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分式的应用 一、分式方程组的解法。 1、解分式方程组的指导思想 解分式方程时用转化思想采用去分母的方法将分式方程的分母去掉化为整式方程，再解整式方程，最后验根，完成了解分式方程的过程。解分式方程组也是用解分式方程的思想将分式方程组转化为整式方程组来解。 2、解分式方程组 例1，解方程组： 分析：此题是分式方程组，可采用去分母的方法将方程组转化为整式方程组来解。 解：去分母：将方程（1）两边同乘以xy，得：4y+5x=0（3） 将方程（2）两边同乘以(x+4)(y-3)得：x(y-3)-(y+3)(x+4)=0 整理方程：xy-3x-(xy+4y+3x+12)=0 xy-3x-xy-4y-3x-12=0∴6x+4y=-12（4） ∴原方程组化为： 解方程组：(4)-(3)得：x=-12 把x=-12代入(3)，5×(-12)+4y=0 ∴y=15 ∴ 将 ∴原方程组的解为 例2，解方程组 分析：按常规想法将两个分式方程去分母后变形为整式方程组，去解即按例1方法去解此方程组，会出现高次方程，目前我们还不会解。因此观察特点，特别是反复出现的字母形式，再利用换元思想（或叫整体代换）去解这个方程组。 解：设x+y=m, 则原方程组变形为 化简整理方程组：将方程(1)两边同乘以6，得：2m-18n=-1 (3) 将方程（2）两边同乘以2得：m+4n=6 (4) ∴原方程组化为 解方程组：(3)-(4)×2 ∴n= 把n= ∴ 再解方程组：（5）+（6）得：2x=6 ∴x=3 将x=3代入 （5）得：3+y=4 经检验： 注：1、换元法是初中数学中要掌握的一种重要的数学方法，尤其是换元法在各类的解方程中的运用，更为重要。它可以通过换元手段，使复杂的问题变得简单，疑难问题变得容易，在学习数学知识的同时，一定要掌握一些典型的数学方法。这种换元的方法将来在初三还会专门学习。 2、“换元”是求原方程未知数的值的一种手段，不是目的。目的是求原来未知数（如x,y）的值。所以当求得辅助未知数（如m,n）的值以后，一定要把原来未知数（x,y）的值求出来。 3、由以上两个例题可以看出，把分式方程组转化为整式方程组，可以用去分母的方法，也可以用换元法。究竞用哪种方法合适，要具体问题具体分析。 二、列分式方程（组）解应用题 1、列分式方程解应用题能进一步培养理论联系实际和分析问题，解决问题的能力。它也是本章的一个难点。但是只要我们仔细审题，认真分析题目中所给数量关系，再联系到一元一次方程解应用题的一些方法和步骤，这个难点也是可以突破的。 2、列分式方程解应用题的步骤与列整式方程解应用题的步骤基本相同，其主要区别是量与量之间数量关系的代数式可以是整式，也可以是分式，分式方程需要验根。 3、列分式方程解应用题的基本步骤可归纳为五个字：设、找、列、解、答。即： （1）审题，设——“设” （2）根据题意找等量关系：——“找” （3）列代数式，列方程——“列” （4）解方程并检验——“解” （5）写答案——“答” 4、分类介绍一些应用题 （1）追及问题 在解“追及问题”时，常需依时间列方程来解决问题。 例3，某校师生到距学校20千米的公路旁植树，甲班师生骑自行车先走，45分钟后，乙班的师生乘汽车出发，结果两班学生同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的2.5倍，求两种车的速度各是多少？ 分析：这个题目是个行程问题的“追及”问题，那么基本量距离，速度，时间存在着距离=速度×时间的基本关系。在找相等关系时，要按基本数量关系去检查，看是否表示同一种量。 解法一：设自行车的速度是x千米/时，则汽车的速度是2.5x千米/时，45分钟= 由题意可列： 化简为： 解方程：去分母，两边同乘以4x得：80-32=3x ∴x=16 经检验x=16是分式方程解，并符合题意 ∴2.5x=2.5×16=40 答：自行车的速度是16千米/时，汽车速度是40千米/时。 解法2：设自行车的速度为x千米/时，汽车的速度为y千米/时。 根据题意，得 消去y，得 解之，得 答：自行车的速度是16千米/时，汽车的速度是40千米/时。 注：1、设未知数时要有单位，速度单位不要设成长度单位。