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彩票中的数学知识 自从彩票面市以来，它已经成为全国各地一大热点。而电脑彩票尤其受人欢迎，因为它与以前的一些所谓的传统型彩票相比，诱人之处也许在于它允许彩民们自己选择号码，使彩民感到能够自己掌握命运和获得财富。而为了准确地选择号码，一些掌握统计和数学理论的人士纷纷把他们的理论知识和彩票的实际情况结合起来，试图在五百万的顶峰插上他们的旗帜，当然获得成功的只是极小的一部分人。正是这些人的成功，使别人认识到掌握彩票中的数学知识的重要性。对于那些对数学不甚了解的彩民们，他们渴望学到一些简明易懂又行之有效的东西。因此，笔者想通过对彩票中的数学知识的研究，能在购买彩票时给众多的彩民助上一臂之力。 排列 一、加法原则和乘法原则 在求排列组合时，经常要用到两条原则----加法原则和乘法原则。 先看下面的问题： 从甲地到乙地，可以乘火车，可以乘汽车，也可以乘轮船。一天中，火车有4班，汽车有2班，轮船有3班。问从甲地到乙地共有几种走法？ 解：因为乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，因此从甲地到乙地共有4+2+3=9种不同的走法。 一般地，有如下的原则： 加法原则：完成一件事，有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法。那么，完成这件事共有N＝m1十m2十……十mn 种不同的方法。 再看下面的问题： 从甲地到丙地必须经过乙地，从甲地到乙地有A，B，C，D四条道路；从乙地到丙地有H，I，J三条道路。问从甲地到丙地共有几种走法？ 因为从甲地到乙地有4种走法，而采用每一种走法走到乙地后，又可有3种走法到丙地。所以共有 4*3=12种不同的走法。 一般地，有如下的原则： 乘法原则：完成一件事，有n个步骤，第一步有m1种不同的方法，第二步有m2种不同的方法，……，第n步有mn种不同的方法，必须通过每一步骤，才算完成这件事，那么完成这件事共有N＝m1×m2×……×mn 种不同的方法。 二、排列知识 （一）无重复的排列 例：由数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的三位数? 解：题中所指“没有重复数字”就是三位数中的三个数字不能是同一数字。根据题意。 第一步，确定百位上的数字。在1，2，3，4这四个数字中任取一个，共有4种方法；假设我们取3作为百位数。 第二步，确定十位上的数字。当百位上的数字确定以后，十位上的数字只能从余下的三个数字中1，2，4中去取，共有3种方法；假设我们取2作为十位数。 第三步，确定个位上的数字。当百位、十位上的数字都确定以后，个位上的数字只能从余下的两个数字1和4中去取，共有2种方法。 根据乘法原理，从四个不同的数字中，每次取出三个排成三位数的方法共有 4×3×2＝24 种。就是说，共可以排成24个不同的三位数。 定义1：一般地说，从n个不同元素中，任取m (m＜＝n)个元素(这里只研究被取出的元素各不相同的情况)，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出个m元素的一个排列。 从排列的定义知道，如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素相同，而且排列的顺序也必须完全相同。如果所取的元素不完全相同，如问题中的三位数“123”和“321”，虽然它们的元素相同，但排列顺序不同，也是两个不同的排列。 （二）有重复的排列 上一讲我们讨论的排列中是不允许有重复的元素，但是很多情况下我们碰到的是有重复元素的问题，所以有必要对此作一下讨论。 在定义前，我们先看一下下面的例子： 例：由1－9这九个数字，共可组成多少个六位数？（每个位置上的数字可以重复） 解：1，先确定十万位上的数字。在1－9这九个数字中任取一个，共有9种方法。 2，确定万位上的数字。