不仅仅是引起学生的注意，更重要的是让学生了解客观世界中量与量之间联系的多样性、复杂性，而函数研究的正是量与量之间的各种关系中的“特殊关系”．数学研究有时从最简单、特殊的情况入手，化繁为简．让学生明确，这一节课我们只研究两个量之间的特殊对应关系．“特殊在什么地方？”学生需带着这样的问题开始这一课的学习．
函数概念的引入应具有“整体观”，不仅要提供符合函数原型的单值对应的实例，还应提供其他的量与量之间关系的实例（如多个量的对应关系、两个量间的“一对多”关系等），使学生在更广泛的背景中经历筛选、提炼出新的数学知识的过程，逐步领悟“化繁为简”的数学研究方法．当然，这里的问题是作为研究“背景”呈现，教学时应作“虚化”处理，以突出主要内容．
２、如何选取合适的数学原型
从数学的“学术形态”看，数学原型所蕴藏的数学素材应与数学概念的内涵相一致；从数学的“教育形态”看，数学原型应真实、简洁、简单．真实指的是基于学生的生活现实、数学现实，它可以是生活中的实例，也可以是学生熟悉的动漫故事、童话故事等．简洁、简单指的是问题的表述应简洁，问题情境的设置要尽可能简单，全体学生对情境中的问题不应存在太大的理解困难,设计的问题情境要能突出将要学习的新知识的本质．
本设计采用了三个数学原型的问题：问题1，“票房收入与售出票数问题”（可用解析式表示）；问题２，成绩登记表中的一次数学测试的“成绩与学号问题”（表格表示）；问题3，“气温变化与时间问题”（图象表示）．这三个问题从不同层面、不同角度体现函数的“单值对应关系”，也都是学生生活中的真实问题，问题简单易懂，学生容易基于上述生活实例抽象出新的数学概念．
由于不少学生在理解“弹簧问题”时面临列函数关系式的困难，可能冲淡对函数概念的学习，故本节课没有采用该引例。
对于繁难的概念，我们更应注重为学生构建学生所熟悉的、简单的数学现实，化繁为简、化抽象为形象．过难、过繁的背景会成为学生学习抽象新概念的拦路虎．
３、如何引领学生经历数学化、形式化的过程
“数学教学是数学活动的教学”，面对抽象的数学内容，老师会想方设法创设易于学生理解的数学情境．但如何从具体的实例中提炼出数学的素材、形式化为数学知识是教学的关键环节．从具体情境到数学知识的形式化，需要教师为学生搭建合适的“脚手架”，提出能引发学生思考、过渡到数学形式化的问题．本人在学生完成问题情境的几个问题后，提出系列问题“上述几个问题中，分别涉及哪些量的关系？哪些量的变化会引会另一个量的变化？通过哪一个量可以确定另一个量？”
在与学生的交流过程中把重点内容板书，板书注重揭示两个量间的关系，引领学生经历数学概念的形成过程，引导学生认识为什么要引进变量、常量．由问题1~3的共性“单值对应关系”与“脚印与身高”问题中反映的“一对多关系”进行对比抽象出函数的概念，逐步了解如何给数学概念下定义，并理解概念的本质特征．
４、如何引用反例
学生对概念的理解需要经历一个从模糊到清晰的过程，通过正例与反例的对照，才能准确理解概念的内涵．反例引用的时机、反例的量要恰到好处．过早、过多的反例会干扰学生对概念的准确理解．
概念生成的前期提供的各种量的关系中的实例提供的是一个更为广泛的背景，让学生经历从各种关系中抽象出“特殊的单值对应关系”，从而体会产生函数概念的背景．这样的引入有利于避免概念教学中“一个定义，三点注意”的倾向．
在本校上课时，从“气温问题”中的函数图象引导学生发现时间t取定一个值时，所得T的对应值只有一个,学生习惯性地提出问题“温度T取定一个值时，时间t 是否唯一确定？”全体同学从正反两个方面认识“唯一确定”的含义，在这样的基础上再归纳出函数的定义，学生较好地掌握函数中的单值对应关系．
在广州开发区中学上课时，在概念的形成前期，忙中出漏，没有抓住“气温问题”中的函数图象讲解“唯一确定”，特别是没有从反面（温度T=8，时间t=12~14）帮助学生理解“唯一性”，也没有强化“脚印与身高”反映的“一对多关系”，只在涉及“单值对应关系”的实例基础上引出概念，也跳过后面提到的三个反例，学生在后面的概念辨析练习中错漏较多，为纠正学生的理解花了九牛二虎之力．
在抚顺上课时，在完成例1、例２的教学后，还用到如下反例：问题２变式“在这次数学测试中，成绩是学号的函数吗？”、问题３变式“北京春季某一天的时间t是气温Ｔ的函数吗？”、练习2（３）变式“汽车以60千米/秒的速度匀速行驶，t是s的函数吗？”，学生借助这三个逆向变式，根据生活经验理解“两个量间的对应关系”是否为“单值对应关系”，有利于学生明确“由哪一个量能唯一确定另一个量”，从而更好地理解自变量与函数的关系，更重要的是让学生养成逆向思维的习惯．
| 数学思想是数学的灵魂，数学逻辑是数学的基础 |
|
| 作者：佚名推荐郑大明 文章来源：百度网 点击数：