2、列方程时单位一定要统一，如例题中的45分钟一定要化为 （2）相向而行问题： 解“相向而行问题”时，也需要依时间列方程解之。 例4，甲、乙两人分别从相距20千米的A、B两地以相同的速度同时相向而行，相遇后，二人继续前进，乙的速度不变，甲每小时比原来多走1千米，结果到达B地后乙还需30分钟才能到达A地，求乙每小时走多少千米。 解：设乙每小时走x千米，则相遇后甲每小时走(x+1)千米。 因为甲乙两人同时同速出发，则相遇时路程各走了一半，为10公里。 依题意得： 去分母：方程两边同乘以2x(x+1)，20(x+1)=20x+x(x+1) 化简整理方程：x2+x-20=0 ∵x2+x-20=(x-4)(x+5) ∴(x-4)(x+5)=0 ∴x-4=0或x+5=0 ∴x1=4或x2=-5 经检验，x1=4，x2=-5都是原方程的解，但速度为负数不合题意，∴舍去。∴x=4 答：乙每小时走4千米。 说明：整理方程后虽然是个一元二次方程：x2+x-20=0，我们可用因式分解法将左边：x2+x-20=(x-4)(x+5)，进行因式分解，再应用ab=0则a=0或b=0的结论来解。 （3）合作工程问题： 解合作工程问题，也常常需要依时间列方程来解应用题。 例5．甲、乙两个小组合修一台机器，2小时完成。已知甲小组单独修需要3小时，求乙组单独修需几小时？ 分析：工程问题常常把全部工作看成1（有时也可以看成a），那么工作效率= 解：设乙小组单独修需x小时，则乙小组每小时的工作量（又称工作效率）为 由题意得： ∴x=6 经检验：x=6是原方程的解且符合题意 答：乙小组单独修需要6小时。 工程问题常用关系式为：工作量=工作效率×工作时间 例6．要定期完成一件工程，甲单独做正好按期完成，乙单独做要超期3天才能完成，现甲乙合作2天，余下的由乙单独做，刚好按期完成，求甲乙单独做全部工程所需天数。 解：设甲单独完成需要x天，则乙单独完成需(x+3)天， 依题意：2( 化简整理方程： 去分母：方程两边同乘以x(x+3)：2(x+3)+x2=x(x+3) 化简整理方程：2x+6=3x，∴x=6 经检验x=6是原方程的解且符合题意， ∴x+3=6+3=9 答：甲单独作需要6天，乙单独作需要9天。 注：本题的关键量在于寻找工作量。甲的工作量为：甲的工作效率×甲的工作时间，即2· 例7．打印一份稿件，甲打30分钟后由乙继续再打25分钟就完成。第二次再打这份稿件，乙打30分钟后由甲继续再打24分钟就完成。问甲、乙二人单独打这份稿件各需多少分钟。 解：设甲、乙单独打这份稿件需要的分钟数分别为x, y 由题意可得 设 则原方程组为 (1)-(2)：2A= 将A= ∴ 经检验，x=60, y=50是原方程组解且符合题意， 答：甲乙单独打这份稿件的时间分别为60分钟和50分钟。 合作工作问题基本数量是时间，总工作量、效率。它们之间的关系为效率×时间=总工作量。工作问题中常常把总工作量看做1。特别要注意工作的时间与工作量的表示，如果一件工程要x天完成，则一天就能完成 （4）流速问题： 流速问题是特殊的行程问题，较一般行程问题特殊在速度的合成上。 例8．船航行于相距32千米的两个码头之间，逆水比顺水多用12小时，若水流速度比船在静水中的速度少2千米/时，求水流速度及船在静水中速度。 解：设船在静水中速度是x千米/时，则水流速度为(x-2)千米/时，则船在顺水速度为[x+(x-2)]千米/时，船在逆水中速度为[x-(x-2)]千米/时， 由题意得： 化简整理得： ∴x-1=4，∴x=5， 经检验：x=5是原方程解且符合题意， ∴x-2=5-2=3 答：水流速度为3千米/时，船在静水中速度为5千米/时。 （5）整数问题： 例9．一个两位数的十位数字是6，若将十位数字与个位数字对调，那么所得的两位数与原来两位数的比是4：7，求原来的两位数。 解：设个位数为x，则两位数为10×6+x，易位后的数为10x+6 由题意可得： 经检验 x=3是原方程的解且符合题意。 ∴10×6+x=10×6+3=63 答：原来的两位数为63。 例10．一个分数的分子和分母各加上1，得 解：设这个分数的分子为x，分母为y，则分数为 由题意可得： 经检验x=5, y=17是原方程组的解且符合题意，∴ 答：这个分数为
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代入原方程组检验适合
=n
代入(4)， m+4×
