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洛尔定理既为中值定理做准备，又在函数零点讨论方面具有独立意义。洛尔定理的证明中，逻辑推理既有典型性，又简明易懂。因而洛尔定理成为考研数学的一个特色考点。
我国的大学数学教材，通常把“费尔玛引理”的证明夹在洛尔定理的证明中，使得证明显得冗长。我先把它分离出来。（画外音：这可是个难得的好习题。） 费尔玛引理 若可导函数在区间内一点取得最值，则函数在此点的导数为 0 分析 已知或讨论函数在某一点的导数，不仿先写出导数定义算式。这是基本思路。 “老老实实”地写：设函数在区间内一点x0取得最大值。写出增量商 (f（x）－f（x0）)/（x－x0） “实实在在”地想：它有什么特点呢？ f（x0）最大，分子函数增量恒负，分母自变量增量左负右正。这样一来，分别在两側观察，增量商在x0左侧恒正，（负负得正）。右侧恒负。其左极限非负而右极限非正。函数可导，左，右极限存在且相等，导数只能为 0 导数为 0 ，不是直接算出来，而是由逻辑推理判断得到的。你能否由此体会到一点数学美呢 。 洛尔定理 若 函数在闭区间 [a，b] 连续，在（a，b）内可导，且端值相等。则必在（a，b）内一点处导数为0 分析 函数在闭区间 [a，b] 连续 → 函数必有最大最小值 端值相等 → 只要函数不是常数，端值最多只能占最值之一。至少有一最值在区间内。 函数在（a，b）内可导 → 内部的最值点处导数为 0 请看看，分离证明，前段运用导数定义，符号推理非常典型。后段逻辑有夹逼味道，十分简明。 运用洛尔定理，关键在于要对各种说法的“端值相等”有敏感性。 例 设函数 f（x）二阶可导，且函数有3个零点。试证明二阶导数f "（x）至少有一个零点。 分析 任意两个零点，不就意味着两个函数值相等吗！它俩组成一个区间，就满足“端值相等”。可以应用洛尔定理得到函数的一阶导数的零点。 设函数的3个零点由小到大依次为 x1，x2 ，x3 顺次取区间 [x1，x2]，[x2 ，x3]，分别在每个区间上对函数用洛尔定理，得到其一阶导数的两个零点， ξ1，ξ2，且ξ1＜ξ2 ξ1，ξ2客观存在。它们组成区间[ξ1，ξ2]，且f ′(x) 在此区间上端值相等。已知二阶导数f "（x）存在，即f ′(x)可导。对函数f ′(x)用洛尔定理就得本题结论。 本例同时展示了“逐阶运用洛尔定理”的思路。 不要怕“点ξ ” ，不要去想它有多抽象。客观存在，为我所用。只是要留心它的范例。 (画外音：怕啥子嘛，你不是学了哲学，学了辩证法吗。) 如果函数 n 阶可导，且函数有n +1个互不相同的零点。由此可以得到什么信息？ , 我们可以象上例那样，先把这n +1个零点由小到大排序编号，顺次组成n个区间。分别在每个区间上对函数用洛尔定理，得到其一阶导数的n－1个零点。再一次次逐阶运用洛尔定理，最后可以得到结论：函数的 n 阶导数有1个零点。 这是微分学的一个经典题目，结论好似一个倒置的“杨辉三角形”。就当是做游戏吧。一个“垒宝塔” 游戏。 考研数学有时在这个考点上出大题，基本模式为 “ 已知-----，证明区间内至少有一点ξ，使得一个含有导数的等式成立 。” 例 设 f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且f（1）= 0，试证（0，1）内至少有一点ξ，使得 f（ξ）+ ξ f ′(ξ) = 0 分析（综合法） ξ 只是一个特殊点。ξ 就是方程的根。方程的根转化为零点讨论。（潜台词：我们有两件兵器哦。） 由于关系式中有含导数的项，可以猜想，ξ 应当是我们对某个函数运用洛尔定理后，得到的导函数的零点。（画外音：在ξ 没代入之前，导数表达式是啥样？！） 把 ξ 换为x 后再仔细观察，左端多象是一个乘积函数求导公式啊。 （画外音：求导不熟练，肯定反应慢。） 实际上它的确是F（x）= x f（x）的导函数，且恰好端值相等。 证明时只需从“作辅助函数F（x）= x f（x），---”说起。 啊，典型的欧氏方法，困难的逆向思维。 |
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