认识图形世界、发展空间观念、提升数学思考

认识图形世界、发展空间观念、提升数学思考
——“图形的认识、测量”备课解读与难点透视
南京市北京东路小学　张齐华

一、变化的背后及因由
在原来的《大纲》中，“图形的认识、测量”属“几何初步知识”领域。之所以将原先的“几何初步知识”调整为“空间与图形”，其实是价值取向之变化。
1．学科体系对儿童经验的适度妥协——学习内容的重新定位。
从几何学本身来看，它有着相对完善、严谨、科学的知识和方法体系。但从几何发展的历史来看，人们对几何图形的认识首先根据生产、生活实践经验，依靠直觉观察、反复实验而形成的，不是靠后来人们整理时所运用的逻辑推理而形成的。尤其是，小学生的思维又正处在由直观表象思维为主向抽象逻辑思维为主的过渡阶段，他们对几何图形的认识还相当于人类早期认识几何的阶段。因此，我们不应该、也不需要让小学生过早接触板着面孔的、纯学术性的几何系统知识，倒不妨引导小学生借助他们身边直观、可感的空间世界，借助学生原先储备的经验积累，主动地关注、认识周围的图形世界，在大量的操作和思考活动中丰富表象，提升数学思考，发展空间观念。
2．知识、技能、方法、思想和观念——学习目标的理性重建。
“认识图形，掌握它们的特征及周长、面积与体积的计算规则，进而运用它们解决问题”，这些曾是“几何初步知识”领域重要甚至唯一的教学目标。如今当数学学习对于人的发展的价值再一次被重新认识和界定时，我们是否可以做出这样的判断：仅仅掌握一定的几何知识、形成相关的解题技能，已远远无法满足个体对于数学学习的价值期待。
笔者十分赞同课程标准中的提法：“数学为其他科学提供了语言、思想和方法……它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分”，“教师应……帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法”。而思想、方法大量存在于“图形的认识、测量”之中，只是由于知识、技能的目标相对比较显性，思想、方法及观念等目标相对隐性罢了。举例来说，“认识图形”本质上是一个概念的建立过程。试想，倘若离开“观察、辨别、比较、抽象、概括”等必要的数学方法的介入，学习个体如何才能从具体、直观的生活场景或现象中抽取相应的数学概念，从而在相对抽象的层面上达到对几何图形的真正认识和把握？当然，能否在具体的教学情境中把数学思想与方法从具体教学内容中解析出来，进而内化为学生的数学素养，尚需进一步研究。
至于空间观念，它是在空间知觉的基础上形成起来的，具体表现为“能由实物的形状想像出几何图形，由几何图形想像出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；能根据条件做出立体模型或画出图形；能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系；能描述实物或几何图形的运动和变化；能采用适当的方式描述物体间的位置关系；能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。”概括地说，它是几何形体的大小、形状及其相互位置关系在人脑中的表象。表象是由感知觉到概念间的“阶梯”，具有直觉性和概括性。由于空间观念的积累，可以逐步形成空间想象力，这将为目前和以后的学习奠定必要的基础。再者，小学生能否清晰地掌握图形的特征，能否正确计算物体的面积、体积，很大程度上也决定于空间观念的积累。有了空间观念，才能建立没有大小的点、没有宽窄的线、没有厚薄的面这样的几何概念。由此可见，相对于“几何知识”的习得而言，空间观念的发展意义更为重大。
3．参与、体验、实践——学习方式的再度厘定
如前所言，学生学习在小学阶段学的应该属于直观几何，学习直观几何，就得采用儿童喜爱的“看一看、折一折、剪一剪、拼一拼、摆一摆、量一量、画一画”等具体、实际的活动方式，引导学生通过亲自触摸、观察、测量、制作和实验，把视听觉、触觉、运动觉等协同起来，强有力地促进心理活动的内化，从而掌握图形特征，形成空间观念。抽象推理、逻辑演绎、严格证明的方式要不要？必要的时候也可以适当运用，但鉴于小学生实际的思维水平及认识能力，动手操作、实践探索似乎更能适应学生“空间与图形”领域的学习。正如课程标准所言，应注重使学生通过观察、操作、推理等手段，逐步认识简单几何体和平面图形的形状、大小；应注重通过观察物体、制作模型、设计图案等活动，发展学生的空间观念。
