哥德巴赫猜想

  “哥 德 巴 赫 猜 想” 的 搁 浅 与 创 新 数 学 的 研 究

薛 海 明 

 

一   关于“哥德巴赫猜想”

    关于“哥德巴赫猜想”的提出或研究，从 17 4 2 年开始，世界 许多知名数学家或数学爱好者，都对它进行了不同程度地探讨，同时还创造了多种形式的研究方法，虽经过将近 270 年的历史，但直到现在仍然未取得实质性的证明结果 。               

    当时德国数学家哥德巴赫发现并写信向瑞士大数学家欧拉提出如下问题· 1：在自然数中，凡大于 6 的偶数都可以表示为两个素数之和； 2：任何一个大于 9 的奇数都可表示为 3 个素数之和。容易证明‘2’是‘1’的推论，所以最重要的是证明‘1’。即一般简称为（1＋1 ），例如：8 = 3+5  10 = 3+7 12 = 5+7  14 =3+11 ... 。他在信中说：“我这个论断是不是永远正确？如果是正确的，希望你替我证明它，如果不对，希望你举出一个例子来”。欧拉在复信中说:“虽然我还不能证明它，但我确信无疑地认为这是完全正确的定理”。该问题看似非常简单，并且有人曾验算到三千三百万以内的所 有偶数都是对的，但由于自然数列中的素数与偶数都是无穷无尽的，我们并不可能对其一 一去进行验算，又不能对其作出证明或给出圆满的解释，因此只好称之为“哥德巴赫猜想”。

     在数学领域对自然数的研究中，由于人们发现素数（也称质数）是组成自然数的基本材料，这些数在自然数列中分布又无一定规律，因此要研究自然数的性质，必须对素数的性质进行全面的了解，而哥德巴赫猜想则是“素数这种材料”性质的一种具体表现形式。众所周知，如果在任何生产工作或科研话动中，当我们对自己所用材料的性质不了解时将会得到什么样的后果。正是因为这种原因，在哥德巴赫提出这一问题后，一直受到数学家们对它的重视。如：1900 年德国大数学家卫·希尔伯特、1912 年德国数学家 E·郎道、1921年数论泰斗英国数论学家罗德·哈代则宣称“解决猜想的困难程度，是可以与数学中任何未解决的问题相比拟的”。世界上这些知名的数学家不但都为此做出了研究，而且为了证明这一问题，在1918年，英国数学家哈代、李特伍德和印度数学家拉马努金并发展了第一个“园法”，1918年，挪威数学家布郎又改进了具有2000多年历史的埃拉多染尼氏（生活在公元前三百年左右）提出的筛法（ 一般也 简称为“埃氏筛法”或“古典筛法”），同时还有一些数学家创造了其他不同的筛法和研究方法。最初，数学家们想用 n 个素数之积加 n 个素数之积等于一个偶数的方法，来逐步逐步地用缩小它的范围进行证明，如是有了所谓的（9+9 ），（8+8）... , 等证明方法，直到 195 6 年，才由我国数学家王元在以上基础接着证明了（3+4），1957年他又进一步证明了（2+3）的结果为止。         

    为了简捷，数学家们又接着改用一个素数加 n 个素数之积的方法进行证明。因为这样只需考虑 后一种 n 个素数之积的情况，即证明到当 n 表为 1 个素数时即可。这样就又有了后来的(1+9)、(1+8) ... (1+3) 这些证明结果，在我国以华罗庚为首的一些数学家们同样对该问题进行了大量的研究工作。从 1742 年该问题提出开始，直到 1973 年，才由我国数学家陈景润在以上证明基础上做出现在最好的结果：每一个充分大的偶数都是一个素数加上一个素数或者不超过两个素数的乘积之和，这个定理可以表示为 (1 + 2 ) 。看似虽离 (1+1) 仅一步之遥，而这最困难的一步却一直得不到证明。数学家们通过近几十年长期对这类问题研究后看出，用这种方法进行证明几乎已经走到尽头，不可能再得到进一步的结果。除一些数学家能够指出在“哥德巴赫猜想”这一问题研究中，其真正意义上在于它是一个数学模型，可以给数学带来新的方法、新的概念和新的理论，但又不能说明所谓的这些数学模型、新的方法、新的概念及新的理论具体是些什么，这仅是数学家们的一种猜测而已。更没有一个数学家能够指出今后正确的研究方向或方法。在数论研究中，由于素数的特殊性，很多问题都与其有关，所以现在数学家们，普遍认为我们还达不到研究这类问题的时候。如果没有新的思想或方法，不会再有多大的进展。从1973 年陈景润做出 (1+2) 的最好证明结果而被搁浅后，近几年在我国数学领域内对于哥德巴赫猜想的研究也已处于停止阶段。

    时至今日，当人们仍未看到一丝研究曙光而感到束手无策时，不得不使人们产生各种不同的看法。这时甚至有人怀疑对“哥德巴赫猜想”的证明，这只是一种数学游戏，并无多大的实用价值。这也就难怪有人开始说，数论属于所谓纯数学领域，而纯数学是不考虑是否有实际用途的，只是纯粹的智力游戏。因此，哥德巴赫猜想曾被认为是数学皇冠上的明珠这一世界著名的数学难题，现在一下子则被一些人说成像是忽悠人们的一种无稽之谈的数学游戏。该问题不仅从我国知名数学家的研究课题中消失，同时数学家们还多次语重心长地告诫数学爱好者们，不要再为此问题去付出不必要的时间或精力，而应首先是把数学基础打好，这才是最重要的。不论是数学家还是数学爱好者，现在像是被忽悠了的一些受骗者一样，当提及该问题时，唯恐避而不及地不再理睬。因为在每个研究者中，都为此付出了无法挽回的时间与心血。可想而知，作为一个知名的数学家或是一般数学爱好者来说，当经过数年或数十年时间得不到任何研究结果，并为此付出大量时间和心血时，心理等各方面所承受的压力是多么沉重的。数学家们在对此问题的研究中，认为已用尽了各种方法未能取得研究结果而失去了信心；数学爱好者不但得不到来至社会任何力量的支持和帮助，反而遭到更多的是白眼与讥讽。在对于哥德巴赫猜想研究中，当数学家们得不到最终证明结果时，显然，对于这些数学爱好者的证明结果就更不屑一顾。由于受这些原因的影响，甚至在社会上，把与数学毫无关系而未能解决的一些现实问题，也用“哥德巴赫猜想”作为一种“时尚”的代称，把“哥德巴赫猜想”几乎变成了一种表述未解之谜的“成语”。

