§3 随机向量
一、离散型随机向量
二、分布函数
三、连续型随机向量
很多随机现象中，对一个随机试验需要同时考察几个随机变量，例如发射一枚炮弹，需要同时研究弹着点的几个坐标；研究市场供给模型时，需要同时考虑商品供给量、消费者收入和市场价格等因素.
定义1 若随机变量
,
,…, 
定义在同一概率空间 (
, F, 
)上，就称
=(, ,…, ) (1)
为n维随机向量或n维随机变量(n-dimensional random variable).
对
维随机向量，其每一个分量是一个一维随机变量，可以单独研究它. 然而除此以外，各分量之间还有相互联系，在许多问题中，这是更重要的.
我们着重研究二维情形，其中大部分结果可以推广到任意
维情形.
一、离散型随机向量
如果随机向量只能取有限组或可列组值，就称它为离散型随机向量. 对于它，只要列出所有各组可能值及取这些值的概率，就可表示其概率分布.
例1 口袋中有2白球3黑球, 连取两次，每次任取一球. 设为第一次得白球数，为第二次得白球数. 对(1)有放回与(2)无放回两种情况，分别求(,)的联合分布.
解 (1) 与可能取的值都是0与1，各种情况搭配及相应概率如下：
{=0,=0}表示第一次取黑球且第二次也取黑球，因为有放回，两次取球是相互独立的，其概率都是，故
(=0,=0)= (=0)(=0) =×.
同理(=0,=1)=×, (=1,=0) =×, (=1,=1) =×.
(2) ξ与η可能取的值与(1)相同，但因为无放回，两次结果是不独立的, 利用第一章乘积事件概率公式，得
(=0,=0)=(=0)(=0|=0)=×.
同理(=0,=1)=×, (=1,=0)=×, (=1,=1) =×.
写成表格的形式为
(1) (2)
表1
一般，离散型的二维联合分布列为
, =1,2,… (2)
或写成表格的形式如下表.
表2
而维离散型随机向量的联合分布是
, =1,2,… (3)
这些联合分布有与一维离散型分布类似的性质. 例如对于(2)式，必须满足
, =1,2,…; =1 . (4)
有了联合分布，则有关的事件的概率都可用联合分布算出. 例如在二维随机向量中，对任意的二维波雷尔集，
=. (5)
在二维离散型随机向量中，各作为一维随机变量也有它们各自的分布，现在来写出这些一维分布. 对于，它只能取, ,…, ,…这些值，事件{=}是互不相容事件组{(=,=), =1,2,…}的和事件，故
. =1,2,…,
这里表示对第二个足标求和. 同理
=1,2,…,
表示对第一个足标求和. 上两式分别表示与的分布列，它们恰好为上表按行相加与按列相加的结果，把它们分别写在表1中两表的右边和下边，称为边际分布(marginal distribution).
例2 求例1的边际分布.
解 (1)中，(=0)=×+×=, 类似得其它各概率，如下面两表.
表3
(1)与(2)的联合分布不同，但边际分布相同，说明如果边际分布给定，联合分布却不能惟一确定，还要考虑分量间的相互关系.
二、分布函数
类似于一维随机变量，对一般的多维随机变量，无法用分布列来表示其概率分布，但可以用分布函数. 对于任意个实数，…, , 因为{}F, 故对于R中的维区间有
F . (6)
进一步还可以证明，对R上任一波雷尔集，
的概率都可以通过(6)的概率表示，因此可以用(6)的概率代表的概率分布.
定义2 对任意(
，…,
,)∈R
, 称元函数
(，…,,)=
(7)
为随机向量=(, ,…, )的(联合)分布函数.