二、梳理教材的脉络与结构
由于小学生空间观念的形成要经历一个长期的、反复的过程，因而各版本的数学课程标准教材十分注意把这些“空间与图形”知识有层次、有坡度地分配到各个学段中。编排时，既强调“空间与图形”知识本身内在的纵向联系，又关注数与形的横向沟通与联系，做到相互为用。尤其是，“空间与图形”知识的编排充分考虑了小学生空间观念形成的认识规律。比如，按几何中点、线、面、体系统，应先学平面图形，再学立体图形。但是，考虑到人们认识事物一般是从粗略的整体感知开始，然后对物体进行细致观察和局部研究；客观世界最常见的是各种形状的物体，“面”是附着于“体”上的。儿童首先看到的是一个个物体，在整体感知“体”的基础上，才能逐渐研究“面”，建立“形”的概念。所以，先认识“体”，后认识“形”能降低认知难度，有利于学生学习。因此教材在编排这些内容时，没有受“空间与图形”内在的逻辑结构的简单制约，而是采取了“体－形－体”的混合螺旋编排结构，即先直观立体图形，然后借助立体图形初步认识平面图形，而在学生深入认识平面图形特征后，再在其基础上安排立体图形的特征探索及求积计算。
数学知识的逻辑性强，“空间与图形”领域中的每一知识点都不会孤立存在。它们或者前有关涉，或者后有呼应，或者二者兼而有之。新知往往能在旧知基础上找到生长点，同时又构成后续新知的生长点。就以苏教版三年级“认识长方形和 正方形”为例，之前学生已在一年级(下册)“认识图形”单元中初步认识了长方形和正方形，在二年级(上册)“量长度”和二年级(下册)“分米和毫米”两个单元中已练习过量长方形各条边的长度和量正方形的边长是多少，在二年级(下 册)认识了角，知道长方形和正方形都有四个直角。而刚刚形成的认识又成为后续内容“长方形、正方形的面积”的生长点，进而又成为其它平面图形面积计算新的基点。就这样，新旧知识彼此呼应、相互关联，编织成了系统的数学知识网络结构。教师在备课、教学时，对于这一特点应该有深刻而鲜明的认识与把握。
鉴于小学生思维的形象、直观性，加之一维空间比二维、三维空间更抽象，曲线（曲面）图形比直线图形更难以把握，且化曲为直、极限等数学思想又较难把握，因而在图形的认识与测量领域，对于直线以及直线之间的位置关系，射线以及射线组成的角，圆、圆柱及圆锥的相关知识等，学生认识起来颇有困难，这些构成了学生的主要认识难点。这里虽提到数学思想，但没有深入，对读者没有帮助。
三、解读学生的背景与现实
我们生活在一个由形、体构成的丰富、生动的现实世界里，学生每天都在和图形接触、交往，日常生活中积累下的对图形世界的感知、表象和思考构成了学生丰富的经验背景，成为他们认识“空间与图形”的重要物质基础。同时，学前教育期的儿童，鉴于其思维水平的现状，他们尤其偏爱操作性活动，比如搭积木、折纸等，大量活动积累下的丰富活动经验以及初步形成的空间观念构成了儿童学习数学的重要方法基础。我们常说，“学生不是一张白纸”，在空间与图形领域的学习中，这一点尤为突出。
但也不得不承认，学生的有些经验无论是从其生成方式还是储备形式看，都是模糊的、直觉的、多义的，系统化程度不高，甚至有些经验还会对系统的数学学习产生负迁移，干扰学生对数学知识的准确建构。因而，它们只是构成了学生认识图形领域的“可能基础”，要想真正将其转化为学生的系统认识，并在认知过程中发展学生的数学思考与空间观念，经验的唤醒与重组，活动的组织与开展，教学的引导与建构，学生的探究及内化等显得尤为重要。
四、建构课堂的实践与思考。
以下是从实践层面对“空间与图形”领域课堂现场的勾画，有对某一类型内容整体、宏观的教学建议与思考，也有对某一具体案例细致、微观的教学透视。总体分“认识图形”、“观察物体”、“计量单位”和“图形测量”四大板块，而前两块又隶属于“图形的认识”板块，而后两块则隶属于“图形的测量”板块。
1．认识图形
认识图形，重要的是图形的分类和图形本质特征的把握，以及在认知图形的过程中发展数学思考，提升空间观念。因而，在情境中认知图形，在探索中建构特征，在活动中发展观念应该是本板块内容教学的重要策略。
⑴情境是必要的，但须适宜。
创设情境是必要的。但关键问题是，我们为何需要情境，我们需要怎样的情境，我们该如何运用情境，这些问题需要我们深入思考。