45 更新时间：2010-10-30 |
|
《数学课程标准》（实验稿）中指出：“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能，数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。”数学知识本身是非常重要的，但它并不是唯一的决定因素，真正对学生以后的学习、生活和工作长期起作用，并使其终身受益的是数学思想方法。未来社会将需要大量具有较强数学意识和数学素质的人才。因此，向学生渗透一些基本的数学思想方法，是未来社会的要求和国际数学发展的必然结果。我们教师要更新观念，努力挖掘教材中可以进行数学思想渗透的各种因素，对学生进行数学思想的渗透。同时数学思想的渗透也不是一朝一夕就能看到学生数学能力的提高，而需要一个循序渐进的过程，需要我们教师坚持不懈的努力。
所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识；基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展着的。通过数学思想的培养，数学的能力能才会有一个大幅度的提高。掌握数学思想，就是掌握数学的精髓。
１．化归的思想
所谓化归的思想是指将未知解法或难以解决的问题，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，化归为在已知知识范围内已经解决或容易解决的问题的思想方法。化归思想就是化未知为已知,化繁为简,化难为易，除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程。化归的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程。数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化等，故化归的思想是将未知的，陌生的，复杂的问题转化为已知的，熟悉的，简单的问题。化归思想是数学中最普遍使用的一种思想方法，它的核心是以可变的观点对待所要解决的问题进行变形。就是在解决数学问题时，不是对问题进行直接进攻，而是采取迂回的战术，通过把要解决的问题，化归为某一个已经解决的问题，从而求出原问题的解决。其基本思想是：将待解决的问题甲，通过某种转化过程，归结为一个已经解决或者比较容易解决的问题乙，然后通过乙问题的解答返回去求得原问题甲的解答。它的基本形式有：“化难为易、化生为熟、化繁为简、化整为零、化曲为直等。
２．类比的思想
所谓类比的思想是指由已知两类事物具有某些相似性质，从而推断它们在其他性质上也可能相似的推理形式。类比是一种在不同对象之间，或者在事物与事物之间，根据它们某些相似之处进行比较，通过联想与推测，推出它们在其他方面也可能相似，从而去建立猜想与发现规律的方法，通过类比可以发现新旧知识的相同点，利用已有的知识来认识新知识。类比可以发现知识的共性，找到知识的本质；没有类比，就无法归类，无法迁移，但也必须注意，类比得出来的不一定都对，还必须予以验证。
一般来说，通过类比可以推而广之，减少重复计算量以及记忆量。当两个或多个事物需要归类、对比、迁移的时候均可考虑运用类比的思想。
３．赋值的思想
所谓赋值的思想是指将数量关系中位置的量赋予一个字母或一个或几个具体的数值，从而使得所赋的字母或数值能和已经量一起建立联系或参与运算的数学思想方法。赋值的思想一般多在符号化的过程中运用较多，或当一种情况需要有特殊到一般的时候以及理解一些定理公式的时候可以赋予一些较小的具体值通过不完全归纳从而建立理解。
一般来说，赋值的思想的逻辑基础是“我不知道你是谁，所以就设你为a”，为了表述方便以及展示数量关系，均可考虑运用赋值的思想。
４．公理化的思想
所谓公理化的思想是指运用一些公式、定理、性质、概念、规律等去经历理解题意或解答数量关系直至求解问题的过程的思想方法。
一般来说，有些题目的解答需要相关的数学知识与基本公式概念的时候，可以考虑运用公理化的思想去求解。
５．整体化的思想
所谓整体化的思想就是把握题目中条件和结论的关系，从全局出发，从整体特征思考并求解问题，从而促使问题解决的思想方法。整体化的思想主要有：1、从整体上看；2、化整为零；3、积零为整（整体代入，整体抵消）等。对数学问题的观察和分析从宏观和大处着手，整体把握让学生全面地、从全局上考虑问题的习惯，不只是看到数学问题的每个局部，而且能看到整体和局部的关系，整体化的意识有助于学生处理问题时，形成全局观念，多方面研究问题，避免片面性。 整体化的思想从问题的整体性质出发，发现问题的整体结构特征，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。整体代入、整体运算、整体赋值、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在数学问题中的具体运用。
