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“直线的倾斜角与斜率”的教学设计(浙江)

2011-04-18  一亿监利
“直线的倾斜角与斜率”的教学设计(浙江)
浙江黄岩中学 李柏青

. 教学内容解析

    本课是解析几何的起始课,主要内容是直线的倾斜角、斜率的概念及斜率公式。

解析几何的本质是将几何问题代数化并用代数方法来研究几何问题,其基本思想是在同一直角坐标系下,点与坐标一一对应;曲线与其方程f(x,y)=0一一对应;根据曲线满足的几何条件,建立它的方程,通过方程(利用代数运算)研究曲线的性质。

直线的倾斜角与斜率描述了在平面直角坐标系内一条直线相对于x轴的倾斜程度。是在坐标系下进一步研究直线性质的基本量。

直线的倾斜角是确定直线位置的一个几何要素。静态地看:是直线向上的方向与x轴的正方向之间所成的角,即是直线与x轴的两方向向量的夹角,当直线与x轴平行或重合时规定其倾斜角为。此定义渗透了分类讨论的思想。动态地看:x轴到该直线的角。直线的倾斜角侧重于从几何角度描述直线的倾斜程度。

当倾斜角不为90°时,直线的斜率是其倾斜角的正切值。所谓“率”,即两个相关的量之间的比值,是一个纯粹的数。教材中借助生活中“坡度”(升高量与前进量的比)的概念类比引入斜率,使得斜率有了直观形象的载体,同时也有利于更好地体会到数的含义。

斜率从代数角度刻划了直线的倾斜程度,不仅是建立直线方程的基础,也是进一步研究变化率或导数的基础。斜率概念产生的过程,充分体现了解析几何的基本思想方法。(1)两点是确定一直线的几何要素,倾斜角是反映直线倾斜程度的几何特征量,借助坐标系,点可以坐标表示,直线的倾斜角自然可由两点的坐标来确定,而引进斜率这一概念很好地沟通了两者的联系。使得几何量有了代数化的表示。(2)斜率使直线的代数形式y=kx+b中的k有了明确的几何意义。(3)通过斜率可以判断直线的倾斜程度,讨论直线的位置关系(主要是平行与垂直),这是用代数方法解决几何问题的典型示例。

. 教学目标解析

1. 在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素。

2. 理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,会用几何方法求过具体两点的直线斜率,会从中推导出直线的斜率公式。

3. 初步体会借助于直角坐标系可以用代数的方法刻划几何元素或几何特征。

. 教学问题诊断分析

1. 倾斜角和斜率是在直角坐标系中研究直线时所产生的概念.学生通过直角坐标系已经研究过函数及其图象,具有了数形结合的初步意识,但这是“将代数问题几何化”,对直角坐标系的认识还比较肤浅、片面.作为解析几何的起始课,教学中有必要通过活动,加深学生对直角坐标系的认识,突出“几何问题代数化”的思想。

2. 在立体几何中学习了空间两条直线所成角的概念后,学生对如何刻划直线相对于x轴所在直线的倾斜程度并不陌生。当然与两直线的夹角相比,倾斜角的规定范围有所不同。教学中可通过图形动态展示直线的多种情况,让学生直观感知到过一点不能确定直线,而每条直线都有“倾斜程度”(以x轴为基准),以此可以建立一个描述倾斜程度的概念。这里,“借助于坐标系描述直线的倾斜程度”的思想方法是一个难点,化解难点的关键在于引导学生结合图形进行思考,并要提醒学生利用直角坐标系。

3. 斜率是本课的核心概念,因为它既从代数角度刻画了倾斜程度,同时也是建立直线方程的基础。对于引进斜率的合理性和必要性的认识是本课教学的难点。

(1)斜率为什么也能表示直线的倾斜程度。关键是让学生认识到斜率与倾斜角的对应关系。倾斜角与斜率的关系中有几个难点:一是所有的直线都有倾斜角,但并不是所有直线都有斜率;二是并非倾斜角越大,斜率也越大。产生这两个难点的原因在于:一是学生缺乏对倾斜角范围的认识,二是分类讨论的思想意识淡薄,三是由式子k=tana联系到函数及其图象的能力不足。因此教学中有必要分步设置台阶,通过问题让学生思考讨论,以突破难点。但考虑到课时的限制,为突出主题,需避免过分展开。

