新课程实验中对教师数学理解偏差的认识

新课程实验中对教师数学理解偏差的认识

杭州市普通教育研究室 李学军

数学教学中, 教师在制定教学目标、处理教学内容、选定教学方法时, 都会根据自己的经验、认识、分析，产生相应的理解。这种理解有时与“课标”及教材一致，有时则会出现偏差。我们将这种偏差称为数学理解偏差。

一、数学理解偏差存在的普遍性

在数学课程标准实验中，数学教师的数学理解偏差是普遍存在的现象。取下面材料作为佐证，它们源于杭州市“中学数学核心概念、思想方法及教学设计”课题组的研究过程，是市课题组成员集体研究形成的，考虑到篇幅限制，仅在“人教A版”必修3教材中截取少量内容。

    例1 取自“算法”起始课

前15分钟的教学设计.	理解偏差
（一）借章头图，引入本章（用1分钟，内容略） （二）问题情境，引出算法概念： 问题情境：一个农夫带着一条狼、一头山羊和一篮蔬菜要过河,但只有一条小船.乘船时,农夫只能带一样东西.当农夫在场的时候,这三样东西相安无事.一旦农夫不在,狼会吃羊,羊会吃菜.请设计一个方案,使农夫能安全地将这三样东西带过河. 设计意图：通过这个学生容易感兴趣的问题，让学生有一个对算法的初步认识。 （三）解决问题，建立算法概念 “鸡兔同笼”是我国隋朝时期的数学著作《孙子算经》中的一个有趣而具有深远影响的问题，从学生熟悉的鸡兔同笼问题解决引出数学中的算法问题： 问题1:一个笼子里有一些鸡和兔，现在知道里面一共有３５个头,９４只脚，问鸡和兔各有多少只？ 设计意图：通过学生熟悉的问题的解决，帮助学生形成按步骤表达解决问题的想法。为下面学习复杂问题中用自然语言描述算法打好基础。 师生活动：这个问题学生容易解决，可以由学生独立思考，之后汇报其解决方案。 1．小学里解决方法：兔的只数， 可以得到鸡的只数。在此基础上归纳出一般结论。 2．中学解决方法：设立未知数，建立方程，解方程。 解：设有只鸡，只兔，则 得：，解（3）得 将代人（1）求得。 答：笼子里有鸡23只，兔12只。 3．从上述解决问题的过程看，解决以上问题可以分若干步完成： 第一步，设有只鸡，只兔， 第二步，列方程： 第三步，解方程求得：， 第四步，答：笼子里有鸡23只，兔12只。 教师在学生回答的基础上指出上述四个步骤构成解决“鸡兔同笼”问题的一个算法。同时指出：第一步，设.第二步，列. 第三步，解. 第四步，答.这四个步骤构成了一般的列方程解应用题的算法。 问题2：你能写出求解二元一次方程组：  的步骤吗？   设计意图：在上述“鸡兔同笼”问题中涉及解具体二元一次方程组的问题，通过复习所学过的解二元一次方程组的基本步骤．自然过渡得到解一般的二元一次方程组的步骤，为建立算法概念打下基础。 师生活动：教师先提出问题，让学生对求解过程一步步表达出来。 解二元一次方程组的主要方法是消元，教师引导学生用加减消元法写出它的求解过程，然后让学生尝试用代入消元法表达出解决问题的步骤。 解：第一步：得： 第二步：解（3）得 第三步：将代人（1）求得。 无任学生用代入消元法还是加减消元法，在这里目的不是为了解方程的方法,而是为了从这里让学生初步了解算法,所以不需要两种方法都讲. 教师只要和学生共同整理出一个解方程的步骤即可. 教师在学生回答的基础上指出： 问题2（变式）：写出求方程组 的解的步骤   设计意图：在复习解具体二元一次方程组基本步骤的基础上．进一步分析解一般的二元一次方程组的步骤，并指出上述步骤构成了解二元一次方程组的一个算法。 师生活动：教师在提出问题后，可以让学生来说出其解题步骤，教师用投影给出求解过程步骤。 解：第一步：（2）×- （1）×， 得：     （3）     第二步：解（3）得 ； 第三步：将代入（1），得.   在完成求解一般的二元一次方程组步骤的基础上教师指出： 1．本题的步骤就是求一般的二元一次方程组的解法的算法. 2．在写出此步骤基础上，我们将上述步骤进一步用计算机能够识别的语言表达出来并输入计算机就可以解决用计算机求二元一次方程组的解了。这里老师事先按照上述步骤编写了程序，同学们可以跟老师一起来看看。 3．让学生输入数据，计算机直接给出方程组的解。 （四）分析归纳，得到算法概念  问题3：到底什么是算法？如何表达算法的含义？ 设计意图：在提出算法这一概念后，学生自然想进一步了解到底什么是算法。教师在此处设问，目的不是要求学生直接作答，而是为了自然过渡到对算法的更进一步研究上。 用上面几个学生熟悉的问题来帮助学生建立算法的概念，降低难度，有利于学生正确理解算法的概念。 培养学生体会发现、抽象、总结的能力。 师生活动：教师在提出问题后，可以先让学生用自己的语言表达对算法思想的理解，在学生回答的基础上教师进行归纳帮助学生建立算法的概念。 教师指出:算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤。现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题。	用问题情境可以使学生感悟到：算法并不神秘，但引用的材料未直视算法内涵，并占用课堂教学时间，“泛化”算法的概念。       我们研究时，对问题1的设计认为是得意之作，因为其中有历史文化味，能让学生接触“列方程解应用题”的算法，还能由此自然地引出教材解二元一次方程组问题。 反思后，我们认识到：用问题1使得本节课的教学重点延迟出现，学生感悟算法概念内涵的机会缺失，是典型的“简单问题复杂化”。     此时，学生已经两次接触“算法 ”，但都缺少“数学味”，即没有感悟到算法中存在顺序结构，仅是形成一种认识：算法就是步骤。   教材问题2设计的用意是：在由特殊到一般的过程中，感悟算法的内涵，体验算法存在其本逻辑结构---顺序结构，体验算法具有的特征：明确、有限和有序，也隐含着：算法通常是解决一类问题的，而解决的方式可以是由特殊到一般。 而我们问题2的设计没有扣住教材用意，只是在追求解法用步骤表示；及由特殊方程组的步骤类比得到一般方程组的步骤，强化的是算法就是步骤。                                     我们学习的算法是与计算机有关的，这一理解是正确的，这里也得到体现，但为什么要从“特殊到一般”？步骤中隐含着什么？教学实施前并没有理解到位！   可见，按上面设计，学生对算法概念中的“按照一定规则”、“解决某一类问题”、“明确和有限”等的理解缺少感悟过程，因此概念给出后，学生只能是机械地认识。
按算法就是步骤的理解，我们在本课的例1，例2教学时，也未能借此揭示算法的基本逻辑结构---顺序、条件和循环（本文略去后面设计）

