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章建跃:我国中学解析几何教材的沿革

2011-04-15  一亿监利
我国中学解析几何教材的沿革
──“中学数学中的解析几何”之二
人民教育出版社中学数学室 章建跃

上文我们从解析几何的创立和发展的回顾中,讨论了解析几何的思想方法、内容和意义。本文将在追溯我国中学解析几何课程发展历史的过程中,对解析几何教材的功能定位、结构体系、内容和要求等进行讨论。

 

1.我国中学解析几何课程历史简述

 

我国中学数学从20世纪初就设有解析几何课程。涵盖的内容有:德卡儿(即笛卡尔)坐标系、轨迹与方程、直线方程、圆的方程、圆锥曲线方程、极坐标、坐标变换、切线和法线、一般二元二次方程及其轨迹性状的讨论、高次平面曲线超越平面曲线等,内容比较齐全,安排在高二、高三,每周23课时不等。1932年,为了解决课程多课时少的矛盾,提出“与其教材过多,徒使学生食而不化,不如注意基本训练,养成其自动研究之能力。故……解析几何仅需讲大意。”因此课程名称改为《解析几何大意》,在高三学习一年,每周2课时。到1936年,解析几何的内容大量增加,除平面解析几何外,还增加了不少空间解析几何的内容:空间坐标与轨迹、平面及直线、特殊曲面、空间坐标变换、二次曲面、空间曲线方程式及其性质等,仍在高三学习,周课时数增至4课时。在1948年,解析几何课程又出现大调整,将空间解析几何删去,只学平面解析几何,并大量减少课时数,在高三开一学期的课,每周3课时。

 

新中国成立之初,1950年颁布《数学精简纲要》,其中以斯盖尼三氏解析几何学为主要参考书,确定了高中解析几何“应授教材”纲目,章节名称是:第一章直角坐标;第二章 直线;第三章 曲线和方程;第四章 圆;第五章 抛物线,椭圆,双曲线;第六章 坐标的转换;第七章 切线和法线;第八章 极坐标;第九章 襄变方程;第十章立体解析几何大意。内容又大大增加,从高二下学期开始学习,课时量为高二(下)2课时,高三3课时。1952年开始学苏联,不在中学设置解析几何课程,直到1963年才把它重新纳入中学数学课程体系,只学平面解析几何,但内容比较齐全,学时为90课时,在高三年级开设。

 

此后的解析几何课程基本上是在1963年的基础上进行调整,但在结构体系上没有大的变动,主要是不断精简内容。到2000年,坐标变换、极坐标、参数方程等都被精简,圆锥曲线的切线、法线以及统一定义等都不再学习,学习时间减为40课时,在高二上学期开设。

 

2.解析几何教学目标和要求的变化

 

我国的解析几何教学历来强调两个功能:第一,作为初等数学到高等数学过渡的桥梁;第二,作为沟通代数与几何的综合性学科。基于这样的认识,在不同阶段提出的解析几何教学目标和要求虽各有差异,但本质没有多少改变。例如:

 

1932年“课标”的“实施方法”中提出:“解析几何应融会代数、几何、三角诸学程,示其相互为用,简略提示中学阶段算学科之总结束,一面立高深研究之基础。”

 

1941年的《六年制中学数学课程标准草案》中提到:(1)解析几何之教学,应融会代数、几何、三角诸学程,示其相互为用之处,一面作中学阶段算学科之总结束,一面立高深研究之基础。(2)解析几何之教学,又应与代数、几何、三角互相联络,以解决几何问题,而充分表示算学各部分呼应一气之特色。(3)欲图形与数量得相应之关联,不得不用推广之几何原素,故解析几何遂不能不与综合几何互有出入(如分角线求法之问题)。凡此等处,最宜使初学者注意,以期其见解明晰,无所惶恐。(4)综合法作图之范围,非解析莫能决,如有充分时间,宜略示作图不能之意义。又在同一年的《修正高级中学数学课程标准》中提出:解析几何的教学应使学生知用坐标及代数方法,研究图形性质及解决实用问题;使学生熟习圆锥曲线之性质与应用;使学生认识各种著名曲线;养成学生函数观念及分析能力。

 

1951年《中学数学科课程标准草案》中提出的解析几何教学目标是:(1)应用代数方法研究几何;(2)学习函数和图像的相互关系;(3)本科以研究圆锥曲线为主;(4)沟通形数,奠定学习解析数学的基础。

 