    在信息技术快速发展的时代, 从网络中很容易了解到，不论从所有失败者的教训中还是大量的数学资料中不难发现，在数学研究中，数学家们不是对近几十年研究中所应用的那些方法、工具及出现的困难进行认真分析总结或反思，并坚持认为只能通过这些高级数学中的筛法、圆法 、三角和这些方法相结合的解析数论等方法来探讨，才有可能取得最终研究结果。由于受这种思想的束缚，并自以为对初级数学知识已十分精通的数学家们，反而对自然数本身所表现出的某些最基本性质与规律，再去进行更深入地研究则认为没有必要了。一般数学爱好者又由于对高深的解析数论知识不太精通，总是想在现有的一些数学知识中找到突破口加以证明。甚至还有一些数学爱好者，则想通过哲学方法以及其它一些方法进行探讨，然而在以上所有研究者中，他们所取得的研究结果不论正确与否，总是得不到数学家们的审查或认可。在哥德巴赫猜想问题研究中，通过这样多种形式的思维探讨仍无结果时，对该问题的研究也不得不停滞下来 。

    不论是数学家还是数学爱好者，只是囿于对现有数学知识的了解，在所有研究方法和讨论过程中，把力量直接集中于哥德巴赫猜想问题本身，其研究结果总是经不起数学上的检验或推论而被放弃。但对自然数列中为什么会有这种性质或规律存在的原因，却避而不谈，从不进行追根问底地探讨。从陈景润所取得的（1 +2）这一最好证明结果中可以设想，就连陈景润本人恐怕也难以回答自然数中，为什么会存在（1+2）这种性质或规律的具体原因。因为这种证明结果中，仅是应用数学语言进行的一种推理形式。作为人们探索自然数性质与规律的研究，我们还是管中窥豹，很难认清自然数的本质。要不然，为什么总会有人提出证明哥德巴赫猜想有什么用的质疑呢。

当时哥德巴赫向大数学家欧拉所以提出这一问题的实质，是要求回答在自然数列中，是否大于6 的任意一个偶数都可以用两个素数之和来表示？从信中可以看出，哥德巴赫需要回答的是他在自然数列中所发现的这种现象，即：素数与偶数之间存在着的这种关系的具体性质 、规律是否有其必然性或其形成原因？因为这一问题直接涉及到“素数这种基本材料”与组成自然数列之间的具体关系或性质。因此，对这一问题研究的意义和重要性，不是解决数学中的一个难题，它将成为现代数学研究中，人们对组成整数的“基本材料”和它的性质、规律，进一步认识起着十分重要的作用。这是今天数字化技术快速发展的一种需要，是时代进步对数学发展的需要。

 

二 “哥德巴赫猜想”证明中的困惑

由于人们对自然数列中的素数与偶数之间的关系并不十分了解，当数学家们用“大偶数”这种不确定范围，采用逐渐缩小这种证明范围作为研究方法时，这种证明方法本身从一开始就存在着一定的错误。数学家们一直认为，虽然素数在自然数列内的分布个数没有一定的规律，但从总体的分布趋势上看，素数与合数分布的个数之比呈如下形式进行的：素数分布的个数将逐渐趋向于零。即当自然数列越来越大时，在最大自然数列段内，几乎都将成为合数的分布形式，素数的分布个数可忽略不计。但数学毕竟是数学，应用“几乎”、“忽略不计”等这些不确定因素，用于主要证明范围的一种指标，作为 探讨自然数的性质，显然这并不是科学的研究方法。因此在证明该问题的过程中，当数学家们在自然数列这一集合内，很难找到一种作为证明范围的参照依据时，不得不采用以“大偶数”这样一个不具体的数界作为一种证明范围 ，然而却一直得不到正确的结果。

    对于“大偶数”这样一个不确定的范围来说，在自然数列中又怎能去证明它呢？陈景润证明的充分大偶数有多大？数学家们只知道存在这样一个界，但却不能具体给出来，因为我们知道，自然数列本身是无限大的，而在自然数列中同样也包含有无穷多个素数, 例如在1979年，美国两位计算机专家使用两台运算速度达8千万次／秒的巨型计算机所得到的最大素数是 2⁴⁴⁴⁹⁷ －1，这个数共有13395位。人们估计宇宙中存在的原子微粒总和大约是一个八十位左右的数。即是在浩瀚的宇宙中，星体多的无法计算，但也只是一个二十位左右的数字，可想而知，这个素数将大到怎样的程度。1983 年人们又曾发现一个素数为 2 ⁸⁶²⁴³－1，但这也不是最后的素数。由于在自然数中，素数是无限多的，可见人们在研究素数的工作中，做出了多少大量的繁重工作，但却不可能找到自然数列中最大素数的界，更找不到大偶数的界有多大。现在假如有一个偶数正好是可以用以上这样大的两个素数之和所表示，或者一个合数可以由以上两个大素数之积组成，又能怎样去证明它呢？在自然数这一无限多的数列中，它们能够组成的规律又是在怎么样情况下进行的？当这样两个大的素数结合在一起时，其性质又说明了什么呢？从计算技术上讲，如果我们用人为的方法，使用计算机能够把这样两个大的素数，直接通过加或乘的计算方法把它们结合在一起，虽然看似计算方法十分简单，却主观上违背了自然数列的有序规律，不能从根本上认识自然数列本质上的 规律，像以上这样的素数结合在一起的积或者和，是否就是所谓的大偶数呢？以及这样两个大素数能够结合在一起的整体规律表明什么呢？同样可以设想，当超出这样大的偶数是否也适合其证明结果呢？当用以上n 个这样大的素数因子结合在一起时，我们又该怎样去理解呢？

