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皮亚诺公理和自然数的逻辑体系
|| 2.1.1 皮亚诺公理和自然数的逻辑体系 还是让我们先看一段维基百科上的关于“自然数的历史与０的定性”： 自然数由数数目而起。古希臘人最早研究其抽象特性，当中毕达哥拉斯学派更视之为宇宙之基本。其它古文明也对其研究作出极大贡献，尤其以印度对0的接受，为人称道。 零早于公元前400年被巴比伦人用作数码使用。玛雅人于公元200年将零视为数字，但未与其它文明有所交流。现代的观念由印度学者Brahmagupta于公元628年提出，经阿拉伯人传至欧洲。欧洲人开始时仍对零作为数字感到抗拒，认为零不是一个“自然”数。 19世纪末，集合论者给自然数一个较严谨的定义。据此定义，把零（对应于空集）包括于自然数内更为方便。逻辑论者及电算机科学家，接受集合论者的定义。而其他一些数学家，主要是数论学家，则依从传统把零拒之于自然数之外。在全球范围内，目前针对0是否属于自然数的争论依旧存在。 国际标准ISO 31-11:1992《量和单位 第十一部分：物理科学和技术中使用的数学标志与符号》（已被ISO/IEC 80000-2取代）中，从集合论角度规定：符号N 所表示的自然数集是包括正整数和0。在中国大陆，2000年左右之前的中小学教材一般将不0列入自然数之内，或称其属于“扩大的自然数列”。在2000年左右之后的新版中小学教材中，普遍将0列入自然数。 中国于1993年制定的强制性国家标准《物理科学和技术中使用的数学符号》(GB 3102.11-93)参照国际标准ISO 31-11:1992规定：N表示“非负整数集；自然数集”，N={0,1,2,3,...}。 当然，集合论者的见解比数论学家高明，那只是因为集合论者的视野比数论学家广阔得多了，而这对于物理科学和技术来说，这就不是问题了，因为他们要去解决物理问题。这一点上，其实中国古人说得更加准确：“无生有，有生一，…”，这就像牛顿说的画直线不是欧氏几何解决的问题，而是它的前提；同样，时间和空间不是牛顿解决的问题而是牛顿理论的前提。0就是自然数的前提。自然数当然应该包含0，就像欧氏几何必须包含直线一样，但是前提和理论体系中研究的元素还是有差别。在自然数中没有0显然是不行的，1从哪里来呢？但是前提又确实与每一个从前提产生的元素不一样，需要更多的研究。人所创造的理论总是有局限性的：不仅往后，往更广阔方向不行，超过了它的有限论域，就不适用；往前也不行，那些逻辑前提只能应用，而无法解释。我们可以解释1后面的数是怎样产生的，还要解释1是怎样产生的，但是不能解释0是怎样产生的。“它是以前的人告诉我们的”，就不必解释了。但是并不是说了一句是前面已经有的，就真不用解释了，而仅仅只是，现在不去解释了。同样还有一个理解前提的任务，因为实际上所有的已有的公理都连接到最早的公路，但是那个最早的公理，又是谁也说不清的。所以，这个任务其实是更大更难的，这样的处理只是把它和当前讨论的问题给分离开，问题总得一步一步去解决，有一部分可以留给后人去讨论和解决。 我总觉得杨本洛提出的有限论域，是很有意义的，这个问题，以前的科学家不是根本不懂，就是说得还没有那样清楚。不论哪个学科的，总要把自己的工作说得那么重要，那么普遍适用，其实大多数科学家主观上并不想骗人，但是事实上又欺骗了公众。所以学习“有限论域”的观念是很重要的，真正懂得了这一点，搞科学的就不会不自觉的去骗人。更应该把那个概念成为公众教育的基本教材，让更多的普通人树立那种观念，国家就会好多了，就不会有那么多人轻易的被骗了。 关于自然数相关的数学，实际上在古代的初等数学中都基本上研究过了。现代数论实际上是随着牛顿数学的出现和发展而产生的。它的基本特点就是把牛顿数学分析的逻辑概念和牛顿极限的下相等的理念用到自然数数域中去。用来做什么呢？用来作为对于新的数学理念和已有的，直到最早公理之间的关系的研究，这应该是很有意义的。它的意义主要是逻辑上的，如果不研究数理逻辑，仅仅简单地把牛顿的数学方法搬用到自然数中去，而不去研究那里的逻辑关系，是不大可能得到合理的或有用的结果的。