章建跃:解析几何的思想、内容和意义

2011-04-15  一亿监利
解析几何的思想、内容和意义
──“中学数学中的解析几何”之一
人民教育出版社中学数学室 章建跃

本文的目的是介绍解析几何发展的历史,重点讨论解析几何的方法──坐标法(坐标法),及其核心思想──数形结合思想,并在此基础上,讨论中学数学中解析几何的课程结构、内容及其处理方法,最后介绍人教A版高中数学课标教材解析几何部分的编写特点和教学建议。由于内容较多,我们分四个题目进行讨论。

 

众所周知,近代数学的第一个里程碑是解析几何的诞生。这也是因应了时代发展的需要。文艺复兴使得科技文明获得新生,近代科学技术的发展使运动变化的研究成为自然科学的中心问题,由此而迫切需要一种新的数学工具。这样,数学就再一次“扮演了先行者、奠基者的角色”,“而其中影响无比深远者首推坐标解析几何和微积分,它们奠定了对于各种各样自然现象作深刻的数理分析的基本工具。”

 

1.作为“方法论”的坐标法思想

 

解析几何的创建是为了科学发展的需要,同时,从数学内部来看,也是出于对数学方法的追求。认识清楚这一点,对于我们理解解析几何的基本思想特别重要。这可以从追溯DescartesFermat在创立解析几何时的心路历程看出这种追求。

 

1Descartes的坐标法思想

 

Descartes1596331出生于法国拉埃耶一个古老的贵族家庭。他从小体弱多病,但非常好学,勤于思考,他不仅在数学上做出了重要的开创性贡献,而且在哲学、生物学、物理学等众多领域都做出了杰出贡献。他是机械自然观的第一个系统表述者,被誉为近代哲学的开创者。正如克莱因指出的,“Descartes是第一个杰出的近代哲学家,是近代生物学的奠基人,是第一流的物理学家,但只偶然地是个数学家。”他以大哲学家的眼光审视数学,认为数学立足于公理上的证明是无懈可击的,而且是任何权威所不能左右的。数学提供了获得必然结果以及有效地证明其结果的方法。数学方法“是一个知识工具,比任何其他由于人的作用而得来的知识工具更为有力,因而它是所有其他知识工具的源泉……所有那些目的在于研究顺序和度量的科学,都和数学有关。” 他研究数学,目的是想寻找一种能在一切领域里建立真理的方法。他认为,逻辑本身对任何创造性的人类目标都贫乏而毫无用处;哲学、伦理学、道德学中的证明,与数学相比,花哨而虚假。那么应当如何发现呢?这就是:通过“控制下的实验”并对实验结果应用严格的数学推理。

 

Descartes认为,以往的几何、代数研究都存在很大缺陷:欧氏几何中没有那种普遍适用的证明方法,几乎每一个证明都需要某种新的、技巧性很强的想法;代数的方法具有一般性,其推理程序也是机械化的,但它完全受法则和公式的控制,以至于“成为一种充满混杂与晦暗、故意用来阻碍思想的艺术,而不像用来改进思想的科学”。所以,代数与几何必须互相取长补短。不过,他推崇代数的力量,认为代数方法在提供广泛的方法论方面要高出几何方法,因此代数具有作为一门普遍的科学方法的潜力。于是,他提出了一个计划,即

 

任何问题→数学问题→代数问题→方程求解。

 

他把精力集中在研究怎样把代数方法用于解决几何问题,其结果是创立了解析几何。

 

1637年,Descartes在朋友的劝说下出版了《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》(简称《方法论》),这是一本“文学和哲学的经典著作”,包括三个著名的附录──《几何学》、《屈光学》和《气象学》,解析几何的发明就包含在《几何学》中。他用于说明坐标法思想的问题是著名的Pappus问题,这是一个求与若干条给定直线具有确定关系的点的轨迹问题。他用坐标法证明了给定的直线是四条时的Pappus结论,实际上就是通过建立平面上的坐标系,使点与坐标(有序实数对(xy))一一对应,求出xy满足的方程: y2Ay+Bxy+Cx+Dx2,其中ABCD是由已知量组成的代数式,并把这个方程看成是点的轨迹(曲线)。这样,一个几何问题就归结为代数问题。所以,Descartes的理论建立在两个观念的基础上:坐标观念;利用坐标方法把带有两个未知数的任意代数方程看成是平面上的一条曲线的观念。

