|
四年级奥数上册：第三讲 定义新运算
三、定义新运算（一）
年级 班 姓名 得分
一、填空题
1.规定a☉b = ,则2☉(5☉3)之值为 .
2.规定“※”为一种运算,对任意两数a,b,有a※b ,若6※x ,则x=
.
3.设a,b,c,d是自然数,定义 .则
3, 4, 1, 2 .
4.[A]表示自然数A的约数的个数.例如,4有1,2,4三个约数,可以表示成[4]=3.计算: = .
5.规定新运算※:a※b=3a-2b.若x※(4※1)=7,则x= .
6.两个整数a和b,a除以b的余数记为a☆b.例如,13☆5=3,5☆13=5,12☆4=0.根据这样定义的运算,(26☆9) ☆4= .
7.对于数a,b,c,d规定 .如果 ,
那么x= .
8.规定:6※2=6+66=72,2※3=2+22+222=246,
1※4=1+11+111+1111=1234.7※5= .
9.规定:符号“△”为选择两数中较大数,“☉”为选择两数中较小数.例如:3△5=5,3☉5=3.那么,[(7☉3)△5]×[5☉(3△7)]= .
10.假设式子 表示经过计算后,a的值变为原来a与b的值的积,而式子 表示经过计算后,b的值为原来a与b的值的差.设开始时a=2,b=2,依次进行计算 , , , ,则计算结束时,a与b的和是 .
二、解答题
11.设a,b,c,d是自然数,对每两个数组(a,b),(c,d),我们定义运算※如下: (a,b)※(c,d)= (a+c,b+d);又定义运算△如下: (a,b)△(c,d)= (ac+bd,ad+bc).试计算((1,2) ※(3,6))△((5,4)※(1,3)).
12.羊和狼在一起时,狼要吃掉羊,所以关于羊及狼,我们规定一种运算,用符号△表示羊△羊=羊;羊△狼=狼;狼△羊=狼;狼△狼=狼.运算意思是羊与羊在一起还是羊,狼与狼在一起还是狼,但是狼与羊在一起便只剩下狼了.
小朋友总是希望羊能战胜狼,所以我们规定另一种运算,用符号☆表示为羊☆羊=羊;羊☆狼=羊;狼☆羊=羊;狼☆狼=狼.运算意思是羊与羊在一起还是羊,狼与狼在一起还是狼,由于羊能战胜狼,当狼与羊在一起时,它便被羊赶走而只剩下羊了.
对羊或狼,可用上面规定的运算作混合运算,混合运算的法则是从左到右,括号内先算.运算的结果是羊,或是狼.求下式的结果:
羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼).
13. 表示成 ;
表示成 .
试求下列的值:
(1) ; (2) ; (3) ;
(4)如果x, y分别表示若干个2的数的乘积,试证明: .
14.两个不等的自然数a和b,较大的数除以较小的数,余数记为a☉b,比如5☉2=1,7☉25=4,6☉8=2.
(1)求1991☉2000,(5☉19)☉19,(19☉5)☉5;
(2)已知11☉x=2,而x小于20,求x;
(3)已知(19☉x)☉19=5,而x小于50,求x.
———————————————答 案——————————————————————
1. .
5☉3= ,
2☉(5☉3)=2☉ .
2. 8.
依题意,6※ ,因此 ,所以x=8.
3. 280.
原式 .
4. 5.
因为 有 个约数,所以[18]=6,同样可知[22]=4,[7]=2.
原式 .
5. 9.
因为4※1= ,所以x※(4※1)= x※10=3x-20.故3x-20=7,解得x=9.
6. 0.
,26☆9=8,又 ,故(26☆9)☆4=8☆4=0.
7. 6.
因为 ,所以 ,故 .
8. 86415.
7※5=7+77+777+7777+77777=86415.
9. 25.
原式=[3△5]×[5☉7]=5×5=25.
10. 14.
第1次计算后, ;第2次计算后, ;第3次计算后, ;第4次计算后, .此时 .
11. (1,2)※(3,6)=(1+3,2+6)=(4,8),(5,4)※(1,3)=(5+1,4+3)=(6,7).
原式=(4,8)△(6,7)=(4×6+8×7,4×7+8×6)=(80,76).
12. 原式=羊△羊☆羊△狼=羊☆羊△狼=羊△狼=狼.
13. (1) ;
(2) ;
(3)因为 ,所以 ;
(4)令 则 .
.
14. (1)1991☉2000=9;
由5☉19=4,得(5☉19)☉19=4☉19=3;
由19☉5=4,得(19☉5)☉5=4☉5=1.
(2)我们不知道11和x哪个大(注意,x≠11),即哪个作除数,哪个作被除数,这样就要分两种情况讨论.
1) x<11,这时x除11余2, x整除11-2=9.又x≥3(因为x应大于余数2),所以x=3或9.
2) x>11,这时11除x余2,这说明x是11的倍数加2,但x<20,所以x=11+2=13.
因此(2)的解为x=3,9,13.
(3)这个方程比(2)又要复杂一些,但我们可以用同样的方法来解.
用y表示19☉x,不管19作除数还是被除数,19☉x都比19小,所以y应小于19.
方程y☉19=5,说明y除19余5,所以y整除19-5=14,由于y≥6,所以y=7,14.
当y=7时,分两种情况解19☉x=7.
1)x<19,此时x除19余7,x整除19-7=12.由于x≥8,所以x=12.
2) x>19,此时19除x余7, x是19的倍数加7,由于x<50,所以x=19+7=26或 =45.
当y=14时,分两种情况解19☉x=14.
1) x<19,这时x除19余14, x整除19-14=5,但x大于14,这是不可能的.
2)x>19,此时19除x余14,这就表明x是19的倍数加14,因为x<50,所以x=19+14=33.
总之,方程(19☉x)☉19=5有四个解,x=12,26,33,45.
|
