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注重学生思维参与和感悟的函数概念教学（一） 编者按 函数与函数概念的教学是大家所熟悉的，但本文从教学设计的立意入手，凸显函数概念本质、分析学生认知基础、如何更好地把握教学规律，以问题串为线索的教学过程设计（尤其是例子的选择和提出的相关问题）、注重学生的思维参与和感悟的教学过程设计。特别是本文第二部分“课后与任课教师的互动交流”对于我们应该如何去思考和进行函数概念的教学会有很好的启迪。第三部分“在实践基础上理性反思”对于如何进行教学设计、提高自身把握中学数学教学的规律的能力具有理论价值和现实意义。 为了推进高中课标教材的实验工作，使广大教师更好地理解新教材的编写意图，把握新教材的教学，提高教学效益，我们组织实施了“中学数学核心概念、思想方法结构体系及教学设计的理论与实践”课题研究，就高中数学中的一些核心概念的教学开展深入研究，并以“人教A版”高中数学课标教材为蓝本，进行课堂教学实践研究，制作成课例光盘供广大教师观摩． 众所周知，函数概念是中学数学中的最重要概念之一，函数的思想和方法贯穿高中数学课程的始终．理解函数概念及由其反映的数学思想方法，学会用函数的观点和方法解决数学问题和现实问题，是高中阶段最重要的数学学习任务之一．因此，搞好函数概念的教学至关重要．另一方面，函数概念因为其高度的抽象性而成为最难把握的概念之一，无论是教师的教还是学生的学，都存在很大困难．有鉴于此，我们选择了“函数概念”单元，内容包括函数的概念、表示和性质（单调性），请“人教A版”高中数学课标实验教材作者、南京师范大学附中 第一部分 教学设计 一、基于教材编写意图的教学设计立意 为了更好地说明问题，我们这里结合“人教A版”中函数单元的教材编写意图，阐述本教学设计的立意． （一）对本单元教学内容的总体认识 高中的函数学习在初中已学的“变量说”基础上展开，函数定义采用“对应说”，引进抽象符号f(x)表示函数；较全面地学习函数的表示与性质；强调函数是刻画现实事物变化规律的一种数学模型，因此强调函数的背景、思想和应用；强调与方程、不等式的联系，注重用函数观点理解和解决方程、不等式的有关问题；用导数为工具研究函数性质，使思想方法和研究手段都上升到一个全新高度．具体安排强调螺旋上升，先从一般性角度研究函数概念，使学生在宏观上了解函数的内容和方法，起到先行组织者的作用；然后通过基本初等函数的学习，以具体函数为载体，感受建立函数模型的过程与方法，体会函数在数学和其他学科中的应用，学会用函数思想解决简单实际问题． 定义抽象、符号抽象、具体函数类型多复杂性提高（连续的、离散的）、相关知识的联系性增强、用更多的工具（实数运算、导数）讨论函数性质等是高中阶段函数学习的特点．特别是，引入具有一般性的抽象函数符号f(x)，使学生能通过建立模型刻画现实问题的数量关系，并通过讨论函数的性质而获得现实问题的解释，认识和把握现实问题的规律． （二）教学设计的立意 基于上述认识，在教学设计中，我们特别强调了如下几个方面，这也是为了体现教材编写意图． 1．突出函数概念的本质和建构过程 我们认为，函数概念的本质是：函数是两个变量之间的一种特殊的对应关系；函数概念所反映的思想方法是：自变量、因变量都取实数值（这样才有可能用数及其运算的知识来考察现实问题的变化规律）；因变量的取值有唯一性；用数以外的符号f(x)表示函数（具体表示形式可以是解析式、图象或表格）． 为了让学生在经历函数概念的概括过程中，更好地体会其本质和思想方法，我们遵循教材编写意图，在教学设计中强调通过一些具有真实背景的典型实例，从“变量说”出发，引导学生用集合与对应的语言分析它们的共同特征，再概括出“对应说”．这样既衔接了初中阶段将函数看成变量间依赖关系的认识，又使学生在用集合与对应的语言刻画函数概念的过程中形成对函数概念本质的切身体验． 