 

基于坐标法思想,Descartes给出了一系列新颖的结论,例如:曲线的次与坐标轴的选择无关,因此选择的坐标轴要使得方程越简单越好;在同一坐标系内写出两条不同曲线的方程,解它们的联立方程组就求出两条曲线的交点;用方程的“次”给几何曲线分类,圆锥曲线的方程是二次的(没有证明);等。

 

2Fermat的坐标几何

 

我们知道,Fermat是数学史上最著名的数学家之一,在数论、代数的研究中成就卓著。进一步地,他考虑用代数来研究曲线。在一本《轨迹引论》的小册子中,他提出要发起一个关于轨迹的一般研究,这种研究是希腊人没有做到的。他提出的一般原理是:只要在最后的方程里出现了两个未知量,我们就得到一个轨迹,这两个量之一,其末端就描绘出一条直线或曲线。直线只有一种,曲线的种类则是无限的,圆、抛物线、椭圆等都是。他明确地使用了坐标的概念,而上述“未知量”实际上就是“一类数的代表”,即变量,也就是横坐标、纵坐标。

 

综上所述,DescartesFermat创立解析几何的原动力是他们对普适性方法的追求,因而解析几何具有浓厚的“方法论”色彩。事实上,在17世纪的前半叶,一系列最优秀的数学家已经接近了解析几何的观念,但只有DescartesFermat特别清楚地意识到了创立新的数学分支的可能性。唯有作为哲学家的Descartes,才提出了“创造一种方法,以便用来解决所有的几何问题,给出这些问题的所谓一般的解法”的思想;同样的,唯有作为精通数论并对字母代表数的思想能应用自如的大数学家Fermat,才能洞察数量方法的深远意义,而且注意到代数具有提供这种方法的力量,并用代数方法来研究几何。总之,几何、代数和一般变量概念的结合是坐标法的起源;只有像DescartesFermat这样具有综合性知识结构的大家,才能顺应时代的要求而发明这一对数学发展具有决定性影响的方法。了解这一点很重要,因为这能使我们理解为什么在中学数学中要学解析几何,以及为什么解析几何课应当把重点放在对坐标法的理解和应用上,而不是把精力浪费在一些复杂的求曲线方程的代数变换上。

 

2.解析几何的发展

 

与任何新的发明创造一样,坐标法思想也是在很长时间的检验、争论后才逐渐被数学界所接受和使用。有许多原因阻碍了解析几何思想的传播。例如,尽管Descartes知道自己的贡献的绝不仅仅是提供了一个解决作图问题的新方法,但他对作图问题的强调淡化了坐标法思想,致使人们认为解析几何主要是解决作图问题的工具;当时,有许多数学家反对把几何和代数混淆起来;人们认为,代数的理论要从几何的逻辑论证中找到依据,代数缺乏严密性,因而不能替代几何,甚至不能与几何并列;等。

 

不过,是金子总会发光,也有许多人逐渐接受并开始发展解析几何。例如,1655年,John Wallis在《论圆锥曲线》中第一次得到圆锥曲线的方程,他把圆锥曲线定义为对应于含xy的二次方程的曲线,并证明这些曲线确实就是几何里的圆锥曲线。他的书对传播坐标几何的思想起了很大作用,同时也普及了这样的处理法:把圆锥截线看作是平面曲线,而不看作是圆锥与平面的交线。他强调代数推理是独立有效的,并不需要依靠几何的证实。值得指出的是,直接把圆锥曲线看成是平面曲线,是对应于含xy的二次方程的曲线,可以使人们更直接地看到坐标法的有效性,即可以直接从方程性质的研究得到曲线的性质,这比只把代数作为一种工具的观点显然前进了一步,只有这样才真正实现了数形结合。

 

    又如,在《流数法与无穷级数》中,Newton用了很多解析几何的方法,他第一次引进了类似于极坐标系的新坐标系;Bernoulli在解析几何上也有许多贡献,例如他在1691年发表了关于极坐标的文章,在1694年用坐标法讨论了双扭线,这是一条在18世纪的科学发展中起了相当大作用的曲线。人们在研究中发现,用坐标法讨论那些有用曲线的性质,例如对数螺线、悬链线、旋轮线等,是非常有效的。当然,解析几何基础中的主要几何内容是圆锥曲线的理论。如果对古希腊人来说,圆锥曲线只是具有纯粹数学兴趣的对象,那么在1718世纪的科技文明大发展的时代,研究它们则主要是为了解决天文学、力学和技术等中的问题。

