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对“直线的倾斜角与斜率”一堂课的思考

2011-04-18  一亿监利
对“直线的倾斜角与斜率”一堂课的思考
——如何进行这堂课的教学设计
人民教育出版社 张劲松

直线是几何中最基本的图形之一,很多几何图形,如射线、线段、三角形、四边形等都可以由直线得到。直线是原始概念,只有描述性的定义,没有严格的定义。关于直线的公理之一是:两点确定一条直线。在欧氏几何中,我们在直观感知、操作确认的基础上,依据有关的公理、概念和定理,运用逻辑演绎规则,研究几何图形的性质,包括形状、大小、位置关系等,也就是我们通常所说的综合法。

当把直线放入平面直角坐标系后,我们对直线及其有关问题的研究又有了新的方法。由于点可以用坐标表示,直线是满足一定规律的点的集合,我们可以对直线“量化”:用二元一次方程表示直线。对有关直线的问题:如平行、垂直,交点坐标,距离等进行定量的研究,也就是我们说的解析法(坐标法)。

在解析法中,直线的斜率扮演着重要的角色。斜率是直线固有的,它是中学数学课程中重要的概念之一。无论是在一次函数中,还是在“直线与方程”这章内容的学习中,直线的斜率都是基础而且重要的内容。本文首先从两个方面对《普通高中课程标准实验教科书数学2》(必修)A第三章直线与方程“直线的倾斜角与斜率”这堂课进行了思考:(1)从直线上的点满足的规律引入直线的倾斜角,(2)刻画直线斜率的过程本质上是建立直线方程的过程,它是解析法淋漓尽致的表现;在此基础上,谈到教材的作用以及如何运用教材对本堂课进行教学设计;最后概述了直线的斜率在高中数学课程中的地位作用。

一、从直线上的点满足的规律引入直线的倾斜角

    “直线的倾斜角与斜率”是平面解析几何第1课时的内容。解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质。图形的几何性质是指图形的形状、大小、位置关系。所谓代数方法就是在坐标系中用坐标表示直角坐标系中最基本的元素——点,图形(或曲线)是点的集合;这些点满足某种规律,这种规律可以用代数关系式——方程表示;通过方程的加、减、乘、除等代数运算,把运算结果“翻译”成几何关系,间接达到研究几何图形的目的。

《普通高中数学课程标准(实验)》明确提出:“在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素。”我们知道,两点确定一条直线。既然两点确定一条直线,为什么还要研究“探索确定直线位置的几何要素”?

这首先说明解析几何的研究对象是几何图形,研究几何图形首先就要寻求确定图形的几何要素,几何要素清楚了,我们才能用代数方法刻画这些几何要素。所以我们先研究确定直线位置的几何要素。尽管学生可能不太理解,但是随着后续内容的学习,学生会逐步理解为什么要结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素:一个定点以及直线的倾斜程度。这种引入方式,在提出直线的倾斜程度时,总感觉不太自然,有些生硬,“强加”的味道比较浓。

实际上,我们完全可以改进这种引入方式。本章的研究对象是直线,没有平面直角坐标系的时候,两点确定一条直线。现在有了平面直角坐标系,对于平面直角坐标系中的直线,我们可以用代数方法研究它。

在初中的学习中,我们已经知道,一次函数的图象是一条直线;反过来,平面直角坐标系中的一条直线可以用解析式表示。这给我们一种启示,可以用一个二元一次方程表示平面直角坐标系中的直线。但是它研究问题的途径是:先有数量关系,然后建立数量关系的直观表示——函数的图象。在解析几何中,我们是先有图形(或曲线),然后根据图形(或曲线)的几何特征确定图形(或曲线)的代数表达式——方程。

直线的几何特征是什么?也就是说,直线是点的集合,这些点有什么规律?提出这个问题后,学生开始思考,可能会感到茫然,不知所措。确实,这不是一个容易的问题。这时,需要教师进行引导。如果看不出来,我们不妨“跳出”这条直线。在这条直线外任选一点,与这条直线上的任意一点连接,会发现这是两条完全不同的直线。显然,这两条直线的倾斜程度不同(图1)。因此,一点和倾斜程度可以唯一确定一条直线的位置。

如何刻画倾斜程度,这时自然引出直线的倾斜角的概念。很显然,在平面直角坐标系中,一点和倾斜角可以唯一确定一条直线。任意一条直线上的点的规律是:经过其上任意两点确定的倾斜角是相同的。下面我们就要刻画这个规律,也就是逐步建立直线的代数表示——直线的方程。通过这样的引入,学生对于为什么在建立直线的方程前,先学习直线的倾斜角和斜率有了一定的认识。