在1－9这九个数字中任取一个，还是有9种方法。 3，千位，百位，十位和个位上的数字取法如上，都为9种。 4，根据乘法原理，共有 9×9×9×9×9×9＝531441 种取法。 定义2：一般地说，从n个不同元素中，任取m (m＜＝n)个元素(元素可以重复），按照一定的顺序排成一列，叫做有重复的排列。 在我们身边，“数字型彩票”就是属于有重复的排列。它的游戏规则大家肯定不会陌生，是从0－9这10个数字中任取6个数字组成一个六位数，然后从0－4这5个数字中任取1个数字作为特别号码。只不过这个六位数和数学意义上的六位数有些不同，它允许0作为十万位上的数字。 由上述的定义2，不难算出“数字型彩票”共有每次开奖共有特别号码个数×106 种，即五百万个不同的开奖号码。 （三）排列数的计算公式 前面两讲中我们讨论的是一些比较简单的排列问题，可以用穷举的方法来解决。但对于一些相对较复杂的问题，就不能这样做了，需要根据具体的计算公式来解答。 定义3：从n个不同元素中，任取m (m＜＝n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号P(m,n) 表示。 例如：从5个不同元素中取出3个元素的排列数表示为P(3,5)。 求排列数P(m,n)可以这样考虑：设有n个元素m1，m2，...，mn从其中先任选1个元素排在第一个位置，因为m1，m2，...，mn中任选1个都可以，所以有n种方法； 排在第二个位置的元素，是除了选作第一位的元素以外的n-1个元素中再任选一个，所以有n-1种方法； 这样下去，选第三个，第四个......第m个位置的元素的方法，数目分别是n-2,n-3,...,n-(m-1)。 根据乘法原则，它们的总数是这m个排列方法的数目的积，即n(n-1)(n-2)*...*(n-m+1),所以P(m,n)=n(n-1)(n-2)*...*(n-m+1)。这里m<=n。 这就是说，从n个元素中每次取出m个元素，所有的排列总数等于m个连续自然数的积，其中最大的一个数是n，这个公式叫做排列数公式。 当m=n时，叫做n个不同元素的全排列。 （四）排列数计算公式的应用 学习了排列数的计算后，我们基本可以解决所有只牵涉到排列的问题。看一下下面的这两个例子。 例1：红，黄，蓝三种颜色不同的旗，按不同的次序排成一列表示信号，可以单用一面，或两面，三面并用，问一共可以表示多少不同的信号？ 解：一面组成的信号有P(1,3)种； 两面组成的信号有P(2,3)种； 三面组成的信号有P(3,3)种。 根据加法原则，得： P(1,3)+P(2,3)+P(3,3)=3+3*2+3*2*1=15 (种) 例2：有一分，两分，五分的硬币各若干枚。从中挑出1-3枚硬币表示一种代号。可以只用一枚，也可用两枚，也可用三枚，允许重复挑选。问一共有多少种不同的代号？ 解：这个问题要根据元素重复的排列计算公式来解决。 一枚表示的代号有31种， 两枚表示的代号有32种， 三枚表示的代号有33种。 根据加法原则，得：31+32+33=3+9+27=39（种）。 三、组合知识 （一）组合的性质 让我们先看一下下面的例子： 例：北京--天津--上海三个民航站的直达航线，一共有几种不同的飞机票价？ 解：因为北京--上海，上海--南京，南京--北京三条航线的距离各不相同，所以有3种不同的飞机票价。 这个问题与需要准备几种不同的飞机票是不同的。飞机票的总数，与两个城市的先后顺序有关，这是一个排列问题；而票价只与两个城市的距离有关，与两个城市的先后顺序无关，因此可以看作是从三个不同的元素中任选两个，不管怎样的顺序并成一组，求一共有多少个不同的组，这就是我们要研究的组合问题。 定义：一般地说，从n个不同元素里，每次取出m (1<=m<=n)个元素, 不管怎样的顺序并成一组，叫做从n个元素里每次取出m个元素的组合。 例如：从3个元素a,b,c里每次取出2个元素的组合，就是指下列三种组合ab,ac,bc。 由组合的定义可以知道，如果两种组合里所含的元素完全一样，只是排列的顺序不同，如ab和ba，那么它们仍是相同的组合。 