 

 

    在本节课的教学设计中，我们在理解上的偏差远不止右框内所示的这些问题，但列出这些足以说明：新课程实验中，数学理解偏差是存在的。

例2 “（整数型）随机数的产生”

这是一节新增的内容, 主要内容有：产生整数型随机数的方法（含实验方法和模拟方法），建立数学模型，用随机模拟方法解决一些实际问题。

在我们研究形成的教学设计及开设的研究课中，借助问题，既使学生了解产生整数型随机数的方法：用随机数表，用实验方法（抛硬币、掷骰子，用转盘），也使学生在教学中通过操作体会到：当产生随机数的量较大时，实验方法的操作量也会较大，从而自然地学习用计算器或计算机软件产生随机数（是伪随机数）的方法。

这节课从方法层面讲，考虑周到，来龙去脉清楚，但我们对本节课的理解中，并没有认识到“随机”是一种“公平”，能达到“搅拌均匀”，以及一个基本事件可以通过“量化”，转化为数学问题，从而能建立随机事件与随机数之间的对应关系。因此，教学中缺少数学思想，仅仅是一次知识的传授。

例3 “两个变量的线性相关”

本节内容，我们研究得出的是：教学要按如图所示的主线进行，对此我们当时颇有成就感，因为，按这一主线组织教学，不会单一导出回归直线方程，而是能体现回归直线方程与样本数据的联系，能体现其作用。

经专家评课和课后反思，我们得出的理解是：本节教学要形成的知识结构如图所示。

可见，按我们的理解会割裂一个整体，破碎一个系统。作为一节课，教学可以认为是没有错误的，但一节完成后，学生的知识结构并没有构建，其认识是不到位的，他们能机械地解题，但解决问题的过程中，会忽略统计的思想方法，数学理解是达不到本节教学要求的。

由三个案例可见：经过集体研究，试教并反复修订形成的教学设计也会出现理解偏差，由此我们得出这样一个判断：在新课程实验中，数学理解偏差会是普遍存在的，而且仅靠个体或备课组力量是不一定能解决的。