2．为学生概括和领悟函数概念搭建“脚手架” 函数概念是中学阶段最难理解的概念之一，其原因主要是：由f(x)的形式化表达方式所带来的高度抽象性；变量的概念涉及到用运动、变化的观点看待和思考问题，具有辩证思维特征；有许多下位概念（如自变量、因变量、定义域、值域、单调性、奇偶性……），是派生数学概念的强大“固着点”；具有广泛应用性，建立函数模型不仅需要具备较强的数学能力，而且与学生的人生阅历有关；等．其中最根本的还是其高度抽象性． 众所周知，越是基础性的概念，其统摄性就越强，应用范围就越广，学生从中领悟到的数学就越本质，所形成的思维方式、养成的思维习惯对学生的终身发展也就越有根本性影响．所以，对这些概念就越要强调理解的深刻性、基础的稳固性．但事物总有两面性，这些概念的理解和掌握往往难度大、时间长，需要更多的经验积累．“是非经过故知难”，亲身经历过的事情感悟才会深刻．因此，这些概念的教学要非常讲究从简单到综合地组织内容，要特别耐心地进行循序渐进的渗透和提高，要特别强调让学生经历从具体到抽象的概括过程．中学数学中，扮演这种奠基角色的概念不是很多（如数及其运算、空间观念、数形结合、向量、导数、统计观念、随机思想等），但函数概念是当之无愧的一员．因此，教学设计中，我们以教材提供的概念概括过程和素材为依据，特别注意以具体例证为载体化解函数的抽象性，为学生搭建理解的平台，铺设概括的路线和阶梯，以帮助学生感悟函数概念的“本来面目”．其中特别注重典型实例、表格和图像直观等的作用，并强调在思想方法上给予明确、具体的指导． （1）铺设概括路线．教材在简要回顾初中函数概念的基础上，以三个有真实背景的实例为载体，先从“变量说”出发，并用集合与对应的语言详细讲解第一个实例的对应关系，再引导学生模仿叙述后两个实例的对应关系，然后以“你能概括一下这三个实例的共同特征吗？”为引导，使学生概括实例的本质而形成“对应说”．接着，在函数的表示、函数的性质等内容中，不断强化对函数这一类特殊“对应关系”的认识，强化对函数所研究的问题和思想方法的理解．教材铺设的这一概括路线符合学生的认知规律，是设计教学过程的基本依据． （2）选择典型、丰富的实例．教材提供的实例是精雕细琢的，特别强调了典型性和丰富性，我们相信这些例子在学生理解函数概念中能起到奠基性的“参照物”作用．因此，在函数概念的引入、表示、性质和应用等各阶段的教学中，都应用好书中的例子，为学生提供思考、探究、交流的机会，使学生在好例子的支持下开展思维，形成函数概念理解活动的强大背景支撑． （3）强调只能用图像、表格表示的函数例子的作用．表格、函数图像不仅是“表示法”的一种，从学生学习的角度看，它们使抽象的函数符号形象化，为学生提供了直观的机会．例如图像的种种形象和基本性质使得学生直观地“看到”、想象到函数的定义域、值域、单调性等种种性质，看到a的取值是如何决定y＝ax的特性的，看到y＝sin(2x+)什么时候取正值或负值等．所以，图像、表格是帮助学生理解函数概念的重要载体．另外，用函数图像分析和解决问题时体现出的数形结合思想，是培养学生数学能力的重要载体．教材充分注意到了图像、表格的作用，其中特别强调了只能用图象、表格表示的函数例子的使用．我们体会，教材这样做既是为了提升学生对函数概念的认识层次，同时也是为了帮助学生更全面、深刻地领悟“对应关系”的本质．因此，教学中应特别注意利用教材的这些例子，让学生指出其中的“对应关系”，这是非常重要的． （4）思想方法的明确和具体指导．从知识分类角度看，“内容所反映的数学思想方法”属“隐性知识”，是人类在认识客观世界中的“数量关系”“空间形式”和“随机性中的规律性”的过程中产生的，是指导人们研究数、形规律时需要遵循的规则和程序，与人的世界观有紧密联系．