2011中考数学一轮复习【代数篇】19.二次函数（一）

中考复习之二次函数（一）

知识考点：

掌握二次函数的图像和性质以及抛物线的平移规律；会确定抛物线的顶点坐标、对称轴及最值等。

精典例题：

【例1】二次函数的图像如图所示，那么、、、这四个代数式中，值为正的有（    ）

A、4个    B、3个    C、2个    D、1个

解析：∵＜1

      ∴＞0

答案：A

评注：由抛物线开口方向判定的符号，由对称轴的位置判定的符号，由抛物线与轴交点位置判定的符号。由抛物线与轴的交点个数判定的符号，若轴标出了1和－1，则结合函数值可判定、、的符号。

【例2】已知，≠0，把抛物线向下平移1个单位，再向左平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是（－2，0），求原抛物线的解析式。

分析：①由可知：原抛物线的图像经过点（1，0）；②新抛物线向右平移5个单位，再向上平移1个单位即得原抛物线。

解：可设新抛物线的解析式为，则原抛物线的解析式为，又易知原抛物线过点（1，0）

∴，解得

∴原抛物线的解析式为：

评注：解这类题的关键是深刻理解平移前后两抛物线间的关系，以及所对应的解析式间的联系，并注意逆向思维的应用。

另外，还可关注抛物线的顶点发生了怎样的移动，常见的几种变动方式有：①开口反向（或旋转1800），此时顶点坐标不变，只是反号；②两抛物线关于轴对称，此时顶点关于轴对称，反号；③两抛物线关于轴对称，此时顶点关于轴对称；

探索与创新：

【问题】已知，抛物线（、是常数且不等于零）的顶点是A，如图所示，抛物线的顶点是B。

（1）判断点A是否在抛物线上，为什么？

（2）如果抛物线经过点B，①求的值；②这条抛物线与轴的两个交点和它的顶点A能否构成直角三角形？若能，求出它的值；若不能，请说明理由。

解析：（1）抛物线的顶点A（，），而当时，＝，所以点A在抛物线上。

（2）①顶点B（1，0），，∵，∴；②设抛物线与轴的另一交点为C，∴B（1，0），C（，0），由抛物线的对称性可知，△ABC为等腰直角三角形，过A作AD⊥轴于D，则AD＝BD。当点C在点B的左边时，，解得或（舍）；当点C在点B的右边时，，解得或（舍）。故。

评注：若抛物线的顶点与轴两交点构成的三角形是直角三角形时，它必是等腰直角三角形，常用其“斜边上的中线（高）等于斜边的一半”这一关系求解有关问题。

跟踪训练：

一、选择题：

1、二次函数的图像如图所示，OA＝OC，则下列结论：

  ①＜0；

②；

③；

④；

⑤；

⑥。其中正确的有（    ）

  A、2个            B、3个              C、4个          D、5个 

2、二次函数的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到函数图像的解析式为，则与分别等于（    ）

    A、6、4           B、－8、14 

C、4、6           D、－8、－14

3、如图，已知△ABC中，BC＝8，BC边上的高，D为BC上一点，EF∥BC交AB于E，交AC于F（EF不过A、B），设E到BC的距离为，△DEF的面积为，那么关于的函数图像大致是（    ）

                

         A                B                  C                D

4、若抛物线与四条直线，，，围成的正方形有公共点，则的取值范围是（    ）

    A、≤≤1        B、≤≤2      C、≤≤1      D、≤≤2

5、如图，一次函数与二次函数的大致图像是（    ）

                

          A                  B               C                D

二、填空题：

1、若抛物线的最低点在轴上，则的值为        。

2、二次函数，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大。则当时，的值是          。

3、已知二次函数的图像过点（0，3），图像向左平移2个单位后的对称轴是轴，向下平移1个单位后与轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为                。

4、已知抛物线的对称轴是，且它的最高点在直线上，则它的顶点为          ，＝          。

三、解答题：

1、已知函数的图像过点（－1，15），设其图像与轴交于点A、B，点C在图像上，且，求点C的坐标。

2、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程。下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润S（万元）与销售时间（月）之间的关系（即前个月的利润总和S与之间的关系）。根据图象提供的信息，解答下列问题： 

（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润S（万元）与时间（月）之间的函数关系式；

（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；

（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？

          

3、抛物线，和直线（＞0）分别交于A、B两点，已知∠AOB＝900。

（1）求过原点O，把△AOB面积两等分的直线解析式；

（2）为使直线与线段AB相交，那么值应是怎样的范围才适合？

4、如图，抛物线与轴的一个交点为A（－1，0）。

（1）求抛物线与轴的另一个交点B的坐标；

（2）D是抛物线与轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；

（3）E是第二象限内到轴、轴的距离的比为5∶2的点，如果点E在（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧。问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△APE的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

参考答案

一、选择题：BCDDC

二、填空题：

1、2；2、－7；3、；4、（2，2），；

三、解答题：

1、C（，1）或（，1）、（3，－1）

2、（1）；（2）10月；（3）5.5万元

3、（1）；（2）－3≤≤0

4、（1）B（－3，0）；（2）或；

  （3）在抛物线的对称轴上存在点P（－2，），使△APE的周长最小。