    显然，在对于哥德巴赫猜想这类问题的研究中，关于大偶数可表示为 1 + n 个素数乘积之和，其研究范围本身就存在着明显错误，它代表不了自然数列这一范畴的基本性质。这是因为在自然数列内，对于“大偶数” 这个不确定的范围很难界定。例如前面提到那两个大的素数，我们既可以得到它们的积，也可以得到它们的和，但这也不能就是组成的所谓的大偶数，因为还存在着比它们更大的素数。我们无法了解多大的素数是大素数，同时也无法了解多大的偶数为大偶数。所以当数学家们应用大偶数作为证明范围时，已经脱离了对自然数列这一集合整体性的研究。即便证明到（1＋1) , 也不会认为符合哥德巴赫提出问题的本意，这可能是数学家们放弃对此问题继续研究、告诫数学爱好者不必为此问题付出时间与精力、对与此问题有关的任何研究结果不予审查和不再理睬的原因。

    在自然数列内，作为研究素数的性质或规律，应该首先是了解素数在自然数列中的分布规律以及素数因子的形成原因，素数与偶数的关系。而对这种规律的认识，又必须是自然数列内存在的一种基本规律，这才是破解哥德巴赫猜想等难题在理论上的真正证明结果。这不是数论研究中，依靠某些定理本身，就存在类似于估计或几乎、逼近等这些不确定因素的工具，通过所谓高深的数学言语所能证明的。可以说，“1 + 1”是自然数列这一集合中存在的一种普遍规律与性质，它适用于任意一个偶数，也适用于任意一个大偶数的分布范围。对解决哥德巴赫猜想的重要性，也正在这里。我们不能够对自然数列以上这些性质进行了解，说明我们对自然数的性质认识不仅是不完善的，同时也由于这种原因，又造成数学领域内所存在的许多性质，我们根本无法了解，更谈不到对这些性质的充分应用和发挥。

    虽然从表面上看，哥德巴赫猜想本身似乎并没有多大的研究价值，但在它的背后却存在着更多的性质与规律需要我们去研究、去发现、去认识、去开发或应用。可以说，对哥德巴赫猜想的证明，不是单纯的一道数学难题，而是将使我们对自然数列或某些自然规律的一种重新认识或研究过程，也是对分布在自然数列中的“素数”这种材料性质与规律进行具体地探讨过程。如果没有一种新的思想或一种创新的数学理论，对于以上的诸多问题是很难解决的。哥德巴赫猜想所以引起数学家们的重视，这是对自然数的具体性质与规律的一种探讨，我们不仅仅是要知其然，而更需要回答的是知其所以然。如果有人单纯用数学语言作为证明方法，即便是得到最终结果，充其量也只是一种推测而已。大数学家欧拉当时认为哥德巴赫提出这一问题的重要性，并在回信中告知自己不能加以证明，以致近 270 年未能取得实质性结果，可能其中也许是由于这样的种种原因在内吧。

    假设以前数学家们的所有证明结果，如：（n + n )、( 1＋n ） 等，（‘n’表 n 个素数的乘积）对于一个“大偶数”来说，即便这些推测结果都是正确的，但他们也没有一个人能够对各自做出的证明结果及表示式，回答出自然数列中为什么会存在这些性质与规律的具体原因。所谓高深的解析数论不可能回答这一问题，其它任何证明方法也同样不能够回答这一问题。自然数列本身表现出的这些性质、规律，并不只是单纯地对于充分大的偶数这种情况而言的，而是对自然数列这种集合内的性质、规律，进行整体上的认识。由于我们现在还无法了解素数与合数在自然数列内，两者之间不同的分布规律、性质时，数学家们不得不放弃对哥德巴赫猜想的证明。这是现代数学研究领域中，经过将近270年研究历史，在世界范围内涉及研究人员最广，知名数学家参与人数最多，引起学习数学热情最高，受到中外媒体最为关注报道的数学问题 。但却是研究结果毫无进展的一次失败，也是数学研究史上是绝无仅有的社会现象。  

    哥德巴赫所提出的问题，是对组成自然数列中的素数这种基本材料，有关它的性质与规律的全面认识和了解。同时也是我们对自然数的性质进行更深入地一种研究过程。但有些人们对研究结果的失败原因不进行反思，仍然坚持认为必须通过应用高深的数学语言与方法，才能取得证明结果。总是迷信于历史上那些大数学家们的证明结果与方法，使自己思想却变的保守与僵化。作为对数学研究中久攻不克的难题，我们必须总结经验教训，寻找失败原因，创新研究方法，这是解决数论研究中那些难题的唯一出路。

    将近 2 7 0 年来，哥德巴赫猜想没有能够得到证明，其另一主要原因是现在的数论研究中，仍然在用“古典筛法”作为基础。在著名数学家埃拉多斯染尼提出这一方法时，虽然看似是简单实用的一种形式，但是仅仅局限于筛选素数的方法而已，他对素数的具体性质和分布规律并没有任何性质的研究。在这种筛选素数过程中，我们很难了解素数与合数的性质及分布规律。同时他在提出这种筛选素数方法时，并不是建立在自然数最基本性质上的一种筛选素数方法，而是建立在第二级算术运算方法上的一种筛法，即根据乘法或者除法的性质进行筛选素数。对自然数列内为什么会存在这些不同性质的素数、合数，却找不到任何答案。可以说这是一种间接的筛选素数方法，在这样的筛法中，对研究自然数列内具有不同性质的数与数之间的关系，起不到任何作用。