因为数学思想方法的这种“隐蔽性”“默会性”及其高层次性，而中学生的认识能力、智慧水平尚在发展过程中，因此数学思想方法的学习，一方面要强调让学生在亲身体验中获得内心感悟，另一方面还要依靠明确具体的语言指引，这也是加速学生领悟过程的需要．我们认为，教材既充分注意了数学思想方法的地位作用，对学生理解数学思想方法的规律也有准确把握，因此对思想方法的明确和指导也是到位的．例如，在具体讨论函数性质之前，教材有这样一段话：“变化之中保持的‘不变性’‘规律性’就是性质．函数是描述现实事物运动变化规律的数学模型．现实事物的某些变化会随着时间的推移而有增有减、有快有慢，有时达到最大值有时处于最小值……这些现象反映到函数中，就是函数值随自变量的增加而增加或减少、什么时候函数值最大、什么时候函数值最小……这就是我们要研究的函数性质，知道了函数性质也就把握了事物的变化规律．”其目的就是要让学生明确函数性质的内容、研究方法和意义．因此，教学中应认真贯彻教材的这一意图，筹划好函数思想方法的领悟过程． 3．加强建立函数模型的活动，深化函数概念理解 前已述及，为了有利于学生理解函数概念，教材采用“归纳式”安排学习内容，使学生在分析、归纳、概括实例共同本质属性的基础上，感悟函数概念及其蕴含的思想方法．在学生初步领悟函数概念，知道了函数是对客观现实数量关系的抽象以后，教材安排了建立实际问题的函数模型的内容，给学生提供建立模型、求解模型，再用模型描述、解释实际问题的学习机会．古人云，“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”．在用函数建模的过程中，不但可以使学生更深入地感悟函数，而且还可以使学生形成用函数解决问题的真实体验．对于函数这样抽象程度极高的概念，只有设法使学生卷入其中，强化亲身体验，启发内心感悟，激发心理共鸣，才能真正转化为学生认识客观规律、解决实际问题的强大武器．教学中，应认真体会教材的这种设计思路，一有机会就要安排函数建模活动，让学生有机会用函数概念解释各种变化现象，解决相关问题． 二、“函数的概念”教学设计 1．内容和内容解析 “函数”是中学数学的核心概念． 学生在初中学习了函数概念．函数定义采用“变量说”；介绍了三种表示法；以一次函数（包括正比例函数）、反比例函数和二次函数为具体函数模型，借助图像讨论了这些函数的一些简单性质；要求用所学函数知识解决简单实际问题；不涉及抽象符号f(x)，不强调定义域、值域；等．初中所学的函数知识，与代数式、方程等联系紧密，而对“变量”“变化”“对应关系”等涉及函数本质的内容，要求是初步的． 高中阶段要建立函数的“对应说”，虽然它比“变量说”更具一般性，但两者的本质一致．不同的是：表述方式不同，高中用集合与对应语言表述；明确了定义域、值域；引入了抽象符号f(x)表示集合B中与x对应的那个数，当x确定时，f(x)也唯一确定． 函数概念的核心是“对应关系”：两个非空数集A，B间有一种确定的对应关系f，即对于数集A中每一个x，数集B中都有唯一确定的y和它对应．这里的关键词是“每一个”，“唯一确定”．集合A，B及对应关系f是一个整体，是两个集合的元素间的一种对应关系，这种“整体观”很重要． 根据上述分析，确定教学重点为：在研究已有函数实例的过程中，感受在两个数集A，B之间所存在的对应关系f，进而用集合、对应的语言刻画这一关系，获得函数概念． 2．目标和目标解析 （1）通过丰富实例，建立函数概念的背景，使学生体会函数是描述两个变量间依赖关系的重要数学模型； （2）能用集合与对应的语言刻画函数，了解构成函数的三个要素； （3）会用恰当的方式描述一个具体函数的对应关系； （4）会判断两个函数是否为同一函数，会求一些简单函数的定义域和值域； （5）通过从实例中抽象概括函数概念的活动，培养学生的抽象概括能力． 3．教学问题诊断分析 （1）由于学生在初中接触的主要是用解析式表示的函数，他们对图像、表格表示的函数，因为其对应关系“说不出来”，所以往往认为不是函数．