1963年的教学大纲中提出,解析几何应安排在高中最后阶段,这样,一方面使以前所学的数学知识融会贯通,把数和形的研究紧密地结合起来,提高综合运用数学知识的能力;另一方面要系统掌握解析几何的基础知识,为学习高数打下扎实的基础。这一大纲提出的解析几何教学要求比较高:掌握直角坐标系中曲线和方程的相互关系;能根据所给条件妥善选择坐标系,列出曲线的方程;能通过方程的讨论,掌握曲线的性质,画出曲线;能运用坐标法论证图形的性质;掌握直线和圆锥曲线的各种方程、性质以及圆锥曲线的各种画法;能利用坐标轴的平移和旋转简化二次方程;掌握一些重要曲线的极坐标方程和参数方程。

 

此后的教学目标和要求主要是在上述框架下进行调整。例如,1986年的大纲中提出,解析几何教学要使学生:(1)了解解析几何研究的对象、方法和意义。(2)掌握直角坐标系中曲线和方程的相互关系;能根据所给条件选择适当的坐标系求曲线方程;通过对方程的讨论掌握曲线的性质,画出曲线;能运用坐标法解决有关问题。(3)掌握直线和圆锥曲线的方程、性质及其画法;能利用坐标轴的平移化简圆锥曲线方程;了解一些重要曲线的极坐标方程和参数方程。(4)使学生能够用运动、变化和对立统一的辩证观点去分析问题。

 

总之,解析几何的教学目标和要求,都是围绕着使学生理解和掌握坐标法,并用坐标法研究直线、圆锥曲线以及其他重要曲线的方程、性质和作图等来考虑。尽管内容有深有浅,范围有广有窄,但大框架没有改变。

 

3.内容的选取

 

在我国中学数学课程发展史上,解析几何课内容的确定,经历了不断精简的过程。新中国成立之前的较长一段时间(19361951年),中学解析几何课程包括空间解析几何。新中国成立后,则以学习平面解析几何为主。

 

平面解析几何内容的选取,主要考虑的是内容是否要求完整。过去较长时间内,内容比较齐全:

 

首先讲理论基础,即从有向线段开始,引进直角坐标系后,讲解基本几何量(角、距离、面积、斜率、分点等)的解析表示,让学生初步熟悉坐标系;接着安排曲线与方程的基本定理,包括曲线和方程的概念,由曲线求方程,由方程画曲线,两条曲线的公共点(方程组的解)等。

 

接着,在上述理论准备的基础上,安排直线及其方程和圆锥曲线及其方程的学习。前一部分包括:各种直线方程、经验公式、直线方程的法线式、直线族、两条直线的位置关系(平行、垂直的充要条件)、点到直线的距离、交角公式、三线共点的条件等;圆锥曲线及其方程包括:圆的方程、三个条件决定一个圆(包括圆系)、椭圆的定义和标准方程、椭圆的性质(截距、对称性、范围、离心率)、用几何方法画出椭圆上的点(尺规作图),双曲线、抛物线的讨论思路与椭圆一致,最后给出圆锥曲线的统一定义。另外还讨论了圆锥曲线的切线定义(极限法给出)、圆锥曲线的切线方程(求法步骤、法线)、切线和法线的性质等。

 

第三部分是坐标变换,包括坐标轴的平移(公式、利用平移化简方程)、方程Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0的讨论(椭圆型、双曲线型、抛物线型)、坐标轴的旋转(公式)、利用旋转消xy项、一般二次方程的讨论和化简;圆锥曲线系。

 

第四部分是极坐标,包括极坐标的概念、极坐标与直角坐标的互换、极坐标方程的图形、求轨迹的极坐标方程、圆锥曲线的定义和它的极坐标方程等。

 

第五部分是参数方程,包括参数方程的概念、普通方程和参数方程的互化、由参数方程画图、利用参数求方程等。

 

上述内容的选取和编排,除了内容完整、齐全外,以公理化思想组织内容体系也是一个突出特点,重视数学理论的逻辑结构,较少考虑学生的学习心理。

 

文革结束后,平面解析几何内容的确定,主要是在上述基础上的精简:

 

首先,理论基础上不作过分求全,简单的直角坐标系理论分解到初中;

 

其次,直线方程重点讲点斜式和一般式,位置关系强调平行和垂直,度量问题主要讲距离(点到直线的距离为重点);

 

再次,突出“标准方程”的主干地位,不对一般的二次方程及其曲线进行讨论,在圆锥曲线的统一性上不做过多讨论;

 

第四,主要在直角坐标系下讨论问题,逐步删减了极坐标系的内容;

 

第五,强调参数的思想,把参数方程的训练分散到其他主干内容中去;

 

第六,因为中学生对用不变量思想讨论几何图形性质的理论理解有困难,所以坐标变换的内容逐步削弱;