    在数学研究中，筛法作为筛选素数的一种最基本方法，但是从古至今，并没有引起数学家们对“埃氏筛法”的本质引起注意。虽然近代数学家们在对哥德巴赫猜想的研究中，又提出数种不同的筛法，但也都是大同小异的一些方法。筛法作为数学领域内的一种最基本研究工具，而对素数的性质与分布规律却得不到了解。在这种筛法的基础上，作为研究类似哥德巴赫猜想这样与素数有关的问题，只会遇到难以克服的困难。在这种情况下，数学家们又只能够在根据历代数学家们的方法和基础上进行研究。因此在研究过程中，其中所推测的定理，也大部分都是先由经验得来的。就连自然数列某一范围内的素数分布个数，也多是在古人对此问题所猜测的结果基础上，作为进行计算并用于证明的主要依据或方法，数学作为一种最精确的学科，显然凭借推测、甚至猜测这种理论或经验结果为根据，用于证明哥德巴赫猜想这样与素数的性质、规律直接相关的问题，如同在沙滩上建筑大厦一样不堪一击。因为当对各种不同的证明结果在进行追根问底地提出为什么时，每种方式都不可能自圆其说。因此，不论是数学家还是数学爱好者，其研究工作都同样以不了了之而被停止。

 

三  关于创新数学的研究  

在哥德巴赫猜想的研究过程中，对于另类数学爱好者来说，由于发现了自然数一些特殊规律后，不仅从未停止其研究脚步，而且更加坚定了对自然数所表现出这种性质的探讨信心。在研究中，它不是针对哥德巴赫猜想问题本身，而是完全跳出了原有思维的束缚，从新的思维角度来探索自然数列内部的各种规律，并作为对“创新数学领域”的一种深入认识，不断地进行着研究工作。

    在这种创新的研究方法中，对自然数表现出的这些性质或规律的认识，虽是我们人类认识或应用自然数以来，一直都把它作为最基本的计数形式或方法，但在数学领域中却是从未对其进行过深入研究的“处女地”。因此，在对这一空白领域的整个研究过程中将会发现，它涉及到存在于自然数列内许多以前从所未有认识的性质与规律。作者经过数十年不断地探索，并取得了初步的研究结果。

    作为“创新数学”的研究宗旨或方向，这里则是对自然数的 性质、规律重新认识或探讨过程。这是一个组织系统非常严密的数学模型，通过对不同性质的自然数在这一模型中的实际分布情况，以及各数之间存在的具有普遍意义上的互相关系及表现形式，从本质上认识自然数性质的一种新的数学理论。因此在这种对具体关系的研究方法中，是靠对自然数列本身经过长时间的观察，并对发现的每个规律不断地提出为什么存在，又不断地进行分析或探讨，从本质上认识这些规律与性质存在的真正原因后，一步步逐渐被揭示出来的。在创新数学中，对于每种规律的认识与计算公式的创建，都能够找到它们形成的根源。对于每个规律与性质的了解，不仅知其然也会让我们能够知其所以然。

    处于现代信息化和高科技快速发展的今天，当我们坐在电脑桌前办公时，当面对各种数码产品时 …，不能不想到数学在我们生活中所起的作用以及科学研究中的重要性。虽然计算机的普及与多媒体的广泛应用，使我们进入到一个高科技快速发展的数字化时代，显然更不能排除对数学性质进行深入地讨论。对于数论的研究，它也不像有些人说的那样：“数论属于纯数学领域，纯数学是没有实际用途的”。也不是有些人认为现在已进入高科技时代，对于一些复杂的数学计算，完全可以由计算机来完成，关于对“数论”这一数学领域进行研究已无关紧要。从我们人类对数学应用的几千年历史中可以看出，科学技术越是发展，越迫切需要数学工具的不断地更新; 反之亦然，越是对数学知识有更深入的了解，科学技术才越会得到更进一步的提高。所有科学技术的发展与进步，都是在对其不断深入的研究过程中取得的。所以人们把数学这门科学，看做是一切科学技术发展的支柱，没有数学参与的任何事与物，都不会认为是一种科学上的研究成果，所以人们才会把数学这门科学，冠以“数学是科学之母”这一真理般的称号 。而“数论” 则是研究存在于整数中的性质的一门学科。      

作为一种创新数学的研究，这里不能不从自然数的产生谈起。所谓创新数学，也正是在这种最原始的数学基础上产生的，因为这是数学的源头。所以只有这样，才有可能发现在数学中存在“困惑”的根本原因。这像用显微镜发现细菌与疾病的关系一样，才会找到真正症结的根源。因此，也可把这种“创新数学”看做是对数学研究中存在的难题，从“微观数学”角度上去认识它的研究方法。