人的学习带有情境认知的特点。适宜情境的营造，一方面为后续学习提供了可资利用的学习素材，只是有些素材直接呈现，而有些素材则隐含在复杂的真实生活情景中，需要学生从背景中予以剥离。另一方面，由于情境所提供的素材带有典型性，它们的呈现题材与学生经验储备中既有的素材有着内在结构、要素的相关性和一致性。情境在这里恰恰又起到了唤醒、联想及触类旁通的作用，唤醒的更多素材事实上构成了学生认知图形的更为广阔的经验背景。
生活情境未必是数学情境的全部，但对于小学生学习空间与图形，其重要性不可忽视。如教学射线，由于其认知基础是线段，且线段学生已经掌握，因而如果从线段这一“旧知”通过数学推理、类比来认识射线这一“新知”，未尝不可，但形式化味道浓，不易为小学生所真切感受与理解。因而多个版本教材都选择了从具体现实情境引入，借助具体的生活现象与画面唤醒学生的经验，进而把握图形的特征。
如苏教版教材从有趣的现象引出射线。主题情境图呈现了一幅美丽的夜景图片，其中最突出的是一束束绚丽的光线，每束光线都从地面上的某一点射向天空，射得很远、很远，看不到尽头。生动现实的画面传递着这样一种信息：这一束束光线一端在地面，另一端无限延伸。学生在形象材料的支持下，首次感知时就对射线的特征有了鲜明、准确的把握。
⑵自主建构，还须有效引领
探索是学习个体携自身原有经验及方法背景参与新知学习和研究的过程。如何有效唤醒学生原有的经验储备，如何引导学生主动参与探索活动，如何将探索获得的经验与结论进一步抽象概括并提炼为数学认识与方法，这些问题值得探讨。这里，我们拟以“认识长方形、正方形”一课作具体阐释。
结合情境，学生对长方形、正方形有了初步的感知后，教师展开如下教学。
第一层次：游戏中初步感悟
师：(出示一个黑色袋子)老师在这个袋子里装了一些长方形、正方形以及其它平面图形，你能从中摸出一个长方形吗？
学生跃跃欲试，并有几个学生上来试着摸长方形，且都准确地摸出了长方形。
师：你们为什么不摸这个图形(出示三角形)？
生：因为长方形有四条边，但摸的时候，我感觉它只有三条边，所以我没摸。
师：这个图形四条边(出示平行四边形)，你们为什么不摸。
生：可它的角不是直角呀，长方形的角是直角。
师：这个图形(出示直角梯形)不也是四条边，并且有直角吗？
生：(激动地)不对，长方形四个角都是直角，但它只有两个直角。
师：这个图形四条边，四个角也都是直角，你们又为什么不摸呢？
生：这不是长方形，这是正方形。
生：正方形四条边都相等，但长方形的这两条边却不等(手指相邻两条边)。
师：当然，长方形和正方形的关系很特殊，以后我们还将继续学习。那么通过刚才的学习，你觉得长方形和正方形各有哪些特点呢？
生：我觉得长方形有四条边，四个角都是直角。
生：我觉得长方形对面的两条边长度一样。
生：我觉得正方形四条边都相等，四个角都是直角。
……
第二层次：活动中二度建构
师：通过摸图形的游戏，同学们对长方形、正方形已经形成初步的认识。但情况是不是和你们讲的完全一样呢？下面，请大家结合手中的学习材料(长方形和正方形纸、直尺、剪刀等)，动手量一量、折一折、比一比，再来深入研究一下长方形、正方形的特点。
学生有的折，有的量，有的比，纷纷投入研究活动中来，并在动手操作和合作交流中自主建构了长方形、正方形的特征。教师则及时引导学生将视角聚焦至图形的特征及相关的操作过程中来，以使学生的交流更有针对性，更有效。
上述案例“摸图形”因其颇具挑战性而自觉引发学生参与的热情，师生的对话与反诘则有效唤醒学生原有的对于长方形、正方形的模糊经验，进而在对比中进一步澄清认识，初步构建长方形、正方形的特征。游戏活动后安排的二度探索意义更大，动手操作、合作交流的过程，正好将学生原先获得的模糊经验进一步明晰化、准确化、系统化，从而真正将活动经验转化为有效的数学知识，并在过程中提升思考、获得发展。
当然，有些“规定性知识”，该告诉的不妨直接告诉。只是，以怎样的方式“告诉”，却是一门艺术。如教学长方体的长、宽、高这一知识，是简单结合三视图告知它们的名称？下面这位教师的处理则颇具创意，尤其对发展学生的空间观念收效甚佳。
首先，教师出示长方体的透视图(如下，但12条棱应全部能看清)。




师：如果请你擦掉其中的一条棱，你还能想象出这个长方体的大小吗？
学生擦掉其中的一条棱，结果发现，根据剩下的11条棱，同样能想象出长方体的大小。
师：如果再让你擦掉一些棱，想一想，至少要剩下哪几条棱，才能保证我们可以想象出长方体的大小？先想一想，再动手试一试。
学生展开想象，随后动手尝试。结果，多数学生的作业纸上都留下了如下三条线段。



师：根据这三条棱，你真的能想象出长方体的大小？
生：能!