(2)为什么有了倾斜角,还要引入斜率来描述直线的倾斜程度呢?要认识这一点,需要从代数的角度多方面分析,如斜率公式反映出斜率在联系两点的坐标与直线倾斜角的优越性,斜率在研究直线平行与垂直上的作用,直线的代数表示y=kx+bk的几何意义等。但一节课是难以面面俱到的,需要今后在学习中螺旋上升,分步达成。为了使课堂教学体现准、精、简的特点,可作如下处理:

以生活中坡角和坡度作类比,引出斜率概念,使学生体会可以从不同侧面描述倾斜程度,“角”是形,“率”是数。

引导学生思考:在直角坐标系下,两点定,直线定;直线定,倾斜程度定。那么给定两点坐标A(x1,y1),B(x2,y2),如何才能求出描述直线AB的倾斜角和斜率呢?

 

学生在自主探究的过程中体会斜率是直线倾斜程度的代数化表示,通过斜率的运算,可以研究直线的几何性质。最后通过例题从不同的侧面体现斜率在沟通数与形上的作用。

. 教学支持条件

    本课中有大量的运动变化,如过定点的直线运动,从而直观感受直线倾斜程度的不同;通过直线旋转、平移等,建立倾斜角与其相应斜率值变化的多元联系表示,从而帮助学生理解这两个概念在刻画直线及其相互关系的过程中的作用。因此,有条件的应注意使用信息技术辅助教学。

. 教学过程设计

()活动激趣

引语1: 几何学是研究图形的几何性质的,包括其形状、大小和位置关系。本节我们将开始学习一门全新的几何——解析几何,它试图用代数的方法来研究几何图形的性质,那如何实现呢?请大家先通过活动体验并思考用什么工具来沟通代数与几何的联系?

活动设置:在方格纸上有一个平面图形,请一位同学观察图形,并用合适的语言指示其他同学,以保证他能准确地作出这一图形。(给每位同学一张方格纸)

 

1       

    师生活动预设:由一同学表达指令,其他同学画,随后加以展示,质疑其可能的不足之处并加以改进。

   设计意图:能用合适的数学语言表述数学对象,是数学学习的重要方面。通过活动,让学生初步体会到坐标法的思想和意义,即借助坐标系,将点用坐标表示,将坐标还原成点,使代数定量分析的精确性在几何中得以应用,突显借助于坐标进行代数化的优势。

()生成概念

引语2:在直角坐标系中,点可以用坐标表示,图1中,如果给定了四点ABCD的坐标,那么四边形ABCD的形状和大小就唯一确定了。只要抓住关键点的坐标,通过坐标的运算就可以研究图形的几何性质。象这样,借助直角坐标系,用代数的方法来研究几何问题,就是解析几何基本的思想方法。我们先从最简单的几何图形——直线开始。

问题1:在直角坐标系下,确定一条直线的几何要素有哪些?

师生活动预设:教师可根据回答情况引导学生对倾斜角这一概念的关注,如学生回答两点确定一直线后,教师追问:

一点能确定一直线吗?

过一点运动的一系列直线有什么区别吗?(用几何画板演示这一运动)

用什么能刻划直线相对于x轴的倾斜程度呢?

你能对下列图形中的三条直线标上相应的角吗?

 

直线与x轴相交形成四个角,习惯上选用如图所示的角来表示直线相对于x轴的倾斜程度。你能试着定义一下这个角吗?

倾斜角概念能描述过P点的所有直线的倾斜程度吗?

你能由定义得出直线倾斜角的取值范围吗?