尽管我们在幼儿时期，父母或老师就已教我们扳着手指学习“數数”并开始认识数学了，（因在 创新数学《數数论》的研究中，关于‘数数’一词应用非常之多，有时名词‘数’与动词‘数数’两词 常会在单个字的应用时更易显得混扰，为了区别它们之间的真实涵义或简化其注音形式，则分别用繁体‘數’字作为动词应用；用简体‘数’字作为名词应用，在阅读时请注意‘數数’两字的区别。 ）而“數数”这种方法则将伴随我们走过一生。但是，人们却从来未对日常生活中，应用十分广泛的“數数”这一最基础的计数形式做任何实质性地研究工作。从我们最初认识数学时，“數数”仅仅作为在儿童时期的一种启蒙教育形式后，接着就从小学生时期起，便开始通过学习加法、减法这种最初级算术运算方法，逐渐进入到对高级数学的学习或研究领域。然而在对自然数的产生与“數数”计数之间究竟存在着怎样一种规律或性质？由简单的“數数”计数形式所产生出来的自然数本身，为什么会存在着许多奇妙的性质？它们之间是否存在着某种因果关系？数学中存在的某些性质为什么我们现在都难以解决？在科学技术发达的现代化社会，最原始的“數数”这种计数形式，为什么总是在日常生活中应用着而不能摒弃？难道说“數数”计数这一形式是由于几千上万年来人类对它的应用已成为一种习惯吗？在以上这些问题中，有些问题似乎显得幼稚，然而对于以上这些貌似人们从不曾提及过的不是问题的问题，我们每个人却无法做出正确回答，更谈不上对“數数计数”这种方法的探讨或有更深的了解。我们除了在一些介绍初级“数论”书籍中，仅仅能够了解到通过“數数”这一方法产生了自然数外，关于“數数”与自然数之间究竟发生了怎样一种关系，基本找不到任何有关内容的介绍。当我们在一般《数学小词典》这样的数学工具书中，如果逐项仔细查找，甚至连“數数”这一概念的具体表述都不会发现。数学家华罗庚先生所著的《数论导引》这一数论著作，作为引导研究整数性质的一部专题著作，然而从第一章第一节一开始就进入到关于整数的整除性的讨论。在华先生的另一著作《数学的用场与发展》中，作为介绍数学的发展史也只是说：“...数起源于數...所以‘数’是各种各样不同量的共性，必须通过它才能比较量的多寡，才能说明量的变化”，仅此而已。而对“数起源于數”时，在“自然数列”中的一些整数，是否就必然会存在“素数”、“合数”等这些不同性质呢？不再去进行深入地研究。即是从一些国外有关数论方面的参考资料中也可以看到，各国最初的原始数学与数学符号形成或形式虽然各不相同，但这些数学符号却都是不约而同地通过“數数”这种方法产生的，而对“數数计数”的研究，各国也都同样处于一个盲区之中，找不到任何有关“數数计数”这方面深入的研究资料。对于“數数计数”的研究，古今中外处于同一种“盲区”的认识水平。如果这时我们反问一句：“数起源于數，那么是否數就显得更加重要，因为在这里显然看出，數才是数的真正本质”。

   从以上介绍中可以了解到，人们在研究自然数的过程中，基本对“數数”这一最简单的计数方法，仅仅看做是一种习以为常的生活行为（单纯作为一种“动词”应用），在数学研究中存在着明显的漠视态度而不加以认可。不论作为一个从事研究数学的数学家还是一个普通人，把“數数”这种原始的计数形式，好像都看做是对儿童进行启蒙教育阶段的一种方法，或认为是“小儿科”的一种辅助教育形式，没有必要存在于数学研究领域中一样，人们不仅没有引起对“數数计数”这一本质进行深入地研究 ，而且在数学研究领域中，就基本不包括“數数”这一计数形式的讨论。不知是这种方法特别简单还是其它原因，古今中外，所有的数学家们在对数学研究时，都几乎忘却“數数计数”这种方法曾是数学发展史上最基本最直接的一种数学形式，也是数学产生的根基。更不了解“數数计数”形式的背后，隐藏着更多至今人们未知的数学规律与性质。在探讨“數数计数”这一创新的数学领域中，数学家和我们每个普通人一样，将站在同样的起跑线上，作为探索自然数这一王国的研究者。把“數数计数”这一形式第一次作为创新数学的研究理论，也将会成为今后我们在研究数学领域中的一种重要工具。

人类在探索自然科学世界时，总是先从物质表现出的本质现象开始，然后逐渐去进行深入地研究。不论是化学的元素学说，物理学的量子理论，还是天文学中对星系的观察、生命的进化演变及遗传 基因等诸多自然科学所取得的研究成果，无一不是从最基础的本质开始，经过不断地深入探索或研究后所取得的。当我们想想元素周期表的发现、显微镜的发明、苹果从树上掉到地上引发万有引力的的故事 … ，有那一项伟大的科学技术不是从微观现象上产生的。因此，自然科学的研究或发展史 ，是贯穿于对未知事物或其本质进行研究的一种整个过程。但在数学研究中，正好缺少的就是对产生自然数时的唯一途径“數数计数”这一最本质的研究工作。数学家们一再苦口婆心地告诫数学爱好者，在研究类似哥德巴赫猜想这样的问题时，首先要把基础数学学好。然而，作为专业研究数学的数学家们，却对“數数计数”这种最原始最基本的数学形式，与自然数之间存在着有那些内在关系，则一无所知。这种现象，甚至越是自以为对数学十分精通的那些人们，越对“數数计数”这种方法存在着不屑一顾的心理。由于精通数学知识的人们，如果对儿童时期就已学到的方法再去进行研究，可以说这是一种滑稽到令人可笑的地步。因为我们总是以为“數数计数”本身就是一种最基本方法，它没有什么“背后”，更不存在背后会有什么性质，对于“數数计数”这种方法来说，没有任何研究价值。

这里把“數数计数”作为创新数学的研究，也可以比作是在数学研究领域中，一种对 “微观数学理论”的讨论方法。在这种方法中，涉及到算术中所有不同性质自然数的规律与性质，并让我们从本质上真正了解它们之间存在的互相关系。这在整个讨论过程中，不存在任何人为因素在内，只是通过对自然数从产生过程中，本身就已存在的性质、规律的一种自身揭示或深入地开拓。因此创新数学的研究，这是对自然数自身固有性质的一种本质上的重新认识或探索。自然数表现出的这些性质与规律，在任何时候都不可能通过数学上的任何证明方法所能得到的。如果在对自然数这些性质与规律不了解的情况下，想通过所谓高深的数学语言来证明哥德巴赫猜想这样的难题，这将永远成为数学研究之谜，犹如用数学语言去证明‘什么是数字’一样无知。