因为新的数学理念实际上首先必须帮助我们去更好地理解已经有的公理的内涵，这就像前一段中所说的，关于以前的公理和最早的公理，在当时所要解决的问题中，实际上并没有讨论清楚，所以总是需要讨论的。讨论那些问题的难处就在于：我们不能轻易去改变“最早(或已有)的公理”的规则的内容。因为最早的公理已经被用来演绎了后面的定理，并不断提升为新的公理，如果把最早公理的内容和规则改变了，那些用来推导新公理的那一整套已有公理体系也要改变了。但是，如果反过来，把一旦“提升为”新公理的那些包括最早公理的体系看成是不可改变的，或者像现代数学中寻找“数学自身”的公理体系那样，认为只要一直沿着那一条道路向前，就可以发展出人类的思维和实践的公理体系，这可能吗？当然某些纯数学家相信那是可能的，或者说他们相信数学就是具有那样的功能。可以反复的相互作用着而又不断地前进着。正像上一章的很多研究数学的哲学家所指出的,这会产生一个自吞的逻辑体系，不断地只靠自己吞噬自己并用来发展着自己。这在逻辑上是不可能的。所以哲学家和语言学家们现在又强调了一个新的名词，叫“内涵“。我们可以想办法去更好地理解已有的或最早的公理，使得我们能够改变对于那些公理的内容，而使它仍然能够与整个公理体系不矛盾。这实际上需要外部的加入，没有外部的加入，仅仅是已有的逻辑前提下的体系，是无法做到那一点的。有了外部加入的新前提，就有了新的发展，而又不与原有理论体系相矛盾的可能，那就是把已有的公理看成有限论域下的公理，在扩大的论域中，它依然有局部公理的作用。所以研究数理逻辑就是要研究数学体系，不是依靠”自身“，而是如何从外部吸收来自大自然的新元素后，来获得新的逻辑前提，以及如何把那些前提和已有的公理体系融合成一体。只有前提的不断的扩展才有数学体系的真正的发展。研究数理逻辑就是把数学从”自身“下解脱出来，而与物理实在结合起来，从物理实在中获得新的前提来发展数学；反过来又把数学体系中产生的新元素，融入到物理学体系中去，来构筑物理学理论的新的逻辑框架。只有在新的数理逻辑的框架下，才能够建立起新的自然哲学的数理逻辑体系。 19世纪到20 世纪初的数学家在那方面已经走过了一段最艰难曲折的道路，虽然在他们走过的路上也还有不少逻辑悖论需要我们去清理，我们从总体上还是沿着他们所开辟的道路上向前，但是又要打破主流派的种种束缚和阻碍。这就是我们研究数论所持的基本态度：沿着前人所走过的路去开辟新路，驱除所有的逻辑悖论去寻找逻辑思维的发展方向。 研究数论的出发点应该还是皮亚诺公理。爲了给出自然数的严格定义，皮亚诺采用序数理论提出自然数的5条公理，被稱爲皮亚诺公理。这五条公理用非形式化的方法叙述如下： 1. 1是自然数； 2. 每一个确定的自然数n都有一个确定的后继者，记作n+或n+1。n+1也是自然数； 3. 如果m、n都是自然数，并且m+1 = n+1的后继数，那么m = n； 4. 不是任何自然数的后继者； 5. 如果一些自然数的集合S具有性质:(1)1在S中；(2)若n在S中，则n+1也在S中。那么S = N。(这条公理保证了数学归纳法的正确性，从而被称为归纳法原理) 若将0也视作自然数，则公理中的1要换成0。在现在看来自然数中加上0是完全必要的。实际上，这里的定义实际上就是数数的意思。或者说它与人们对于数数的理解是不矛盾的。也就是说，所有会数数到足够大，而不会漏掉任何数字的人，应该就算是懂得了皮亚诺公理。但是所有会数数的人中，懂得皮亚诺公理的人只是极其小的一部分。我说这句话并不是说，数学中（还有哲学中）的那些比较严格的定义，就是不必要的废话，实际上合理地理解那个看起来是人人皆知的概念，又是很重要的。数学中很多概念，没有在一般的中学到大学的非数学专业的公共教育中普及，一方面大概和那些定义在数学家自身中也有争论，如自然数定义中的关于0的争论，有一定的关系；也和我国教育一贯的重技巧，轻逻辑有更加大的关系。我们讨论中看起来好象对现代数学的批评多一些，那是因为我们比现代数学的开创者们又晚了近一个世纪，主要是多了一个世纪的人类实践发展的经历，而不是说西方的思维方法不如中国。