因此，为了帮助学生认识“对应关系”这一函数概念的核心，应当特别重视“图像、表格表示的对应关系是什么”的教学． （2）从以往的经验看，学生对解析式表示的函数对应关系的认识往往也不清晰，为此，应当加强用“等值语言”叙述函数解析式的训练．例如，函数y＝的对应关系是“非负数与它的算术平方根对应”，或者“正方形的面积与它的边长对应”等． （3）对函数概念中的“每一个”、“唯一确定”等关键词关注不够，领会不深．教学中，可以通过反例帮助学生理解，当然，真正达到理解还需要有个过程． 因此，本课的难点主要是对抽象符号y＝f(x)的理解，尤其是对f的意义的理解．教学中应利用具体函数例证，特别是图像、表格表示的函数，使学生逐步体会对应关系f的意义． 4．教学过程设计 （1）用集合、对应语言定义函数 问题1 同学们在初中已学过“函数”，请你举几个函数的例子． 设计意图：通过举例来回顾“变量说”．教师根据学生所举例子，引导他们明确分别用解析式、图象、表格表示对应关系的函数．如果学生所举例子都是用解析式表示的，教师则问：“函数关系都是可以用解析式表示的吗？”引导学生开阔思路，再举一些用图象、表格表示对应关系的函数．教师也可以参与举例，但是，让学生来判断教师举出的例子是否能够表示一个函数，并要求说明理由． 例1 图1中的曲线记录的是 （此例的功能与教科书中“臭氧层空洞面积关于时间的变化曲线”相同，但更贴近日常生活．） 图1 例2 下面是某运动员在一次训练中射击序号与中靶环数的对应表：
环数是序号的函数吗？ 学生正确说明后，再追问：“如果第三次脱靶，还表示函数吗？” 例3 （教科书第15页例1）如图2，一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标．炮弹的射高为 h＝130t－5t2．（*） 炮弹距地面高度h是时间t的函数吗？为什么？
教师演示：在线段OD上画一点M，过M作x轴的垂线，并作出与图象的交点P，度量点M的横坐标与点P的纵坐标．随着点M位置的改变，点M的横坐标x与点P纵坐标y都在变化，但无论点M在哪个位置，点M的横坐标x总对应唯一的点P纵坐标y．由此，使学生体会，函数值y的变化依赖于自变量x的变化，而且由x的值唯一确定．炮弹飞行时间t的变化范围是数集A＝{t|0≤t≤26}，炮弹距地面的高度的变化范围是数集B＝{h|0≤h≤845}，从问题的实际意义可知，对于数集A中的任意一个时间t，按照对应关系（*），在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应． 问题2 （追问举例的同学）你凭什么说自己举的例子表示一个函数？其他同学也思考一下，他们所举的是函数的例子吗？为什么？ 设计意图：让学生用概念解释问题，了解他们对函数本质的理解状况．要注意突出“两个变量x，y”，对于变量x的“每一个”确定的值，另一个变量y有“唯一”确定的值与x对应，“y是x的函数”．特别要求学生指出对应关系是什么？x取哪些数？即取值范围，感受数集A的存在，y值的构成情况，为引入两个数集做准备． 问题3 前面我们学习了“集合”，你能用“集合”和对应的语言描述函数概念吗？ 设计意图：引导学生把初中学过的函数概念与高一刚学的集合知识联系起来，用集合的观点解释已有概念，获得对函数概念的新认识． 在学生用集合与对应语言解释“变量说”后，让学生看书上的“对应说”． （2）认识函数的定义域、值域、对应关系 例1 填写下列表格：
