一题一议

 

 

 

中学数学研究（1985年第二期13-14页）

一题一议                                           

   李统塘

在解某些数学题时，如能运用换元法（用一个字母替换题中某一个式子），可简化书写表达式，使解题思路更为清晰，对提高解题的准确性和解题速度很有好处。但在运用这一方法时应谨慎，不要只从形式上套用，以免导致错误。请看下例：

已知关于sinx的一元二次方程

(sinx)­_­²-(a²+2a)sinx+a³+a²=0

有两实根，试确定实数a的取值范围。

这个题目若引用换元法，可设y=sina，原方程可变形为

y²-(a²+2a)y+a³+a²=0      (1)

因为一元二次方程有两实根，所以方程（1）根的判别式△≧0，

就是〔-(a²+2a)〕²-4(a³+a²)=0

解之得a^{4大于或等于}0。

所以实数a可以取全体实数值。

问题至此似乎已解决了，其实不然。“a可以取全体实数值“的答案，对于方程（1）来说，是正确的，但对于原方程却是错误的。这里不妨设a=2，这时原方程就是

(sinx)²-8sinx+12=0,它的两个根分别为sinx=2,sinx=6。显然它们都不可能是原方程的实根，因为不满足这个题目的隐含条件|sinx|≤1。故以上解法所得的答案是错误的。

实际上方程（1）的两根为y=a,y=a²+a。

就是sinx=a,sinx=a²+a。

因为|sinx|小于或等于1,所以a必须满足不等式组：

    

 |a|≦1,

  |a²+a|≦1.

解不等式组得：-1≦a≦ 。

这就是原方程有实根，实数a的取值范围。

因此，在运用换元法解题时，特别是对含有参数且二次项系数不为零的一元二次方程的问题，不能只从形式套用，还要考虑被换元的取值范围这一隐含条件。只有在被换元可以取一切实数值时，才可以直接引用根的判别式去求解，否则就必须根据题目有实根的已知条件，先求出方程的实根，再根据被换元的取值范围找寻参数必须满足的不等式（组）或方程（组），去确定参数的取值范围。依照这思路，还可以解下面的题目：

①              已知关于b^x(b>0,b≠1)的一元二次方程b^2x-2ab^x+a²-1=0有两实根，试确定实数a的取值范围。（题目的隐含条件是b^x>0,a必须满足不等式组   

                                                   a+1>0，

                                                  a-1>0 ， a的取值范围是a>1。）

 

 

②              已知关于lgx(0<x<1)的一元二次方程lg²x-(4a+1)lgx+4a²+2a=0没有实根，试确定实数a的取值范围。（题目的隐含条件是lgx<0,a必须满足不等式组

                                                                            2a+1≧0，

                                                                            2a≧0，

                                                             a的取值范围是a≧0。）