、问题的提出:
随着人类经济的不断发展,人们生活水平的不断提高,彩票游戏已经走进了人们的日常生活中。其种类繁多,形式多样,具有较强的吸引力。为保证彩票这项游戏的机会平等性,我们应该如何去分配奖金?同时,它又是一项较为复杂的游戏,彩迷朋友在买彩票时,可以采取何种策略,就能获得大奖?经过改进后的彩票,应是一种更加具有挑战性,并且对社会有益的游戏。 二、实际资料的搜集:(彩票的玩法) 1、35选7玩法:中奖号码由7个普通号码和1个特殊号码组成(例:05,09,13,18,22,27,30+25),彩迷朋友从01至35这35个号码中任选7个作为普通号码,另选一个作为特殊号码,即为一注。 中奖(经调查知,下同):
1)特等奖:7个普通号码和1个特殊号码同中奖号码完全相同; 2)一等奖:7个普通号码同中奖号码完全相同; 3)二等奖:6个普通号码和1个特殊号码同中奖号码相同; 4)三等奖:6个普通号码同中奖号码相同; 5)四等奖:5个普通号码和1个特殊号码同中奖号码相同; 6)五等奖:5个普通号码同中奖号码相同; 7)六等奖:4个普通号码和1个特殊号码同中奖号码相同; 8)七等奖:4个普通号码同中奖号码相同。 奖金分配:
1)特等奖:总奖金为奖库总奖金的70%(注:如有多个人同时中特等奖,则这些人平均分配奖库总奖金的70%,下同); 2)一等奖:总奖金为奖库总奖金的10%; 3)二等奖:总奖金为奖库总奖金的20%; 4)三等奖:每注人民币1000元; 5)四等奖:每注人民币200元; 6)五等奖:每注人民币50元; 7)六等奖:每注人民币20元; 8)七等奖:每注人民币5元。 2、体彩(2002年发行):中奖号码由1个六位数的普通号码和1个一位数的特殊号码组成。(普通号码有序,而且可以出现相同号码。例:237493+6)
中奖:
1) 特等奖:6位数的普通号码和1位数的特殊号码与中奖号码相符; 2)一等奖:6位数的普通号码与中奖号码相符; 3)二等奖:5位数的普通号码和1位数的特殊号码与中奖号码相符; 4)三等奖:5位数的普通号码与中奖号码相符; 5)四等奖:4位数的普通号码和1位数的特殊号码与中奖号码相符; 6)五等奖:4位数的普通号码与中奖号码相符。 奖金分配:
1)特等奖:总奖金为奖库总奖金的80%(注:如有多个人同时中特等奖,则这些人平均分配奖库总奖金的80%,下同); 2)一等奖:总奖金为奖库总奖金的10%; 3)二等奖:总奖金为奖库总奖金的10%; 4)三等奖:每注人民币100元; 5)四等奖:每注人民币50元; 6) 五等奖:每注人民币10元。 三、模型的建立与分析: 1、35选7玩法: 中奖机会(参见表1): 中奖奖项 中奖的彩票总数 特等奖 1(=) 一等奖 27(=) 二等奖 189(=) 三等奖 2457(=) 四等奖 7371(=) 五等奖 61425(=) 六等奖 102375(=) 七等奖 614250(=) 总彩票 188286560(=) 注:特等奖即是七个普通号码全部选中,彩票数为,一个特殊号码也选中,彩票数为。所以,特等奖总彩票数为1(=),下同。 由上表不难看出,各奖项的中奖概率(参见表2): 中奖奖项 中奖概率 特等奖 5.311×10-9(=1/188286560) 一等奖 1.434×10-7(=27/188286560) 二等奖 1.006×10-6(=189/188286560) 三等奖 1.305×10-5(=2457/188286560) 四等奖 3.915×10-5(=7371/188286560) 五等奖 3.262×10-4(=61425/188286560) 六等奖 5.437×10-4(=102375/188286560) 七等奖 3.262×10-3(=614250/188286560) 从上表2中不难看出: 六等奖的中奖概率约为七等奖的中奖概率的1/6(=5.437×10-4/3.262×10-3); 五等奖的中奖概率约为六等奖的中奖概率的2/3(=3.262×10-4/5.437×10-4); 四等奖的中奖概率约为五等奖的中奖概率的1/8(=3.915×10-5/3.262×10-4); 三等奖的中奖概率约为四等奖的中奖概率的1/4(=1.305×10-5/3.915×10-5); 二等奖的中奖概率约为三等奖的中奖概率的1/13(=1.006×10-6/1.305×10-5); 一等奖的中奖概率约为二等奖的中奖概率的1/7(=1.434×10-7/1.006×10-6); 特等奖的中奖概率约为一等奖的中奖概率的1/27(=5.311×10-9/1.434×10-7)。 所以,理想的各等奖中奖金额之比应约为::::::=620000:23000:3250:250:84:10:6:1。
注:这样分配中奖金额的比例,保证中奖金额与中奖概率的乘积为常数0.01631(=5×3.262×10-3),才能保证机会均等。