“數数计数”这种最基础的数学形式或做法，是我们每个人每天都必须面对的事实，如购买商品清点钱币或货物的数量时，不论你的学位高低还是运用点钞机这样的高级的计数工具，“數数”总是成为首选的计数方法。然而，对于“數数” 这种计数方法来说，不论从对它的规律还是性质的认识上，可以说处于一片空白。在数学研究领域中，这一未被开垦的“处女地”既显得荒芜而又显得多彩多姿般地迷人。

当自然数从“數数”过程中形成后，把“數数”只是看做生活中一种最简单的计数方法，这在人们心目中已经成为一种不可争辩的认识。由于从儿童时期起，就对“數数计数”方法有了普遍的了解，这种现象对于我们大多数人而言，显得并不十分重要是无可非议的，但在数学研究领域内，作为人们对数学进行深层次地认识或探讨，却只是囿于注重对高级数学的研究，并完全放弃对原始的“數数计数”这一最基础知识的进一步讨论，这不能不让我们进行反思。尤其在“数论”这一有关对整数性质的某些问题研究中，人们犯了一次南辕北辙的研究方法，造成高级数学中的一些难题难以解决，对最基础数学的本质研究成为空白的两种对立存在形式 。

    当人类进入文明初期时，从结绳记事或摆放石子多少，通过与空间事物一 一进行对应的比较关系，成为对空间事物多少识别的最初方法。在逐步进入到应用“數数”作为对空间事物的数目进行“清点”，并用“计数”形式了解这些事物“量”的多少，这时“數数计数”方法已经成为算术的基本雏形。当发展为加法、减法这种初级算术方法表现出来时，则成为算术中的第一级运算方法。这是“數数计数” 过程的一种必然结果，也是“数学”产生的基本形式。在人类生产活动中，对空间事物需要进行计“量”结果时，这是我们所采用的最基本实用的方法。在数学研究中，其它所有计算方法的产生，都是在这种第一级算术运算方法上产生的。

“數数计数”作为最基本的数学方法，实质上这一概念本身包含着两种数学的基本要素。“數”作为一种动词时，是指数学中采用的方法；“数”作为一种名词时，是指数学中“量”或者与其运算结果。但在数学研究中，对“數数计数”这一数学方法一直没有引起人们的注意。由于我们仅仅把它看为一种方法，完全忽略了“计数”这种最基本功能，使之成为数学研究中的空白课题。人们在缺乏对微观世界意识时，这种小小的一次疏忽与失误，却成为人类研究数学发展史上最大困惑产生的根源。

当人们凭借对这种“數数计数"形式建立起来的加法和减法后， 根据初级计算经验的长期积累，又在此基础上为了简化计算过程，再次转换为乘法、除法这种第二级算术的运算形式后, 不论从对空间事物进行基本计数的形式上，还是从自然数的产生角度上看，对于这种第二级算术运算方法来说，这时其实质上已经成为一种间接的计数行为。同时在这种间接的计数行为中，自然数列本身的许多具有不同性质的数也伴随着表现出来，诸如：乘数、被乘数、积数、除数、被除数、整除、因子、余数、商数、素数、合数、偶数、奇数等许多新的概念。对于这些概念的产生原因，人们仅仅认为是由于计算方法的改变和计算过程需要的结果。而对这些不同性质的自然数，它们在自然数列中互相之间存在的整体规律或性质，却未有做更深入地研究或了解。实际上这些具有不同性质的自然数，通过“數数计数”产生自然数时就已经存在。因在“数论”中，我们是直接从第二级算术运算时的乘除法开始，分别对具有不同性质的自然数进行研究，来了解数与数之间存在的不同关系，这无形中使我们脱离了对自然数本质上的认识。对“素数”这种组成自然数的“基本材料”的了解，也只好“越级兴叹”了。这是数学研究中，造成许多困惑的根源。当我们在“数论”研究中，从数的‘整除性’开始进行讨论时，对素数的某些性质认识，犹如雾里看花一样，很难认清它的本质。因为我们在这种间接的研究方法中，如同瞭望空中的飞机，很难了解它的起飞基地一样。

 

四 创新数学对数学研究的影响   

在自然数列内，數与数之间不仅有着特殊的性质和规律，更重要的是“數”与“数”对某些空间事物中存在的规律，都有着极强的数学表现体系，这是其它任何方法都无法做到的。由于自然数的产生，是通过“數”与空间事物的一一 对应关系，在“數数计数”方法中形成的，而对其两者之间性质的认识，则是我们人类从未涉及的。

创新数学《數数论》的研究，虽然看似“數数计数”这一方法，是从儿童时期就已学习的最简单最基本的数学知识，但是，在《數数论》的研究中，“數数计数”这种形式，却是对数学研究向纵深范围进行扩张的理论。因为这种理论本身就是建立在对空间事物进行一一对应基础上的，其中一些规律与性质，同样也对应于空间事物的规律与性质。在自然科学研究中，这对空间事物中的物质世界认识有着极其深远的意义。《數数论》所讨论的问题，基本上全部是对整数中存在的各种规律、性质，进行“追根问底”地探讨过程，而这些规律与性质又是现在我们不曾认识或了解的。

   在数学研究领域中，人类对数学的认识，习惯于是对空间事物进行“量”化的一种重要手段。对于自然数列内，不同性质的自然数，它们在这一集合中的分布关系、数与数之间的结合关系、数与数的对应关系、数与数的对称关系等许多性质，这些都是我们很少或从未了解的。对自然数列这一集合的整体性质，只是部分认识。每个数在这一结合整体结构中，有些规律甚至可以在空间事物中，直接找到与之相对应的表现形式。数与空间事物这种“形”的对应关系，有可能引发数学研究领域的再次扩张。