 

18世纪,平面解析几何得到广泛研究,并发展为成熟的学科。例如,Jacob Hermann1729年自由地用极坐标研究曲线,还给出了从直角坐标到极坐标的变换公式;1748年,Euler在他的名著《引论》中引进了曲线的参数表示,书中对平面解析几何进行了系统讨论;等。空间解析几何在18世纪也得到大发展。John Bernoulli1715年给Leibniz的一封信中引进了三个坐标平面,经过后来的数学家的改善,弄清了曲面能用三个坐标变量的一个方程表示出来的观念;1731年,Clairaut在《关于双重曲率曲线的研究》一书中,给出了一些曲面的方程,弄清楚了描述一条空间曲线需要两个曲面方程,给出了求垂直于投影平面的柱面的方程,关于xyz的齐次方程表示顶点在原点的一个锥面;Euler在《引论》第二卷的一个附录中,详细系统地研究了空间解析几何,通过坐标变换,把方程ax2+by2+cz2+dxy+exz+fyz+gx+hy+kz=l化成标准形式,并得到六种曲面:锥面,柱面,椭球面,单叶和双叶双曲面,双曲抛物面和抛物柱面,他主张按方程的次数对空间曲线、曲面进行分类,因为次数是线性变换下的不变量;此外,LagrangeMonge等数学家都对解析几何投入了大量研究,得到了大量关于空间曲线、曲面的性质,Newton对高次平面曲线进行了大量研究;等。由于EulerLagrangeMonge的工作,解析几何成了一门独立且充满活力的数学分支。

 

3.平面解析几何的定义和主要问题

 

从前面的论述中可以看到,解析几何体现了研究几何的代数方法。这就是利用坐标系将点表示为有序数组,建立起空间点与有序数组之间的一一对应,由此可以将空间的线(直线、曲线)、面(平面、曲面)表示为一个方程,几何问题就归结为代数问题;然后借助于代数运算和变换,对这些数、代数式及方程之间的关系进行讨论;最后再把讨论的结果利用坐标系翻译成相应的几何结论。这就是我们熟悉的三步曲:

 

翻译──代数讨论──翻译。

 

因此,解析几何就是在采用了坐标方法的同时,运用代数方法来研究几何对象。它所解决的主要问题是:

 

(1)通过计算来解决作图问题,例如分线段成已知比值──定比分点公式;

 

(2)求有某种几何性质的曲线方程;

 

(3)根据曲线的方程,用代数方法证明(或讨论)曲线的几何性质;

 

(4)赋予代数方程以几何意义,用几何方法研究它的代数性质,例如用抛物线和圆的交点解三次或四次方程。

 

4.解析几何的意义

 

首先,解析几何的意义表现在它所提供的数形结合思想上。在这一思想的指引下,一个几何对象被数(坐标)所完全刻画,几何概念可以表示为代数的形式,几何目标可以通过代数方法来达到;反过来,它使代数语言得到了几何解释,从而代数语言有了直观意义,人们能从中得到启发而提出新的结论。“只要代数与几何分道扬镳,它们的进展就缓慢,它们的应用就狭窄。但是当这两门科学结成伴侣时,它们就互相吸取新鲜的活力,从那以后,就以快速的步伐走向完善。”总之,解析几何的思想使得代数与几何水乳交融、相辅相成、相得益彰,它不但促进了两者的大幅度进展,而且也使微积分的展现变得水到渠成。“十七世纪以来数学的巨大发展,在很大程度上应归功于坐标几何。”

 

特别值得指出的是,这种思想所反映出的事物辩证统一、相互转化的观点,具有方法论的意义,不仅对于数学的研究,而且对于处理其他问题也有非常重要的意义。

 