对二维随机向量
，分布函数
(其中
∈R
)表示点落在右边图中阴影部分的概率. 有了它，对矩形区域
：
可以直接按照概率的运算公式计算概率:
(8)
二元联合分布函数有与一元分布函数类似的性质：
1) 对每个变量单调不减；
2) 对每个变量左连续；
3) 对任意,
=0, 
0,
=1. (9)
除此以外，由于(8)式表示的概率必需≥0，故还有性质
4) 对于任意实数
有
≥0 . (10)
我们再来探讨
各自的分布函数 (称为边际分布函数)与联合分布函数之间的关系.
的分布函数为
, 
. (11)
同理，
的分布函数为
, 
. (12)
因此，有了二维分布函数，也就决定了边际分布函数. 读者不难把上述所说的一切推广到维分布函数.
三、连续型随机向量
定义3 若存在元可积的非负函数
，使元分布函数可表示为
, (13)
就称它是连续型分布，称为 (联合)密度函数. 显然，密度函数满足如下条件：
(1)≥0;
(2)
=1. (14)
对连续型随机向量，分布函数对每一变量都是连续的，且在密度函数的连续点, 
有偏导数:
=. (15)
由于可积，故它是几乎处处连续的；因此除了一个测度为零的点集以外，连续型随机向量的分布函数与密度函数一一对应，我们可以用联合密度函数来表示联合概率分布. 事实上，对任一维波雷尔集
，有
=
. (16)
(证明略).
设(
,…, 
)是连续型随机变量，它的边际分布又有什么特性呢？仍以二维为例. 设的密度函数为
分布函数为
,则的边际分布函数
=
=
.
令
=
, (17)
则
=
. (18)
根据连续型随机变量的定义，由(18)式可见, 是连续型随机变量，它的密度函数就是(17)式. 同理是连续型随机变量，其密度函数为
=
. (19)
与
称为(或)的边际密度.
例3 设二维随机向量的密度函数为
=
1) 确定常数A；2)求分布函数；3)求边际密度；4)计算概率
；5) 计算概率
.
解 1) 由联合密度的性质(14)，应有
1=
= 
,
故 
;
2) 由(13)式，分布函数=
，我们来分块计算它.
当
≤0或
≤0时，= 0, 故= 0;
当>0且>0时,
=
+
+
=
.
3) 上面已经求得，故可先从(11)(12)式求得边际分布函数，再用§2的(2)式计算边际密度.ξ的边际分布函数为
=
故
=
同理
=
我们也可以利用(17)式与(19)式直接从求得边际密度.
4) =(1,2)=
.
5) 由(16)式,
=
=
=
=1-3
.
下面介绍两个常见的连续型随机向量.
1. 维均匀分布 其密度函数为
=
(20)
其中G是R中的一个波雷尔集合. 立即可以算得A =1/
，其中为G的测度(当G分别为二、三维区域时，分别为G的面积、体积).
在平面区域G内随机投点所得点的坐标是服从二维均匀分布的实例.
例4 在圆形区域
上服从均匀分布，求边际密度.
解 联合密度为 =
因为 ||>1时，= 0, 此时=0; ||≤1时，
=
=
=
;
即
=
同理
=
这里，虽然的联合分布是均匀分布，但边际分布却不是均匀分布.
2. 维正态分布
设
为阶正定对称阵，|
|为其行列式，
为其逆，又设x= 
, a =
, 则称
=
exp{-
} (21)
为维正态密度函数.
=1时, 记
, a=
,(21)式变为=
exp
, 就是§2的一维正态密度.
=2时, 记
, (其中
>0,|
|<1), x =, a =
,则
, (21)式变成
， （22）
简记作～
. 在上式的指数上对配方，可把写成
, (23)
它的第一部分是
的密度，第二部分当固定时为某个正态密度, 它对的积分应等于1，因此的边际密度为
。
这说明～, 同理～
.
上述结论是说，二元正态分布的边际分布仍是正态分布，并且与无关. 但反过来不正确，即若的边际分布都是正态分布，其联合分布却未必是二元正态分布.
例5 的联合密度为
=
,
，
求边际分布.
解
， 
同理=
. 因此,都服从标准正态分布，但联合分布不是正态的.