在新课程实验中，数学理解偏差应该成为一个值得重视研究的问题。

二、数学理解偏差带来的问题

由上面三个案例可见，教师的数学理解偏差，并没有产生知识方面的错误，但造成了教学的低效甚至无效，即理解偏差不一定是错误的，但一定是不妥当的。

由案例暴露的问题至少可以看出：

数学理解偏差会使课堂教学中出现“多余的活动”，也可能会缺失教学的重点，抓不住教学关键，并导致知识联系纽带的断裂，忽视数学思想方法等教学现象，是造成教学的低效、或无效的重要原因之一。

数学理解偏差还会造成课堂教学中，教师讲得过多，学习参与不足等问题。在案例一中，“简单问题复杂化”增加了一些问题，而为完成这些问题，教师不得不通过“讲授”控制教学过程，学生基本只有听的份了。

数学理解偏差在一节或一章节的教学中连续存在，不仅不能使学生形成知识网络，而且也会影响学生对数学方法和思想的掌握和领会。

可见，理解偏差会使教学高投入低产出，是造成教学事倍功半的重要因素。

换一个角度分析，在数学知识网络未形成、方法思想未认识到位时，学生做数学题或解决问题只会知其表，不知其实，从而造成“今天能做，一周就忘”的现象，这说明，数学理解偏差也是导致数学“题海战术”的重要原因。    

三、数学理解偏差产生的原因

应该看到对数学的理解可以是仁者见仁智者见智的。与作为一门学科的数学相比，还存在“教师自己的数学”，“大纲的数学”，“课程标准的数学”和“高考的数学”。

一线老师伴随着自己的教学生涯形成了自己的数学，自己的数学中含有教师个体对数学的见解或理解，特别是优秀教师，他们的见解或理解，不会因外界的变化而轻易改变。同时，教师自己的数学并不是真正作为学科的数学，而是他们认为要通过教学使得学生掌握的数学，其中含有学生可接受性和学生发展的需要。

在学生可接受性方面，用大纲时或用课程标准时，有明确的规定，但两者确实存在理解或要求上的不同，完全用大纲的要求处理课程标准的教学，会造成数学理解偏差。

在学生发展的需要上，老师一般会按高考要求理解数学教学需要，尽管高考标准是依据课程标准制定的，但教师理解高考数学主要途径还是高考试卷上的数学题，而对高考题孤立地看，每个教师的理解会不同，由此导出的数学教学也是产生理解偏差的原因。

在新课程实验中，课程标准代替了大纲，但不能抹去教师原有的数学理解，这些原有的东西一定会发挥作用，这也是导致课标教材实验中出现数学理解偏差的原因之一。

新课程的高考为教师所关注，任何省的新课程高考题，都会使教师风吹草动、未雨绸缪，从而形成自己的“新数学”，这也影响着对课程标准的理解追求。

四、对理解偏差认识与对策

存在那么多的“数学”，存在各种数学理解偏差是正常现象。这里有教师不能认识到的数学理解偏差，也有教师不认可的数学理解偏差。

对不能认识到的数学理解偏差，通过我们的实践研究得出的结论是：这类理解偏差仅靠一线老师个体、甚至群体是无法解决的，需要专家的引领、指导。

对知道但不认可的数学理解偏差，由于教师的经验已经形成自己的数学，这是一般性指正无法改变的，需要有说服力的实例使其信服。

在课程标准实验中，对广大教师而言，专家的引领和有说服力的实例是普遍缺少的，也是当前难以得到的，因此，数学理解偏差是无法一时减少的。但面对这一教学中存在的现象，也不应该任其存在，袖手旁观，我们认为可以从下面几方面加以重视或开展研究：

1．教研员能在各次调研、听课时，注意收集数学理解偏差的实例，与教师们共同交流，反思，能通过此渠道获取、形成有说服力的材料；在各次培训中，重视这一方面的引导，能给出尽管量不多但实实在在能说明问题的案例；在各次公开课中，能交流数学理解，展示个体的不同理解，有评有辩，促进反思。

2．引导教师群体及个体认识到我们的课堂教学中确实存在这一问题，能有一种在数学教学中的纠偏意识，从而主动获取不同的见解。

3．提高课堂教学的有效性一直是教师个体或教研组研究的主题，需要在研究中提出理解偏差问题，为教学有效性研究提供切入口，能通过校本教研，使教师们伴随新课程实验形成的“新的自己的数学”中更多地含有“准确理解的数学”。

4．教材编写部门，要组织专项调研，进入课堂教学研究，能为理解偏差的纠正提供有说服力的案例或材料。

5．构建中学数学核心概念结构体系、思想方法，使数学教学能围绕“核心”，溶入思想，也为教师理解课程标准的数学，认识高考数学与课程标准数学并不矛盾提供支撑。