    在数学研究领域中，不论我们是在讨论其规律还是性质，一般最终达到的目的就是对空间事物的各种“量化”运算结果。在自然数这一系统中，当我们从头再来对“數数计数”这种方法进行研究或讨论时，将会使我们惊奇地发现，“數数计数”与自然数之间，竟存在着人们从来未有认识到的许多非常有趣的性质与规律，甚至可以让我们达到拍案叫绝的疯狂程度！（这也是作者几十年来未能放弃研究的主要原因）而“數数计数”所表现出的这些重要性，不仅是维系自然数整体性质与规律的一种系统模型和基本方式，也将激发我们产生更多的联想思维和灵感。所以，对“數数”这一简单的计数方法进行探讨，是对自然数这些性质进行追根问底的研究方法。一旦这些性质与规律被我们掌握， 对于数学的应用范围或一些自然科学的发展将是一个划时代的突破。因为通过对“數数计数”探讨时可以使我们了解到，其所表现出的规律与性质在很大程度上表明，在这种创新的数学模型中，则表现出存在着如下的情况：自然数的应用，将不再是一种单纯而抽象的运算形式，在“數数计数”这一系统模型中，它本身就在很大程度上存在着具有可能成为研究自然界某些事物或现象变化规律与性质的重要方法。以前如果对整数性质的探讨，是一种研究自然数中的计算、计序、计数、排列、组合、性质等不同方法；创新数学则是一种通过“數数计数”与自然数之间的关系，讨论自然数本身包含的数与数之间的结合、數与数之间的关系、规律、性质、不同对应关系的形成、不同分布周期、不同分布形式、因子的各种表现形式、倒數规律、互數规律、不同模数的创建与性质等各种内在因素。这两种不同的数学研究方法，虽然都是在探讨自然数这种抽象的数学知识，但对自然数所表现出来的后一种具体内容我们却了解甚少。因自然数的产生源于对空间事物的认识，因此，对自然数后一种性质的研究，其表现出的某些性质、规律，也同样可直接对应于空间事物，通过“數数计数”这种对自然数列内的微观性质进行研究，在对新发现的这些性质得到充分认识后，“數”的一些性质、规律与某些空间事物之间将建立起更为科学的数学表达关系。

在科学研究中，总是脱离不了数学的参与，或把数学称为是“科学研究之母”，或把数学作为我们学习知识时的基本学科，无一不与数的这种基本性质有关。 作为伴随人类应用了几千上万年的自然数这种抽象的数学形式，我们对其本身的内部规律、性质却研究甚少，更谈不上在科学研领域中，对“數”本身就存在的这些性质的应用。在创新数学研究中，根据自然数表现出的这些性质，将会成为科学研究中，一种新的有力工具。

“數数计数”作为人类从蒙昧时期进入文明社会的一种文化现象，并在此基础上逐步发展为现代化高科技时代，从计算机的普及与数码产品和多媒体的广泛应用，然而对“數数计数”这一最原始最基本的数学形式则没有深入地研究。在从儿童时代就已认识的“數数计数”这一数学方法，当我们成长为某某 “大家”时，却不了解这种基本知识的性质， 这不能不让我们为此种现象感到汗颜。在人类现在认识的所有自然科学研究领域中，作为最基础的数学形式，经过几千年这样漫长悠久的历史而没有得到充分的认识或研究，在其它科研领域内，这种现象是很少存在的。                  

“自然数”，作为人类认识自然了解自然的一种特殊抽象的数学形式，在使用“數数计数”方法形成的过程中，当对“數”与”数“两者之间的关系进行过认真地研究后，对于自然数列本身存在的某些性质与规律，将会得到全面的认识，同时也将知其性质、规律形成的必然关系。 在数学领域研究中，对于像“哥德巴赫猜想”等有关素数问题的研究，自然数列中为什么会产生诸如“猜想”等这样的问题，我们不是去多问几个为什么，而是一味地想方设法地去做出证明，这不能不让我们对数学中存在的某些问题产生一种神秘感。单纯用数学语言作为研究数学工具，这种方法即便做出证明结果，我们也很难了解形成这种性质的真正原因。如果在不了解自然数中产生这种规律的原因前提下，而只是应用现有的数学方法和工具去进行证明，形成难以克服的困惑也就成为一种必然结果。

    在数论研究中，人们如果不是囿于对高级数学的研究，而是对数学中表现出的不同性质 不断地提出为什么，那么，我们这时就会很容易发现在数学研究中存在着一些奇怪的现象。如在关于素数的某些问题讨论时，既是在研究与讨论偶数中，有关素数的个数相加之和时的多少问题，或者是一个合数所含素因子个数多少的问题，我们同样在前面提到的所有数学资料中，找不到关于偶合数或者奇合数中，它们所含素数因子个数多少的原因是什么？因子与积数之间所存在的关系说明了自然数中的什么样的性质？被除数、除数、商数、因子、余数之间存在的关系，它们有着什么样的性质与规律？素数或素数因子是怎样形成的？素数在自然数列中的分布是怎样一种规律？素数为什么只能被‘ 1 ’或其本身这两个因子所整除?合数中所包含的不同个数的那些因子又是怎样形成的？一个素数平方数中的三个因子之间是否也 存在着特殊不同的关系？（如：25 = 1×5×5   49 = 1×7×7  … ，在“數数论”表现出的性质，并不像我们一般想象的那样简单） 当一个合数中含有两个以上的素数因子时，这些因子是以什么样的规律结合在一起的？对自然数这些明显的基本性质都未能够做出圆满的解释，而却利用所谓高深的解析数论方法去证明哥德巴赫猜想存在的可能性，这很难认为是一种科学的研究方法。例如素数：13＝1×13 偶合数：18 =2×3×3 奇合数：21 = 3×7 含多个因子的合数：364=2×2×7×13 2618 = 2×7×11×17 可见，不同合数中所含素因子个数的多少，与这个合数大小无关，而直接去证明哥德巴赫所提出的凡大于 6 的每个偶数是否都能够用两个素数之和来表示，或证明大偶数中所含素因子个数乘积之和的多少问题，在对自然数以上这些性质或基本规律都不了解的情况下，其盲目性是不言而喻的。 正是这种盲目性， 导致数学家们难以指出今后“哥德巴赫猜想”正确的研究方向是什幺。