由此可知，组合和排列是不同的。排列和元素排列的顺序有关，但是组合和这种顺序没有关系。 （二）组合数的计算公式 由于组合数的计算公式的推导过程比排列要麻烦，所以我们这里略去复杂的推导过程，直接给出组合数的计算公式。 定义：从n个不同元素中取出m(m<=n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C(m,n)表示。 C(m,n)=n*(n-1)*...*(n-m+1) / (1*2*...*m) 当m=n时，C(m,n)=1。 让我们来看下面这个例题： 例：有七个人进行乒乓球比赛，采用单循环制，即每两人之间要进行一场比赛。问共要进行多少场比赛？ 解：这个问题等同于从7个不同的元素中选取2个元素的所有组合个数。 所以比赛场数等于C(2,7)=7*...*(7-2+1)/(1*2)=7*6/2=21。 （三）组合的推广 定义1:若r1+r2+......+rk=n，把n个不同的元素分成k个部分，第一部分r1个，第二部分r2个，......，第k部分rk个，则不同的分法有：n! / (r1!*r2!*......*rk!) 种 这里n!叫做n的阶层，它的值为n！= 1*2*......*n ； 定义2:若n个元素中有n1个具有特性“1”， n2个具有特性“2”，......，nk个具有特性“k”，且n1＋n2＋......＋nk＝ n，从这n个元素中取出r个，使得具有特性“i”的元素有ri个(1<=i<=k)，而r1＋r2＋......＋rk＝r ，这时不同的取法的总数为： C(r1，n1)*C(r2，n2)*......*C(rk，nk) ，这里要求ri <= ni 。 例：有10个砝码，其重量分别为1克，2克，......，10克，从中取出三个；要求取出的三个砝码，一个小于5克，一个等于5克，一个大于5克。问共有多少种不同的取法？ 解：由上述的定义2，我们认为1克－4克的砝码具有特性“1”，5克的砝码具有特性“2”，6克－10克的砝码具有特性“3”。从这10个砝码中取出三个，具有特性“1”、特性“2” 、特性“3”的各取一个，则不同取法总数为： C(1，4)*C(1，1)*......*C(1，5)＝4*1*5＝20 (种)。 概率 一、随机事件的概率 在现实生活中，我们会遇到各种事件。有些事件在一定条件下是必然发生的。如将一枚硬币向上抛，它必然会受到地球引力而下落;标准大气压下，水煮到100摄氏度必然会沸腾。这种在一定条件下，在每次实验中必然会发生的事件，叫做必然事件。与此相反，在一定条件下，在每次实验中都不会发生的事件，叫做不可能事件。 此外，还有一些事件，如掷一枚硬币，正面向上还是反面向上;射击时，是中靶还是脱靶;某一天，有可能下雨，也有可能不下雨等事件在一定条件下是否发生，不能预先确定。这种在一定条件下，在每次实验中，可能发生，也可能不发生的事件，叫做随机事件。 事件一般用大写字母A，B，C等来表示。 随机事件在一次实验中是否发生虽然不能预先确定，但是在大量重复实验的情况下，它的发生还是能呈现出一定的规律性。 例如，对生产的一批乒乓球进行质量抽查，结果如下表所示: 抽取球数 n 50 100 200 500 1000 2000 优等品数 m 45 92 194 470 954 1902 m/n 0.90 0.92 0.97 0.94 0.95 0.95 我们看到，当抽查的球数很多时，每批抽到优等品的个数m与抽取的球数n的比，接近于常数0.95。 在上例中，我们把抽到优等品的次数看作事件A出现的次数。 一般地，在大量重复进行同一实验时，事件A发生的频率m/n总是接近于某个常数，m/n在它附近摆动。这个常数叫做事件A的概率，记作P(A)。 概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小，虽然我们第一次接触到这个概念，但在我们的周围，经常应用概率知识，如天气预报中的降水概率，上班的出勤率等。 