师：请给大家比划一下它的大小。
学生边想象，边比划。
师：还能再擦掉一条棱吗？
生：不能。再擦掉横着的这条棱，就想象不出长方体有多长了；擦掉斜着的这条棱，就想象不出长方体有多宽了；擦掉竖着的这条棱，就想象不出长方体有多高了。
师：看来，这三条棱都很重要，缺一不可，它们直接制约着这个长方体的大小。
在此基础上，教师再水到渠成地“告知”这三条棱的名称：长、宽、高。
尽管还是“告知”，但此时的“告知”已不是简单意义上的“告诉”。学生在教师精心组织的数学活动中，边观察、边操作、边想象，多种感观协同作用，此时的“长、宽、高”已不是简单意义上的长方体的各部分名称，它们对于长方体大小的决定作用，它们的不可或缺性都化作了学生的深刻思考。由此，原本“人为规定”的数学知识，在学生的自主参与和建构中，获得了更为鲜活的意义，而想象力、观察与分析能力及空间观念等都在活动中得以有效发展。
⑶设计多样的活动，促进多元的发展
获得结论后，及时安排丰富、多层次的数学活动，可以使学生探索而获得的结论、特征、方法更为深刻，进而内化为一种稳定、清晰的知识结构，成为数学素养的重要组成部分，并有效发展学生的空间观念。
如“认识长方形、正方形”一课，认识长方形、正方形的特征后，苏教版教材安排了“在钉子板上围长方形和正方形”、“用两副同样的三角尺拼长方形和正方形”、“用长方形剪一个正方形”、“用多个小正方形拼大长方形或正方形”、“在方格纸上画规定的长方形或正方形”等，不同层次的活动有不同的教学意义和价值，其内涵的数学思考也不尽相同，教师应细心领悟，精心组织。
再如“圆的认识”一课(江苏贲友林)，教师设计如下练习，虽质朴无华，却内涵丰盈。
教师出示如下连线题。
r =4米 自行车轮胎
d =2.4厘米 茶杯口
r =35厘米 手表表面
d =0.8分米 花坛
连线的过程，正是学生展开想象的过程。他们需不断调度头脑中原有的长度单位的表象，并结合“r”、“d”及各个数的实际意义展开想象，并最终准确地将数据与物品连在一起，数形结合的思想、空间观念的发展在这里得到很好的体现。然而，下面的设计更有意思。
师：手表的表面一定是圆的吗？
生：有些手表的表面是正方形、长方形或其它图形的。
教师出示一些手表，表面是各种各样的图形。
师：看来，手表表面形状多样，不一定是圆形的，但是，任何形状的手表中，只要善于观察，我们一定能找到圆形，你相信吗？
生：我发现了!时针、分针或秒针围动一圈，针尖正好经过一个圆形。
师：手表表面不一定是圆形，但车轮能不能不是圆形？
生：不能，如果车轮是其它形状的话，那它就不能平稳地滚动了。
师：那车轴应该装哪儿呢？(圆心)你能用火柴棒作车轴，用圆形纸片作车轮，试着滚一滚，感受一样吗？如果车轴装在其它位置，或者选用其它形状的纸片作车轮，情况又会怎样呢？
学生动手操作、体验，进一步感受圆形车轮的必要性。
师：但是，车轮真的必须是圆形的吗？(教师拿出一本《十万个为什么》，翻到“车轮一定是圆的吗”这一节)在这本书中，我们将发现，有些特殊的车轮就不是圆形的，而且，它还将告诉我们更为奇妙的知识和奥秘，感兴趣的同学课后不妨找来看一看。
从教学效果看，教师的拓展很有价值。“手表表面”的探讨，不仅仅在于拓展知识面，更让学生从针的运动中“看”出了“无形的圆”，“到定点距离等于定长的点的轨迹”的意识在这里得到蕴伏，空间想象能力也巧妙渗透其中。“车轮一定是圆的吗”，问题的思考与解决恰恰是对圆的特征的一次灵活应用，而最后，资料的展示及悬念的设置，更是让学生对圆平添了几份兴趣，增进了学生数学学习的积极情感。
2．观察物体
观察物体作为一新增设内容，课程标准对于其教学目标的定位是：“能辨认从正面、侧面、上面观察到的简单物体的形状”(第一学段)、“能辨认从不同方位看到的物体的形状和相对位置”(第二学段)。应该说，学生对此已有一定的经验基础，尤其表现在对于单个物体的观察上。问题在于，学生已有的生活经验如何进一步提炼为数学知识与数学思考；其次，如何引导学生对较复杂的物体展开观察，并形成良好的观察习惯、习得科学的观察方法、积累丰富的活动经验，进而提升学生的想象和空间思考能力。
⑴准确对待学生已有的经验。
日常生活及学前教育中，学生已经积累一定的关于观察物体的活动经验，但是，在不忽视学生此类生活经验的同时，我们也不必对学生的经验背景作过高估计。首先，日常生活中所获得的关于观察的经验，由于观察时的无意识和缺乏相应的指导，因而经验呈现一种模糊性、潜伏性。其次，对多个物体或由多个物体组成的整体的观察、推理等较难进入学前儿童的认识视野，这也构成了他们经验世界的空白点。此外，第一、二学段数学领域的“观察物体”已不局限于“从某一面观察物体，描述所看到的形状”这一基本层面，“从某一面观察物体，想象从其它几个面观察可能看到的形状”、“根据观察到的形状，反推观察者的观察角度”等更高的学习要求，对于学生的数学思考、空间推理、空间想象能力等提出了更高的挑战。
⑵仅仅引导学生经历观察是不够的。
对于像“观察物体”这类的数学活动，学生喜欢，也乐于参与。但乐于参与并不一定意味着可以获得必要的发展。尤其是，学生乐于在这里并不仅仅表现在乐于观察、乐于交流，在此基础上，它还需要有一个乐于想象、乐于推理、乐于反思的过程。否则，活动往往会流于形式，而真正的数学思考与空间观察未必能得到很好的发展。这里，我们不妨结合苏教版二（上）“观察物体”（深圳张裕）一课的教学片断，作一具体读解。
张老师引导每组四名学生分别坐在观察物（维尼熊）的前后左右四个角度，并组织学生通过以下多层次的活动观察维尼熊，体验不同角度看到的物体形状不同。
●在自己座位上观察。
师：小朋友们面对着小熊坐好，仔细观察，头不要偏，你看到了它的什么？
学生根据要求认真观察，随后在组里展开交流。
生：我在小熊的前面，我看到了它的鼻子.