作为创新数学自然数原本《數数论》的研究中，它所表现出的性质与规律，就是这样一种特殊的数学模型。在对以上所提到的问题，基本上都可以从中找到相对应的规律与性质。在本书中有关素数与偶数之间所形成的规律也是显而易见的。从这些规律中，我们不仅知其然也会知其所以然，在《數数论》中所讨论的规律和性质，它不是指证明大偶数可用两个素数之和来表示，而是从客观上揭示出在自然数列中的所有偶数，都能够用两个素数之和进行表示的这种普遍规律或其性质存在的本质。因此，对于哥德巴赫猜想来说，揭示出关于素数与偶数之间在自然数列中存在的这些性质与规律，这将不证自明，有充分理由说明哥德巴赫当时所提问题的正确性。这是自然数本身从产生时所形成的一种必然性质与规律。对创新数学《數数论》的研究，将综合提升数学研究理论的水平。

《數数论》里，在对自然数的讨论中，它不但涉及到素数、合数、因子这些数的性质，同时也涉及到除数、被除数、商数、余数、乘数、被乘数、积数等贯通于整个算术中的基本性质与具体规律。当漫步在《數数论》这一数学处女地时，将使我们感到自然数与“數数计数”两者之间所存在的性质与规律，具有不可分割的紧密关系。这不仅使我们对自然数有了一个全新的认识或全面的了解，同时也将使我们对数学的应用领域，会扩大到一些新的科学研究范围。在对这种创新数学探讨的整个过程，所发现的一些新的性质与规律已有迹象表明，对自然数这些规律与性质的研究、开发与运用，已不仅仅限于对算术领域范围内的讨论，它也将对自然界中所存在的某些现像与表现形式，形成一种新的研究工具或引起更多创新理论的诞生。

《數数论》这一数学模型，还在于也是一种创新“筛法 ”。在该筛法中，不但可以了解到素数分布的一些具体情况，同时在这一筛法中进行筛选素数时，最重要的它不是建立在乘法或除法的性质上筛选素数，而是直接用简单的加法形式进行筛选的。这是根据自然数本身存在的基本性质，通过其客观规律所决定的。显然这种筛法与其它任何筛法比较，有着本质上的不同，在这种创新筛法中，当作为对自然数进行判别素数时的一种方法时，并可根据筛选范围大小而改变运算程序，相对地会使运算程序范围大量缩小。根据这种的筛法性质，我们对不同数学研究范围的需要，随时都可以从中找到筛选素数时的最佳计算规律或计算方案及计算公式。它的灵活性，这同样是其它任何筛法所不能办到的。

在《數数论》中，同时也有迹象表明，自然数列中的一些组成规律或其分布方式本身中，还具备不同螺旋形式的分布规律，这充分表现出自然界中某些螺旋规律存在的必然性。因此，这种新的数学模型很可能对具有这样螺旋结构的自然现象，将成为一种定量化的研究 方法。因为用数学模型解释某些自然现象时，其表现形式更具有科学性或研究价值。如生命遗传密码那样各种不同类型的螺旋结构形式 ，当用数学模型表现时，很可能作为用数学研究生命时代的到来； 再例如从上世纪 60 年代起，就有科学家在进入天体物理的研究领域后，创立了星系螺旋结构的密度波理论并克服了困扰天文界数十年的“缠卷疑难”，进而发展了星系旋臂长期维持的动力理论，因此，《數数论》中表现出某些数的螺旋分布形式，也很可能对星系这种螺旋结构形式会产生某些影响；航天科学创始人科学家钱学森的最大兴趣是完成《系统学》的新的理论思想。当在《數数论》中看到具有不同性质的自然数之间，它们所表现出的严谨系统关系时，不能不为《系统学》这种新的理论思想所折服。

在《數数论》这一模型中还可以找到其它一些具有不同性质或规律模型的多种表现形式，从表面上看，这一模型中的规律虽然十分复杂，但每种规律、形式都是唯一的，即这种模型内根本就不存在估计、逼近、近似、假设等这些不确定因素。对自然数列中这一无限多的数，不论取任意 n 值内的自然数为研究范围，即使是其中任何一个素数或合数的因子在筛选过程中出现问题，都会很容易地被发现出来。因《數数论》作为一种严谨的系统模型，当用于计算机的程序设计时，也将会产生某种新的设计程序与方法。同时根据其不同规律与性质，也很容易产生新的密码技术。不论从以上那方面来看，在对《數数论》这一创新的数学体系研究中，它不同于现代任何数学的研究方法，对这一创新数学的研究，将会成为现代创新科学研究中的一种助推工具。

在对这一“数学中的处女地”的研究中，因第一次认识这种系统的数学模型或工具，作者虽经过几十年的深入探讨，作为研究數与数之间，数与数之间的复杂关系或规律的一种创新方法，虽取得一定研究成果，但对各种不同性质的自然数之间所存在的复杂关系或规律，也并不可能会得到全面地了解。作者在几十年研究的实践中深深地体会到，在对这种数学模型的研究中，它像一座永远开采不尽的金矿一样，每发现一个规律后，又会接着发现另一个规律。在《數数论》里的所有规律都是通过这样一个接着一个被逐渐发现的，它不具有任何人为因素的参与，也不是人们不曾了解的性质或规律。相信今后还会根据《數数论》中的方法，逐渐不断地发现自然数中更多的性质与规律。在这种具有系统的数学模型与研究方法中，也必将会应用到其它不同的科学研究领域。对《數数论 》这一创新数学的研究，在某些数学或自然科学研究中，也将会成为数学研究中具有深远意义的有力工具，成为数学研究工作或数学研究者，开创更为广阔的创新思维平台。