    二、刻画直线斜率本质上是建立直线方程的过程,它是解析法淋漓尽致的表现

倾斜角是一个几何量,在直角坐标系中如何刻画它?教科书举了生活中刻画倾斜程度的例子——坡度。用升高量和前进量之比表示坡度,这是自然的表示,也就是说,坡度是倾斜角的正切值。但是坡度不会大于90°,按照倾斜角的定义,直线的倾斜角可以大于90°。这时,我们用倾斜角的正切值表示倾斜程度——斜率,即这样,我们建立了倾斜角与斜率的关系。但是,在平面直角坐标系中仅仅这样刻画是不够的,我们还需要把斜率坐标化,用直线上任意两点的坐标表示直线的斜率。结合直角三角形、正切以及平行的有关知识,我们能够推导出经过任意两点的直线的斜率公式(图2)。

图2

通过上面的过程,我们不难看出,用坐标刻画直线斜率的过程是解析法淋漓尽致的表现。从本质上来说,刻画直线斜率的过程就是建立直线的点斜式方程的过程。即如果一条直线经过一定点,在其上任取一点,那么由直线的斜率公式,通过刻画不变量——斜率,我们可以得出直线的点斜式方程:。这种把直线看成点的轨迹,求其轨迹方程的过程,就是寻求其不变量,建立变量与不变量的数量关系的过程。以后我们根据圆、椭圆、双曲线、抛物线的几何特征,建立其方程的过程,也是抓住运动变化过程中的不变量。但是这些不变量不是角度,而是某种距离,非常直观、具体。不像直线的这种不变量——角度,需要探索、发现。因此,比之圆、椭圆、双曲线、抛物线几种曲线,尽管直线是非常简单的图形,但其方程建立的过程,比其他稍显复杂。通过上面过程的分析,学生对建立直线方程前,先讲直线的倾斜角和斜率有了进一步的认识。

三、教材是沟通“学术形态”与 “教育形态”的桥梁,教学设计适切与否是教学成败的关键

由上,我们不难得到这样的结论:作为平面解析几何的起始课,是非常难上的,特别是如何引入。从学术形态或知识内容的角度看,这堂课非常简单。落实到知识点上,无非就是倾斜角的概念、斜率是倾斜角的正切值、过任意两点的直线的斜率公式。但要把学术形态转化为教育形态,成为教材,具体一堂课的教学设计,进而到一堂课的具体实施,需要发挥我们的主观能动性。因为学术形态的知识往往是演绎的,教育形态的知识兼有归纳和演绎。年级越低,归纳的成分越重;年级越高,演绎的成分越重。这就要求作为教学基本素材的教材,把握适当的“度”,成为沟通“学术形态”与“教育形态”的桥梁。一个重要的举措是把教学设计的成分“糅”入到教材中,设置了“观察”“思考”“探究”等诸多栏目,提出了大量具有思考价值的问题,让学生带着问题学习,尽可能展示知识的发生、发展过程。教材中“确定直线位置的几何要素→倾斜程度→倾斜角→斜率→过任意两点的斜率公式”这个过程很好地体现了上述思想。

教材既不是完全学术形态的专著,也不是具体的每堂课教学设计的集合。如何落实教材的内容、要求以及编写意图,教师还需要一个再加工、再创造过程,也就是把它变成适合学生认知特点的具体的教育形态——教学设计。使学生感受“数学是自然的,数学是清楚的,数学是水到渠成的”。把“冰冷的美丽”的学术形态转化为“火热的思考”的教育形态,用“火热的思考”融化“冰冷的美丽”。

从这种角度把握这堂课的内容,在教学设计中贯穿:(一)从直线上的点满足的规律引进直线的倾斜角,(二)刻画直线斜率的本质是建立直线方程的过程,它是解析法淋漓尽致的表现,那么这堂课的教学设计是适切的,而且容量很大,思维层面也很高,解析几何的思想方法能够得到很好的体现。只有这样,才能切实保证课堂的教学质量和效益。

四、直线的斜率在高中数学课程中的地位作用

    随着后续内容的学习,我们逐渐发现,一点和倾斜程度确定直线的很多应用:直线的方向向量、直线的参数方程等等。另外,从加强知识内容的联系性,从不同角度看待同一数学内容的角度看,如果把函数看作描述客观世界变化规律的数学模型,那么从变化的角度看,直线是线性的,它描述的是均匀变化,是最简单的变化之一。即直线在某个区间上的平均变化率,与直线上任意一点的瞬时变化率(导数)是相同的,都等于这条直线的斜率。一切不均匀的变化或者非线性的变化,在某个很小的区间(领域)内都可以由线性的、均匀的变化近似代替。这也是为什么用线性的研究非线性的,以直代曲,用平均变化率研究瞬时变化率(导数)的原因。在这种研究方法中,直线的斜率起着枢纽作用,此处不赘述。因此,直线的斜率是重要的概念之一,在高中数学课程中具有重要的地位作用。

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