师：在小熊的前面,除了看到它的鼻子,还能看到什么?
生：我还能看到它两只小眼睛，两只耳朵，可爱的小肚皮和它的两只脚。
师：这下，你观察的东西就全面多了。而且，你还注意了按从上往下的顺利进行观察，是这样吗？（是）真好！
生：我坐在小熊的左边，看到了它的左鼻孔、左耳朵、左手、左腿。
……
师：同学们观察的真仔细，说得很准确。
●交换位置再观察。
师：刚才你们在自己的位置上观察了可爱的维尼熊，现在咱们换换位置再观察，好吗？小熊前面和后面的同学换换位，左面和右面的同学换一换。不过，交换位置之前，请同学们默默地猜一猜，交换以后，你观察到的样子和刚才会一样吗？可能会是怎样的呢？
学生静静地思考、想像，随后按要求换位观察。
师：坐在维尼熊前面和后面的同学，现在的位置看到的熊和你刚才看到的一样吗？
生：不一样。前面能看到鼻子、眼睛，从后面看不到。
生：虽然都能看到耳朵，但前面看到的是耳朵正面，后面看到的是背面。
师：这和你一开始猜的一样吗？（一样）看来，从前面和后面看小熊是不一样的。那么，从左边和右边看维尼熊，一样吗？
生：是一样的，都能看到小鼻孔、一只耳朵、一只手和一条腿。
生：我反对！一开始我也以为一样，但仔细观察后，我发现不一样。从左边看，小熊的鼻子朝左边，从右边看，小熊的鼻子却朝右边。
师：究竟是不是这样呢？咱们再到小熊的左边和右边仔细观察观察。
学生再次观察维尼熊左右两边，并在组内讨论，最后达成一致共识，从维尼熊左右两边看到的的确不一样。
师：的确，从维尼熊左边和右边观察到的样子很像，但是只要认真观察，我们还是能从细微的不同地方看出它们的区别的。瞧，认真观察多重要呀！
●从前后左右观察小熊
师：坐在自己的位置上只能看到小熊的一个面，要是每个人都想看到小熊的前后左右四个面，有什么好办法吗？
生：我们可以围着小熊转一圈呀。（边说边演示）
生：人走一圈太麻烦了。可以让小熊转一圈,我们坐在位置上也能看到它的前后左右。
师：是嘛？能做给我们看看吗？（生演示维尼小熊转一圈）
师：这个方法怎么样？
生：也很好。只是转得要慢一些，让我们每个人都看清楚。
师：看来，两种方法都不错。小组内商量一下，选择一种方法，在组长的带领下开始观察。
师：同学们从前后左右再次观察小熊，你们看到的一样吗？(不一样)为什么？
生：因为观察的角度不同，所以看到的就不一样了。
(4)给维尼熊拍照
师：听课老师也想看清楚维尼熊的四个面，我们用相机把它拍下来，给全体老师看。
学生拍照，教师每出示一张照片，引导全体学生思考：这可能是谁拍的？为什么
生：这张是我拍的，我站在小熊的前面。
生：我站在小熊的右边拍的。
……
师：为什么拍的都是小熊，拍出的小熊模样却不一样呢？
生：因为观察的角度不同，拍到的也就不一样了。
撷取的只是一个片断，但透过片断，我们不难发现，看似“简单”的内容，却在张老师的精心组织和引导下，生发了许多新的要素和内涵。首先是观察方法的引导。无序的观察无法提升学生的观察能力，更不谈空间观念的培养了。张老师在这里作了很好的引导，比如引导学生“仔细观察，头不要偏”，这是观察方法与习惯的指导，再如引导学生“全面观察”，尤其对学生中自然生成的“有序观察”给予充分肯定，此时的“细处理”恰恰是为了将来的“粗放手”，磨刀不误砍柴工。其次是多维度活动的整体推进。仅有观察是不够的，唯有将观察活动与想象、推理、表达、思考有机融合为一体，观察能力才能真正得以培养，学生的空间观念才能得以有效生成。上述案例中，教师边引导学生观察，边同时引导学生“猜一猜”“先想象一下”，进而思考“为什么……”等，有时是学生观察前猜测，观察后验证，有时是学生遇到冲突再观察，必要时调整自己的认识结构，等等。丰富、多维度的活动交织在一起，各种感观协同作用，并最终内化为知识结构和认识能力，转化为稳定的数学素养。