由于任何重复实验中事件A出现的次数m总不可能大于实验次数n，所以事件A的概率P(A)都满足： 0<=P(A)<=1。 很明显，必然事件的概率是1；不可能事件的概率是0。 二、等可能事件的概率 随机事件的概率，一般可以通过大量重复试验得出其近似值。但对于某些随机事件，也可以不通过重复试验，而通过对一个试验中可能结果的分析来求出其概率。 例如，掷一枚硬币，如果出现正面叫做事件A，出现反面叫做事件B，出现事件A和B的可能性是相等的，可以认为正面向上和反面向上的概率都是0.5，即 P（A）=P（B）=0.5 在一个试验中，如果所有的结果出现的可能性是相等的，这些结果被认为是等可能的。 例如，从四件同样的物品中任意取出一件，取出的是甲，或乙，或丙，或者是丁，也可以认为是等可能的，它们的概率都是0.25。这和我们做大量试验得出的结果是相符合的。 一般地，如果一次试验中共有n种等可能出现的结果。其中事件A包含的结果有m种，这在概率论中被称为有利场合数。那么事件A的概率是有利场合数除以总的可能出现的次数： P（A）=m/n。 例1：在100个产品中，有90个一级品，10个二级品，从这100个产品中任意取出两个，求：a,两个都是一级品的概率； b,两个都是二级品的概率； c,一个是一级品，一个是二级品的概率。 解：设两个都是一级品的事件为A，两个都是二级品的事件为B，一个是一级品一个是二级品的事件为C。 从100个产品中任意地取出两个，共有C（2，100）种等可能的情况。 A：两个都是一级品的种数C（2，90），所以取出两个都是一级品的概率为P（A）=C（2，90）÷C（2，100）=89/110 B：两个都是二级品的概率为P（B）=C（2，10）÷C（2，100）=1/110 C：一个是一级品一个是二级品的种数是C（1，90）*C（1，10），所以概率为P（C）=C（1，90）C（1，10）÷C（2，100）=2/11 例2，某彩票由六位号码组成，每个位置上的号码可以从0--9中任取，只有当六位号码全对时，才能中一等奖。问中一等奖的概率是多少？ 解：由前面学过的知识，我们可以算出六位号码组成的六位数字共有1000000种。而每次开奖，开出的每一个六位数字都是等可能的，所以中一等奖的概率为 P=1/1000000。 例3，某彩票为35选7型福利彩票，投注时从1到35中选7个号码，7个号码不重复，当7个号码全中时为头奖，问中头奖的概率是多少？ 解：由前面讲的知识，我们知道C（7，35）＝35！/28！/7！＝6724520，也就是说理论上每卖出6724520注才会有一注头奖。 由上面两个例子可以看出，彩民是无法改变中奖率的，除非你知道下一期会出什么号不会出什么号，把35选7变成34，33……选7，才能增大中奖率。 三、概率的实际应用 学到这里，细心的读者可能会发觉这样一个矛盾，在我们前面讨论中都假定产品中的次级品数已知，然后根据它来计算种种概率。而在实际问题中，情况恰恰相反，次级品数是未知的，并且是我们希望通过抽样检验来确定的。 这个矛盾可通过下面的办法来解决。 不难理解，抽出来的样本的质量情况在某种程度上反映了整批产品的质量情况。例如，如果整批产品中次品很多，则抽查的样本中含有次品的可能性就相当大；反之，若产品中极少次品，则从中抽查一，两个样本而得到次品的可能性就很小。因而样本中所含次品数的多少就为我们估计整批产品中的次品数提供了某种根据。例如为了确定某批产品中的次品率，通常采用的方法是从这批产品中抽若干个产品作为样本来检验，并用样本的次品率来估计整批产品的次品率。 例：从某鱼池中捕得1200条鱼，做了红色的记号之后再放回池中，经过适当的时间后，再从池中捕得1000条鱼，计算其中有红色记号的鱼的数目为100条，试估计鱼池中共有多少条鱼？ 解：设池中共有n条鱼，n未知，是我们要估计的。一般地，设第一次捕得的鱼有n1条，第二次捕得r条，而其中有记号的有k条。 