 

第七,由于主张用导数为工具讨论二次曲线的切线和法线,因此只保留少数与方程的思想和方法紧密相关的切线问题(用二次方程根的判别式求解)。

 

4.内容编排中考虑的几个问题

 

1)“曲线的方程”“方程的曲线”概念的处理

 

两种处理方式:一种是在给出直角坐标系概念后,马上定义“曲线的方程”和“方程的曲线”;另一种是在直线的方程、圆的方程内容之后再给定义。

 

显然,前一种处理方式主要考虑数学的逻辑性,这样处理具有数学的严谨性。但由于这一概念很抽象,学生在没有一定的方程与曲线关系的感知基础时,很难理解,所以作为教材的组织方式,这样做不合适。

 

第二种处理方式比较合适。首先,作为解析几何的基本概念,“曲线的方程”和“方程的曲线”不能出现太晚。考虑到与学生的认知基础相适应,采取“具体──抽象──具体”的方式,先在直线及其方程、圆及其方程的学习中“渗透”,借助直线和二元一次方程的关系、圆与其方程的关系的讨论,作直观、具体的论述。在学完圆的方程后,再归纳出“曲线的方程”“方程的曲线”概念,这样就使学生在理解这一抽象概念时有一定的认知准备。当然,在讲解概念时,还要有具体的典型例子为载体,并要配合一定的求曲线方程的练习。在对曲线和方程的概念有了一定程度的理解后,再在概念的指导下,对圆锥曲线进行较系统的研究。

 

在具体处理“曲线与方程”时,细节上还有一些问题要考虑。例如:

 

是否完整地讲“已知曲线求方程”和“已知方程讨论曲线的性质和作图”。一般地,仅仅讨论某一个具体方程的性质和作图意义不大,还是结合圆锥曲线的学习,通过方程讨论一类曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的性质,更能体现代数方法研究几何图形性质的优越性。因此,以往教材这里只讨论已知曲线求方程的问题,这样处理还是合适的。

 

用怎样的数学语言表述概念。一般地,为了使表述规范、简洁,同时也为了使学生熟悉用集合和对应的语言表述数学问题,可以考虑用集合与对应的语言和符号描述轨迹概念:“……轨迹就是满足所给条件的点M的集合,表示为:P={Mf(M)=a}。但是,也有一些人认为,这样抽象的语言、符号许多学生理解不了,与其为了严谨而引进抽象符号表示而导致学生的学习困难,对学生掌握解析几何的基本思想产生不利影响,倒不如在这里退一步,用不太严格的直观语言加以描述,把重点放在领会解析几何的基本思想,再逐步严谨化。

 

是否要先讲“充要条件”。对“曲线与方程”“方程与曲线”的理解需要有充要条件的概念。在以往的教材体系中曾经采用过三种处理办法:一是用充要条件的语言讲“曲线与方程”概念,同时对“充要条件”等概念进行解释;二是先用一定的课时学习“充要条件”概念,然后再学习“曲线与方程”概念;三是把“充要条件”放在“简易逻辑”中,这里作为已知概念使用。我们知道,“充要条件”是一个教学难点。学生虽然学过“四种命题”,接触过不少的充要条件命题,但从逻辑上理解还是有一定的困难,这里安排一节“充要条件”内容,在数学上严谨了,命题的叙述也方便、准确了,但这是“节外生枝”,打断了解析几何本身的系统和连贯性。而且连续的两个抽象难懂概念放在一起学习,对学生的学习心理确实有不利的影响。所以,这个内容安排在“简易逻辑”中更合适。只是不管安排在哪个位置,都不要在概念本身的严格性上做过多文章,应当是知道、能用就可以。

 

2)是否把圆作为一种特殊的圆锥曲线单独研究

 

