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撰稿 锦州市第八中学 陈树海 审稿 杨景森 录入 尹航
复习目标
1.掌握菱形的有关概念、相关性质及判别方法.
2.会用菱形的性质及判别条件解决有关问题，了解菱形的实际应用.
3.提高学生综合运用平行四边形、菱形有关知识的能力及分析问题、解决问题的能力.
4.在运用的过程中，培养学生自身的审美情感，体验菱形的图形美及在生活中的广泛应用.
知识要点
(一)定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
 (二)性质
1.边：两组对边分别平行，四条边相等.
2.角：两组对角分别相等.
3.对角线：互相垂直且平分，每条对角线平分一组对角.
4.对称性：菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，对角线的交点是对称中心，两条对角线所在的直线是对称轴.
表达式：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AD∥BC；
AB=BC=CD=DA；
∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC；
OA=OC= AC，OB=OD=BD，
AC⊥BD于O；
AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC.
5.菱形的周长=4×边长.
S菱形=边长×高=×AC×BD.
(三)判定
1.利用定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2.四条边都相等的四边形是菱形.
AB=BC=CD=DA 四边形ABCD是菱形.
3.两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
典型例题
例1 (一组变式题)
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(1)已知：如图，D、E、F分别为△ABC的边AB、BC、CA中点，四边形ADEF为菱形.
求证：△ABC为等腰三角形.
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(2)如图，△ABC中，AB=AC，D、E、F分别为AB、BC、CA中点.
求证：四边形ADEF为菱形.
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(3)如图△ABC中，AE平分∠BAC，ED∥AC，EF∥AB.
求证：四边形ADEF为菱形.
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知识考查
(1)三角形中位线性质，菱形的性质，等腰三角形的判定.
(2)等腰三角形性质，三角形中位线性质，菱形的判定.
(3)角平分线定义，菱形的判定.
思路分析：(1)小题利用三角形中位线性质和菱形性质证.(2)小题先利用三角形中位线定理证是平行四边形，再证是菱形.(3)小题先证四边形ADEF是平行四边形，再证是菱形.
证明：
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例2 已知：如图，菱形ABCD的周长为52cm，AC=10cm，求BD长及S菱形ABCD.
知识考查：菱形的性质、判定、勾股定理，菱形的周长及面积.
思路分析：由已知菱形ABCD的周长52cm，可求边长为13cm，再由勾股定理得BO=12，则BD=2BO=2×12=24(cm)，最后由求面积.
解：在菱形ABCD中，
AC⊥BD，AB=BC=CD=DA=×52=13，
OA=OC=AC=×10=5，OB=OD=BD，
∴∠BOA=90°.
∴.
∴BD=2×BO=2×12=24(cm).
∴.
例3 已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BE、AF分别平分∠ABC和∠DAC，BE交AD于M.试判断四边形AMFE的形状，并说明理由.
知识考查：角平分线的定义、性质，平行线的性质，菱形的判别.
思路分析：欲证四边形AMFE为菱形，可先证MN=NE，再证AN=NF，故得平行四边形AMFE，再证四边形AMFE是菱形.
证明：四边形AMFE为菱形.
设AF与BE交于点N.
∵BE、AF分别平分∠ABC和∠DAC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
又AD⊥BC于D，
∴∠ADB=90°.
∴∠2+∠7=90°.
又∠BAC=90°，
∴∠1+∠6=90°.
∴∠6=∠7.
又∠5=∠7，
∴∠5=∠6.
∴AM=AE.
∴AF⊥ME，MN=NE.
∴∠BNA=∠BNF=90°.
又BN=BN，
∴△BNA≌△BNF.
∴AN=NF.
∴四边形AMFE为平行四边形.
又AM=AE，
∴平行四边形AMFE为菱形.
例4 （例3变式）若将题中的AF平分∠DAC去掉，加上条件EF⊥BC于F，则结论还成立吗？为什么？
思路分析：先证AE=EF，再证AM=AE，将，从而得平行四边形AMFE，进而得菱形AMFE.