当然，不同的观察内容，其要求和方法也不尽相同。但通过引导学生有序进行观察，并将想象、推理、思考、表达交织于观察活动当中，进而积累经验、形成空间表象，获得换位空间知觉印象，最终通过反馈与矫正发展安空间观念，应该是“观察物体”这一内容的共同要求。
3．度量单位
这是传统的教学内容。“空间与图形”领域的度量单位主要包括常用的长度单位、面积单位、体积(容积)单位等。以往的教学实践已经积累不少的成功经验。本板块内容的教学重点是，如何激发学生感悟度量单位产生的需要，进而以有意义接受或“类比创造”的方式建构度量单位，并在多样化的数学活动中进一步丰富度量单位的表象，深化体验，提升空间观念。
⑴激发学生感悟度量单位产生的需要。
所谓“掐去两头烧中段”，其中之一即是指学生不理解新知为何要学习，新知得以产生的源头在哪里。学生往往“知其然”，但“不知其所以然”，这无论从知识建构本身，还是数学思考的培养上看，都不可取。
度量单位的学习，通常源自于这样一种需要，即解决新的问题时，原有的度量单位无法满足需求，需要有一种新的度量单位介入。教师应通过创设新的问题情境，激活学生的认知冲突，激发他们主动接受，或者“创造”新的度量单位的愿望。如果这一类度量单位首次接触，可以采用“比较情境”，如两个图形比大小，通过观察或重叠无法直接比较大小，逼迫学生想办法通过用同样大小的单位图形摆一摆，再根据单位图形的个数多少来判断。当然，如果用不同大小的单位图形摆，结果会更复杂，但其中会蕴含一些数学思考及思想方法，同样值得考虑。如果前面已经接触过此类面积单位，则可创设“度量情境”。如学习了立方厘米后，教师可引导学生借用体积是1立方厘米的小方块度量电视机包装箱的体积，面对新的情境，学生在经历尝试或思考后，自然会感悟到原有体积单位的“不适用性”，从而萌生出“创造”一个新的体积单位的愿望，从而使数学学习成为学生内在生成的主动诉求。
⑵有意义接受与“类比创造”相结合
以往，我们比较关注学生对度量单位的有意义接受；现在，我们似乎更在意学生能否自己主动创造一个新的度量单位。事实上，二者同样重要，只是适宜于不同情况罢了。倘若首次接受面积度量问题，对小学生而言，由于面积相对抽象，要使他们自己创造出新的面积单位有一定困难，且价值不大，通过引导学生观察模型、自学教材等方法进行有意义接受学习未尝不可。至于学生已经有了同类度量单位的基础，再遇到新的问题，需要有新的度量单位介入，教师引导学生借助已有经验及知识背景进行“创造”，也不失为一种可行之举。关键还得看实际情况。正面结合“面积单位”一课教学，作一阐释。
师：我们先来学习一个面积单位，叫做平方厘米。什么是1平方厘米呢?
生：(通过看书)边长是1厘米的正方形，面积是1平方厘米。
师：(出示桔红色的平方厘米的模型)请同学们仔细观察平方厘米这个面积单位，它是什么形状，有多大?(生仔细观察)看清楚了就把眼睛闭起来，在脑子里回想，l平方厘米的面积是多大的正方形?(生闭眼回想)在脑子里留下了平方厘米的样子吗?现在请把信封里的所有的平面图形拿出来(课前发下，一人一份)，把平方厘米从里面挑出来。
……
师：(故意)请大家用平方厘米测量一下课桌上表面(学生使用的是单人桌)的面积。(学生度量，面有难色)这样量，大家感到怎么样?
生：这样量太慢了。用平方厘米这个面积单位度量课桌上表面面积，太小了。
师：那，怎么办呢?——
生：我想，有没有大一点的面积单位呢?
师：真会想问题!这大一点的面积单位，就请大家来创造一下，叫什么呢?
生：叫平方分米。
生：叫平方米。
师：你能根据平方厘米的意义，想一想什么是1平方分米，什么是1平方米吗?