例2 函数y＝x2是的对应关系是什么？你能用一个具体背景说明这一对应关系吗？ 例3 已知函数f(x)＝＋．求 f(－)； f(x－4)的定义域． 例4 下列函数中哪个是与y＝x相同的函数，为什么？ （A）y＝（）2；（B）y＝（）3；（C）y＝；（D）y＝． 设计意图：及时巩固概念，学习用函数概念作判断的“基本操作”．上述例题都采用让学生先独立完成再师生共同讲评的方式完成． 练习1 请举出对应关系f只能用图象或表格表示的函数例子，并用函数定义说明你举的函数的确是函数． 练习2 图3表示一个函数吗？为什么？ 图3 练习3 课本第19页练习2、3． 设计意图：进一步认识函数概念中“三要素”的整体 性．两函数相同，当且仅当三要素相同．练习2是一个反 例，目的是认识“对应关系”的特点． （3）自学“区间”概念 在研究函数时，常常需要用到“区间”概念．请大家阅读课本第17页，了解这个概念． （4）小结 通过本节课的学习，你对函数概念有了哪些新的认识？还有哪些收获？ 要点：“对应说”的概括过程；如何理解“对应关系f”；等． 设计意图：回顾函数概念的概括过程，体会通过归纳具体事例的共同本质特征得出数学概念的方法；体会用函数概念描述变量之间依赖关系的过程与方法；体会抽象符号f：A→B的含义． 5．目标检测设计 （1）教科书第24页习题1.2，A组，第1，2，3，4题． （2）给定函数y＝x(x+2)（x＞0），请你用尽量多的具体情境解释这个函数的对应关系． （3）联系自己的生活经历和实际问题，举出一些函数的实例．希望包括一些只能用图象或表格表示的函数． 设计意图：第（2）（3）题的目的是加深对“对应关系”的理解．学生能举出丰富的函数例子，是理解函数概念的重要标志． 注重学生思维参与和感悟的函数概念教学（二） 第二部分 课后与任课教师的互动交流 为了及时对照课堂中发生的情况（“生成”）与教学设计（“设计”）的差异，增强教学反思的时效性，在本节课的教学结束后，我 章：对这个单元的教学目标你是怎么认识的？你心中的核心目标是什么？ 陶：这个单元的教学目标，“课标”规定的是“能用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用”、“了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域”、“了解映射的概念”、“会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数”、“通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用”．我以为，核心是理解“对应关系”．通过教学要使学生体会到函数的对应法则、定义域、值域是一个整体，这样才能准确、完整地刻画两个变量之间的数量关系；函数的各种表示法、性质等，都是围绕函数概念展开的．当然，这个核心目标不是一节课能完成的． 章：你认为高中生理解函数概念的认知基础有哪些？ 陶：必须注意到，高中生不是首次接触函数．在初中，学生已学过函数概念，认识到函数研究的是变量之间的依赖关系；学习过函数的表示法；函数的图象；并学过几个具体的函数（正比例、反比例、一次、二次），对函数已有不少认识．定义域、值域虽然没有作为一个概念提出，但学生已从具体函数的应用中体验到自变量有取值范围的限制，相应地，因变量也有一定的取值范围．这些都是重要的学习基础．初中物理、化学等学科的学习，也为学生用运动、变化观点刻画事物变化规律奠定了较好的知识和思想方法基础．另外，随着学生年龄增长、生活经验的增加，抽象逻辑思维能力的发展，他们抽象概括事物本质的能力也得到很大增长．这些都为学习函数的“对应说”提供了认知基础． 章：你认为学生理解函数概念的难点在哪里？可以怎样突破？ 陶：我以为，难点在于对抽象符号“f：A→B，y＝f(x)，x∈A，f(x)∈B”的理解，主要是符号太抽象了，尤其是对应关系f到底是什么含义？突破的方法是，在学生已有认知基础上，充分利用初中学过的函数和生活实例，通过师生共同举例、分析，让学生领悟对应关系f的含义（这是重中之重），体会限定变量x，y的变化范围的必要性，体会在其变化范围内变量的依赖关系，进而逐步使学生学会用数量关系刻画两个变量的依赖关系． 