经调查,辽宁省平均每期会售出约为300万注,约为600万元。按规则,平均每期将有约45%的投注金额作为奖金,即270万左右。故理想的奖金分配比例应为(参见表3): 中奖奖项 中奖奖金(每注) 特等奖 2.5×106 一等奖 9.2×104 二等奖 1.3×104 三等奖 1000 四等奖 320 五等奖 40 六等奖 25 七等奖 5 注:这样分配,可以保持各等奖的中奖金额之比为620000:23000:3250:250:84:10:6:1,而且总奖金约为270万。 2、体彩:
中奖机会(参见表4): 中奖奖项 中奖的彩票总数 特等奖 1(=1×1) 一等奖 9(=1×9) 二等奖 18(=2×1×9) 三等奖 162(=2×1×9×9) 四等奖 243(=3×1×9×9) 五等奖 2187(=3×1×9×9×9) 总彩票 107 注:六个普通号码完全相同,彩票只有1张(若中奖号码为ABCDEF+G,则这六个号码只能为ABCDEF),一个特殊号码也相同,彩票只有1张(若中奖号码为ABCDEF+G,则这个号码只能为G)。所以,特等奖的彩票数只有1(=1×1)张,下同。 中奖概率(参见表5):
中奖奖项 中奖概率 特等奖 1×10-7(=1/107) 一等奖 9×10-7(=9/107) 二等奖 1.8×10-6(=18/107) 三等奖 1.62×10-5(=162/107) 四等奖 2.43×10-5(=243/107) 五等奖 2.187×10-4(=2187/107) 从上表中不难看出: 四等奖的中奖概率约为五等奖的中奖概率的1/9; 三等奖的中奖概率约为四等奖的中奖概率的2/3; 二等奖的中奖概率约为三等奖的中奖概率的1/9; 一等奖的中奖概率约为二等奖的中奖概率的1/2; 特等奖的中奖概率约为一等奖的中奖概率的1/9。 所以,理想的各等奖中奖金额之比应约为2250:250:120:15:9:1=::::。
注:这样分配中奖金额的比例,保证中奖金额与中奖概率的乘积为常数0.08748(=400×2.187×10-4),才能保证机会均等。
经调查,辽宁省平均每期会售出约为100万注,即约为200万元。而按照彩票奖金规则,平均每期将有约为70%的投注金额作为奖金,即140万左右。按照理想化的奖金分配比例应为(参见表6):
中奖奖项 中奖奖金(每注) 特等奖 900000 一等奖 100000 二等奖 48000 三等奖 6000 四等奖 3600 五等奖 400 注:这样分配,可以保持各等奖的中奖金额之比为2250:250:120:15:9:1,而且总奖金约为270万。 下面我们再看一下彩迷们买彩票时选择的“策略”。
以35选7玩法为例(参见表7): 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 有人认为,选择{07,09,13,17,24,27,29+19}是幸运数字。在表9中满足以下规律: 1)每个数字都在居中的3列; 2)没有任何两个数字相差1或5(即相邻)。 而像{01,02,03,04,05,06,07+08}便是最不幸运数字。 其实不然,如果我们少有一些数学思想,便不难发现,出现{07,09,13,17,24,27,29+19}和出现{01,02,03,04,05,06,07+08}的概率应该是一样的。人们所总结的这些规律,只不过是在每期开奖的一种巧合而已。 还有人认为,在研究过每期的中奖号码之后,我们会不难发现17出现的次数特别多,而相反01出现的概率极少,便猜测17更容易中奖,而01不容易中奖。 其实并非如此,如果摇奖机器公正(即每个中奖小球大小、质量等因素都一样),17和01出现的概率也应相等。出现的次数不同,也应算作一种偶然现象。 事实上,如果我们用数学的眼光去看待这种实际问题。我们会发现,如果摇奖机器足够公正(即每个中奖小球大小、质量等因素都一样),每一种组合出现的概率都应该相等。换句话说,我们也无法找到一种更好的方式。在表2中明确写出,中奖的可能性也只不过是0.45%(=5.311×10-9+1.434×10-7+1.006×10-6+1.305×10-5+3.915×10-5+3.262×10-4+ 5.437×10-4+3.262×10-3)。因此,如果你买彩票没有中奖,你也不必怀疑你自己的运气如何。实际上,会有99.5%左右的人和你的运气一样,或者比你的运气还要差。 四、得出结论 彩票的奖金分配应该遵照中奖的几率,进行合理化的分配,使得彩票游戏更加公正合理。但是,这只是我们对奖金的一种重新分配,却不能对中奖概率进行重新分配。所以,中奖概率也不过0.45%(=5.311×10-9+1.434×10-7+1.006×10-6+1.305×10-5+3.915×10-5+3.262×10-4+ 5.437×10-4+3.262×10-3),这场彩票游戏必然以彩迷的失败而告终。然而,钜额的奖金仍然是一种极大的诱惑,使成千上万的人加入这一“明知其输而争赢的游戏”行列中。 |
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