一般来说，当出现一些题目局部之间不存在数量关系时可以考虑从整体上进行把握、类比与联系，或者出现“积”、“和”“整体符号时（如￣￣）”可以考虑化整为零，或者出现需要把一个比较紧密的部分看作一个整体时，均可以考虑运用整体化的思想方法。
６．方程的思想
所谓方程的思想是指在求解数学问题时，从题中的已知量和未知量之间的数量关系中找到相等关系，用数学符号化的语言将相等关系转化为方程（组）或不定方程，然后解方程（组）或不定方程从而使问题获解。方程思想就是从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的问题中已知量和未知量这间的数量关系转化为方程，从而使问题得到解决。当一个问题可能与某个方程建立关联时，可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题。把未知数当已知数，让所设未知数的字母和已知数一样参加运算，这种思想方法是数学中常用的重要方法之一，是代数解法的重要标志，与算数方法相比，更体现顺向思维与逻辑推理的特质。
一般来说，当理解题意的过程中有明显的符号化的等量关系的时候均可以考虑将某个未知量予以赋值或代换赋值从来与已知量之间建立一种等式后用方程的思想方法求解。
７．分类讨论的思想
所谓分类讨论的思想是指当一个问题因为某种量的情况不同而有可能引起问题的结果不同时，需要对这个量的各种情况进行分别分析的思想方法。在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，分类讨论是一种逻辑方法，也是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略。引起分类讨论的因素较多，归纳起来主要有以下几个方面：（1）由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论；（2）由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨论；（3）由于图形的不确定性引起的讨论；（4）由于题目含有字母而引起的讨论。 一般来说，“我不知道你是谁，但我知道你的范围”，可以考虑适用分类讨论的思想一一予以讨论求解，或者一道题比较复杂的时候需要分成几个方面或几个步骤分别分析，均可以考虑运用分类讨论的数学思想。
８．数形结合的思想
所谓数形结合的思想是指在研究问题的过程中，由数思形，由形思数，把数与形结合起来分析问题的思想方法。一般常用画线段图、示意图以及实物演示等方式体现题中的数量关系，从而使我们更加形象、更加直观地理解题意或问题以及数量之间的联系。它的运用，往往展现出“柳暗花明又一村”般的数形和谐完美结合的境地。华罗庚先生曾作过精辟的论述：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少直觉，形少数时难人微，数形结合百般好，隔裂分家万事非。切莫忘，几何代数统一体，永远联系切莫离。”
由“形”到“数”的转化，往往比较明显，而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识。因此，数形结合的思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化。
一般来说，在理解题意的过程中，如果能够将数量关系转化成线段、示意图或实物演示的时候，均可以考虑适用数形结合的思想方法。
９．函数的思想
所谓函数的思想是指以函数概念为依托（并不是涉及函数），通过抓住数量关系中不变的量从而即刻联系出另外变化的量之间具体问题中变量与变量之间的关系的数学思想方法。函数的思想是对运动变化的动态事物的描述，体现了变量数学在研究客观事物中的重要作用。
一般来说，在计算三角形的面积时，根据高相同（不变量），马上可以运用函数的思想推出面积与底边（变化的量）成正比；在计算行程问题时，根据时间相同（不变量），马上可以推出路程与速度（变化的量）成正比等，而这种需要构造一种数量之间的变化联系的情形下时，均可以考虑运用狭义的函数的思想方法。
１０．转化的思想
所谓转化的思想是指我们在解题中的困难，一般来说，都是或由于这个问题比较复杂，或由于这个问题不太熟悉。当你遇到较复杂或者你从未见过的一些题目时，一定别害怕，仔细分析，往往能把问题转化成另一种你所熟知的问题，变换其叙述的方式，或改变思考的角度，或把它转化成另一种你所熟悉的问题，从而使问题获得解决。小学教学中应用转化思想解决数学问题的形式有：化整为零、化曲为直、化生为熟、化静为动、由此及彼等。