第二次捕得k条有记号的鱼的概率由第九讲中的定义2可得： P＝C(k ，n1)×C（r-k，n- n1）÷C(r，n) ， 而后我们需要经过复杂的计算得到n的估计量，姑且省去，给出最终n的估计量： n= n 1× r ÷ k =1200×1000 ÷ 100 = 12000 (条) 旋转矩阵 很多彩民在选号时常常有这样一个冲动，很多号看起来都很顺眼，选来选去最终选出了一大堆号码，也许是10个，也许是15个。号码选择得多了，中奖的可能性肯定是大了，可要买这些号码所有的组合，需要的钱几乎是一个天文数字，于是你不得不摇了摇头，叹一口气：还是不要选择这么多号了，随便选几注算了吧！ 或者，当你对奖时，你会沮丧地发现，你买的一组彩票选对了所有的号码，但不幸的是这些号码不在同一注上，这样，你甚至连末等奖也没中，白白浪费了一次绝好的机会。 如何避免以上这种情况呢？当然最保险的是复式投注，购买你所选中的号码的所有组合。可当你选的数字增多时，成本就会大大增加，特别是号码如果超过15个，一般的彩民是想都不敢想了。而使用旋转矩阵就可以很方便地操作20个以上的号码，而且还会提供相应的中奖保证。 事实就是这样，在彩票游戏中，一次选对7个号码的可能性非常小，可一次选择出十几、二十个数而包含这七个数字就容易多了，但如何组合这些号码非常重要。如果组合号码的方法不当，你很有可能会浪费巨额的资金，或者让本来属于你的大奖从身边溜走。本章的主要目标就是让彩民在投资中能够根据自己的资金状况，选择适合自己的彩票组号方法，从而确保投资的合理性，而且保证最大程度的中奖面。 这一章主要是实际应用，所以不涉及数学理论。 下面以一个简单的例子来说明彩票投资中组合号码的重要性。比如你选了10个号码，不妨设为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10。你想把他们组合起来进行投注，那么组合号码的方法一般有以下几种： 一、复式投注 最简单、最熟悉的方法无疑是复式投注，这种方法在各种媒体上以及福彩、体彩的宣传单上都有着详细的介绍。你只要购买这10个号码的复式就行了，所需的注数是120注，成本是240元。复式投注的目标就是中大奖，它将这10个号码的所有组合一网打尽，也就是说，如果你选了这10个号码中包含了开出的7个号，你可以稳中大奖。目前中国各省市的复式投注最多可以选择的号码一般为12个号或16个号。 下表是复式投注的号码个数与投注金额表： 表1—1：复式投注号码与金额对照表
从表中可以看出，复式投注的缺点也是显而易见的，它的成本太高了，所以你能选择的号码个数很有限，如果达到15个号码就要超过1万元。这么大的投入对一个普通的家庭来说负担太重了。每次用复式投注显然不是一个经济、理性的投资方法。如果你不想花那么大的成本的话，比如只想花50元以内，那么你可以选用其他的组合号码的办法。 二、轮次矩阵 轮次矩阵就是把每个号码都按顺序依次轮一遍，据我的调查，许多彩民都曾使用过这种方法。与复式投注相比，轮次矩阵显然在成本上具有优势。以如上的10个号码为例，可以用轮次矩阵组成如下的10注。如表1—2 表1—2：运用轮次矩阵组合的10注号码
这种组合号码的方法成本很低，而且看过去很美观，把每个号码都排了7遍。但实际上，这种组合号码的方法和胡乱组合一样，是很不可取的。因为它很可能漏掉了本来应该得到的奖项。也就是说，即使这10个号码已经包含了开出的7个基本号，用这种组合号码的方法，很可能连三等奖也拿不到。比如开出的7个基本号是01，02，04，05，07，08，09，那么尽管这7个号码在上面的10个号码之内。上述方法组合出来的10注中，最多只中了四等奖（对了5个号），没有一注中三等以上奖。 三、旋转矩阵 世界著名彩票专家、澳大利亚的数学家底特罗夫研究出了一种组合号码的方法——我们称之为旋转矩阵。用此方法进行投注的话，轮次矩阵中出现的情况是永远不会出现的。旋转矩阵的意义在于，如果你所选择的多个号码中包括了开奖的号码，那么你只要用很少的投入，而能够得到一个相应级别的中奖保证。具体你的投入的多少与你选择号码的个数、包含中奖号码的个数以及你所期望的中奖保证相关。例如10个号码的（7，六）型旋转矩阵，就是你选择了10个号码，如果包含了7个中奖号码，那么你至少会中一注对6个以上的奖，这样的旋转矩阵，你只需要买8注，你的投入为16元。而相应的复式投注需要的成本为240元。如下表，假定你选择的号码为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。 表1—3：10个号码，（7，六）型旋转矩阵