设计意图:通过动态的、静态的方式呈现过同一点的直线的不同位置,使学生直观感受到直线的倾斜程度这一几何特征。并结合图形,学会用准确的语言文字表述数学概念,提高抽象概括和反思的能力。通过问题串的形式组织教学,首先利用先行组织者对研究得内容又一个整体观念,再根据学生的思考情况,在每个关键点处设置一些小问题及时引导。

    问题2:在生活中也有一些反映倾斜程度的量。你知道有哪些量能用来表示某一斜坡的倾斜程度吗?类似的,能否引进一个刻划直线倾斜程度的量?

师生活动预设:坡角和坡度是生活中描述倾斜程度的两个概念。坡度是升高量与前进量的比值,即为坡角的正切值。显然坡越陡,坡度越大。

类比坡度可以引进一个量:直线倾斜角的正切值,数学上称之为直线的斜率(slope)。“率”,是指两个相关数的比值。顾名思义,“斜率”,是指反映直线倾斜程度的一个比值,角是几何图形,而斜率是一个数量。

根据斜率与倾斜角的关系,你能填出下表吗?

倾斜角

30°

 

 

90°

120

 

150°

斜率

 

 

1

 

 

-1

 

 

倾斜角越大,斜率越大吗?

如何描述这两者的关系?

倾斜角可以刻划直线的倾斜程度,斜率能刻划直线的倾斜程度吗?

直线确定,倾斜角唯一确定,斜率也唯一确定吗?

斜率确定,直线的倾斜角是否也唯一确定呢?

 设计意图:

     类比坡度获得斜率概念,教学比较简洁自然。通过追问,使学生理解引进斜率概念的合理性。体会斜率与倾斜角的内在联系,加深对斜率概念的认识。

    (三)自主探究

问题3:两点确定一直线,你能根据直线上两点的坐标求直线的倾斜角和斜率吗?

(1)如图3,若已知点A(1,3)B(3,1)C(6,7)D(3,7),试求直线ABBCCDDA的斜率和倾斜角。

 

    (3)

(2)如图4,若已知点P1(x1,y1)P2(x2,y2),求直线P1P2的斜率。

            

         (4)          

师生活动预设:

学生有了三角和平几的知识,有能力进行自主探究。对所得的结论,教师可以追问:

(1)如果直线P1P2平行于x轴,或与x轴重合时,上述结论还适用吗?为什么?

(2)如果直线P1P2平行于y轴,或与y轴重合时,上述结论还适用吗?为什么?

(3)如果某倾斜角为60°的直线l上有任意两点A(a1,a2)B(b1,b2),式子是定值吗?为什么?

设计意图:

从特殊到一般,顺势推导出斜率公式,通过公式进一步体会“比值”的含义,并使学生经历通过坐标的代数运算研究直线的几何性质的过程。体会倾斜角与斜率的内在联系,初步感受斜率在沟通数与形上的作用。

(四)练习巩固

例1 已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1)。求直线AB,BC,CA的斜率,并判断这些直线的倾斜角是钝角还是锐角。

师生活动预设:

学生易通过斜率公式计算出结果,再由斜率的符号断定直线的倾斜角的性质。教师再引导学生通过画图象观察验证。

设计意图:

本题的重点是让学生体会通过代数的运算可以研究几何图形的性质。 

变式1:如图5,直线l1 l2 l3的斜率分别为k1 k2 k3,则下列不等式成立的是(   )

A. k1 >k2 >k3    B. k2 >k1 >k3   

C. k3 >k2 >k1      D. k3 >k1 >k2

变式2:已知过原点的直线l1 l2 l3的斜率分别为21-1。试在直角坐标系中画出这三条直线。

设计意图:

考查学生对直线倾斜角概念的理解以及对倾斜角和斜率、直线上两点坐标与斜率之间关系的认识,通过做题,使学生进一步体会数与形之间的相互联系与转化。

 ()反思提升          

问题:本课学习了哪些概念?你体会到了哪些思想方法?

设计意图:通过回顾反思交流,促进学生的知识的内化和情感的共鸣,激发学生对学习解析几何的信心和兴趣。

六. 评价设计

1.将自己从本节课中领悟到的解析几何的思想方法写成一篇数学日记。

2.作业:课本。

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