生：我想，边长是1厘米的正方形，面积是1平方厘米；边长是1分米的正方形，面积就是1平方分米；那么，边长是1米的正方形，面积就是1平方米。
师：你们能用手比划一下，1平方分米的面积大约有多大?1平方米呢？
学生比划，教师出示平方分米和平方米的模型让学生观察、对照，直至形成清晰表象。
综上可知，教学平方厘米这一度量单位时，教师没有引导学生进行所谓的“创造”，而是引导学生通过看书、观察、闭眼等活动进行学习，这恰恰是基于对学生认识起点的精准把握和理解，也是对教学有效性的体现。在学生掌握了平方厘米，且对什么是面积单位，面积单位通常可以用怎样的图形作“表征”后，再通过创设适宜情境，激发冲突，并自然而然通过类比迁移，进行联想与“创造”，学生原有的经验积累已经具备“再创造”的能量，此时再选择引导新的学习方式，可谓恰到好处。既掌握了知识，又发展了思维，培养了学生的空间观念及创造能力。
⑶丰富度量单位的表象及体验。
能否准确建立度量单位的表象，并能在新的问题情境中自觉唤醒并促进问题的解决，显得尤为重要。如何建立表象？我们以为，关键是强化感知与体验。感知是体验的前提，体验是感知的深化。教学时，应通过创设多种活动形式，引导学生在摸一摸、看一看、掂一掂、比一比、猜一猜、想一想、估一估的过程中，各种感观协同作用，从各个角度丰富对度量单位的认识，从而形成鲜明的表象，促进学生对度量单位的理解与建构。如“升和毫升”一课（浙江谢作长），谢老师为了深化学生对这两个度量单位的体验，创设了各种有价值的数学活动。
●建立毫升的观念
①玩一玩1毫升的水
a.猜：刚才两杯饮料相差10毫升，请大家猜一猜1毫升水有多少？
b.玩：用针筒（先介绍针筒的刻度线）吸1毫升的水，放在手心里玩一玩。
c.数：1毫升水会有多少滴？
②玩一玩10毫升的水：用针筒吸10毫升的水挤入杯中，与1毫升比一比，你有什么发现？
③玩一玩100毫升的水：先估计100毫升的水大概在水杯的什么位置，然后小组成员盛水，轮流倒入量杯量一量，看谁最接近100毫升。
●建立升的观念
①玩一玩1升的水
a.猜：如果10个小组都把这100毫升的水倒在一起，就是多少毫升呢？讲台上几个空瓶哪个能盛得下？
b.验证：十位组长按顺序倒入一个空瓶中，结果显示刚好能盛1000毫升，提示：1000毫升正好是1升。
②玩一玩2升的水：（举起2升的空瓶）这空瓶可以盛多少水？
学生猜测，教师倒水验证，并显示标签证实。
③猜一猜几升的水：出示几只大小不等的空瓶，猜一猜，每只瓶各能盛多少升的水。学生估计后，教师倒水验证。
活动过程中，有观察、有操作、有猜测、有验证，“放在手心玩一玩”“挤入杯中比一比”“倒入量杯量一量”……正是在这些富有实效、充满情境的活动中，学生不断地与新的度量单位“亲密接触”，尤其是，刚刚获得的表象又在猜想、验证的过程中不断予以调整、矫正，直到被深刻建构，并在体验中内化为稳定的心理表象。
至于度量单位之间的进率，教师可以在引导学生获得清晰表象后，借助必要的数学推理实现理解与建构，并在一定练习的基础上形成技能。
4．图形测量
教材根据小学生的思维能力及数学知识本身的逻辑结构，从一维、二维到三维的顺序依次安排了测量长度、度量角、测量面积和测量体积，并安排了平面图形的周长、面积与立体图形的表面积及体积等相关内容。图形测量在传统教材中扮演重要角色，是过去“几何初步知识”的核心内容。今天，虽然它在“空间与图形”领域的比重有所下调，但其重要性仍不可小觑。一方面，对于小学生而言，探索长度、面积及体积的计算方法蕴含太多的数学思考及解决问题策略，而相应实际问题的解决，又可以很好地培养学生的数学思维能力及问题解决能力。另一方面，作为一种重要技能，小学生理应掌握必要的“求积计算”及测量能力，这是他们数学素养的重要组成部分。
具体教学，我们可以大致遵循“探索中初建模型——应用中提升思考”的整体教学思路。
⑴在探索过程中初步建立数学模型。
数学模型的建立依赖于探索活动。同样的探索活动，探索材料不同、活动组织不同，学生所生成的对模型的理解程度及意义建构也会有所不同。下面，仅以“长方形、正方形面积计算”为例，作一具体解读。
案例一：
教师为学生提供如下材料：
透明方格纸、1平方厘米正方形纸块、尺子和一张印有六个图形的纸。
●教师呈现探索材料。
师：请自己选择材料和工具，想办法求出六个图形的面积，并把数据记录下来。
1号图：长5宽3 2号图：长4宽2
3号图：正方形边长2 4号图：正方形边长3
5号图：长4宽1 6号图：长6宽4
（长度单位：厘米）
●学生展开探索活动，然后小组交流。
第1组：我们组用透明的方格纸盖在2号图形上，发现2号图形里面一排正好有4格，有这样的2排，所以它的面积是8平方厘米。接着，我们又把透明方格纸盖在6号图形上，用同样的方法发现6号图形的面积是24平方厘米。
第2组：我们用小正方形摆在第1个图形上，横着摆一排5个，摆了这样的3排，一共摆了15个小正方形，面积是15平方厘米。
(补充：我们也是摆小方格的，我们一排摆5个，竖着又摆了2个，也能一下子看出一共要15个小方格，它的面积就是15平方厘米。)
师：（指图1）瞧，原来只摆7个，也能一下子看出它的面积!
