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“直线的倾斜角和斜率”教学设计（山西）
一、内容和内容解析 内容：解析几何介绍，直线的倾斜角和斜率。 本课是解析几何第一课时。“万事开头难”，“好的开始是成功的一半”，解析几何的基本思想和方法都应当得到适当的体现，因此教学内容不仅有倾斜角、斜率的概念，还应当包含坐标法、数形结合思想、解析几何发展史等。 直线的倾斜角和斜率都描述了直线的倾斜程度，倾斜角用几何位置关系刻画，斜率从数量关系刻画，二者的联系桥梁是正切函数值，并且可以用直线上两个点的坐标表示。建立斜率公式的过程，体现了坐标法的基本思想：把几何问题代数化，通过代数运算研究几何图形的性质。 本课涉及两个概念——倾斜角和斜率。倾斜角是几何概念，它主要起过渡作用，是联系新旧知识的纽带，研究斜率、直线的平行、垂直的解析表示等问题时都要用这个概念；斜率概念，不仅其建立过程很好地体现了解析法，而且它在建立直线方程、通过直线方程研究几何问题时也起核心作用，这是因为在直角坐标系下，确定直线的条件最本质条件是直线上的一个点及其斜率，其他形式都可以化归到这两个条件上来。 综上，从解析几何的基本方法——坐标法的基本思想考虑，斜率概念是本课时的核心概念。 本课的教学重点是： 使学生经历几何问题代数化的过程，初步了解解析几何研究问题的基本思想方法，体会坐标法； 理解斜率的定义，掌握过两点的直线的斜率公式。 二、目标和目标解析 1．理解倾斜角的概念，体会在直角坐标系下，以坐标轴为“参照系”，用统一的标准刻画几何元素的思想方法。 2．理解斜率的定义和斜率公式，经历几何问题代数化的过程，了解解析法的基本步骤，感受解析几何的思想方法。 3．通过解析几何发展史的简单介绍，渗透数学文化教育。 三、教学问题诊断分析 平面几何中，“两点确定一条直线”是没有“参照系”的，如何使学生在这一知识的基础上，顺利、自然地过渡到直角坐标系下用一个点和倾斜角确定一条直线，是比较困难的。事实上，已知直线的倾斜角就相当于已知直线的方向，因此已知“两个点可以确定直线的方向，这与‘一个点和直线的方向确定一条直线’是一致的”。在教学中应注意引导学生建立这种联系。 由于学生还没有系统学习三角函数，所以要求学生利用补充的公式对倾斜角和斜率的关系进行研究，并猜想出一般的结论，是比较困难的。 函数是以图助数，利用图形使代数问题直观化，解析几何则是以数助形，用坐标法研究几何问题。它们都体现了数形结合思想，但角度不同。学生知道一次函数的图象是一条直线，这里研究的是直线的方程，学生容易将二者混淆，误认为方程就是一次函数。因此在教学时要注意澄清二者的不同。 基于上述分析，确定本课时的教学难点： 直角坐标系下刻画直线的几何要素的认识——倾斜角概念的形成；用坐标刻画倾斜角的方法——斜率概念本质的认识。 四．教学支持条件分析 可以借用几何画板动态演示坐标系下确定直线的几何要素，倾斜角的变化与斜率变化之间的关系等。借助实物展台展示学生的研究方法和计算过程。 五．教学过程设计 （一）引言 在平面几何里，我们直接依据图形中点、线、面的关系，研究图形的性质。现在我们采用另一种研究方法：坐标法。坐标法是在坐标系的基础上，把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的一种方法。 本章首先在平面直角坐标系中，给直线插上方程的“翅膀”，通过直线方程研究直线之间的位置关系：平行、垂直，以及两条直线的交点坐标，点到直线的距离等。 解析几何是17世纪法国数学家笛卡尔和费马共同创立的。解析几何的创立是数学发展史上的一个重要的里程碑，数学从此由常量数学进入变量数学时期。解析几何由此成为近代数学的基础之一。 本课时我们将研究最基础的知识——直线的倾斜角和斜率，并在其学习过程中体会和感受解析几何研究问题的基本方法和思想。 （设计意图：使学生了解学习的新内容的特点及意义。） （二）倾斜角概念的形成 问题1 平面几何中，确定直线的条件是什么？对于平面直角坐标系内的一条直线l，它的位置由哪些条件确定呢？ （设计意图：引导学生复习初中学过的相关知识，寻找本课时学习内容的固着点、生长点。） 预设的回答：两点确定一条直线。 启发引导：还有没有别的方法？能否利用给定的直角坐标系？ 在学生一定时间的思考后提出 问题2在直角坐标系内任给一个点，过这个点的直线有无数条。再给一个什么条件就可以唯一确定一条直线呢？请动手操作一下。 预设的回答：可能会有“与x轴的交角”“与y轴的交角”等。 启发性讲解：（借助于信息技术演示）可以发现，过一个点的直线有无数条，再借助坐标轴，给定直线与坐标轴的交角，那么直线就唯一确定了。一般的，我们以水平线x轴为基准，这也符合我们日常表示物体倾斜程度的习惯。因此我们约定图1中的角α表示直线的倾斜程度，把它叫做直线的倾斜角。
由教师给出直线的倾斜角的定义，指出倾斜角的意义： 当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角（angle of inclination）．图2中直线l的倾斜角α为锐角，直线l’的倾斜角α’为钝角。当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0o。 （这个定义可否这样给出：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的最小正（这三个字是否添加要看必修教材教学的顺序，如果是12345的顺序，就不需要添加“正”字，如果是14523的顺序，则需要添加）角α叫做直线l的倾斜角（angle of inclination）．当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0o，因此直线的倾斜角α的取值范围为0o≤α<180o．