每行为一注，共8注。共需投入的资金为16元。如此少的投资，如此高的获奖保证，这才是一种理性的投资。 表1－4 三种投注方法比较表
前面我提到了一些概念，大家可能还没有完全明白，例如10个号码的（7，六）型矩阵究竟是什么意思呢？下面我来具体说一说。 （一）、你所选择号码的个数 10个号码（7，六）型矩阵，其中10就是你所选择的号码。这是旋转矩阵最重要的参数之一，是决定旋转矩阵大小的一个重要因素。一般说来，这个参数的范围在9—25之间。中国彩票的玩法各省市差别很大，难度较小的如山东体育彩票是29选7，难度较大的如广西风采采用的是37选7的玩法，因此需要选择的范围差别较大。 （二）、你选择号码的个数中包含中奖号码的个数 10个号码的（7，六）型矩阵中的“7”就是你选择的10号码中包含了7个中奖号码，那么你就至少可以对6个号码的奖。很明显，如果选择的号码越多，则包含7个中奖号码的几率越大。当然，也有可能你选择的号码中包含了6个中奖号码，或5个号码。对应的有（6，六）型、（6，五）型、（6，四）、（5，五）型等矩阵。 （三）、你所期望的最低中奖保证 10个号码的（7，六）型矩阵中的“六”就是你所期望的中奖号码个数。你所期望的中奖号码个数的不同，你所付出的代价也会不一样。比如15个号码的（7，六）型需要236注，而15个号码的（7，五）型只需要25注。彩民朋友在进行彩票投资时，一定要根据自己的资金实力来确定适合自己的投注方法。 特别强调的一点，有人问（7，七）的矩阵有没有，如果是选7型的乐透彩票，那么（7，七）实际上就是复式投注，也就是将你所选的号码全部组合，这不属于旋转矩阵研究范畴。 需要说明的是，虽然提供了最低中奖保证，但最终你所中得的奖项并不是唯一的，比如保证中6个号码会有两种可能，一种是中6个基本号，另一种是中6个基本号和1个特别号，其对应的奖项为三等奖和二等奖，这要看你选对的号码中是否包含有特别号，以及你的运气如何。另一方面，你究竟能中得几注对6个号码的奖项也不是唯一的，这与你组合号码的顺序有关系，也就是说，你的号码在组合中出现的次数影响你最后的中奖情况。 附录 这里列出10个号码的(8，七)型矩阵。 出8保7的矩阵对很多彩民有很大的吸引力。出8保7意味着在挑对包括特别号在内的8个号码的前提下，可以保证最少中得7个号码的奖，即最少可以中得6+1。在中国的选7型彩票中，选中6+1的奖金与选中6的结果是有天壤之别的。 表一：10个号码的(8，七)型矩阵（17注）
利用该矩阵的目的很明确，是冲着大奖去的，至少也应该中得6＋1。但要求也很苛刻，需要同时选中8个号码（即选中7个基本号和1个特别号），从概率上看，能选中8个号码的可能是很低的，但也许这就是彩票的魅力所在――人们往往只注意到彩票的高奖金额而忽视了其高风险性。利用此矩阵，最少可以中得1注对7个号码的奖（有可能中得大奖，也有可能中得6个基本号和1个特别号的奖），其可能性为73.3%，同时还可以中得8注以上对6个号码的奖。如果运气好一点的话，可以中得2注对7个号码的奖，同时中6个号码的奖可达6－7注，其可能性13.3%。具体见下表： 表三：选中7个基本号码和1个特别号码
如果只选中7个号码，其最低保证为中得3注对6个号码的奖，同时，对5个号码的奖有9－10注，在这种情况下，中得7个号码的奖的可能性为14.2%。表四：选中7个号码
如果在10个号码中，只选对了6个号码，那么有53.8%的可能性保证中6个号码的奖。其最小的保证为中得6注对5个号码的奖和8－9注对4个号码的奖，应该说，选中6个号码的效果还比较令个满意的。 |
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