其次,解析几何为科学提供了迫切需要的工具。Descartes曾说:“……我决心放弃那个仅仅是抽象的几何。这就是说,不再去考虑那些仅仅是用来练习思想的问题。我这样做,是为了研究另一种几何,即目的在于解释自然现象的几何。” 事实上,在Descartes所处的17世纪,天文学、力学等有一系列的新发现。开普勒发现行星绕太阳的运动轨道是椭圆;伽利略发现抛出去的物体是沿着抛物线的轨道运动的。过去,对于椭圆、抛物线等,因为没有实用的需要,因此作为圆锥与平面的截线,只要在几何上得到研究就足够了。但现在,因为航海、军事的需要,对它们进行计算成了必需。这样,科学对数量工具的需求变得非常迫切了。解析几何使人能把形象和路线表示为代数的形式,从而导出数量工具,正好满足了这种迫切的需求。

 

第三,为数学提供了统一处理问题的工具。Descartes的本意是通过解析几何来给几何引进新方法,但解析几何的成就远远超过他的预期。代数系统地用于几何研究,不但能迅速地证明关于曲线的任何事实,而且这种解决问题的方式基本上是程序化的。因为DescartesFermat都不用负坐标,因此他们也许根本没有预料到,当字母可以代表任意数(正数、负数甚至是复数)时,就可以用代数来统一处理综合几何中那些必须分别处理的情形。例如,平面几何证明三角形的三条高交于一点,要分交点在三角形内还是在三角形外,而在坐标几何中可以不加区分。有些几何曲线的性质,如果用综合几何的方法是很难证明的,但如果用坐标法却非常简单。例如,二次曲线平行弦的中点的轨迹是直线段;二次曲线的光学性质;等。有些几何问题,例如三等分任意角、化圆为方、倍立方体等所谓的三大尺规作图难题,用代数可以漂亮地、迅速地决定它们能还是不能,而离开代数,决定就成为不可能了。而有些几何曲线,例如旋轮线、对数曲线、对数螺线……,如果不用解析几何的方法,那么我们将根本无法知道该如何去研究它们的性质。解析几何有一套发现数学定理的统一、有用且好用的方法。坐标法使人们能够认识典型的几何问题并能把在几何形式上互不相关的问题归在一起。代数给几何带来最自然的分类原则和最自然的方法层次。

 

第四,解析几何的发明,完成了数学发展史上的一次划时代的变革,正如恩格斯指出的:“数学中的转折点是笛卡尔变数。有了变数,运动进入了数学,有了变数,辩证法进入了数学,有了变数,微分和积分也就立刻成为必要的了……。”人们曾这样评价笛卡尔:极少有人能刷新人类思想的一个完整的方面,笛卡儿就是那极少数人中的一个。这个贡献属于最杰出之列,在有史以来对数学作出的最杰出贡献中,它以其感人的简单而引人注目。笛卡尔再造了几何,并使现代几何成为可能。就像数学中所有真正伟大的东西一样,解析几何的基本概念简单到了近乎一目了然的程度。阿达玛也说:坐标法的应用不仅把几何上已经定义了的曲线转变成方程,而且从完全相反的角度看,给越来越复杂的曲线预先下了定义,因此越来越一般……数学研究对象的全部概念,发生了彻底变革,直接促成这一变革的是笛卡尔,他确实知道自己的发明的重要性,因为他说他到目前为止已经超过了在它以前的全部几何学。

 

最后说一个题外话。通常,人们认为几何直观、形象,其基本性质容易被观察到、想象到;而代数则是抽象的,它所研究的数系的结构、性质,在本质上是逐步归纳、复合而得到的。数学史上,“解析”一词是指这样的过程:从结论出发去寻找论据,直至到达一些已知的东西为止。正因为“解析”具有“归纳”“分析”的含义,在18世纪,“解析”和“代数”曾经被当成同义词使用。由于“综合”是指演绎的表述,因此从这个意义上,“解析”与“综合”恰好相反。不过,人们看到,在解析几何的发展中,代数并不仅仅是一种工具,“它本身就是一个引进并研究曲线和曲面的基本方法”,因此 “解析几何”一词含有证明和使用代数方法的意思,因而现在把解析几何与综合几何相提并论,不再认为一个是发明的手段,而另一个是证明的方法了。

 

参考文献:

 

项武义. 基础数学讲义丛书·基础几何学。北京:人民教育出版社,2004164.

 

:本文的大部分引文来自《古今数学思想(第2册)》《数学—它的内容、方法和意义(第一册)》《什么是数学对思想和方法的基本研究》,恕不一一列出。

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