为了认识抽象符号f(x)，应当特别注意采用从具体到抽象、从特殊到一般的方法，以大量的、形式多样的实际问题为依托，使抽象符号f(x)具有坚实的具体背景，使学生更好地体会它所包含的具体信息：数集A中的数x在对应法则f的作用下所对应的数集B中的一个数． 章：在教学设计中，你考虑最多的问题是什么？你认为把握好哪些就可以使学生理解好函数概念了？ 陶：我考虑最多的是，应充分利用学生已有的知识基础，找准“变量说”与“对应说”间的观点差异，为学生设计适当的认知过程，顺利实现从“变量说”到“对应说”的螺旋上升．要围绕“对应关系”这一核心展开教学，要设法让学生理解它的特点，特别是领悟“任意”“唯一”这些关键词，这也是难点．难点的突破不是靠“定义+解释”，也不仅是教师举例、学生说明．教师要千方百计找好例子，也要让学生举例，并让他们用函数定义分析、讨论．让学生在“说理——反驳”的过程中引发思维碰撞；在用定义对实例的抽丝剥茧过程中，感悟“对应关系”的本质特征．学习是学生自己的体验与感受，因此，我十分注重把学生引导到概念定义的过程中来，让他们“卷入”到函数概念中去． 这里我特别想说说“好例子”的重要性．就像你说过的，“一个好例子胜过一千次说教”．我在教学设计中，例子的选择确实下了大功夫．从学生的课堂表现看，股票指数图、射击命中表、让学生构建具体背景解释y＝x2的对应关系等，在学生感悟“对应关系”中起了关键作用． 章：我注意到，你在课堂中特别重视让学生自己举例，而且问了许多“为什么”“凭什么”，请谈谈这样做的用意． 陶：让学生举例是为了让学生参与到概念的形成过程中来，为概括函数的本质特征提供丰富的背景基础．学生在举例时要考虑许多问题，比如：需要说明什么问题？哪些例子可以说明这个问题？哪个例子能切中要害？课堂实践表明，学生会尽量举与众不同的例子，因此可以得到丰富、多样的例子，学生可以从中得到相互启发；有的学生举的例子不确切，说明他的理解还不到位，正好可以用来纠正偏差；在说明自己的例子是函数的过程中必须使用概念，因而能深化学生的概念理解，提高学生的思维参与度．“你凭什么说你举的例子是函数？”就是要促使学生“回到概念去”．数学思维的特点是用概念思维，是逻辑思维．多问“为什么”，可以暴露学生的思维过程，而不是满足于获得答案；可以培养学生质疑的习惯；可以培养学生发现问题的能力．数学是思维科学，数学教学是思维教学，数学教师应把培养学生的思维能力作为主要任务． 章：我看过你的教学设计，又听了你的课，教学设计中的有些内容在实际教学中并没有出现．你是怎么考虑的？ 陶：教学设计中有求函数定义域的练习，时间来不及就不做了．也许有人认为这堂课的教学任务没有完成．毫无疑问，每堂都应有一定的教学任务．但我认为，应当全面理解教学任务，其中以知识为载体的能力培养是最重要的任务，这是与数学教学的“育人”目标紧密相关的． 另外，教学是动态生成的过程，课堂上必然会有课前难以预料的事情发生．比如，我没有预料到，学生会在“射击时脱靶是否有成绩”上发生争论，而这个问题的讨论，对认识概念的关键词“每一个”“唯一确定”很有意义，当时就觉得这个讨论很值得；再如，当学生对对应关系f到底是什么还存在模糊认识时，我舍得花时间，再通过实例加以认识．在“预设”与“生成”发生矛盾时，我会毫不犹豫地选择“生成”．教学越民主，越尊重学生的认知规律，“教学任务没有完成”的事就越容易发生．讨论、交流活动是促进学生思维深度参与的平台，是感悟概念的机会，学生不仅训练了思维，加深了概念理解，培养说理、表达能力，而且还在不知不觉中学会了倾听、尊重，身心健康也得到发展．所以我认为对“完成”两个字要有正确理解．那种为了把知识“交”给学生而中断学生实质性数学思维活动的“完成”，是得不偿失的． |
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