（这样做的原因是，定义简洁，自明，惟一，可以根据定义进行判断，而不需要用图形对定义进行补充说明。）） 追问：由定义，倾斜角的范围是什么？ （设计意图：在定义的形成过程中主要上针对个别条直线，研究的重点是定义的形成，通过这个问题引导学生研究所有直线与其倾斜角的关系，将定义具体化，全面化，同时得到倾斜角的意义。） 预设的答案：倾斜角α的取值范围为0o≤α<180o。 倾斜角的意义：平面内每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角步等。因此，直线的倾斜角表示平面内一条直线的倾斜程度。 （三）斜率概念的形成 问题3 日常生活中我们经常遇到上坡下坡之类的问题，你知道哪些表示倾斜程度的量吗？这些量与倾斜角有关系吗？ （设计意图：了解学生的知识经验，并引导学生建立坡度与倾斜角的关系。） （活动方式：先由学生在回忆的基础上做答，教师收集整理，挑选其中合理的成份。之后再在学生回答的基础上引导学生建立这个量与倾斜角之间的关系。） 预设的复习答案：可以用坡度表示斜坡的倾斜程度，如图3，有坡度（比）=
（此处可举具体的数字进行解释或复习） 坡度与倾斜角的关系预设的答案：如图3所示是斜坡的主视图，可见，斜坡可以抽象为一条直线，它关于水平面的倾斜角记为α，那么这里的坡度（比）实际就是“倾斜角α的正切值”。 小结讲授：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率（slope）。斜率常用小写字母k表示，即k=tanα。 问题4 如图2，直线l的倾斜角α=45 o，直线l’的倾斜角α’=135 o，写出两条直线的斜率。再选取一些数据如倾斜角为：30 o，150 o，60 o，120 o等，计算相应直线的斜率。并分析直线的倾斜角不同时，直线的斜率取值是否也不同，在此基础上总结斜率的意义。 （提示：当α为锐角时，tan（180 o-α）=-tanα。） （设计意图：引导学生通过有代表性的具体实例的分析，利用“提示”中的知识，结合初中学过的正切值，了解斜率取值的特点，渗透分类讨论点思想总结出斜率的意义。此处也可以多增加一些角，用计算器计算） （活动方式：由学生独立完成，教师在方法上予以指导——分类讨论法，并类比倾斜角的意义思考概括。） 计算过程：表1：
预设的答案：倾斜角α是90 o的直线没有斜率；倾斜角α不是90 o的直线都有斜率；倾斜角不同，直线的斜率也不同。斜率大于0的直线的倾斜角为锐角，并且斜率越大倾斜角越大；斜率小于0的直线的倾斜角为钝角，并且斜率越小倾斜角越大。（此处可以结合具体计算过程得到的表1进行理解。） 因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度。 （四）直线斜率的坐标计算法 问题5：确定直线的两个条件——点和倾斜角（或斜率）中的点可以用坐标表示，倾斜角已经代数化为斜率。在引言中已经谈到，解析几何的基本方法就是坐标法，因此要利用倾斜角和斜率对直线进行进一步的代数化的研究必须建立斜率的坐标表示方法。根据斜率定义的过程，你能否将坡度进一步坐标化，在此基础上求出斜率的坐标表示？ （设计意图：逐步实践坐标法。） （活动方式：先由学生初步坐标化，教师引导分类求解。） 活动过程： 原问题转化为：给定两点P1(x1,y1), P2(x2, y2)（其中x1≠x2）的坐标，求出直线P1 P2的斜率k。 分析：解决这个问题需要分类求解，首先是对于特殊直线，与x轴垂直或平行（重合）的直线进行分析求解。对于其他直线分类的依据是两点在直线上位置以及直线的倾斜角是锐角还是钝角。所以二级分类共得到四种不同的情况，如图4所示。分类求解。 解决的具体思路是：先就图4（1）求解，再变式为图4（2），比较异同求解；之后就图4（3）求解，再变式为图4（4），类比求解。
图4 解：（略）。 活动结果：综上所述，我们得到经过两点的直线的斜率公式是：
追问：上述公式的适用范围是什么？与所取的点的坐标是否有有关，与所取点的先后顺序是否有关？ （设计意图：辨析公式。） （五）应用理解 例1如图5，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。 图5 （设计意图：巩固本课时所学的基本知识。） 例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，和2的直线。 （设计意图：通过逆向思维，进一步加深对本课时所学的基本知识的理解，渗透坐标法的逆用和数形结合思想。） （六）小结 问题6：通过本节课的学习你有哪些收获？可以从知识，方法，数学思想，经验等方面谈谈。 预设的回答： 知识方面：倾斜角的定义，斜率的定义和利用坐标求斜率的公式及其适用范围； 方法：坐标法； 数学思想：数形结合，分类讨论，化归等数学思想； 经验：今天所学的知识都是源于已有的知识经验，倾斜角是角概念基础上学的，斜率是在坡度概念基础上进一步坐标化得到的。所以在学习过程中要注意知识间的联系。 六．目标检测设计 练习1 在仔细阅读教材的基础上完成教材3.1.1之后的练习，写在书上即可。 （设计意图：培养数学阅读的习惯，和良好的数学学习的习惯，巩固本课时学习的内容。） 练习2 习题3.1A组1——5题。写在作业本上 （设计意图：通过灵活应用达到理解本课时所学内容的目的。） 七．后记――一点感想 在课题组活动之前，为了使自己能在课题活动中有更大的收获，事先认真地写了教学设计，课题组的活动后又进行了修改．通过这一过程我深深的感到教材、教师用书中的话语是需要字斟句酌仔细研究才能理解的，理解教材、理解数学的本质是写好教学设计的基础和关键所在。 |
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