以静制动,动中窥静 浅谈动点问题的解决策略 宝应县安宜初级中学 李步章 世间万物运动是绝对的,静止是相对的,这是辩证唯物主义的观点。随着新课程标准的进一步实施,有关动点问题内容的考察在中考试题中屡见不鲜,面对这类问题,考生往往有些茫然。下面简说这类问题的解决方法,其主要策略是:以静制动,动中窥静。 1、利用特定的数学模型,以静制动 这个问题的求解是大家非常熟悉的,在历年的中考试题中经常被考查。 利用等边三角形的轴对称性,显然点C和点B关于直线AD对称,利用学模型连接BE,则BE与AD的交点M为所求,BE的长即为EM+CM的最小值。 2、利用图形的基本性质,以静制动 几何性质:“两点之间线段最短”以及“直线外一点和直线上各点的连线中,垂线段最短”等,也是解决几何中动点问题的重要依据。 点Q在直线y=-x上运动,根据几何性质,它与点A的所有连线中当线段AQ垂直于直线y=-x时AQ最短,利用等腰直角三角形的性质就可以求出点Q的坐标。 3、弄清点的运动状态,画出各种运动状态下的图形,以静制动。 任何一个运动的物体均可以看成质点的运动,随着点的运动,与之相关的图形也会发生变化,但它在同一范围内运动形成的图形相对是稳定的,也可以说是静止不变的。因此,对每个范围内运动状态画出图形显得尤为重要,做好这一步可以将问题化为熟悉的问题去解决。 例如3 点P按A→B→C→M的顺序在边长为1的正方形边上运动,M是CD边上的中点。设点P经过的路程x为自变量,△APM的面积为y,则函数y的大致图像是( )
有三种状态 (1)点P在AB边上时,即当 S△APM= (2)点P在CD边上时,即当1≤ S△APM=S正方形ABCD-SRt△ABP-SRt△PCM-SRt△ADM =1- =1- = (3)点P在AB边上时,即当2≤ S△APM= = 进而不难得出结论A 例4 (2010年苏州市)刘卫同学在一次课外活动中,用硬纸片做了两个直角三角形,见图①、②.图①中,∠B=90°,∠A=30°,BC= (1)在△DEF沿AC方向移动的过程中,刘卫同学发现:F、C两点间的距离逐渐 .(填“不变”、“变大”或“变小”) (2)刘卫同学经过进一步地研究,编制了如下问题: 问题①:当△DEF移动至什么位置,即AD的长为多少时,F、C的连线与AB平行? 问题②:当△DEF移动至什么位置,即AD的长为多少时,以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形? 问题③:在△DEF的移动过程中,是否存在某个位置,使得∠FCD=15°?如果存在,求出AD的长度;如果不存在,请说明理由.
第(1)题只要考生“心里”画出FC最长和最短时(极点位置)的图形,此时的点F从初始位置到终点位置的轨迹就形成一个如图所示矩形ADF'F 而且第(2)个问题中的每一个问题的解决无不说明“以静制动”。抓住图形在动态变化中暂时静止的某一瞬间,将这些点锁定在某一位置上,画出图形,化动为静,问题的实质就显现出来,从而得到解决问题的方法。 如图,∠ABC=∠FDE =90°,∠A=30°, ∠DEF=45°,BC= 这个问题的解决是非常容易的。 第②的问题的解决是利用方程的数学模型和分类的数学思想,就是用含未知数的代数式表示线段AD,然后分(Ⅰ)当线段FC为斜边时;(Ⅱ)当线段AD为斜边时;(Ⅲ)当线段BC为斜边时三种情况进行求解。此处无图胜有图。 根据题意所画图形如图,过点F作∠CFE的平分线FP,利用直角三角形和等腰三角形形等的相关性质计算得出:DC= 以上是解决动点问题一些浅显的看法,但要使问题得以解决还必须给合具体问题建立函数模型、方程模型来求解,涉及的数学知识点主要有全等、相似等。 |
|