当然东方的思维方式中好的一面我们也要继承，但是中国思维中不讲逻辑的一面是不能继承的。 在自然数的定义中，最早的公理应该来自”自然“的观念，当然是应该考虑的一个方面，数论学家根据儿童的数数中都不包括0这一点，反对把0包括在自然数中在当时是可以理解的。但是”自然“也是可以随着人类实践和思维的发展而改变的，只要那种改变不会造成对于”已有公理“的混乱，而又使它能够有新的更大内涵，那个来自”自然“的概念也应该随着向前发展。在集合论中就不能没有0这个数，在那里可以把0看作一个不同于一般元素的一个特殊的元素，但是不能没有，而1就必须成为的集合中的一个普通元素。所以，在很长时间中维持着自然数中不包含0的观念，就不合理了，而那种不合理现象的继续存在，恰恰是因为数论学家在早期的数学中所占的重要地位有关，他们的权威造成了一种阻力。但是到信息社会的今天，0和1已经成为自然数中最重要的元素，所以自然就不可能再没有了。 自然数有两种推广或应用：序数用作排列，也可用于排序（如“这是国内第三大城市”）；而基数用于判定集合的大小和用于计数（如“有三个苹果”）。数学家一般以N代表以自然数组成的集合。這是一個可數的，無上界的無窮集合。所有比它少的自然数组成的集合，即 0 = { }，1 = {0}，2 = {0,1}，3 = {0,1,2} 。这样又通过把集合把数数的自然数的概念和可以运算的数字的概念联系在一起了。我相信集合的概念还是好的，它有利于从逻辑上来严格地理解数字的概念。但是由于现代数学实际上是从牛顿理论中发展起来的，特别是从微积分的分析中发展起来的，但是在上一个世纪以前，人们对于数学分析的实质还没有足够的理解：数学分析是一种“抽象”，这种“抽象”到底是什么含义理解得还不够清楚，那种“抽象”实际上是造成了与具体的物理实在的分离，这种分离在数学上就是与具体计算的分离。一般说来，那些抽象都是与某种与“无限”相联系的理想化条件结合在一起。人们只能对那种“抽象”进行分析和演绎，而不能对此进行确实的计算（或描述）。任何计算的实施都必然要回到“有限”上来。 在自然数的逻辑中存在同样的问题。皮亚诺公理也是对于自然数的一种“抽象”，那个自然数的集合N，实际上只是一个抽象的概念，而不能用来“数数”。这就是我们前面所说的，会数数的人，绝大部分都没有学过皮亚诺公理，而学了皮亚诺公理并不能学会数数。自然数的集合N是不能用来“数数”的。因为它直接到“无限”了，而没有一个从有限到无限的描述过程。实际上在自然数的理念体系的发展过程中，最重要的事就是“进制”的发现和应用，只有懂得了进制才能够学会“数数”。在现代数学家看来，“数数”已经是人人皆知的，所以可以直接写上3 = {0,1,2}，但是他们没有想到，逻辑的讨论就是寻找已有知识与与最早公理的合理联系。十进制数是人人皆知的，但是它的逻辑并不是人人皆知的，如果十进制数的逻辑是人人皆知的，那么加法就更加人人皆知了，更不必定义了。实际上在进制中不仅有了加法，还有了乘法。没有乘法就没有进制，也就是说也没有自然数的“数数”。在上一章中，我们全文引用了庄朝晖的“罗素悖论-哥德尔―弗协调逻辑――佛学浅谈”一文，所说的就是从现代数学，到罗素悖论，到哥德尔的不完备，到自引用的怪圈，到不一致的弗协调逻辑，最后到佛学的无的那个思维发展的怪圈。当然我们不希望今天中国的一代年轻人再回到佛学的“禅”和“无”去。 我支持杨本洛对于丘成桐教授把某些人当作中国数学的代表，那种不讲逻辑、不讲具体学术内容，只讲以人划线的思维方法的批评，坚持反对数学主流派中把数学变成占数术的错误方向。这并不是针对任何个人，也不是对任何团体的。我们非常尊重中国数学界，尊重他们的工作，实际上我在自己的科学生涯中的每一个研究成果，都是得到他们的帮助下才取得的，包括今天的研究，没有他们的指导和帮助，也是根本无法想象的。科学是大家的事。数学更主要是数学家的事。但是，科学发展到今天我们必须团结起来寻找科学发展的共同的道路，解决共同的问题。我更希望我们的国家的改革开放，能够切实地走上科学发展的道路，胜利前进。 |
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