显然,无论从平面截圆锥的位置的区分,还是从二元二次方程的一般式看,我们都可以很容易地看到,圆是圆锥曲线的特例,圆的方程也是二次曲线方程的特例。所以,不单独列出“圆及其方程”,而是从一般的角度入手,对方程Ax2+Bxy+ Cy2+ Dx+ Ey+F=0的系数的各种取值情况进行讨论,也是完整、系统的。但是,这样做不符合学生的认知规律,也是学生的能力所不能及的。另一方面,圆的性质是学生在平面几何中系统学习过的,他们对这一图形的性质已经有比较充分的认识,单独列出“圆及其方程”,既可以让学生利用平面几何中获得的圆的知识,又可以让他们体会坐标法与综合法之间的异同,体会坐标法的本质,以及把坐标法和综合法结合起来研究问题的好处,从而体会数形结合思想。所以,先处理“圆及其方程”,并且用坐标法处理一些圆与直线、圆与圆的位置关系问题,是符合数学教学法原则的。当然,在具体处理时,应当照顾到与二次曲线的衔接问题,这就是要让学生从圆的标准方程(xa)2+(ya)2=r2展开得到一般方程,观察它的特点,得出圆的方程一定可以化为x2+y2+ Dx+ Ey+F=0的形式,并对系数DEF满足什么条件时,才是圆的方程进行讨论(这里要用配方法,并要对方程有无数解、唯一解以及无解的几何含义进行解释)。为了加强这种联系性,可以介绍用待定系数法求圆的方程的方法和步骤,还可以从中得到:“三个独立条件唯一确定方程x2+y2+ Dx+ Ey+F=0,与平面几何中“不共线三点唯一确定一个圆”是一致的,等等。

 

3)圆锥曲线的顺序问题

 

可以有两种:椭圆到双曲线再到抛物线;抛物线到椭圆再到双曲线。前一种顺序,考虑的是圆与椭圆的密切关系,而且从平面截圆锥的连续过程看,是圆──椭圆──抛物线──双曲线,从方程的角度看,圆的方程可以作为椭圆方程的特例,而双曲线的方程与椭圆方程是符号之差,抛物线的方程与其余几种是不一样的;后一种顺序,主要是抛物线方程更加简单,抛物线有很好的光学性质,应用比较广泛,另外也与二次函数联系紧密。所以,两种顺序都是可以的。

 

4)圆锥曲线的统一定义及其方程在什么时候出现

 

应当说,统一定义是重要的,应当用适当的方式安排学生学习这一内容。而且只有学习了统一定义,才能真正理解离心率的意义。这里实际上是对不同曲线的个性与共性的处理问题。从个性出发,有利于对相应曲线的性质进行全面研究;在对个性研究的基础上再归纳概括出共性,可以达到更进一步的认识。另外,从动点满足的几何条件“到定点与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹”出发,建立直角坐标系,最容易想到的是取定点为原点或取定直线为坐标轴,但这样得到的都不是标准方程,而在极坐标系下,以定点为极点,垂直于定直线的射线为极轴,得到的方程是简单而对称的。所以,在“个性定义”下,以给定坐标系的方式,让学生体会“统一定义”,再在讲完三种曲线后作适当总结,把圆锥曲线用离心率统一起来,使学生的认识加深,最后再在极坐标系下求出统一方程,这样的安排还是综合考虑了数学的科学性、严谨性和学生的认知规律及接受能力的。

 

5)圆锥曲线的切线、法线内容的取舍问题

 

从应用的角度看,圆锥曲线的许多性质,特别是光学性质,都与切线、法线有关,不介绍这些内容是一个损失。但是,曲线的切线,只有用极限概念才能准确定义,处理曲线的切线问题的最理想工具是导数。当然,这里用直线与圆锥曲线方程组成的方程组有且只有一解的事实,利用二次方程根的判别式也能求出切线方程。考虑到课时问题,在几次改革以后,圆锥曲线的切线和法线已经被删除了。但实际上这是解析几何的一个很好的学习题材,而且又有很好的实际应用,因此,如何取舍,还是要根据不同的需要来考虑。

 

6)坐标变换内容的处理

 

实际上,坐标变换体现的是曲线的刚体运动不变性,通过坐标变换化简方程,以便更加方便地讨论曲线的性质,更重要的是从中可以对曲线进行分类。但是,这样的讨论是非常专业化的数学问题,对于一般的学生来讲,学习如此专业化的问题是不必要的。所以,经过多年的改革,这部分内容已经不再被列入学习范围了。

 

7)极坐标和参数方程内容的处理

 

应当说,极坐标的思想与我们日常生活习惯更加接近,因为当我们要确定自己的位置时,一般用“距离”和“方位”来表示。但是由于极坐标系下需要代数和三角两种工具,相对来讲比直角坐标系下的方程复杂一些,通常情况下人们更习惯使用直角坐标系。处理某些与运动(特别是圆周运动)有关的轨迹问题,例如求旋轮线、圆的渐开线、摆线等的方程,参数的作用很大,而且这些曲线在生产实践中非常重要,另外,应用参数的思想解决数学中的轨迹问题,比较好地体现了坐标法与函数观念的融合,因此参数方程的学习无论对数学本身还是对解决实际问题都有其需要。不过,是否单独设置章节,还是可以研究的。一般的,渗透到其他内容中学习也是可以考虑的一个方案。

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