奇异值分解法

奇异值分解法

奇异值分解 (sigular value decomposition,SVD) 是另一种正交矩阵分解法；SVD是最可靠的分解法，但是它比QR 分解法要花上近十倍的计算时间。[U,S,V]=svd(A)，其中U和V代表二个相互正交矩阵，而S代表一对角矩阵。 和QR分解法相同者， 原矩阵A不必为正方矩阵。

使用SVD分解法的用途是解最小平方误差法和数据压缩

不少关于SVD分解的文章，大致归纳一下。

1 用于计算最小二乘估计。

最小二乘估计的解可以转化为SVD分解问题。在对一组观测数进行直线拟合的时候，对于超定系数矩阵，可以有如下求法：

计算矩阵的SVD分解，A=USV';

计算yi=ui'b/Oi;

计算x=Vy。

参考：数值计算方法。P318.武汉大学出版社。2002年。

2 用SVD分解估计信号参数

设有被测时序信号s(n)，将其写成L*M的Hankel矩阵SH，L-2<M,L+M-1=N.

按奇数、偶数列，取出尽可能方阵的S矩阵。

用SVD分解求出奇异值，取远远大于其他值的p个。

求X矩阵，它的特征值给出了采样点的估计，由此可以得到衰减因子和频率。

最后求出相位和幅度。

参考：DECIMATION AND SVD TO ESTIMATE EXPONENTIALLY DAMPED SINUSOIDS IN THE PRESENCE OF NOISE. Stavroula-Evita Fotinea, Ioannis Dologlou, George Carayannis .IEEE.

3 盲信号分离

将信号的协方差矩阵进行SVD分解，代入公式得到估计信号。

参考：基于特征值和奇异值分解方法的盲分离。 马　杰, 王　昕, 李　锵, 滕建辅。天　津　大　学　学　报 Vol. 38　No. 8。Aug. 2005

4 SVD滤波

对观测矩阵进行SVD分解，同样取远远大于其他值的特征值进行重构。该方法直接应用于二维信号。

SVD分解是利用超定矩阵可以分解为对角的特征矩阵左右乘以特征向量矩阵的形式。判断特征值的大小及在矩阵中起到的作用，适当取舍。噪声、信道产生的影响通常不是使整体矩阵平滑的因素，因此其特征值应该比正常信号小，并且容易通过某些判断机制判断出。