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一、随机现象 在自然界和人类社会中存在着两类现象． 第一类，在一定条件下某种现象必定发生或必定不会发生，这类现象称为确定性现象． 例如:自由落体在经过t秒钟后，落下的距离s必定是；在标准大气压下，水到60沸腾．第一种是必然会发生的，称为必然事件，记作Ω． 第二种是必然不会发生的，称为不可能事件，记作φ． 另一类，在一定条件下，某种现象可能发生也可能不发生，称这类现象为随机现象． 例如：杭州明年正月初一下雪；播种1000颗种子，有850颗发芽；发射一枚炮弹，弹着点与目标之间的距离为15米． 对随机现象，在基本相同的条件下，重复进行试验或观察，可能出现各种不同的结果；试验共有哪些结果事前是知道的，但每次试验出现哪一种结果却是无法预见的，这种试验称为随机试验（random experiment)． 每次试验不能预测其结果，这反映随机试验结果的出现具有偶然性；但如果进行大量重复试验，所出现结果又具有某种规律性——统计规律性． 例如各次发射炮弹，弹着点与目标之间的距离可能各不相同，但如果射手技术较好，多次发射中距离近的必定是多数． 概率论就是研究大量随机现象的统计规律性的数学分支． 由于随机现象的广泛性，决定了这门学科的重要性． 即使在一定条件下某类现象可以视为确定性的，但在作更为深入的考察时，又应看作是随机的了． 例如对上面提到的自由落体运动，当我们考虑空气阻力、空气流动等因素时，物体下落的距离就不一定恰好是了． 随机试验的某一可能结果称为随机事件(random event)，简称事件． 一次试验中，某事件A可能发生，也可能不发生，发生的可能性有大有小． 这一可能性大小的数量指标就是我们所要研究的事件的概率．
在相同条件下重复作N次试验，各次试验互不影响． 考察事件A出现的次数(频数) n，称
为A在N次试验中出现的频率(frequency)． 频率一般与试验次数N有关；并且在N固定时, 作若干组N次试验，各组频率一般也不相同． 但当N很大时，频率却呈现某种稳定性，即在某常数附近摆动；且当N无限增大时，一般说来，频率会“趋向”这个常数． 这种规律称为随机现象的统计规律． 很自然，把频率所稳定到的那个常数表示事件A在一次试验中发生的可能性的大小，称作概率(probability), 记为P(A)． 概率的这种定义称为统计定义．
例1 掷一枚硬币，可能出现正面，也可能出现反面． 记A={出现正面}，当硬币均匀时，在大量试验中出现正面的频率应接近50%． 历史上有不少数学家作过试验，结果如右表． 自然地，我们认为对均匀硬币来说，P(A)=1/2． 例2 英文字母使用频率的研究，对于信息的编码、密码的破译等是十分有用的． 大量统计表明，字母E的使用频率最高，约为0．105；其次为字母T、O；字母J、Q与Z的使用频率最低，仅为0．001． 据此可以认为，在英语中，字母E出现的概率最高，约为0．105． 日常生活与生产实践中，诸如一批种子的“发芽率”，某人射击的“命中率”，某产品的“次品率”等等，都是用频率来近似概率的例子． 这里我们并没有给出“频率稳定性”的确切含义． 在第四章里，通过对概率论中著名的“大数定律”的讨论我们将会对上述含义有较深入的理解． 虽然我们并不能由概率的统计定义确切地定出一个事件的概率，但是它提供了一种估计概率的方法． 频率与概率的关系就像物体长度的测量值与该长度之间的关系：物体的长度是客观存在的，是该物体的固有属性，测量值是它的某种程度的近似值． 同样，随机事件发生的可能性的大小——概率是随机事件的客观属性，多次随机试验所得的频率则是它的某种程度的近似． 必须注意，应用概率的统计定义时，各次试验是在基本相同的条件下独立进行的，而且次数要足够的多． 从频率的统计定义立即可以看出，频率具有下述三个性质： 1． 非负性：; 2． 规范性：对必然事件Ω，=1; 3． 可加性：若A与B是两个不会同时发生的事件，以A+B表示A或 B至少出现其一这个事件，则=+． 性质3可以推广到任意有限个事件． |
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