第3组：我们用尺子在图1上画格子，长是5厘米，我们每排就画5格，宽是3厘米，我们就画3排，一共是15个小正方形，面积就是15平方厘米。
师：刚才用透明小方格去盖，用尺子画格子、用小正方形去摆，知道了这些图形的面积。比较这些方法，它们有什么相同的地方？
生：都是数方格的。
生：都需要知道一排有几格，有这样的几排。
师：长是几，就是有几个这样的面积单位，宽是几，就有几排这样的面积单位，长方形面积就是含有面积单位的个数。看来，长方形的面积和什么有关？又有什么关系？你能结合操作中的数据，说说它们之间有什么关系？
生：长方形面积等于长乘宽。
……
多元化探索素材的提供，打开了学生探索、研究的切入口与思路，他们有的数、有的摆、有的量、有的画，同样的结果却隐含着不同的数学思考，教师及时组织求同比较，在横向沟通中实现算法的共享，同时又使不同算法之间的本质意义在交流与比较中得到提炼和升华。
案例二：
教师为学生提供8个1平方厘米的小正方形，并先后依次出示如下四个长方形，引导学生借助手中的8个小正方形，通过摆一摆得出长方形的面积。
1号图：长4宽2 2号图：长6宽3
3号图：长8宽3 4号图：长12宽10
1号图形：学生很快通过摆一摆，得出它的面积是8平方厘米。
2号图形：学生先觉得小正方形不够，但通过积极思考后，他们想出“只摆1排和1列”，同样顺利解决问题。
3号图形：学生再度遇到问题，8个小正方形只够摆一排，怎么办？以上一问题解决策略的启发下，他们想出“摆完1排8个后，从中借3个再摆成1列”，从而同样巧妙解决问题。
4号图形：8个小正方形无论是摆1排还是1列都不够，怎么办？最终通过积极思考，他们从实物操作中摆脱出来，借助“想一想”，完成问题的解决。
四个问题恰好是四个不同层次，每一个层次的推进，都在无声地“导引”学生将思维从实物操作向表象操作，进而向算法操作过渡，从而在探索活动中真正完成对算法的意义建构。
两个案例的呈现，恰恰表明，求积公式的探索可以多元化。但是，题材的优化选择与组织，教师的恰当介入与指导，多种算法之间的沟通、比较与提升十分必要。唯有如此，好、更具一般意义的、相对抽象的算法才能为更多学生所理解与建构。
⑵在解释与应用中深化认识，提升数学思考
建立模型后，一个重要的环节是模型的应用与提升。必要的技能练习与复杂问题的解决在其中扮演重要角色。不必过分关注情境的现实意义，倒是数学思考的内涵值得我们仔细琢磨。比如，“角的度量”一课(江苏赵兆斌)，赵老师在练习阶段的设计相当有意思。
1．断了一角的三角形玉佩，如何测量断角的度数？
2．用量角器如何测量一个边很短的角？
3．猜一猜，下面的角可能是多少度？
(1)角的一条边指向右边的20度、30度、50度，另一边不给出。学生猜测20度、30度、50度后，教师出示另一边正对着零刻度线，学生成功通过。
(2)角的一条边指着60度，另一条边暂不给。学生猜测60度后，教师出示另一条边(指向反方向)，学生连呼上当。
(3)角的一条边指着70度，另一条边暂不给。学生冷静猜测：这个角可能是70度，也可能是110度。教师出示：角的另一条边不是指向零度刻度线。学生再呼上当。
(4)角的一条边指着80度，另一边暂不给。学生抢着回答：如果另一条边对着零刻度，这个角是80度或100度。如果另一边没对着零刻度，则无法知道角的度数。教师出示另一边，正对着30度刻度线。学生先是直呼“无法测量”，继而纷纷举手，“应该是50度”……
没有复杂、现实的问题情境，但每一个问题的设计都蕴含着丰富的思考内涵，且直指本课所学新知：如何准确地用度量器测量角的度数。学生在一波三折的思维波澜中不断经历着认知的结构的失衡与平衡，“角的度量”的认知难点被成功突破，思维能力也在解决问题的过程中不断得以提升。
此外，理解并建构了计算公式后，教师应营造有价值的问题情境，引导学生在解决问题的过程中既巩固计算公式、形成技能，又提升数学思考。问题情境的设置既要体现针对性，更要体现思考性、综合性。如“长方形、正方形的面积”一课，重庆郭莉老师的下述问题设计就很好。
问题情境：(主席台背景图)每个小正方形边长是2米，如何计算背景图的面积。






解决这一问题的过程，恰恰是学生最大限度地调用本课所学知识，并灵活予以综合应用的过程。
有些学生想到：根据正方形连长，算出长方形的长与宽，再求长方形的面积。
有些学生想到：先求出正方形的面积，再看看长方形中能有几个这样的正方形，从而间接解决问题。
其中，既有长方形、正方形面积公式的应用，又有长方形、正方形面积关系的呈现，而与此同时，平移的操作方法，空间想像能力及转化的数学思想等都在此得到很好的蕴伏与渗透。