证明：∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB=90°.
∴∠2+∠7=90°.
又∠BAC=90°，
∴∠1+∠6=90°.
又BE平分∠ABC，
∴∠1=∠2.
∴∠6=∠7.
又∠7=∠5，
∴∠5=∠6.
∴AM=AE.
又EF⊥BC于F，
∴AE=EF.
又AD⊥BC，EF⊥BC，
∴.
∴四边形AMFE为平行四边形.
又AM=AE，
∴平行四边形AMFE为菱形.
能力训练
一、选择题
1.在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则图中有( )对全等的直角三角形
A.3 B.4 C.5 D.6
2.下列命题正确的是( )
A.对角线互相平分的四边形是菱形
B.对角线互相平分且相等的四边形是菱形
C.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
D.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
3.菱形的周长为8cm，一条对角线长为2cm，则另一条对角线的长为( )
A.4cm B.cm C.2cm D.3cm
4.如图，在菱形ABCD中，E是AB中点，作EF∥BC，交AC于F点，若EF=4，则CD的长为( )
A.8 B.6 C.4 D.2
5.菱形的周长是它的高的8倍，则菱形较小的一个角的度数为( )
A.15° B.30° C.45° D.60°
6.如图，菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交AC于F点，E为垂足，连接DF，则∠CDF等于( )
A.80° B.70° C.65° D.50°
二、填空题
1.设菱形的两条对角线长为4cm和5cm，则菱形的面积为____.
2.菱形的一条对角线长与边长相等，则菱形较小的内角为____度.
3.菱形有____条对称轴，各对称轴的位置关系是____.
4.顺次连接菱形四条边中点，所成的四边形形状是____.
5.菱形的周长为32cm，一个内角是120°则菱形较短对角线长为____.
6.若菱形的面积为50cm2，一个内角为30°，则其边长为____.
7.从菱形的钝角顶点向对角两边作垂线，垂足恰好是该边中点，则菱形的较小内角的度数为____.
8.菱形的一条对角线是另一条对角线的2倍，且菱形的面积为4cm2，则此菱形的周长为____.
三、解答题
1.已知：如图，平行四边形ABCD，EF是AC的中垂线，交AD于E，交BC于F.
求证：四边形AFCE为菱形.
2.在菱形ABCD中，过D作对角线BD的垂线交BC的延长线于点E.
求证：BE=2AB.
3.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，M、N分别在BC、CD上，且∠MAN=60°.
试判断△AMN的形状，并说明理由.
参考答案
一、选择题
1.D 2.C 3.C 4.A 5.B 6.D
二、填空题
1.10cm2 2.60° 3.两，互相垂直 4.矩形 5.8cm 6.10cm 7.60°
8.
三、1.证明：在平行四边形ABCD中，
AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA.
又EF是AC的中垂线，
∴EA=EC，EF⊥AC于D，OA=OC.
又∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF.
∴OE=OF.
∴四边形AFCE为平行四边形.
又EF⊥AC，
∴四边形AFCE为菱形
2.证明：在菱形ABCD中，
AB=BC=CD，
∴∠DBC=∠BDC.
又BD⊥DE，
∴∠BDC+∠CDE=90°，∠DBE+∠E=90°.
∴∠E=∠CDE.
∴CD=CE.
又CD=BC，
∴BE=2CD.
又CD=AB，
∴BE=2AB.
3.△AMN为等边三角形.连接AC.
∵∠BAD=120°，且四边形ABCD为菱形，
∴∠BAC=∠CAD=60°.
又∠MAN=60°，
∴∠BAM+∠MAC=60°，∠NAC+∠MAC=60°.
∴∠BAM=∠NAC.
又∠B=60°，∴AB=BC=CA.
又∠B=∠CAN=60°，
∴△ABM≌△CAN.
∴AM=AN.又∠MAN=60°，
∴△AMN为等边三角形.
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