一般来说，转化有分数转化成小数，除法转化成乘法，直接求转化成间接求，不同转化成相同，生活问题转化为数学问题，代数问题转化为几何问题，应用问题转化为数论问题等。一般当思维出现卡壳无法用普通思路进行分析的时候都可以考虑运用转化的思想方法打开思维。
对应的思想：
所谓对应的思想是指在点与点之间、点线与面体之间、数量关系之间（包括量倍、量率）建立一种直接联系的数学思想。小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。如直线上的点（数轴）与表示具体的数是一一对应。一般用的比较多的时候是用乘法与除法体现单量与数量以及总量之间的对应关系以及周期性的对应。
一般来说，当两个数量之间存在一种总量与单量、总量与数量以及数量与单量之间的联系时，或出现周期性变化规律的时候均可考虑用对应的思想方法求解。
１１．符号化的思想
所谓符号化的思想是指贴着题意用符号化的语言(包括字母、数字、图形和加减乘除等号括号等各种特定的符号)来描述数量关系的思想方法。如数学中各种数量关系，量的变化及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式表达大量的信息。如定律、公式等。数学符号大致分为：数学符号、运算符号、关系符号和计量符号等四大类。在教学要重视培养学生符号化的思想，让学生从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换。
一般来说，在理解题意的时候，应贴着题意走将数学语言尽量转化成符号语言，从而使得数量关系更加简洁明了，为对题目进行逻辑分析打下基础，具体来说如果在题目中能够用一些运算符号（如加减乘除号、等号、方框、问号等）表示数量关系，可以考虑用符号化的思想。
１２．极限的思想：
所谓极限的思想在小学数学中一般是指用最大（多）或最小（少）的思维方式去分析题目之间的数量关系的一种思想方法。小学生在解决数学问题时，要渗透从有限中认识无限，以精确中认识近似，从量变中认识质变的极限思想。
一般来说，当题目中需要构造一种符合条件的范围时，以及需要讨论一种可能时，把最好（最多、最大）的与最不利（最少、最小）的情形考虑到的时候，可以考虑运用极限的思想方法。
１３．代换的思想：
所谓代换的思想是指将一个数量用另一个数量代入置换，从而将几个不同的数量统一置换成一个数量使得问题逐一得到解决的数学思想方法。代换的逻辑基础是如果不代换就会出现两个以上的未知量的情况，不利于问题的解决。
一般来说，当两个以上的数量存在数量关系时，均可以考虑用代换的思想方法求解。
１４．逐步调整的思想
所谓逐步调整的思想是指从小到大、从少到多或反之逐一进行推算或调整，一步一步接近问题或限定条件的一种十分常见的数学思想方法。
一般来说，当一个问题的解决不能一步到位，或所求的问题需要逐步逼近地时候，均可以考虑运用逐步调整的思想方法。
１５．构造的思想
所谓构造的思想，就是根据题目的已有条件，在思维中构造一种新的数学形式，如构造一种等量关系式，构造一种联系，构造一种理想状态，构造一种符合条件的情形，构造一个条件或式子，构造一种图形或线段或抽屉等。
一般来说，当题目中缺少一种联系或题目要求我们去建立一种可能的时候，均可以考虑运用构造的数学思想方法。
１６．枚举的思想
所谓枚举的思想是指根据题意将所有的可能情形通过树形图或列表以及标数法等一一列举出来。枚举也叫列举，它可以将一些具体的数量清晰地、直观地展示出来，从而为归纳或类比打下基础。
一般来说，问题在要求有“多少”或“几个”等字眼的时候，以及有时题目需要贴着题意走将题目中的具体数量列举出来的时候均可以考虑运用枚举的思想方法。
１７．归纳的思想
所谓归纳的思想是指当题目用“枚举”的思想方法不能穷尽所有的可能时或存在周期性变化规律的时候需要我们把重点放在寻找规律以及周期性变化特征上的这种由特殊到一般的思想方法。由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理称为归纳推理(简称归纳),简言之,归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理，由一般到特殊，是人们认识世界的基本方法之一。数学研究也不例外，由特殊到一般的研究数学问题的基本认识过程，就是数学研究中的特殊与一般的思想，在小学数学中笔者简称归纳的思想。
一般来说，归纳的思想运用的逻辑基础一般是有省略号“┅”或计算量比较大的地方可以考虑运用归纳的思想。
|
|
|
|
